判断二次型是否半正定例题

判断二次型是否半正定例题
为了判断一个二次型是否半正定，我们可以使用主元法。

具体来说，我们需要将二次型表示成标准形式：
$$
f(x_1,x_2,cdots,x_n) = a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + cdots +
a_nx_n^2
$$
其中 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 是主元，需要满足 $a_i geq 0$。

我们可以使用初等变换将二次型转化为标准形式。

对于给定的二次型 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，我们可以构造一个 $ntimes n$ 的矩阵 $A$，其中 $A_{i,j}$ 是系数 $x_ix_j$ 的系数。

也就是说，
$$
A = begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & cdots & a_{1,n}
a_{2,1} & a_{2,2} & cdots & a_{2,n}
vdots & vdots & ddots & vdots
a_{n,1} & a_{n,2} & cdots & a_{n,n}
end{pmatrix}
$$
我们可以使用初等变换将矩阵 $A$ 转化为对角矩阵 $D$，也就是说，存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $D = P^TAP$。

这样我们就可以
得到二次型的标准形式：
$$
f(x_1,x_2,cdots,x_n) = lambda_1y_1^2 + lambda_2y_2^2 + cdots + lambda_ny_n^2
$$
其中 $y_i = P_{i,1}x_1 + P_{i,2}x_2 + cdots + P_{i,n}x_n$，$lambda_i$ 是主元，需要满足 $lambda_i geq 0$。

回到我们的例题，我们可以构造矩阵 $A$：
$$
A = begin{pmatrix}
2 & 2 & -2
2 &
3 & -4
-2 & -4 & 4
end{pmatrix}
$$
我们需要使用初等变换将矩阵 $A$ 转化为对角矩阵 $D$。

首先，我们可以将第一行和第二行相加，得到：
$$
begin{pmatrix}
4 &
5 & -6
2 &
3 & -4
-2 & -4 & 4
$$
然后，我们可以将第一列和第二列相加，得到：
$$
begin{pmatrix}
4 &
5 & -6
5 & 7 & -8
-6 & -8 & 4
end{pmatrix}
$$
接着，我们可以将第一行乘以 $7/4$，再减去第二行乘以 $5/4$，得到：
$$
begin{pmatrix}
3.5 & 0 & -2.5
5 & 7 & -8
-6 & -8 & 4
end{pmatrix}
$$
然后，我们可以将第一列乘以 $2/5$，再减去第二列乘以 $7/5$，得到：
$$
3.5 & 0 & 0
0 & 7 & -8
0 & -8 & 4
end{pmatrix}
$$
这样，我们得到了对角矩阵 $D$，其中 $lambda_1 = 3.5$，$lambda_2 = 7$，$lambda_3 = 4$。

由于所有的主元都大于等于 $0$，所以这个二次型是半正定的。

因此，我们可以得到结论：二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3$ 是半正定的。