小升初数学总复习精讲精练5：比和比例及比例的应用(含答案解析)

小升初数学总复习专题汇编精讲精练专题13 比和比例（一）1、比的意义和性质⑴比的意义两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

⑵比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

⑶求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。

它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

⑷比例尺图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

⑸按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

2、比例的意义和性质⑴比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

⑵比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。

这叫做比例的基本性质。

⑶解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

3、正比例和反比例⑴成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(一定）⑵成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)一．比的性质【例1】（朔城区期末）若2:3的前项增加6，要使比值不变，后项要() A．扩大6倍B．增加6倍C．增加9【解答】解：2:3的前项增加6，由2变成8，相当于前项乘4；要使比值不变，后项也应该乘4，由3变成12，相当于后项增加：1239-=；所以后项应该乘4或增加9．故选：C．【变式1-1】（灵石县期中）0.5:1的前项扩大10倍，要使比值不变，后项1也应该扩大10倍，这是根据性质．【解答】解：0.5:1的前项扩大10倍，要使比值不变，后项也应该扩大10倍，这是根据比的基本性质．故答案为：扩大10倍，比的基本．【变式1-2】（乐清市期末）下面四句话中，说法正确的是()A．比的前、后项可以是任何数B．只要4个扇形的圆心角都是90︒，就能拼成一个圆C．一个整数乘分数有时表示相同的分数相加，有时表示这个整数的几分之几D．两个分数相除，商一定大于被除数【解答】解：A．因为除数不能为0，比后项相当于除法中的除数，所以比的后项不能为0，因此，比的前、后项可以是任何数．这种说法是错误的．B．扇形面积的大小是由扇形的圆心角和半径两个条件决定的，只有在同圆或等圆中，4个扇形的圆心角都是90︒，才能拼成一个圆．因此，只要4个扇形的圆心角都是90︒，就能拼成一个圆．这种说法是错误的．C．根据分数乘法的意义，整数乘分数有时表示相同的分数相加，有时表示这个整数的几分之几．此说法正确．D．一个数(0除外）除以小于1的数，商大于被除数；一个数(0除外）除以大于1的数，商小于被除数；因此，两个分数相除，商一定大于被除数．这种说法是错误的．故选：C ．【变式1-3】（嘉兴校级期末）一个比的前项是6，与后项的比值是1.5，后项是9．⨯ ．【解答】解：6 1.54÷=， 故判断：⨯．25．（登封市校级期末）在13:24中，比的前项增加7，要使比值不变，后项怎样变化？ 【解答】解：13:24的前项增加7，可知比的前项由13变成20， 相当于前项乘2013，根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘2013； 答：要使比值不变，后项应该乘2013．二．求比值和化简比【例2】（綦江区期末）把0.2:300km m 化成最简整数比是2:3 ，比值是 ．【解答】解：（1）0.2:300km m200:300m m =(200100)(300100)=÷÷÷2:3=；（2）0.2:300km m200:300m m = 200300=÷23=；故答案为：2:3；23．