工程电磁场导论小结

小结1 1、静电场的基础是库仑定律。静电场的基本场量是电

场强度 o q q f

E 00lim →=

真空中位于原点的点电荷q 在r 处引起的电荷强度 r

o e r q r E

241)(πε= 连续分布的电荷引起的电场可表示为 dq r r r r r E o ⎰

'-'

-=3

41)( πε 式中的dq 可以是l d r S d r

V d r '''''')(,)(,)(τσρ或它们的组合。 2、电介质对电场的影响可以归结为极化后极化电荷所

产生的影响。介质极化的程度用电极强度P 表示 V

P

P v ∆=∑

→∆ 0lim

极化电荷的体密度p ρ和面密度p σ与电极化强度P 间的关系分别为 P p ⋅-∇=ρ 和 n p e P ⋅=σ

3、静电场基本方程的积分和微分形式分别是 ⎰=⋅o l d E l o E =⨯∇ ⎰

=⋅q s d D s ρ=⨯∇D 电通[量]密度0P E D o +=ε在各向同性的线介质中 E x P o ε= 5

E D ε=

4、由静电场的无旋性，引入标量电位

⎰

⋅=Q

P

dl E ϕ 或 ϕ-∇=E

在各向同性的线性均匀电介质中，电位满足泊松方程或拉普拉斯方程

ερϕ/2-=∇ ， o =∇ϕ2

5、静电场问题都可归结为在给定边界条件的情况下，求得泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题，边界条件分为以下三类：

第一边值)(1s f s =ϕ

第二边值

)(2s f n s =∂∂ϕ

第三边值)

(3

s f n s

=∂∂+ϕβϕ 另外，在不同媒质的分界面上，场量的衔接条件为

σ=-n n D D 12 ， t t E E 12=

或者 -∂∂n 22

ϕεσϕ

ε-=∂∂n 11 ，21ϕϕ= 只要满足给定的边界条件，泊松方程或拉普拉斯方程

是唯一的。 6、在静电场边值问题的分析中，常采用以下几种重要的求解方法：

（1）直接积分法：选用于一维电场问题，采用常微分方程的求解方法。

（2）分离变量法：选用于二维或三维电场问题。关键是能否选择出可分离变量的坐标系使场域的边界面和媒质分界面均与所选坐标的坐标面吻合。

（3）有限差分法：它首先将场域用适当的网格离散化。然后，在各网格节点上用位函数的差商来近似

替代该点的偏导数，把偏微分方程转化为一组相应的差分方程，解之即得位函数在各网格节点上的数值解。 （4）镜像法：点电荷对于无限大接地导体平面的镜像特点是：等量异号、位置对称，镜像电荷位于边界外。点电荷对两种无限大电介质平面的镜像计算如下。

q q 2

12

1εεεε+-=' （适用区域1ε）

q q 21

2''2εεε+= （适用区域2ε）

位置对称。 在点电荷对接地金属问题中，如点电荷在球外，

则镜像电荷q d R q =' ，它与球心相距d R b /2

=

（5）电轴法：只能解决带等量异号电荷的两平

行圆柱导体间静电场问题，可通过

222b a h =- 确定电轴的位置。 7、在线性介质内多个导体组成的静电独立系统中，必须应用“部分电容”来代替电容器的“电容”概念。这时，电位与电荷有关系：[][][]q a =ϕ：电荷与电位有关系：[][][]ϕβ=q ：电荷与电压有关系：[][][]U C q =。部分电容C 组成电容网络，它只与各导体的几何形状、大小、相互位置及介质分布有关，而与导体的电荷量无关。 8、静电能量的计算，可应用

