2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试
题
一、单选题
1．若()1,2,3AB =-，()1,1,5BC =--，则AC =（ ）
A B C ．5 D ．10 【答案】A
【分析】先求出AC ,再利用向量的模长计算公式即可
【详解】因为(1,2,3)(1,1,5)(0,1,2)AC AB BC =+=-+--=-
所以2||0AC =故选:A
2．直线420x ay -+=与直线2x －y +7=0平行，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【分析】根据直线平行可得方程4(1)()2a ⨯-=-⨯，即可得到答案.
【详解】两直线平行，所以有4(1)()22a a ⨯-=-⨯⇒=,
故选：B.
3．在等比数列{}n a 中，且3944a a a =，则8a =（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2 【答案】C
【分析】利用等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，即可计算出8a 的值.
【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；
所以483944a a a a a ==，因为40a ≠，所以84a =.
故选：C.
4．已知{},,a b c 是空间向量的一个基底，{,,}a b a b c +-是空间向量的另一个基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）
A ．(4,0,3)
B ．(1,2,3)
C ．(3,1,3)
D ．(2,1,3)
【答案】C
【分析】设出p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，利用对照系数，得到方程组，求出结果.
【详解】∵p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)
∴=423p a b c ++
设p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(),,x y z
则()()
()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+=++-+ 对照系数，可得：423x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩
解得：313x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为()3,1,3
故选：C
5．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【分析】根极值与导函数的关系确定()f x '在2x =-附近的正负，得()xf x '的正负，从而确定正确选项．
【详解】由题意可得()20f '-=，而且当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，此时()0xf x '>，排除B 、D ； 当()2,0x ∈-时，0f x ，此时，()0xf x '<，若()0,x ∈+∞，()0xf x '>，
所以函数()y xf x '=的图象可能是C ．
故选：C
6． 如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是
A ．277
B ．52
C ．72
D ．7
【答案】C
【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．
【详解】解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒，可得222214962
c a a a =+-⨯， 2247c a =，
所以双曲线的离心率为：72
e =
． 故选：C ．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
7．若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（ ）
A ．()0,4
B ．()1,4-
C ．()1,0-
D ．[)0,4
【答案】B 【分析】由两圆相交可得参数范围．
【详解】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2
条公切线，所以
10,40,
m m ⎧+>⎪⎪->⎨< 解得1 4.m -<<
故选：B ．
8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”.如取3m =，由上述运算法则
得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得7n =.则下列命题错误的是（ ）
A ．若2n =，则m 只能是4
B ．当17m =时，12n =
C ．随着m 的增大，n 也增大
D ．若7n =，则m 的取值集合为{}3,20,21,128
【答案】C
【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.
【详解】对于A ，2n =，逆推124→→，m 只能是4，故A 对；
对于B ，17m =时，175226134020105168421→→→→→→→→→→→→，12n =，故B 对；
对于C ，3m =时，7n =，4m =时，421→→，2n =，故C 错，
对于D ，7n =时，逆推128326421124816205103⎧⎧→→⎨⎪⎪⎩→→→→→⎨⎧⎪→→⎨⎪⎩⎩，故D 对. 故选：C.
二、多选题
9．两个学校1W ，2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()1W t ，()2W t 与时间t （天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A ．1W 比2W 节能效果好
B ．1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小
C ．两学校节能效果一样好
D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大
【答案】AB
【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项.
