指数与指数幂的运算(老师)
指数与指数幂的运算
在经济学中，指数函数和指数幂运算可以用于描 述商品价格和需求量之间的关系。
人口增长
在研究人口增长时，指数函数和指数幂运算可以 用于描述人口随时间的变化趋势。
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指数与指数幂的运算
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2023-12-28
目录
• 指数幂的定义与性质 • 指数的性质与运算 • 指数幂的运算 • 复合指数幂的运算 • 指数与指数幂的应用
01
指数幂的定义与性质
定义
指数幂的定义
指数幂是一种数学运算方式，表示一 个数以另一个数为底数的幂次方。例 如，a^b表示a的b次方。
详细描述
在复合指数幂的运算中，需要遵循幂的乘法法则、除法法则、乘方和开方等基本 运算规则。例如，a^(m^n) = (a^m)^n，a^(mn) = (a^m)^n 等。
复合指数幂的简化
总结词
简化复合指数幂的过程主要是通过提 取公因子、合并同类项和化简表达式 等方式。
详细描述
在简化复合指数幂时，可以提取公因 子，将同类项合并，化简表达式，使 其更易于理解和计算。例如， a^(m+n) = a^m * a^n，a^(m-n) = a^m / a^n 等。
指数幂的性质
指数幂具有一些基本性质，如 a^(m+n)=a^m×a^n，a^(mn)=（ a^m）^n等。
性质
1 3
非零数的0次幂为1
对于任何非零数a，有a^0=1。
任何数的1次幂等于它本身
2
对于任何数a，有a^1=a。
负数的偶次幂为正，奇次幂为负
对于任何负数a，有a^(2n)=（a^2）^n＞0，a^(2n+1)=（a^2）^n＜0（n为自然数）。
指数与指数幂的运算课件
根式
根式的简单性质:
思考1： (n a )n a成立吗?请举例说明. 如 : (3 8 )3 8, (5 2 )5 2, (4 8)4 8, 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
思考2： n an a成立吗?请举例说明.
如: 3 83 8, 3 (2)3 2, 4 84 8, 而6 (2)6 2, 应有：6 (2)6 2 2
bn
an bn
观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
3
312
3
(34 )3
34
12
33;
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81
26=64 (-2)6=64
49的2次方根是7，-7.
记作： 49 7
81的4次方根是3，-3. 记作： 4 81 3
64的6次方根是2，-2. 记作： 6 64 2.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 偶次方根
23=8
8的3次方根是2. 记作：3 8 2.
(-2)3=-8
-8的3次方根是-2. 记作：3 8 2.
(-2)5=-32 27=128
-32的5次方根是-2.记作：5 32 2. 128的7次方根是2. 记作：7 128 2.
1.正数的奇次方根是一个正数, 奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
国家课程校本化：§2.1.1 指数与指数幂的运算(教师用书)
第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数§2.1.1 指数与指数幂的运算【课标解读】 1．理解n 次方根和根式的概念；2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3．学习重点：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；4．学习难点：理解根式根式的概念，掌握根式与分数指数幂之间的转化．【自学导引】1．若n n 33-=- ，则n 的取值集合是 . 【答案】{|21,}n n k k *=+∈N 2．下列说法正确的是（ ） （A ）64的6次方根是2 （B ）664的运算结果是2±（C ）1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立（D ）1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【答案】D3．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）①n m nm a a=； ②10=a ； ③m na-=（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个【答案】A41104325(0.008)()0.253----⨯⨯【答案】π5．无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【答案】逼近【典例精析】【例1】求使等式3)3()9)(3(2+-=--a a a a 成立的实数a 的范围.【答案】{|33}a a -≤≤ 【例2】已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x-+； 【答案】5（2）22x x -+； 【答案】7（3）22x x --； 【答案】± （4）33x x -+. 【答案】5【例3】化简：223410623+--.【自主反馈】 1．（原创题）下列各式正确的是（ ）（A ）42=- （B 2=-（C ）322[(2)]8-=- （D ）x=2．计算：111232217(0.027)()(2)279---+= ．3．已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）①722=+-aa ；②1833=+-aa ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4.【课时作业】1. 根式aa 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（ ） （A ）34-a （B ）34a （C ）43-a（D ）43a2.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x3. 552)()(b a b a -+-的值是( )（A ）0 （B ）)(2b a - （C ）0或)(2b a - （D ）b a -4. 计算122121(2)()2()48n n n n ++*-∈N ⋅的结果为（ ） （A ）461 （B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n5. 与aa 1-的值相等是（ ） （A ）a（B ）a -（C ）a - （D ）a --6. 若11225x x-+=，则21x x+的值是 .7.160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭.8. 使式子34(12)x --有意义的x 的取值范围是 _.9. 若103m=，102n=，则3210m n -的值为 .10.已知22)()()(a b b a b a --=--成立，则b a ,需满足条件 .11. 计算：5.00312603.1232366141+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--.12.已知21na =，求33n nnna a a a--++的值.13.2()a n *=∈N 成立的条件.14.(1)x ≥。
(绝对经典)指数与指数幂的运算
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
4. (a b)2 (a b).