【变式2-1】（鼓楼区期末）把12.5:2化成最简单的整数比是5:1 ，比值是 ．【解答】解：（1）12.5:21(2.52):(2)2=⨯⨯5:1 =；（2）1 2.5:2 12.52=÷5=；故答案为：5:1；5．【变式2-2】（温县期末）圆周率就是圆的周长与半径的比值．⨯（判断对错）【解答】解：根据圆周率的含义可知：圆的周长与圆的直径的比值叫做圆周率，不是半径；所以原题说法错误．故答案为：⨯．【变式2-3】（铜官区期末）最简整数比的前项与后项一定是质数．⨯（判断对错）【解答】解：因为最简整数比是指比的前项和后项都是整数，并且是互质数，而不是比的前项和后项都是质数，比如4:9，此最简整数比的前项和后项都不是质数，所以最简整数比的前项与后项一定是质数说法错误．故答案为：⨯．【变式2-4】（郓城县期末）把下面的比化成最简整数比并求比值．（1）12: 205（2）1 0.3:4（3）1 1.25:18【解答】解：（1）12: 20512 (20):(20)205=⨯⨯1:8=12:20512205=÷18=（2）1 0.3:41(0.320):(20)4=⨯⨯6:5=10.3:410.34=÷65=（3）1 1.25:181(1.258):(81)8=⨯⨯10:9=11.25:1811.2518=÷109=三．比例的意义和基本性质【例3】（长垣县期末）27A B+=，:5:4A B=，则A=15，B=．【解答】解：5271554A=⨯=+，271512B=-=，故答案为：15，12．【变式3-1】（新华区期末）下面各比中，能与2:1.5组成比例的是() A．0.4:3B．0.4:0.3C．0.2:15【解答】解：1 2:1.52 1.513=÷=2:0.4:30.4315A=÷=1 :0.4:0.30.40.313 B=÷=1:0.2:150.21575C =÷=所以能与2:1.5组成比例的是0.4:0.3； 故选：B ．【变式3-2】（新华区期末）在一个比例中，两个内项的积是7.2，其中一个外项是0.9，另一个外项是 8 ．【解答】解：7.20.98÷=．在一个比例中，两个内项的积是7.2，其中一个外项是0.9，另一个外项是8； 故答案为：8．【变式3-3】（嘉陵区期中）在3:512:20=这个比例中，3和20叫做比例的外项 ，5和12叫做比例的 ．把这个比写成分数形式是 ，写成乘法形式是 ．【解答】解：在3:512:20=这个比例中，3和20叫做比例的外项，5和12叫做比例的内项．把这个比写成分数形式是312520=，写成乘法形式是320512⨯=⨯． 故答案为：外项；内项；312520=；320512⨯=⨯． 【变式3-4】（潘集区期中）如果1123x y =，那么，:x y =2 : ．【解答】解：如果1123x y =，那么，11::232x y ==，3．故答案为：2，3．四．正比例和反比例的意义【例4】（莲湖区校级月考）X 和Y 表示两种相关联的量，同时57(X Y X =、0)Y ≠，X 和(Y)A ．成正比例B ．成反比例C ．不成比例【解答】解：因为，57X Y =所以:7:5X Y =也就是比值一定，所以X 和Y 成正比例． 故选：A ．【变式4-1】（黄冈期末）()中，x 与y 成反比例关系． A ．23x y = B ．11xy= C ．35xy =+ 【解答】解：A 、因为23x y =，所以2:2:33x y ==（一定），是x 和y 对应的比值一定，符合正比例的意义，所以x 和y 成正比例；B 、因为11xy=，所以1xy =（一定），是x 和y 对应的乘积一定，符合反比例的意义，所以x 和y 成反比例；C 、因为35xy =+，所以515x y -=，既不符合正比例的意义，也不符合反比例的意义，所以x 和y不成反比例； 故选：B ．【变式4-2】（亳州期中）下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系．（1）根据图象，可知这幅地图的比例尺是 1:4000 ．图上距离和实际距离成 比例． （2）A 、B 两地的实际距离是320m ，在这幅地图上，A 、B 两地的距离是 cm ．