【详解】由图象可知，对任意的()100,t t ∈，
曲线()1W t W =在1=t t 处的切线比曲线()2W t W =在1=t t 处的切线要“陡”，
所以1W 比2W 节能效果好，A 正确，C 错误； 由图象可知，()()()()10120200
00W t W W t W t t --<， 则1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 选项正确； 由于曲线()1W t W =和曲线()1W t W =不重合，D 选项错误．
故选：AB
10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1333AB AD AA ===，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A ．当1
12AC A P =时，1B ，P ，D 三点共线 B ．当1
AP AC ⊥时，1AP D P ⊥
C ．当1
13AC A P =时，1//D P 平面1BDC D ．当1
15AC A P =时，1A C ⊥平面1D AP 【答案】ACD
【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点P 的坐标，根据空间向量公式，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则1(0,0,0)3,0)(0,0,1)D C D ，，，
11(1,0,0)(1,0,1)(13,0)3,1)A A B C ，，，，
设11AC k A P =，1(13,1)AC =--，则1131A P k k ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
， 可得11111311D P D A A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
11131AP AA A P k k ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭
， 对于A ：当1
12AC A P =时，则点P 为对角线1A C 的中点， 根据长方体性质可得1,,B P D 三点共线，故A 正确；
对于B ：当1
AP AC ⊥时， ∴113110AP AC k k k
⋅=++-=，解得5k =， 所以13455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，143155D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
则113443143405555252525AP D P ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因此1AP D P ⊥不正确，故B 错误；
对于C ：当113AC A P =时，12133D P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，
1(1,3,0),(0,3,1)DB DC ==，
∴0n DB x ⋅==，130n DC y z ⋅=+=，
当1y =-时，x =z =(3,n =-，
∴121033n D P ⋅==，∴1n D P ⊥， 又1D P ⊄平面1BDC ，∴1//D P 平面1BDC ，故C 正确；
对于D ：当115AC A P =时，可得1455AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，1(1,01)D A =-， 设平面1D AP 的法向量为(,,)m a b c =，
则14055
m AP a c ⋅=-++=，10m D A a c ⋅=-=，
取1a =-，则1b c ==-，∴(1)m =--，
而1(11)AC =--，∴1//AC m ，∴1
A C ⊥平面1D AP ，故D 正确． 故选：ACD
11．已知抛物线2:4C x y =，其焦点为F ，准线为l ，PQ 是过焦点F 的一条弦，点)(2,2A ，则下列说法正确的是（ ）
A ．焦点F 到准线l 的距离为2
B ．焦点)(1,0F ，准线方程:1l x =-
C ．PA PF +的最小值是3
D ．以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切
【答案】ACD
【分析】对A ：由抛物线方程及焦点F 到准线l 的距离为p 即可求解；
对B ：由抛物线方程即可求解；
对C ：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解； 对D ：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.
【详解】解：对B ：由抛物线2:4C x y =，可得()0,1F ，准线 :1l y =-，故选项B 错误；
对A ：由抛物线2:4C x y =，可得24p =，即2p =，所以焦点F 到准线l 的距离为2p =，故选项A 正确；
对C ：过点P 作PP l '⊥，垂足为P '，由抛物线的定义可得PF PP ='， 所以PA PF PA PP +=+'≥3d =（d 为点)(2,2A 到准线l 的距离），当且仅当A 、P 、P '三点共线时等号成立， 所以PA PF +的最小值是3，故选项C 正确；
对D ：过点P 、Q 分别作PP l '⊥，QQ l '⊥，垂足分别为P '、Q '，
设弦PQ 的中点为M ，则弦PQ 为直径的圆的圆心为M ，过点M 作MM l '⊥，垂足为M '，则MM '为直角梯形PP Q Q ''的中位线，()12
MM PP QQ '''=+， 又根据抛物线的定义有PP PF '=，QQ QF '=，
所以()1122
MM PF QF PQ '=+=， 所以以弦PQ 为直径的圆与准线l 相切，故选项D 正确；
故选：ACD.
12．函数()()1cos 02f x x x x =
+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．4176a π=
C ．3a 为函数()f x 的极小值点
D ．20211sin 2
S = 【答案】BD
【分析】首先求出函数的导函数，令()0f x '=，根据正弦函数的性质即可求出函数的极值点，再求
出2021S ，利用诱导公式计算可得；
【详解】解：因为()()1cos 02f x x x x =
+>，所以1sin 2f x x ， 令()0f x '=，即1sin 2
x =可得26x k ππ=+或526x k ππ=+，Z k ∈， 易得函数的极值点为26x k ππ=
+或526x k ππ=+，Z k ∈， 从小到大为
6π，56π，136π…，不是等差数列，A 错误； 4517266
a πππ=+=，B 正确； 函数()f x 在区间513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在区间1317,6
6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，所以3a 为函数()f x 的极大值点，C 错误；
2021122021513171010266666S a a a π
πππππ⎛⎫=+++=++++++⨯ ⎪⎝⎭
， 1351751010210092666666ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++⨯+++++⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
， 则根据诱导公式得2021sin s 16in
2
S π==，D 正确； 故选：BD ．
三、填空题
13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若130a a +=，721S =，则公差d =__________.