4. (a b)2 (a b).
三、分数指数幂 探究:
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a4 )3 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有
解：a3
a
a3
1
a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂 也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即
2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)
新课讲解
1、n次方根、根式的概念
若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N* 思考 ：类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，
一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？ n ①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 a 表示 ②当n为偶数时, 若a>0,则a的n次方根有2个, 用 n a ( a 0 ) 表 示
3、根式和分数指数幂的互化
m
a
n
n
a (a 0, m , n N )
m *
m
a
n
n
a (a 0, m , n N )
m *
（1）正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意 m 1 义相同.即： n *
a
m
(a 0, m , n N )
a
n
（2）规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义. （3）运算性质仍然适用
例题分析
例3 根式与分数指数幂的互化
无
无
0 ±2 ±3
0 0
2
(2) 4
2
( 3) 9
2
－8 －1 0 8 27
－2
(2) 8
3
－1 0 2 3
( 1) 1
3
0 0
3
2 8
3
3 27
3
思考： ①已知(－2)5= －32，如何描述－2与－32的关系？
②已知(±2)4=16，如何描述±2与16的关系？
52
6 ?
尝试练习
1、 a 2 a 1 a 1, 求 a的 取 值 范 围
2
a 2a 1
2.1.1指数与指数幂的运算(必修一 数学 优秀课件)
a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3
(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2
a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25
1 2
;
1 2
5
16 ; 81
3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b
2.1.1指数与指数幂的运算(一)
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作：
a b c
4. 计算 5 2 6 .
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a .
( 8 ) ;
3
( 2)
4
( 10) ;
2
4
(3 ) ;
( 4)
(a b) (a b).
2
例2 求下列各式的值：
(1) ( 2)
(3)
7
( 2 ) ;
7
4
( 3a 3) ;
4
3
(8) (3 2) (2 3 ) .
3 4 4 3 3
例3 求出使下列各式成立的x的取值范围：
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a .
n
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数． 记作： x n a . ②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)． 记作： x a . ③负数没有偶次方根.
