上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题

交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数1sin 22y x =的最小正周期T =__________； 【答案】π 【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可 详解：由三角函数的周期公式可知： 函数122y sin x =的最小正周期22T ππ== 故答案为π点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =______．【答案】0 【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即2222ax x ax x -=--， 整理得20ax =在R 上恒成立， ∴0a =． 故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 3. 若集合{}2A x x =<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A B =______．【答案】{}12x x -<<## ()1,2- 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合A ，求解分式不等式求得集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-，故可得A B ={|12}x x -<<.故答案：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -=_____【答案】3 【解析】 【分析】欲求1(10)f-,根据原函数的反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =的值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去） 那么1(10)3f-=故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}1 【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.7. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B 、，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数12y x y x αα==、的图像三等分，即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【答案】1 【解析】【分析】求出,M N 的坐标，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==， 所以12(,)33M ，21(,)33N ，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α，21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α，则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα，所以121=αα． 故答案为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________． 【答案】[2,)+∞. 【解析】 【分析】根据01a <<和1a >两种情况讨论，令()0f x ≥，得出不等式，即可求解.【详解】当01a <<时，令()0f x ≥，可得20a -≥，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当1a >时，令()0f x ≥，可得20a -≥，即2a ≥，即实数a 的取值范围[2,)+∞， 综上可得，实数a 的取值范围[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞.9. 已知函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则实数a 的值为_________． 【答案】-2 【解析】【分析】根据函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，分()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解. 【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，所以当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增时，()f x 的最小值为(0)12f =≠-，不成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减时，()f x 的最小值为()22f a π==- ， 此时()()2sin cos 5,04f x x x x πϕϕ⎛⎫=-+=--<< ⎪⎝⎭， 因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,22x ππϕ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调时，()2()sin cos 1sin ϕ=+=++f x a x x a x ， 令212a -+=-，解得 3a =3a =当 3a =()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以 min ()1f x =，不成立；当3a = ()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，min ()3f x =-，不成立；故实数a 的值为-2， 故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=；②存在实数α，使3sin cos 2αα+=；③5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程；⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>． 其中所有正确命题的序号是_____________． 【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 22,24πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝，因为()cos 2cos2x x -=， 所以函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但2sin sin 2==αβ，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞- 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出41ln x x e x a x---≤，利用已知条件求出函数41ln x x e x y x ---=在()1,+∞上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】1x >，ln 0x ∴>，由4ln 1x x e a x x --≥+可得44ln 11ln ln x x x x e x e x a x x------≤=， 由于不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且存在01x >，使得()0004ln 0g x x x =-=，所以，()4ln 4ln 1114ln ln x x x x x e x x x--+----≥=-，当且仅当0x x =时，等号成立，4a ∴≤-.因此，实数a取值范围是(],4-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12. 