八年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题08四边形的最值问题

专题08四边形的最值问题

专题解读】

不确左的图形有最值，最值问题历来是各类试卷的宠儿，也是一个难点.对于几何类线段最小问题，最终一左是通过基本事实“两点之间线段最短”来解释，我们需要做的，是分析淸楚题中的动点与定点，抽象岀类似之处，然后将其转化成熟悉的基本图形来解决，而转化过程有效性，直接决泄了问题的得解。

思维索引

例1.如图，在正方形ABCD中，AB=2,动点£从点A出发向点D运动，同时动点尸从点£＞岀发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中，线段AF、BE相交于P.求线段DP的最小值.

例2•如图，在矩形ABCD中，AB=4, BC=8,£为CD的中点，若P、。为BC边上的两动点，且PQ

=2,当四边形APQE的周长最小时，求BP的值.

例3•如图，'ABC是等边三角形，AB=4, E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90。，得到线段EF,当点D运动时，求线段AP的最小值.

素养提升

1.直线尸一x+4分别交X 轴、y 轴于A 、B 两点，点P 为线段AB 上的动点，分别过点P 作坐标轴的

垂线，分别交X 、y 轴于E 、F,连结"，则EF 的最小值为（

）

EB, FP=FD.则线段EF 的最小值为（

）

3•矩形OABC 在平而直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3, 4） , D 是04的中点，点E

在AB 上，当ACDE 的周长最小时，点E 的坐标为（

）

4 5

A. (3, 1)

B. (3, - )

C. (3,二)

D. (3, 2)

3

3

4•如图，矩形ABCD 中，AB=3, BC=4, E 、F 、G 分别是边AB 、BC 和对角线AC h 的点，则GE+

5•如图，菱形ABCD 中，AB=10. ZB=60°, BE=4, BH=2,点F 从H 岀发沿HA 向A 运动，以EF

为边向右侧作等边在F 点运动过程中，G 运动形成的路径长是（

）

6•如图，在正方形网格中，甲，乙，丙三个质点分别沿着图中的三条路线，都是从A 出发，到达终点

B,其屮屮的路线是A —C —»D—B,乙的路线是A —»£―D —F —丙的路线是则行走路线长最

短的是 _______ ・

C.2.4

D.2.5

2•如图，LL 4BCD 中，边BC=4・8,对角线BD=5, E 、

F, P 是分别是BC, CD, BD ±的点，且EP=

B.2.5

C.2.4

D.2

EF+FG 的最小值为（

）

A.4.8

B.6

A. IO A /3

B.8

D. 4

B.2

7•在矩形ABCD 中，AB=4. BC=3,点E 是射线CD 上的一个动点，把A BCE 沿BE 折叠，点C 的对

应点为八 则线段DF 长的最小值为 ________

8.如图，在厶ABC 中，AC=BC.加=10, E ・F 分别是C4、CB 上的动点，且AE=CF.连结EF,则EF 的最小值为 ____________

3

9.如图，点4的坐标为（一3・0）,点B 在直线y = -x-3上运动，则以线段加为边的正方形加仞的

4

面积的最小值为 _____________ ・

10.如图，皿％中，ZC=90° , ZABC= 30° , D 是射线CB 上一点，将点D 绕着点4顺时针旋转60° 得到点E ，

连结EC,若AC=2,则EC 的最小值为 ___________________________ •

11・如图，矩形48CD 中，AB=6, AD=S 9点E 在边AD ±9且AE ： ED=1： 3,动点P 从点A 出发，沿 AB 运动到

点B 停止，过点E 作EF 丄PE 交射线3C 于点F,设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整 个过程中，求

点M 运动路线的长.

第8题

图 第10题

图

12・如图，菱形加仞中，AD=4, ZB=60° ,点P是BC边上的一点,PE丄AB, PF丄AC,求线段EF长的取值范用.

B P C

13. 如图，在中，ZCAB=6Q° , AC=4, 4B=5, P为三角形内一点，求PA+PB+PC的最小值.

14. 在△ABC中，ZACB=90° , AC=BC=4f M为48的中点，D是射线上一个动点，连结2,将线段4D绕点A逆

时针旋转90°得到线段SE,连结ED, N为ED的中点，连结如V, MN.

(1) 如图1,当BD=2时，AN= ___________ , MN与的位置关系是____________________ :

(2) 当4V BD<8时，

①依题意补全图2：

②判断(1)中MN与&3的位置关系是否发生变化，并证明你的结论：

(3) 连结ME,在点D运动的过程中，求ME的长的最小值.

D C B

图2

专题08四边形的最值问题

思维索引】

例1 •先证△ABE9AD4F,可得AF丄BE,于是在zUBP中，ZAPB=90°,取AB中点0 连接0P, QD,

则QP=1, QD=书,当Q, P, D三点在同一直线上时DP最小，于是DP的最小值为的一 1.

例2.作点A关于BC的对称点F,作FH平行BC, QM平行PF, CH1FH,连接ME,要使得四边形APQE 周长最小，则AP+EQ最小，由作图，AP=FP=MQ.故只需MQ+EQ最小即可，于是任4HME中，EH =6, MH=6.故是等腰三角形，所以AEGC也是等腰直角三角形，所以CG=2,此时BP=8 — 2 — 2=4.

£

例3•如图，作EG丄BC, EH丄MN, AN丄MN, CM丄MN, GP丄AN、先证AEDG竺AEFH,则£H=£G

=2艮则点F在直线MN上运动，AF的最小值就是AN.而AN=AP+PN=1+2宀，

故AF的最小值为1 +2少・

素养提升】

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I. C； 2.B： 3.B：4A； 5.B； 6•丙：7.2： 8.5： 9.一: 10.1：

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II. 如图，因为EM=MF,故M运动形成的路线是直线型，当P在点A处时，F在点G处，M在点N处：

当P在点B处时，尸在点H处，M在点②处，故M形成的路线是线段N0,其值为-GH,设GH=x,在2

△ EGH 中,EH z=x2+6\在ZiEBG 中，EB2=22+62,在中，(F+62) +(2三+62) = (x + 2)X 解得x

= 18,所以点M形成的路线长是9.