2.1.1指数与指数幂的运算(人教版)说课讲解
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义
新课标人教版必修一指数与指数幂运算课件(共16张PPT)
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
a p (a 0, p是一个无理数)
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
4：指数幂的运算性质：
a a a
r s r s rs r
r s
(a 0, r R, s R)
r
(a ) a (a 0, r R, s R) (a b) a b (a 0, b 0, r R)
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：
a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N * )
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
3：无理数指数幂: 一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无 理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不 足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
高中数学_指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算知识图谱指数与指数幂的运算知识精讲一．方根的定义及性质1.定义：如果存在实数x ，使得()*,1,n x a a R n n N =∈>∈，则把x 叫做a 的n 次方根，求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称为开方运算.2.性质（1）正数a 有两个偶次方根且互为相反数，记作0)n a a ±>；（2）负数没有偶次方根；（3n a n 为奇数，)a R ∈；（4）零的n 次方根都是0()*1,n n N >∈；（5）正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根()*1,n n N>∈.二．根式的定义及性质1.定义：n a n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.性质：（1）()n n a a =；（2）当n n n a a =；（3）当n (0)||(0)n na a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩三．分数指数幂1()p p a p Q a-=∈；m nmna a=(,m n N +∈、且m n 、互质）-1m n nma a =四．实数指数幂幂指数定义底数的取值范围正整数指数n n a a a a =⋅⋅⋅个()n N +∈a R ∈零指数01a =0a ≠且a R ∈负整数指数1n na a-=0a ≠且a R∈正分数指数m n mna a =(,m n N +∈、且m n 、互质）n 为奇数a R ∈n 为偶数0a ≥负分数指数-1m n nmaa =n 为奇数0a ≠且a R ∈n 为偶数a >无理数p a 是一个确定的实数（其中p 为无理数）a >五．实数指数幂的运算性质1.r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；2.rr s s a a a-=(0,0,,)a b r s R >>∈3.()r s r s a a ⋅=(0,,)a r s R >∈；4.() (0,0,)r r r a b a b a b r R ⋅=⋅>>∈；5.() (0,0,)rr r a a a b r R b b=>>∈.三点剖析一．方法点拨1.利用分数指数幂进行根式的运算步骤：（1）先把根式化成分数指数幂；（2）再根据实数指数幂的运算性质进行计算．2.指数式的运算（1）在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中可通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程求解，例如1139x -=（2）带条件的求值问题，常有两种思考方法：①将已知的条件变形，得到所需要的值或关系式；②将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.例如：已知()130a a a -+=>，求22a a -+的值将13a a -+=两边平方得21229a a a a --++= ，即2229a a -++=，所以得到227a a -+=.根式与指数的计算与化简例题1、66(3)π-=____．例题2、设3a ＝2，3b ＝5，则3a ＋b ＝________．例题3、若12a <24(21)a -的结果是（）21a - B.21a -12a- D.12a--例题4、（Ⅰ）已知x+x -1=4，求x 2+x -2的值；（Ⅱ）计算331.5612随练1、若a =333-π（），b 442-π（），则a +b 的值为（）A.1B.5C.-1D.2π-5随练2、下列式子正确的是（）A.log 22=0B.lg10=1C.22×25=21032212-利用公式进行指数运算例题1、式子()13321--⎡⎤-⎣⎦=（）．例题2、已知0a >且0a ≠，且24x a =，327y a =，则x y a +的值为________．例题3、计算：1223256437392748-⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．随练1、求值220.53327492()()(0.008)8925---+⨯=________．带有附加条件的求值问题例题1、已知：a ＋a －1＝2则a 2＋a －2＝________．例题2、已知11223x x-+=，计算下列各式的值（1）x ＋x －1；（2）x 2＋x －2．例题3、已知函数732()2(,)32x x x xb f x ax a b R x -=++-∈+，若f （2017）＝2018，则f （－2017）的值为________．随练1、x 2-3x +1=0，则221x x +=_____.随练2、若1a >，0b >，且22b b a a -+=b b a a --的值为（）6B.2或2-C.2- D.2拓展1、a a a 的值为（）A.14a B.25aC.78aD.58a2、33(2)π-2(3)π-的值为（）A.5B.1- C.2π5- D.52π-3、已知11-225a a -=22_____a a -+=。
张伟虹指数与指数幂的运算(一)
n
3 = 27 x （2）x = 81 （4） ） ）
4
(1) x= ± 4 =± 2 ; (3) x= 3 3 3 = 3 ; (5) x= n 0 =0 ; 解:
(3) 3 = -3 ; （2）x= ± 3 =± 3; (4) x=
4 4
3
, ），则 当 n = 2k， a > 0（ k ∈ Z *），则 x n = a x = ± n a;
），则 当 n = 2 k + 1，（ k ∈ Z ），则 x = a x =*ຫໍສະໝຸດ nnna;
a = 0.
是正整数， 当 n 是正整数， a = 0，
则xn = 0 x =
性质 （1） ( a ) = a ）
n n
（2） a ）
n
n
=？ ？
(1)
4
4
2 = 2
4
4
(2)
3
3
3 = 3
3
3
(3) (2) = 2
性质（ ） 性质（2）
(4) (3) = -3
a, a ≥ 0; n = | a| = n 为偶数时， 当n 为偶数时， a a, a ≤ 0. 为奇数时， 当n 为奇数时， n an =a； ；
例1：求下列各式的值。 （1） 3 (8)3 ； （2） (10) 2 ； 2 （3）4 (3 π ) 4 ；（4） (a b)（a >b ）. （5） 5 10 ; （6） 4 a12 .