【答案】32
【分析】根据题意列出方程，即可求得答案.
【详解】由题意等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，130a a +=，721S =，
可得10a d +=，且172121a d +=，则1a d =-，且133a d +=，
解得32
d =， 故答案为：32
14．一条直线l 经过)
3P
-，并且倾斜角是直线y =的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________．
【答案】y =
【分析】先求出直线3y x =的倾斜角，从而可求得直线l 的倾斜角，则可求出直线l 的斜率，进而可求出直线l 的方程 【详解】因为直线3y x =的斜率为3， 所以直线3y x =的倾斜角为
3
π， 所以直线l 的倾斜角为23π， 所以直线l 的斜率为2tan
33π=-， 因为直线l 经过()
3,3P -， 所以直线l 的方程为33(3)y x +=--，即3y x =-，
故答案为：3y x =-
15．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成的角的余弦值是_______．
【答案】
【详解】试题分析：以A 为坐标原点, 射线,,AB AD AQ 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系．
令两正方形边长均为2．则()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,1,2A E F M ,
()()1,1,2,2,1,0EM AF ∴=-=,21030
cos ,3065EM AF EM AF EM AF
⋅-++∴〈〉=
=
=-⨯⋅,
设异面直线EM 与AF 所成的角为θ,30
cos cos ,30
EM AF θ∴=〈〉=． 【解析】异面直线所成的角．
四、双空题
16．如图，圆O 与离心率为3
2
的椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>相切于点M (0,1)，过点M 引两条互相
垂直的直线l 1，l 2，两直线与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合)．若P 为椭圆上任一点，
记点P 到两直线的距离分别为d1，d2，则22
12d d +的最大值是_________；此时P 点坐标为_________．
【答案】
16
3
； 4213⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【详解】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得22
12d d +的数学表达式，结合纵坐
标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果. 详解：由题意知：
22231,c b c b a a ==+=解得2,1,3a b c === 可知：椭圆C 的方程为2
214
x y +=，圆O 的方程为221x y +=.
设()00,P x y ，因为12l l ⊥,则()2
222212
001d d PM x y +==+-, 因为2
20014x y +=，所以()2
2222
12000116441333d d y y y ⎛⎫+=-+-=-++ ⎪⎝
⎭, 因为011y -，所以当031y =-时，22
12d d +取得最大值为163,
此时点421
()3
P -. 点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
五、解答题
17．已知函数()ln a x f x b
x
=+在1x =处的切线方程为220x y --=. (1)求()f x 的解析式；
(2)求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值. 【答案】(1)()2ln x
f x x
=；
【分析】（1）由题可得()()
2
1ln a x f x x -'=
，然后利用导数的几何意义即求； （2）由题可得切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，即得.
【详解】（1）∵函数()ln a x
f x b x =+，
∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()
2
1ln a x f x x -'=
， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，
由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =， ∴()f x 的解析式为()2ln x
f x x
=
； （2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln x
f x x
=在()1,0处相切，
所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为
d =
=，
故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=18．已知在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项．
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
【答案】(1)21n a n =+，1
2n n b +=
(2)2(21)24n n S n +=-⋅+
【分析】（1）设公差为d ，由23421a a a ++=，且21a -，31a +，43a a +构成等比数列，利用“1,a d ”法和“1,a q ”法求解；
（2）由（1）得到1
(21)2n n n n c a b n +==+⋅，利用错位相减法求解.
【详解】（1）解：因为数列{}n a 为各项均为正数的等差数列， 所以2343321a a a a ++==， 即得37a =，
设公差为d ，则有23116a a d d -=--=-，318a +=，
433314a a a d a d +=++=+，
又因为21a -，31a +，43a a +构成等比数列{}n b 的前三项， 所以()()()2
324311a a a a +=-⋅+，即64(6)(14)d d =-+， 解得2d =或10d =-（舍去）， 所以132743a a d =-=-=，
所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列， 故得21n a n =+，
由题意得，1214b a =-=，2318b a =+=，
所以数列{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，
故11422n n n b -+=⋅=.