【解答】解：（1）1厘米：40米1=厘米：4000厘米1:4000=即这幅图的比例尺为：1:4000．因为图上距离与实际距离的比为比例尺，是个固定值，所以图上距离与实际距离成正比例．（2）320408÷=（厘米）答：AB 两地的图上距离为8厘米． 故答案为：1:4000；正；8．【变式4-3】（卢龙县期末）右边的图象表示汽车在公路上行驶的路程与耗油量的关系．①请你用学过的数学知识描述这辆汽车行驶的路程和耗油量的关系，并讲明理由． ②根据图象，这辆汽车行驶75km 耗6升．计算这辆汽车行驶180km 耗油多少升？【解答】解：①汽车行驶路程与耗油量是正比例关系； 因为50:4100:8150:1212.5===⋯=（一定），汽车行驶路程与耗油量的比值一定，所以汽车行驶路程与耗油量是正比例关系． ②设这辆汽车行驶180km 耗油x 升， 751806x =756180x =⨯618075x ⨯=14.4x =．答：辆汽车行驶180km 耗油14.4升．真题强化演练一．选择题1．（陆良县期中）从甲地到乙地，A 用了5小时，B 用了7小时，A 与B 的速度的最简整数比是( )A ．5:7B ．7:5C ．11:57【解答】解：(15):(17)÷÷ 11:57=11(35):(35)57=⨯⨯ 7:5=；故选：B ． 二．填空题2．（惠阳区期中）已知一个比例的两个內项互为倒数，其中一个外项是0.4，另一个外项是 52． 【解答】解：在比例里，两个内项互为倒数，可知两个内项的乘积是1根据比例的性质，可知两个外项的乘积也是1，其中一个外项是0.4，另一个外项为510.42÷=．故答案为：52．3．（•邵阳模拟）把32:45化成最简单的整数比是 15:8 ，比值是 ．【解答】解：（1）32:45 32(20):(20)45=⨯⨯15:8=；（2）32:45 3245=÷ 158=；故答案为：15:8，158．4．（武汉期末）把3:0.54化简为最简单的整数比是 3:2 ，比值是 ．【解答】解：（1）3:0.54 3(4):(0.54)4=⨯⨯3:2=（2）3:0.54 30.54=÷1.5=故答案为：3:2，1.5．5．（•陆良县）在比例6:89:12=中， 6，12 叫做比例的外项， 叫做比例的内项． 【解答】解：在比例6:89:12=中，6，12叫做比例的外项，8，9叫做比例的内项； 故答案为：6，12；8，9．6．（凉州区校级月考）如果73A B =，那么:A B = 3 : ． 【解答】解：因为73A B =， 所以:3:7A B =． 故答案为：3，7．7．（•岚山区模拟）35米：40厘米的比值是 32 ，化成最简单的整数比是 ．【解答】解：（1）35米：40厘米，60=厘米：40厘米， 6040=÷，32=；（2）35米：40厘米，60=厘米：40厘米，(6020):(4020)=÷÷，3:2=；故答案为：32，3:2．8．两个完全一样的水桶要装满水，淘气、笑笑分别用大杯和小杯舀水，每次都将水杯盛满．第一桶用12大杯和25小杯正好装满，第二桶用20大杯和15小杯也正好装满．大杯和小杯的容积之比是 5:4 ．【解答】解：设大杯的容积为x ，小杯的容积为y ； 根据题意可以得出： 12252015x y x y +=+ 122512201512x y x x y x+-=+-25815y x y =+ 251581515y y x y y -=+-108y x =； 那么：:10:85:4x y ==；答：大杯和小杯的容积之比是5:4． 故答案为：5:4．9．用三辆相同的汽车可运面粉600袋，要运面粉1400袋，可用x 辆汽车，列比例式1400:600:3x = ．【解答】解：1400:600:3x =． 故答案为：1400:600:3x =． 三．判断题10．（廉江市校级期末）比例的两个外项的积和两个内项的积相除等于1． √ ．（判断对错） 【解答】解：因为在比例里，两个外项的积等于两个内项的积， 所以两个外项的积除以两个内项的积等于1． 故答案为：√．11．（卢龙县期末）A 的14与B 的16相等(A 不等于0)，则:2:3A B =． √ （判断对错） 【解答】解：11(46A B A⨯=⨯不等于0)， 11::2:364A B ==，故答案为：√．