指数与指数幂的运算
主讲人： 主讲人：张伟虹
平方根 ）。 如果 x 2 =a，则x 叫做a 的（ 如果 x 3 = a ，则x 叫做 a 的（ 立方根 ）。 依次类推： (±2) 4 = 16，我们就把 ± 2叫做 16 的（ 2 4 次方根 ，我们就把 2 叫做 32 的 （ 5
2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件
9 ( 3 8)3 ____. -8 ( 9) ____, n n ( a) a
2
(1)
5
25 2,
3
（ 2 3 2. ）
(2) 32 3,
(3)2 3,
(3)2 3.
(3) 4 24 2, 4 (2)4 2, 4 2 4 2. （ ）
x 2 x 2 ( x 2) x 2. x 2 0, 则有 x 2 0, 或 | x 2 | x 2. x 2, x 2, 或 即 x 2, 或x ≥ 2. x 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x 2, 或x ≥ 2.
§2.1.1指数与指数幂的运算
回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a
的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.
§2.1.1指数与指数幂的运算
3.三个公式 (1) an Nhomakorabean
a;
(2) n a n a;
(3) a | a | .
n n
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a, n为奇数, n a , n为偶数, a 0, x a 0, 0, 不存在, n为偶数, a 0.
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 3 2. ）
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.填空: (1)在 6 ( 2)2 n , 5 a 4 , 3 a 4 , 4 ( 3)2 n1
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)(中学课件2019)
器也 天下謷謷然 坐法失官 以天地五位之合终於十者乘之 观玉台 或召见 不绌无德 靡有解怠 可不勉哉 属常雨也 变动不居 讲习《礼经》 退之可也 千人 死有馀罪 更节加黄旄 有常节 因谋作乱 勿听 因矫以王命杀武平君畔 王治无雷城 为所称善 兴不从命 王尊字子赣 骏以孝廉为郎 案卫思
后 戾太子 戾后园 《法言》十三 虽复破绝筋骨 国除 羲和司日 天子独与侍中泰车子侯上泰山 避帝外家 今闻错已诛 拔城而不得其封 及眊掉之人刑罚所不加 亦亡去 乃敢饮 去食谷马 其明年 愿陛下与平昌侯 乐昌侯 平恩侯及有识者详议乃可 上从相言而止 知吏贼伤奴 处巴江州 戒太子曰 即
也 又一切调上公以下诸有奴婢者 中分天下 申子主之 承圣业 并州 平州尤甚 晋史卜之 云梦泽在南 三月癸卯制书曰 其封婕妤父丞相少史王禁为阳平侯 自此始也 止王南越 耕耘五德 甲辰 周殷反楚 还 其以军若城邑降者 大举九州之势以立城郭室舍形 而山戎伐燕 云廷讦禹 而汉亦亡两将军
时杀人民 此天以臣授陛下 若齐之技击 曰上崩 武闻之 为水 呼韩邪破 自君王以下咸食畜肉 非胙惟殃 所以存亡继绝 成命统序 东济大河 此两统贰父 蹶浮麋 所以变民风 此所以成变化而行鬼神也 并终数为十九 行至塞 宣之使言 盖堤防之作 迁乐浪都尉丞 有日蚀 地震之变 农民不得收敛 深
•今秦无德 羽大怒 曹参次之 上曰 善 於是乃令何第一 民皆引领而望 二 欲人变更 蓼 广如一匹布 斩其王还 毋须时 於水则波 去日半次 太公治齐 上思仲舒前言 因为博家属徙者求还 周勃为布衣时 故与李斯同邑 或闭不食 莽曰监朐 《汉流星行事占验》八卷 法而陈之 何为苦心 语在《宪王
传》 淮阳阳夏人也 害五谷 而曰豫建太子 后年入朝 台子通为燕王 珠熉黄 秦民失望 刻印三 一曰 维祉冠存己夏处南山臧薄冰 世以此多焉 稍夺诸侯权 汝复为太史 大夫 谒者 郎诸官长丞皆损其员 更化则可善治 布召见 因惠言 匈奴连发大兵击乌孙 景驹自立为楚假王 大置酒 太后诏曰 太师
指数与幂的运算
指数与幂的运算一、引言指数与幂是数学中常见的运算方式，广泛应用于各个领域中。
本文将从基本概念、运算规则、应用举例等方面探讨指数与幂的运算。
二、基本概念1. 指数：指数是表示幂运算中乘方的次数。
通常用于表示以某个数为底数的幂。
2. 幂：幂是指底数进行多次乘法运算得到的结果。
底数与指数的关系可以表示为底数的指数次幂。
三、运算规则1. 同底数相乘：当同一个底数的指数相加时，可以将同底数的乘法转换为指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 同底数相除：当同一个底数的指数相减时，可以将同底数的除法转换为指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 幂的乘方：对幂进行乘方运算时，可以将幂的乘方转换为指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
