高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 高二数学教案

第2课时 等比数列的性质

阅读教材P 23思考交流以下P 24例3以上部分，完成下列问题．

对于等比数列{a n }，通项公式a n ＝a 1·q n －1

＝a 1q

·q n

.根据指数函

数的单调性，可分析当q ＞0时的单调性如下表：

思考：(1)若等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，则数列{a n }的单

调性如何？

[提示] 递减数列．

(2)等比数列{a n }中，若公比q ＜0，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 数列{a n }不具有单调性，是摆动数列． 2．等比中项

阅读教材P 25练习2以上最后两段部分，完成下列问题． (1)前提：在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列．

(2)结论：G 叫作a ，b 的等比中项． (3)满足关系式：G 2

＝ab ．

思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？

[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．

(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a ，b 存在等比中项，唯一吗？

[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.

1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则公比q 等于( )

A ．－1

2

B ．－2

C ．2

D ．12

D [由a 5＝a 2q 3，得q 3

＝a 5a 2＝142＝18，所以q ＝12，故选D ．]

2．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…，则此数列是( )

A ．公比为q 的等比数列

B ．公比为q 2

的等比数列 C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列

B [由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1×a n ＋1a n

＝q ·q ＝q 2

，n ≥2且n ∈N ＋，所以

{a n a n ＋1}是以q 2

为公比的等比数列，故选B ．]

3．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }

的公比q 的取值范围是________．

(1，＋∞) [因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比

q ＞1.]

4．4－23与4＋23的等比中项是________． 2或－2 [由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±

4－23

4＋23＝±16－12＝±2.]

等比中项及应用

x ＝_____________.

(2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1

c

成

等差数列，则c a ＋a

c

的值为________．

(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x ＋2)2

＝x (3x ＋3)，

x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4，

当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.

(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1

c

成等差数列，得

⎩⎪⎨⎪

⎧

b 2＝a

c ，

2b ＝1a ＋1c

，即4

ac ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1c 2

，故(a －c )2

＝0， 则a ＝c ，所以c a ＋a

c

＝1＋1＝2.]

应用等比中项解题的两个注意点

(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2

＝ab ，其中a ，

b ，G 均不为零．

(2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与

a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大

大减少运算过程．

1．(1)已知1既是a 2

与b 2

的等比中项，又是1a 与1

b

的等差中项，

则a ＋b

a 2＋b

2的值是( ) A ．1或1

2

B ．1或－1

2

C ．1或1

3

D ．1或－1

3

(2)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则

a n ＝________.

(1)D

(2)4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n －1

[(1)由题意得，a 2b 2

＝(ab )2

＝1，1a ＋1

b

＝2，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

ab ＝1，

a ＋

b ＝2

或⎩⎪⎨⎪⎧

ab ＝－1，

a ＋

b ＝－2.

因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－1

3

.

(2)由已知可得(a ＋1)2

＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，

所以q ＝a 2a 1＝64＝32

，

所以

a n ＝4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n －1

.]

等比数列的设法与求解