指数与指数幂的运算(老师)

指数与指数幂的运算

知识清单：

1．根式的概念

(l)n 次方根的定义

n 次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，推广如下：

①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次

方根是零，设a R ∈，凡是大于1的奇数，则a 的n ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，

负数的偶次方根没有意义．设0a ≥，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是 (2)开方与乘方

求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方

运算相混，如求2的四次方，结果是4

2=16，而求2的四次方根，结果为

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

(3) ①n N ∈，且1n >．

②当n 为大于l a R ∈都有意义，它表示a 在实数范围内唯一的

一个n 次方根，n a =

③当n 为大于1的偶数时，

只有当0a ≥时有意义，当0a <时，无意义.

(0)a ≥表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是(n =a .

④式子

对任意a R ∈都有意义，当n 为奇数时，=a ；当n 为偶数时，

,0,

,0.a a a a a ≥⎧==⎨

-<⎩

例1

2．分数指数幂及幂指数

(1)m n

a 的意义

分数指数幂是指数概念的又一次推广，分数指数幂m n

a 不可理解为

m

n

个a 相乘，它是根

式的一种新的写法，规定m n

a

=

（0a >，m ，n ，都是正整数1n >）

，m

n

a

-

=

1m n

a

=

0a >，m ，n ，都是正整数1n >）.在这样的规定下，根式与分数

指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，’ (2)0的指数幂

0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义． (3)分数指数幂的运算性质

分数指数幂的运算性质，形式上与整数指数幂的运算性完全一致．

如①r

s

r s

a a a

+=（,,0r s Q a ∈>）；②()r s rs a a =（,,0r s Q a ∈>）;

③()r r r ab a b = (,0,0r Q a b ∈>>). (4)无理数指数幂的意义

当0a >，p 是一个无理数时，p

a 的值可用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值

构成的有理数指数幂序列无限逼近而得到（两个序列的极限值就是p a ），故p

a 是一个确定的实数．

(5)幂指数的扩充：

例2 计算（或化简）下列各式：

（1）141030.75

3

327(0.064)()[(2)]16

0.018

-----+-++-

（2）

1122

11112

2

2

2

2a b a b a b a b

a b

-+-⋅-

++.

3．指数式的条件求值问题

(1)化简求值是考试中经常遇到的问题之一．先化简，再求值是常用的解题方法，化简包括对已知条件和所求式子的化简，如果只对所求式子进行化简有时也很难用上已知条件，因此有些题目对已知条件也经常进行化简处理．

(2)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用．

(3)在这类求值化简中，要注意变式、变形、整体代换，以及平方差、立方和、立方差公式的应用，化繁为简，化难为易，创造条件简化运算．

例3 已知112

2

3x x

-+=，求

22332

2

23

x x x x

--+-+-的值.

4．指数运算中的几种变形技巧

常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，现就这类问题的求解方法进行分析． (1)逆用公式

[例]

已知a =

b =

c ，试比较a ,b ,c 的大小．

[解析]

因a ==

b == 而121 <123 <125，所以a >

c >b ，

．

(2)妙用公式变形

引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如:1

121123

3

3

33

3

()()a b a b a a b b +=+-+,11112

2

2

2

()()a b a b a b -=+- 等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解．

[例]

：

4133

223

3

8(14a a b b a

-÷-+

(3)整体代换

在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解． [例] 已知2

310a a -+=，求11

2

2

a a -

+的值．．