12．（德江县期末）比的前项和后项都同时加上或减去一个相同的数(0除外），比值不变． ⨯ （判断对错）【解答】解：因为比的前项和后项只有都乘或除以相同的数(0除外），比值才不变； 所以比的前项和后项都加上或减去相同的数（零除外），比值不变说法错误． 故答案为：⨯．13．（元江县期末）在3:7中，比的前项加上6，要使比值不变，后项应乘上3． √ ．（判断对错）【解答】解：369+=，933÷= 比的前项变成9，扩大了3倍，要使比的大小不变，比的后项也应扩大3倍；即比的后项应乘上3，原题说法正确．故答案为：√．14．应用比例的基本性质，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？（写出判断过程）7:14和6:1211 : 34和11:683.5:7和1:140.4:1.6和3:12．【解答】解：（1）因为712146⨯=⨯，所以7:14和6:12能组成比例．（2）因为11113846⨯=⨯，所以11:34和11:68能组成比例．（3）因为3.51471⨯≠⨯，所以3.5:7和1:14不能组成比例．（4）因为0.412 1.63⨯=⨯，所以0.4:1.6和3:12能组成比例．15．等边三角形的周长和边长成正比例．√．（判断对错）【解答】解：等边三角形周长÷边长3=（一定），所以等边三角形的周长和边长成正比例．故答案为：√．四．计算题16．（兴义市月考）化简下面各比：)12:4=4.5:6=6.3:0.9=【解答】解；（1）1 2:41 (24):(4)4=⨯⨯8:1=；（2）4.5:6(4.52):(62)=⨯⨯=9:12=÷÷(93):(123)=；3:4（3）6.3:0.9=⨯⨯(6.310):(0.910)=63:9=÷÷(639):(99)=．7:117．（沛县月考）化简比18:24113:2231吨：750千克3255．:89【解答】解：18:24 (186):(246)=÷÷=3:4113:2231616=⨯⨯(3):(2)2737=3:2132吨：750千克3500=千克：750千克=÷÷(3500250):(750250) =14:355:89572572=⨯⨯():()8595=．9:818．（海原县校级月考）列式计算（1）5和8的比等于40和x的比，求x？（2）比例的两个内项分别是2和5，两个外项分别是x和2.5．求x？【解答】解：（1）=5:840:xx=⨯5840x=5320x÷=÷553205x=．64答：x等于64．（2）:25:2.5x=x=⨯2.552x÷=÷2.5 2.510 2.5x=；4答：x是4．五．应用19．食堂有一批大米．如表记录的是每天的用量和所用的天数．（1）把上表填写完整．（2）每天的用量和所用的天数成反比例吗？为什么？（3）如果每天用8kg，那么可以用多少天？（4）如果计划用100天，那么每天应该用多少千克？【解答】解：（1）每天的用量/kg 50 40 25 20 5 所用的天数810162080（2）每天的用量与所用的天数成反比例关系；因为每天的用量与所用的天数的乘积是一个定值； （3）400850÷=（天)； 答：可以用50天； （4）4001004()kg ÷=； 答：每天应该用4千克． 六．操作题20．（1）小红跑完全程用了 5 分． 时间（分) 1 2 3 4 5 6 路程（米)20040060080010001200（2）小红跑到终点，所用时间与路程有如下关系．路程与时间成什么比例关系，并说明理由在图上描出各点并顺次连接各点． （3）小红每分钟跑 米．【解答】解：（1）由统计图可知，小红跑完全程用了5分；（2）答：路程与时间成正比例关系在这里路程、时间是两个相关联的量，=路程时间速度（一定）．根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系是正比例关系．由此即可判定路程与时间正比例关系．（3）由统计图可知，小红每分钟跑200米．故答案为：5；200．21．下面是同一时间、同一地点，测量的杆高和影长的记录表．