第二章-线性方程组习题解答
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第二章 线性方程组习题解答
习题2.1
解下列线性方程组
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=-+.
053,12,1321
321321x x x x x x x x x
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300002101111342002101111015311211111 由最后一行可得原方程组无解.
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+=-+.
153,22,132,
33213213
21321x x x x x x x x x x x x
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛------00
00210030102001000
02100301
050
1100001050051103111102205230511031111513212113123111原方程组有唯一解.2,3,2321===x x x
（3）⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=--+=-++.
165105,8362,
424321
43214321x x x x x x x x x x x x
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10100310203102140400013204112116511058316241121
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
→10
100232101000001 方程组有无穷多解，其通解为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧==+==,,1,223,
04
321c x x c x x 其中c 为任意数.
（4）⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=-+-=+--.
032,03,0432
143214321x x x x x x x x x x x x
解 对方程组系数矩阵作初等行变换
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000021001011210042001111321131111111 方程组的通解为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=
=
=+=,,2,,
242312211c x c x c x c c x 其中21,c c 为任意数.
习题2.2
1.用初等行变换将下列矩阵化成阶梯形矩阵，并求它们的秩.
（1）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21110042220010251
413027245310251102517245341302
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→0000021110010251
秩为2.
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000001001175001041117500300000160
00104111750101305004522000104111373104018174188701041)2(秩为3.
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛0000000000
63100
52010
410013618600189300
63100
52
10
41
00161286502813320
63100
520
10
41
0017732654321432163100520
1041
001)3(秩为3.
2.求下列各方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩.
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+.
8852,9934,7532,
12783213213
21321x x x x x x x x x x x x
解 对增广矩阵作初等行变换
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛----0000110011910127817700
770011910
12781
132042101191012781132051301791301278188529934753212781系数矩阵与增广矩阵秩均为3.
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=-+-=++=+++.14,432,152,
1224214314314321x x x x x x x x x x x x x
解 对增广矩阵作初等行变换
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-----→⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛------→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---3400056200313201221
122200562003132012211222002512031320
12
2
1
114
114130215
10212
2
11
系数矩阵与增广矩阵的秩均为4.