（2）设1
(21)2n n n n c a b n +==+⋅，
则2341
325272(21)2(21)2n n n n n S +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅①，
在上式两边同时乘以2得，
341223252(21)2(21)2n n n S n n ++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅，②，
-①②得，
()23412322222(21)2++-=⋅+++⋅⋅⋅+-+⋅n n n S n ，
24(12)2+=-+-⋅n n ,
所以2
(21)24n n S n +=-⋅+．
19．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ，B ，C 坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)，E 为线段BC 上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ．
(1)当E 点坐标为13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
时，求过点E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；
(2)求BOE 与ABE △面积之和S 的最小值． 【答案】(1)30x y -=或20x y +-=或10x y -+=；
(2)
【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答. （2）设点E 的横坐标为t ，根据给定条件求出t 的范围，再将S 表示为t 的函数，并求出最小值作答.
【详解】（1）令过点13(,)22E 且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l ，
当直线l 过原点时，直线l 在x ，y 轴上的截距都为0，其方程为3y x =，
当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y
a a +=或1x y a a
+=-，于是得13221a a +=或13
221a a +=-，
解得=2a 或1a =-，直线l 的方程为2x y +=或1x y -=-， 所以所求方程为：30x y -=或20x y +-=或10x y -+=.
（2）依题意，直线:122
x y
BC +=，因点E 在线段BC 上，则设点(,2)E t t -，02t ≤≤，设00(,0),0A x x <，
0(,1),(,1)PE t t PA x =-=-，由//PE PA 得：0(1)x t t -=-，显然1t ≠，则01t
x t
=-
-，有01t <<， 111||(2)2,||(2)(2)(2)2221BOE ABE t S
OB t t S AB t t t =
⋅-=-=⋅-=+--， 1(2)11
2(2)(2)2(2)2[3(1)]
212(1)21t t t S t t t t t t t -=-++-=-+=+-+---22≥=+
当且仅当13(1)1t t -=
-，即1t =时取等号，
所以BOE 与ABE △面积之和S 的最小值20．如图，四棱锥P ABCD -中，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，
22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点.
（1）证明：//CE 平面PAB ； （2）求直线CE 与平面PAB 间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）
5
5
. 【分析】（1）取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，易证四边形BCEM 为平行四边形，故//CE BM ，再由线面平行的判定定理即可得证；
（2）由//CE 平面PAB ，知点E 到平面PAB 的距离即为所求.设1BC =，取AD 的中点N ，连接BN ､
PN ，可证PN
AD ，BN AD ⊥，进而推出BC ⊥平面PNB ；于是以B 为原点，BC ､BN 分别为x ､
y 轴，在平面PNB 内，作Bz ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，可证BC PB ⊥，从而求得3PB =，120PNB ∠=︒，写出点P ､E 的坐标，根据法向量的性质求得平面PAB 的法向量n ，由点E 到平面PAB
的距离·n BE d n
=
即可得解.
【详解】
（1）证明：取PA 的中点M ，连接BM ､EM ，
E 为PD 的中点，//EM AD ∴，1
2
EM AD BC =
=， ∴四边形BCEM 为平行四边形，
//CE BM ∴，
CE ⊄平面PAB ，BM ⊂平面PAB ，
//CE ∴平面PAB .