ds dV p W S v

e σϕρ⎰

⎰+=2

1

2121

或 dV D E W v e ⎰

⋅=21 或 K

k e q W ∑

=ϕ21

静电能量的体密度为 D E W e ⋅='21

9、静电力的计算，可应用

Eq F = 或应用虚位移法

=∂∂==常量k g W f e g ϕ常量

=∂∂-k q e

g W

利用法拉弟对静电力的观点亦可以分析带电体受力的情况。

小结2

1.电流是由电荷的有规则运动形成的，不同的电荷分布运动时所形成的电流密度具有不同的表达式。两种电流密度以及线电流于它们相应的元电流段的表达式

电流密度与相应的电流之间，有下列关系

dl e K I l

n )(⎰

⋅=

dS J I s

⎰

⋅=

对于传导电流，电流密度与电场强度间的关系为 E J γ=

2.导电媒质中有电流时，必伴随有功率损耗，其体密度为

E J P ⋅=

因此要在导电媒质中维持一恒定电流，必须与电源相连。电源的特性可用它的局外场强Ee 表示，Ee 与电源的电动势间的关系为

dl E e ⋅=⎰

ε

3.导电媒质中恒定电场（电源外）基本方程的积分形式和微分形式分别为

⎰=⋅S dS J 0 ⎰

=⋅l

dl E 0 0=⋅∇J 0=⨯∇E

和

由微分形式的基本方程可以导得拉普拉斯方程

02

=∇ϕ

4.两种不同媒质分界面上的衔接条件是 n n J J 21= 和

t t E E 21=

被理想介质包围的载流导体表面，有面积电荷存在。 5.导电媒质中恒定电场（电源外，即Ee=0处）和静电场（无电荷分布，即p=0处）有相似的关系，有关的对应量为

静电比拟法可应用于电场和电路参数的计算以及实验研究中。

6.电导的计算原则与电容相仿。

接地电阻的计算，要分析地中电流的分布。在电力系统的接地体附近，要注意危险区。

小结3

1.安培定律表明，真空中两个电流回路之间的相互作用力

⎰

⎰'⨯'=l R

l R e l Id F 204πμ 式中，070/104m H -⨯=πμ

2.磁场的基本物理量是磁感应强度，由毕奥-沙伐定律可知，真空中线电流回路l ‘引起的磁感应强度

⎰

'⨯'=l R

R e l Id B 204πμ 体分布及面分布的电流引起的磁感应强度分别为

V d R e z y x J B R

V '⨯'''=⎰'20

),,(4πμ S d R e z y x K B R

S '⨯'''=⎰

'20

),,(4πμ 3.导磁媒质的磁化长度，可用磁化强度M 表示

V

m M i

v ∆=∑

→∆0lim

导磁媒质对磁场的作用，可看作是由磁化电流产生的

磁感应强度所致。磁化电流的面密度和线密度与磁化强度的关系分别是

M J m ⨯∇= n m e M K ⨯= 4.安培环路定律在真空中的形式是 I dl B l

0μ=⋅⎰

式中I 是穿过回路l 所限定面积S 的电流。

引入磁场强度 M B

H o

-=μ 可得一般形式的安培环路定律 ⎰

=⋅l

I dl H

式中等号右边仅指自由电流。

5.对于线性媒质，磁化强度与磁场强度之间有m x M = ，式中 m x 为磁化率。 磁感应强度则等于 H B μ=

式中磁导率 00)1(μμμμm r x +==

6.恒定磁场基本方程的积分形式和微分形式分别是 0=⋅⎰dS B S

0=⋅∇B

I dl H l

=⋅⎰

J H =⨯∇

在两种不同媒质分界面上，衔接条件为 012=-n n B B K H H t t =-21

7.根据磁通的连续性，即0=⋅∇B ，可以引入磁矢位A

B A =⨯∇ 0=⋅∇A

对于不同形式的元电流段，当电流分布在有限空间，磁矢位的计算式为

R l Td A l '

=⎰'πμ4

R V d z y x J A V ''''=

⎰'),,(4πμ

R S d z y x K A S ''''=⎰

'),,(4πμ 磁矢位满足泊松方程

J A μ-=∇2

8.在无电流（J=0）区域，可以定义磁位 m ϕ ，使 m H ϕ-∇=

和静电场中电位相仿，磁位也满足拉普拉斯方程

02

=∇m ϕ

9.在磁场中也可用镜像法，即用镜像电流代替分布在分界面的磁化电流的影响，以求得满足给定边界条件的解答。

10.电感有自感和互感之分，它们分别定义为

I L L ψ

= 121I L ψ=

计算电感应先求磁通。磁通可以通过下列关系式之一

求得

dS B S m ⋅=Φ⎰ dl A l

m ⋅=Φ⎰

11.一个电流回路系统的磁场改变时，与它们相连的外电源所做之功为

k n K k I dW ψ∑

==1

其中不包括供给回路电阻的焦耳热。 在线性媒质中，电流回路系统的能量为

k n

K k m I W ψ∑

==1

21 对于连续的电流分布，磁场能量可写成

AdV J W V

m ⋅=

⎰21