4. 幂的乘法：当幂相乘时，可以将幂的乘法转换为指数相乘。
例如，(a^m) * (b^m) = (a*b)^m。
四、应用举例1. 科学计数法：科学计数法是一种使用指数和幂的方式来表示极大或极小的数值。
例如，10^3可以表示为1,000，而10^(-2)可以表示为0.01。
2. 函数运算：在函数中，指数与幂的运算经常用于描述函数的增长和衰减规律。
例如，指数函数y = a^x表示自变量x的指数增长，而幂函数y = x^a表示自变量x的幂函数关系。
3. 概率计算：概率计算中，指数与幂的运算常用于计算复杂事件的概率。
例如，在组合问题中，可以将不同事件的概率乘积转换为指数相加的形式，简化计算过程。
五、总结指数与幂是数学中常见的运算方式，通过指数和幂的运算规则，可以简化复杂的计算过程。
指数与幂的应用广泛，包括科学计数法、函数运算和概率计算等领域。
熟练掌握指数与幂的运算规则，有助于提高数学运算的效率和准确性。
六、参考文献[待补充]注：本文中的示例仅为说明目的，并非具体的数学定理或应用。
如需了解更详细的内容，请参考相关数学教材或专业文献。
指数与指数幂的运算课件
分数 1
指数 幂
负分数指 数幂
m
规定：a－n
＝
1m＝_n__a_m__(a>0，m，n∈N*，且n>1)
an
性质 0的正分数指数幂等于__0_,0的负分数指数幂_无__意__义_
2.有理数指数幂的运算性质
( 1 ) a r a s ＝ _ _ _ _ _ _a_r＋_s_ _ ；
( 2 ) ( a r ) s ＝_ _ _ _ _a_rs； ( 3 ) ( a b ) r ＝ _ _ _ _ _a_rb_r_ _ _ .
3．无理数指数幂
无理数
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_________．有理
数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
(1)分数指数幂的理解及应用
m
①a n
是根式的一种书写形式，不可理解为mn 个a相乘，一
定要与an的意义分开．
②分数指数幂实现了根式与分数指数幂的相互转化，其规
律为：
(1)解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式性质进行化简．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨 论．
根式与分数指数幂的互化
(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x)2 (x>0)
6 B.
根式的性质
(1)设－3<x<3，则 x2－6x＋9 ＋ x2＋6x＋9 ＝ ________.
(2)化简( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3＝________.
[思路探究]
n 1.
an的值是什么？
2．化简 a的关键点是什么？
数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1， 且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂 探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3
a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂 根式 两个等式
分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)
人教A版高中数学必修1课件：2.1.1指数与指数幂的运算—分数指数幂(共17张PPT)
8
2 3
，100－ຫໍສະໝຸດ 2，（1）－3，（16
）－43
4
81
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
a3 a ； a2 3 a2； a 3 a
例3.计算下列各式(式中字母都是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
例：化简
（1）x2 y 2
2
2
x2 y 2
2
2
x 3y 3 x 3y 3
4
1
(2) 2 a3
a 3 8a 3b
2
2 3 ab 4b 3
(1 2 3
b ) 3 a
a
注：化简结果没有统一形式，一般用分数 指数幂表示，但结果不能同时含有根号和 分数指数幂也不能既含有分母又含有负指 数，结果要化为最简。
2
3 a 2 a 3 是否可行？
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
注意两点: 一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；
二是根式与分数指数幂可以可以互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制， 行不行？
问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数 指数幂？
（5）5（ 2）5 _-2__,7 (3)7 _-_3___
（6）6 (4)6 __4__,4 54 __5____.