（2）//CE 平面PAB ，∴点E 到平面PAB 的距离即为所求. 设222PC AD DC CB ====，
取AD 的中点N ，连接BN ､PN ，则四边形BCDN 为矩形，1BN CD ==
PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PN AD
∴⊥，
1
1
2
PN AD
==，
BN AD
⊥，PN BN N，PN､BN⊂平面PNB，
AD
∴⊥平面PNB，
//
BC AD，BC
∴⊥平面PNB，
BC ⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PNB，
以B为原点，BC､BN分别为x､y轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()
0,0,0
B，()
1,1,0
A-，()
1,1,0
D
BC ⊥平面PNB，BC PB
∴⊥，
在Rt PBC
△
中，PB==
1
BN PN
==，120
PNB
∴∠=，
3
0,
2
P
⎛
∴
⎝⎭
，
15
,
24
E
⎛
⎝⎭
3
0,
2
BP
⎛
=
⎝⎭
，()
1,1,0
BA=-
，
15
,
24
BE
⎛
=
⎝⎭
，
设平面PAB的法向量为()
,,
n x y z
=，则
·0
·0
n BP
n BA
⎧=
⎨
=
⎩
，即
3
2
y
x y
⎧
=
⎪
⎨
⎪-+=
⎩
，
令1
x=，则1
y=
，z=∴(1,1,
n=-，
∴点E到平面PAB
的距离
15
2
n BE
d
n
+
⋅
====，
故直线CE与平面PAB
【点睛】方法点睛：求空间中点P到平面α的距离，
向量方法:先在平面α内选一点A，确定PA的坐标，在确定平面α的法向量n，最后代入公式
n PA
d
n
⋅
=求解.也通常采用三棱锥等体积求解.
21．已知双曲线
22
1.
416
x y
-=
(1)过点(1,4)
N的直线与双曲线交于,S T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；(2)直线l：(2)
y kx m k
=+≠±与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y
轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程. 【答案】(1)30.x y -+= (2)221(0)10025
x y y -=≠.
【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案； （2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.
【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则22
112
2
221416
1416
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ， 两式相减得22221212
416x x y y --=，即
121212124y y x x x x y y -+=⨯-+， 因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以121221
4124
y y x x -⨯=⨯=-⨯， 即直线ST 的斜率为1，
所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3y
x ,
联立方程组22
3
1416y x x y =+⎧⎪
⎨-
=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>， 故直线ST 的方程为30.x y -+=
（2）联立方程组22416
x y y kx m
⎧-=⎨
=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=， 因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ， 根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，
()()2222
2Δ444160
k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩ ，得224(4)m k =-， 则244M km k x k m =
=--,则4(16
)M
k m y k m
m =⨯+=--, 所以M 的坐标为416
(,)k m m
-
-，其中0km ≠， 因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()k
y x m k m
+=-+， 令0y =，得020k
x m =-
，令0x =，020y m
=-，
所以222
2
02224004001600(4)10010044k m x y m m m
==+=+=+，
故点00(,)P x y 的轨迹方程为：
22
1(0)10025
x y y -=≠. 【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用 “点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解. 22．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 长为10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点.
(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；
(2)P 为矩形场地AD 边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP 的距离为23
，且直线FP 与点M 的轨迹没有公共点，求P 点横坐标的取值范围.
【答案】(1)224164()03
93x y x ⎛
⎫+-=
≤≤ ⎪⎝⎭
43127a
【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v
v
=
，利用两点间的距
离公式可得答案.
(2)由题意可得点M 的轨迹所在圆的圆心到直线FP 的距离14
,23
d ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，点M 的轨迹与y 轴的交点N
到直线FP 的距离22
3
d ≥，从而可得答案.
【详解】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则()(0,2),0,4E F ， 设成功点(,)M x y ，可得2MF ME v
v
=
22
22
(2)(4)x y x y +-+-化简得22416
()39
x y +-=
因为点M 需在矩形场地内，所以403
x ≤≤
故所求轨迹方程为22
4164()03
93x y x ⎛
⎫+-=
≤≤ ⎪⎝⎭
（2）设(),0P a ，直线FP 方程为14
x
y a
+=
直线FP 与点M 的轨迹没有公共点,则圆心4
03（，）到直线FP 的距离大于43r =
依题意，动点P 需满足两个条件：
点M 的轨迹所在圆的圆心403
（，）到直线FP 的距离14,23d ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
即1
24
44323
16
a a d a -<=
<+,43127a <
②点M 的轨迹与y 轴的交点80,3
N ⎛⎫
⎪⎝
⎭
到直线FP 的距离223
d ≥
即2
2
8
423
3
16a a d a -+,解得43a 综上所述，P 43127a <。