设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212mn m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l ，r ，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r ，弧长l ，则24 112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =， 所以圆心角为 2lr=， 故选：A.14. 对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B. 3和1C. 2和4D. 1和2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c和Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数．解：f （1）=asin1+b+c 和 f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c 和 和+和得：f （1）+f （﹣1）=2c 和c和Z和f （1）+f （﹣1）是偶数 故选D考点：函数的值．15. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 16. 设函数3()22,||1xxf x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ）A. 12p p ､中仅1p 是q 的充分条件B. 12p p ､中仅2p 是q 的充分条件C. 12p p ､都不是q 的充分条件D. 12p p ､都是q 的充分条件 【答案】D 【解析】【分析】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0.()()0()()f a f b f a f b +≥⇒≥-，即g (a )＋h (a )≥－g (b )－h (b )， 即g (a )＋h (a )≥g (－b )＋[－h (b )]，①当a ＋b ≥0时，a ≥－b ，故g (a )≥g (－b )，又h (x )＞0，故h (a )＞－h (b )，∴此时()()0f a f b +，即1p 是q 的充分条件；②当220a b a b ≥-⇒≥时，a ≥0，a b a ≤≤a b a -≤-≤(i)当a ≥1时，a a b ≤a ，故g (a )≥g (－b )；此时，h (a )＞0，－h (b )＜0，∴h (a )＞－h (b )，∴()()0f a f b +成立； (ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即()()0f a f b +成立； (iii)∵g (x )在R 上单调递增，h (x )在(－∞，0)单调递增， ∴()()()f x g x h x =+在(－∞，0)单调递增， ∵f (－1)＝0，∴f (x )＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x ≥0时，g (x )≥0，h (x )＞0，∴f (x )＞0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a a ＜1，11a b a -<≤≤，∴f (a )＞0，f (b )＞0， ∴()()0f a f b +成立.综上所述，20a b -时，均有()()0f a f b +成立，∴2p 是q 的充分条件. 故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f (x )拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. 和1）求实数a取值范围；和2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】和1和[1,0]- ;和2和见解析. 【解析】【详解】试题分析和和1和由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析和和1）令101xx+>-，解得11x -<<和所以()1,1A =-和 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤和即实数a 的取值范围是[]1,0-和2和函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭和11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．和1和①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ表达式，并写出θ的范围：②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 表达式，并写出x 的范围： 和2和怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 【答案】（1）①400s ()in 2g θθ=()2cm，π02θ<<；②24()200x g x θ=-()2cm ，020x <<.（2）当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm 【解析】【分析】（1）①用BOC θ∠=和半径表达出边,AB BC ，进而表达出面积并写出θ的取值范围，②用(cm)BC x =表达出222400AB OB x ==-x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接OC ，则20OC =cm ，sin 20sin BC OC θθ=⋅=cm ，cos 20cos OB OC θθ=⋅=cm ，则40cos AB θ=cm ，则800sin cos 400)2(sin g AB BC θθθθ⋅===()2cm ，π02θ<<.②连接OC ，则20OC =cm ，由勾股定理得：2400OB x =- cm ，222400AB OB x ==-cm ，则20()240AB BC x x g θ⋅==-()2cm ，020x <<，【小问2详解】由（1）知：400s ()in 2g θθ=，π02θ<<，所以()20,πθ∈，当π22θ=，即π4θ=时，400s ()in 2g θθ=取得最大值，最大值为4002cm ，此时π40cos202cm 4AB ==，π20sin1024BC ==cm ，所以当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=．（e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．和1和解方程：()cosh 2x =；和2和类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：()sinh x y +=________，并证明；和3和若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(ln 23x =+或(ln 23x =；（2）()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，证明见解析；（3）74a ≥. 【解析】【分析】（1）由已知可得出2e 4e 10x x -+=，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知e e 12t t a --≥+恒成立，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由()e e cosh 22x xx -+==，可得2e 4e 10x x -+=，可得e 23x =±(ln 23x =或(ln 23x =.【小问2详解】解：()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+， 右边()()()()()()()()e e e e e +e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y y x y x y ----=-++-+=()e e e e e e e e e e sinh 42x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yx y +----+----+--+--+-+--===+.