根据表中的记录，杆高和影长是否成正比例？如果成正比例的话，在如图的图象中表示出来．杆高（米) 1.53 4.56影长（米)1234【解答】解：（1）31.5:13:2 4.5:36:42====（一定），因为=杆高影长每米高影长的物体（一定），所以杆高和它的影长成正比例；（2）绘制统计图如下图，观察发现：表示树高和对应影长的点，都在一条直线上；七．解答题22．（•天津模拟）看图填空（1）小明去图书馆每小时行驶 8 千米，用了 分钟，这段时间内他骑车行驶的路程和时间成 ．（2）他在书店图书馆用去 分钟．（3）小明从图书馆返回家中的速度是每小时 千米，用了 分钟，这段时间内他骑车行驶的路程和时间成 ．【解答】解：（1）30分钟0.5=小时，40.58÷=（千米/时），因为=路程时间速度（一定），所以这段时间内他骑车的路程和时间成正比例；答：小强去书店每小时行8千米，用了30分，这段时间内他骑车的路程和时间成正比例．（2）1003070-=（分钟）； 答：他在书店用去70分．（3）120分钟100-分钟20=分钟13=小时，14123÷=（千米/时），因为=路程时间速度（一定），所以这段时间内他骑车的路程和时间成正比例；答：小明从图书馆返回家中的速度是每小时 12千米，用了 20分钟，这段时间内他骑车行驶的路程和时间成 正比例．故答案为：8，30，正比例；70；12，20，正比例． 23．（•岱岳区校级模拟）化简下面各比，并求出比值．比 25:10031:824.2:0.0614吨：375千克 最简整数比【解答】解：（1）25:100 (2525):(10025)=÷÷1:4=；25:1001:4=14=÷0.25=；（2）31 : 8231(8):(8)82=⨯⨯3:4=；31:823:4=34=÷0.75=；（3）4.2:0.064.2:0.06=(4.21006):(0.061006) =⨯÷⨯÷70:1=；4.2:0.0670:1=701=÷70=；（4）14吨：375千克250=千克：375千克 250:375=(250125):(375125)=÷÷2:3=；14吨：375千克2:3= 23÷23=．填表如下：24．（晋中期末）同一时间、同一地点测得树高和影长的数据如表：（1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来．（2）连线以后观察，它们是在一条直线上吗？ 在 ，说明树高和影长成 关系． （3）不计算，利用图象判断，树高8米时，影长 米？影长4米时，树高 米？【解答】解：（1）所作图象如下图，观察发现：表示树高和对应影长的点，都在一条直线上．（2）连线以后，发现表示树高和对应影长的点，都在一条直线上，这说明树高和影长成正比例关系，因为随着树的高度的增加，影长也在增加，且树高与影长的商是一定的，所以树高和影长成正比例关系；（3）设树高8时，影长为x米，影长4m时，树高y米，=则有2:1.68:xx=⨯28 1.6x=212.8x=；6.4y=2:1.6:4y=⨯1.642y=1.68y=5答：树高8m时，影长6.4米，影长4m时，树高5米．故答案为：在、正比例； 6.4，5．25．（•衡水模拟）如图是某厂甲、乙两个车间各生产600个零件过程中，生产零件的个数与生产时间的关系图：（1）从图上可以看出两个车间生产零件的个数分别与它们所用的时间成正比例．（2）乙车间生产天后赶上甲车间生产的个数，甲、乙两个车间完成任务时，车间所用的时间多（3）当乙完成任务时，甲还有个没做，车间工作效率高，高%．【解答】解：（1）因为两种量是否是对应的比值一定所以两个车间生产零件的个数分别与它们所用的时间成正比例．（2）乙车间生产9天后赶上甲车间生产的个数，甲、乙两个车间完成任务时，甲车间所用的时间多．÷=（个)（3）6001540÷=（个)6001250-÷⨯(5040)40100%=÷⨯1040100%=25%答：高25%．故答案为：正，9，甲，50，乙，25．小升初数学总复习专题汇编精讲精练专题14 比和比例的应用（二）一、比例尺应用题图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。