济南大学研究生课程考试试题学位A 数值分析试题

济 南 大 学 研 究 生 课 程 考 试 试 题

课程编号： SS991011 课程名称： 数值分析 学时 48 学分 3 试卷 A 课程性质 学位课 考试时间 2012 年 6 月 26 日 任课教师 王宣欣 研究生分管院长审核签字

一、填空题（每空3分，共24分）

1、设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的5次拉格朗日插值多项式基函数，则

∑=++5

23)()1(i i i i x l x x

= .

2、已知17)1(,3)1(,5)2(==-=-f f f , 则=--]1,2[f ________，=--]1,1,2[f _______, )(x f 的2次牛顿插值多项式为_____________________ .

3、求积公式

[])1()5.0(2)0(4

1

)(1

f f f dx x f ++≈

⎰

具有 次代数精度. 4、已知,10001

10⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=-A 则_______)(=A ρ，_______)(=∞A cond . 5、设124)(23+++=x x x x f ，则)(x f 在区间]1,1[-上的2次最佳一致逼近多项式

)(2x P = .

二、计算题（共76分）

1、（15分）设)(x f 为定义在区间]3,0[上的函数，在节点)3,2,1,0(=i x i 上的值如下:

0)0()(0==f x f ，5.0)1()(1==f x f ， 0.2)2()(2==f x f ，5.1)3()(3==f x f ，

试求三次样条函数)(x S ，使其满足边界条件项2.0)(0='x f ，1)(3-='x f . 2、（10分）已知一组试验数据

试用直线bx a y +=拟合这组数据.

3、（12分）已知函数值

试用复合求积公式计算积分⎰-22

)(dx x f 的近似值4T ，8T ，4S . 4、（12分）用杜利特尔（Doolittle ）分解法求解方程组

⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛717353010342110100201

43

21x x x x .

5、（15分）设线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=++--=+-3

1032202418

25321

321321x x x x x x x x x ，

(1)、写出SOR 迭代法求解方程组的分量计算形式;

(2)、当取2=ω时，SOR 迭代法是否收敛，为什么?

(3)、当取1=ω时，SOR 迭代法是否收敛，为什么? 取初值T x )0,0,0()0(=

，计算)1(x .

6、（12分）应用Newton 法求方程0=I +nx x 在（0，1）内的根,*x 要求3110-+≤-n n x x . (计算过程中结果保留小数点后6位) 附. 三次样条公式：j

j j j h h h +=

--11μ,j

j j j h h h +=

-1λ,],,[611+-=j j j j x x x f d ,

j j j j j j d M M M =+++-112λμ 1,,2,1-=n j

样条函数)(x s 在],[1+j j x x 上的表达式为：（其中1,,2,1-=n j ）

j

j j

j j j j j j j j j

j j j

j j h x x h M y h x x h M y M h x x M h x x x s --+--+-+

-=

+++++)6()6(6)(6)()(2111213

3

1

1,,2,1,0-=n j