【小问3详解】解：[]0,ln 2t ∈，则1e 2t≤≤，则()()e e e e sinh cosh 22t t x xa t x ---+=+=+， 所以，e e e e e e 122t t x xx x a ----+-=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则e e 12t ta --≥+恒成立，因为函数e ty =、e ty -=-均为[]0,ln 2上增函数，故函数()e e 12t tg t --=+在[]0,ln 2上为增函数，所以，()()max 7ln 24a g t g ≥==. 20. 对闭区间I ，用I M 表示函数()y f x =在I 上的最大值． 和1和对于4()f x x x=+，求[1,4]M 的值：和2和已知()sin cos 32f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()y f x =偶函数，[,]3a b M =b a -的最大值：和3和已知()sin f x x =，若有且仅有一个正数a 使得[0,][,2]a a a M kM =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5 （2）43π（3）112k << 【解析】【分析】小问1：判断()y f x =的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得2a =，根据()y f x =的最大值判断,a b 范围，即可求解； 小问3：讨论01k <<与1k ≤，当[0,][,2]a a a M kM =时，判断正数a 的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意[]12,2,4∈x x ，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4()f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增； 又44(1)15(4)4514f f =+=+＝，＝ 所以[1,4]5M = 【小问2详解】由于()y f x =偶函数，所以()()66f f ππ-= 则sin cos sin cos 63626362a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得2a =则()2sin cos 332f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[,]3a b M =522,33k a b k k Z ππππ+≤<≤+∈ 故b a -的最大值为43π. 【小问3详解】①当01k <<时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M <，所以02a π<<，若04a π<<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin 22sin cos a a a a a M ==所以sin 2sin cos a k a a =，得1cos 2a k=； 若102k <≤时，有[)1cos 1,2a k=∈+∞，此时a 无解； 若122k <<时，有12cos ,122a k ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，此时a 有一解； 21k ≤<时，有112cos 22a k ⎛=∈ ⎝⎦，此时a 无解； 若42a ππ≤<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin12a a M π==所以sin a k =，因为2sin a ⎫∈⎪⎪⎣⎭若102k <≤时，此时a 无解，若1222k <<时，此时a 无解； 若212k ≤<时，此时a 有一解； ②当1k ≤时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M ≥，所以2a π≤，有[0,]sin12a M π==，则[,2]1a a kM =若1k =，则[,2]1a a M =得π2a 或54a π=等，若1k <，[,2]1a a k M =，则1sin a k =或1sin 2a k =，在5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a必有两解．综上所述：112k << 21. 定义域为R 的函数()y f x =，对于给定的非空集合A ，A ⊆R ，若对于A 中的任意元素a ，都有()()f x a f x +≥成立，则称函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”. （1）给定集合{}1,1A =-，函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”，求证：函数()y f x =是周期函数；（2）给定集合{}1A =，()2g x ax bx c =++，若函数()y g x =是“集合A 上的Z -函数”，求实数a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合[]0,1A =，函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，求证：“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”． 【答案】（1）证明见解析； （2）0a =，0b ≥，R c ∈； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）推导出()()1f x f x ≥+且()()1f x f x +≥，可得出()()1f x f x =+，由此可证得结论成立；（2）由已知可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，由此可得出a 、b 、c 所满足的条件；（3）利用Z -函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1f x f x -≥，可得()()1f x f x ≥+， 对任意的R x ∈，()()1f x f x +≥，所以，()()1f x f x =+， 因此，函数()y f x =为周期函数. 【小问2详解】解：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1g x g x +≥，即()()2211a x b x c ax bx c ++++≥++，可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，所以，200a a b =⎧⎨+≥⎩，即0a =，0b ≥，R c ∈.【小问3详解】证明：若函数()y h x =是周期函数，设其周期为()0T T >， 因为函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，则存在()10,1a ∈、N k *∈，使得()111ka T k a ≤≤+， 所以，1101T ka a ≤-≤<，()1011k a T a ≤+-≤<， 对任意的0R x ∈，()()()()()()0010101100h x h x a h x ka h x ka T ka h x T h x ≤+≤≤+≤++-=+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()001010h x h x a h x ka h x T =+==+=+，所以，对任意的[]00,x x x T ∈+，()()0h x h x =， 对任意的Z n ∈，()()00h x h x nT =+， 并且[][][]000000R 2,,,x T x T x T x x x T =---+，所以，对任意的R x ∈，()()0h x h x C ==为常数， 即“()y h x =是周期函数”⇒“()y h x =是常值函数”；若函数()y h x =是常值函数，对任意的R x ∈、a A ∈，()()h x a h x +≥成立， 且()12h x h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，函数()y h x =是周期函数. 即“()y h x =是周期函数”⇐“()y h x =是常值函数”.综上所述，“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z -函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。