概率5参数估计与假设检验章习题

第五章参数估计与假设检验典型例题分析

例1

解

例2

解

例3

解似然函数为：

例4设总体的密度函数是：

解似然函数为：

根据最大似然估计的原理重新解题，最大似然估计量是使得在取

时概率最大，即似然函数达到最大。观察似然函数，在观测值下似然函数取到最大值，意味着要取最小值。由条件可得，，所以取

为最小。的最大似然估计量为

例5设为总体的一个样本，试适当选择常数，使得

为的无偏估计量。

解由题意，只需由等式确定即可。

例6设是的无偏估计量，且有，证明不是的无偏估计量。

证明由题意得，。又

，由，知

，故不是的无偏估计量。

例7为了对完成某项工作所需时间建立一个标准，工厂随意抽选了16名有经验的工人分别去完成这项工作。结果发现他们所需的平均时间为13分钟，样本标准差为3分钟。假设完成这项工作所需时间服从正态分布，试确定完成此项工作所需平均时间的95％置信区间。

解由题意可得，这是一个未知，求的置信区间的问题。已知

。选取样本函数为

所以完成此项工作所需平均时间的95％置信区间为。

例8从某校初一年级中随机抽取20名学生，他们的数学期末考试成绩为：

设该年级学生的数学成绩X服从正态分布，求

解这是一个正态总体期望和方差都未知，求总体均值和方差的置信区间问题。已知，由所给样本可计算得

如果已经求出的置信区间，则一般可把看作为的同一置信度的置信区间。在本例中，的置信度为0.95的置信区间为。

例9已知一批产品的长度指标，问至少应抽取多大容量的样本，才能使样本均值与总体均值的误差，在置信度95％下小于。

解本题可用区间估计的思想来解决。因总体已知，因而

。由区间估计的方法有。对，查正态分布表得。即，也就是

。

由题意得，解出，所以应抽取的样本容量为97。

例10*从两个正态总体X，Y中分别抽取容量为16和10的两个样本，求得

试求方差比的95％的置信区间。

解这是两个样本方差比的区间估计问题。已知，由

选取样本函数

对，查自由度为15和9的F分布表得。由于

，故查表得。从而得的置信区间的上下限为

例11设某异常区磁场强度服从正态分布，由以往观测知，现有一台新型号的仪器，用它对该区域进行磁测，抽测了41个点，平均值，且方差无变化，试问用此仪器测出的结果是否符合要求？

解是正态总体已知方差，对均值的假设检验问题，用检验法：，选统计量在成立的条件下，。，查正态分布表得

。又，代入得。

故相容，即认为新仪器测出的结果符合要求。

例12 由于工业排水引起附近水质污染，测得鱼的蛋白质中含汞的浓度为（p.p.m）：0.37 , 0.266 , 0.135 , 0.095 , 0.101 , 0.213 , 0.228 , 0.167 , 0.766 , 0.054 ，从过去大量的资料判断，鱼的蛋白质中含汞的浓度服从正态分布，并且从工艺过程分析可以推算出理论上含汞的浓度应

为0.1，问从这组数据来看，实测值与理论值是否符合？

解是正态总体未知方差，对均值的假设检验问题，用检验法：

，选统计量在成立的条件下，。，

查分布表得双侧临界值。

由样本值：

，

则。

故相容，即实测值与理论值是符合的。

例13 电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根测试其熔化时间，结果为（单位：毫秒）42，65，75，78，71，59，57，68，54，55，若熔化时间服从正态分布，问是否可认为整批

保险丝的熔化时间的方差为64？

解这是正态总体关于方差的检验问题。，选统计量

。在成立的条件下，。

，查分布表得临界值：

由样本值：

，

，则

。，故相容，即可以认为整批保险丝熔化时间的方差为64。

三、习题参考答案与提示

1. 设为总体X的样本，为满足关系式的任一组数，记，试证明，当且仅当时，的方差最小。

证明记总体X的方差。当时，的方差是

。当仅满足时，

有

下面讨论是否有。利用基本不等式，有

注意到，即，得：这就证明了

。

2. 总体X服从二项分布其中参数未知，已知，试求的最大似然估计量，并证明它是无偏估计量。

解二项分布律是。对于二项总体的一组样本，似然函数为

取对数得。令

，解得。所以为p得最大似然估计量。

下面证明是p的无偏估计量。。即是p的无偏估计量。

3. 设总体X服从正态分布，其中及均未知，试求及的最大似然估计量，并说明它们的无偏性。

解这是总体X含有两个未知参数及的最大似然估计问题，X的密度函数为：

。

对X的一组样本观测值，似然函数

，

从而得到及的最大似然估计量为

4. 设总体X的分布密度函数为：

其中为未知参数，试求的最大似然估计量。

解这是总体含有一个未知参数的最大似然估计问题。对X的一组样本观测值

，似然函数

取对数，令

，解得。于是的最大似然估计量为

5. 设总体的方差已知，问抽取的样本容量n应为多大，才能使总体均值的置信区间长度不大于已知数？

解

，

四、自我检测题

1. 填空题

(1) 设总体X含有未知参数，是抽自X的样本观测值，若有

，则选取的估计值应该为

。