椭圆经典例题分类汇总

椭圆经典例题分类汇总

椭圆经典例题分类汇总

1.椭圆第一定义的应用

例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：

11

42

2=+y x ；

（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：

116

42

2=+y x ；

说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆

19

82

2=++y k x 的离心率2

1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，8

2

+=k a

，9

2

=b

，得

1

2-=k c ．由2

1=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，9

2

=a

，8

2

+=k b

，得k

c

-=12

．

由21=e ，得4191=-k ，即4

5

-=k ． ∴满足条件的4=k 或4

5-=k ．

说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为

8

+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴

上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范

围． 解：由

⎪⎩

⎪

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨

⎧<-<-,

03,

05k k 得53<

取值范围是53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中

>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

例4 已知1cos sin 22

=-ααy x

)

0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的

椭圆，求α的取值范围．

分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为

1cos 1sin 12

2=+α

αy x ．因为焦点在y 轴上，所以

0sin 1

cos 1>>-

α

α．

因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(ππα∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1

>-α

，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知α

cos 1

2

-

=a

，α

sin 12

=

b

． (3)求α的取

值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()

64

322

=+-y x B ：的

内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点

M

．动点P 到两定点，

即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定

圆半径，

即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7

3422=-=

b 的椭圆的方程：

17

162

2=+y x ．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨

迹方程的一种重要思想方法．

2.焦半径及焦三角的应用

例1 已知椭圆

13

42

2=+y x ，1

F 、2

F 为两焦点，问能否在椭

圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1

MF 与2

MF 的

等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：假设M 存在，设()1

1

y x M ，，

由

已知条件得

2

=a ，3=b ，∴1=c ，2

1=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴1

4x MN +=．

又由焦半径公式知：

1112

1

2x ex a MF -

=-=，112

2

12x ex a MF

+

=+=．

∵2

12

MF MF MN

⋅=，∴()

⎪

⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=+112

1

2122124x x x ．

整理得0

48325121

=++x x ．

解

之

得

4

1-=x 或

5

12

1-

=x ． ①

另

一

方

面

2

21≤≤-x ． ②