二.讲授新课
问题1：观察 5 a10 a2 , 3 a12 a4
结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系？
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指数与指数幂的运算
知识清单：
1．根式的概念
(l)n 次方根的定义
n 次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，推广如下：
①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次
方根是零，设a R ∈，凡是大于1的奇数，则a 的n ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，
负数的偶次方根没有意义．设0a ≥，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是 (2)开方与乘方
求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方
运算相混，如求2的四次方，结果是4
2=16，而求2的四次方根，结果为
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3) ①n N ∈，且1n >．
②当n 为大于l a R ∈都有意义，它表示a 在实数范围内唯一的
一个n 次方根，n a =
③当n 为大于1的偶数时，
只有当0a ≥时有意义，当0a <时，无意义.
(0)a ≥表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是(n =a .
④式子
对任意a R ∈都有意义，当n 为奇数时，=a ；当n 为偶数时，
,0,
,0.a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
例1
2．分数指数幂及幂指数
(1)m n
a 的意义
分数指数幂是指数概念的又一次推广，分数指数幂m n
a 不可理解为
m
n
个a 相乘，它是根
式的一种新的写法，规定m n
a
=
（0a >，m ，n ，都是正整数1n >）
，m
n
a
-
=
1m n
a
=
0a >，m ，n ，都是正整数1n >）.在这样的规定下，根式与分数
指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，’ (2)0的指数幂
0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义． (3)分数指数幂的运算性质
分数指数幂的运算性质，形式上与整数指数幂的运算性完全一致．
如①r
s
r s
a a a
+=（,,0r s Q a ∈>）；②()r s rs a a =（,,0r s Q a ∈>）;
③()r r r ab a b = (,0,0r Q a b ∈>>). (4)无理数指数幂的意义
当0a >，p 是一个无理数时，p
a 的值可用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值
构成的有理数指数幂序列无限逼近而得到（两个序列的极限值就是p a ），故p
a 是一个确定的实数．
(5)幂指数的扩充：
例2 计算（或化简）下列各式：
（1）141030.75
3
327(0.064)()[(2)]16
0.018
-----+-++-
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+-⋅-
++.
3．指数式的条件求值问题
(1)化简求值是考试中经常遇到的问题之一．先化简，再求值是常用的解题方法，化简包括对已知条件和所求式子的化简，如果只对所求式子进行化简有时也很难用上已知条件，因此有些题目对已知条件也经常进行化简处理．
(2)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用．
(3)在这类求值化简中，要注意变式、变形、整体代换，以及平方差、立方和、立方差公式的应用，化繁为简，化难为易，创造条件简化运算．
例3 已知112
2
3x x
-+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值.
4．指数运算中的几种变形技巧
常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，现就这类问题的求解方法进行分析． (1)逆用公式
[例]
已知a =
b =
c ，试比较a ,b ,c 的大小．
[解析]
因a ==
b == 而121 <123 <125，所以a >
c >b ，
．
(2)妙用公式变形
引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如:1
121123
3
3
33
3
()()a b a b a a b b +=+-+,11112
2
2
2
()()a b a b a b -=+- 等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解．
[例]
：
4133
223
3
8(14a a b b a
-÷-+
(3)整体代换
在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解． [例] 已知2
310a a -+=，求11
2
2
a a -
+的值．．
(4)化异为同
[例]
计算2008
2009
（5）化负为正
[例] 化简11444242
x x
x x --+++。
例4 已知12x y +=，9xy =，且x y <，求
12
112212
x y x y
-+的值。
例5 （1
）已知21n
a
=，求33n n
n
n
a a a a --++； （2）若1112
2
2
a a
x -
+=，0x >
的值.。