第2课 垂径定理

第24章 圆

第

2课时 垂弦定理 新知探究

探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？

结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。

探究二：

如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？

相等的线段：__________________

相等的弧： _____=______；_____=______。

【知识点一】垂径定理及其推论

垂径定理：

文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

数学语言：∵①CD 是⊙O 的直径， ②CD ⊥AB 于M

∴①MA=MB ；②弧AC=弧BC ；③弧AD=弧BD 。

垂径定理的推论：

文字语言：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

数学语言：∵①CD 是⊙O 的直径， ②MA=MB

∴①CD ⊥AB 于M ；②弧AC=弧BC ；③弧AD=弧BD 。

判断对错：

（ ）1、垂直于弦的直径平分这条弦。

（ ）2、平分弦的直径垂直于这条弦。

（ ）3、平分弦的直线必垂直弦。

（ ）4、弦的垂直平分线经过圆心。

（）5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。

（）6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。

（）7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。

（）8、垂直于弦的直线必经过圆心。

【知识点二】用垂径定理解决问题

例1 、如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB的长.

例2、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，

是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，

它的跨度（弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到

弦的距离）为7.23米，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留

小数点后一位）；

例3、为改善市区人居环境，某市建设污水管网工程，某圆形水管的直径为50cm, 若管内污水的面宽AB=40cm，求污水的最大深度；

三．练习

1、如图1，已知⊙O的半径为5,弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM长的范围是____________。

图1 图2 图3

2、如图2，已知CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若DE=8cm,CE=2cm,则AB=_____cm;

3、已知点P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过点P最长的弦长为____，最短的弦长

为_____；

4、如图3，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则 AB=___cm, ∠AOB=____.

5、如图4，P为⊙O内一点，且OP＝2 cm，⊙O的半径是3 cm，则过P点最短的弦长为__________.

图4 图5 图6

6、如图5，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径；

7、如图6，⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求弦BC的长；

8、如图，在半径为5cm的⊙O中，弦CD⊥AB，垂足为点E，若CE=3cm，DE=5cm，求AB的长；

9、⊙O的半径为13cm，弦AB ∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离；

10、如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD

11、如图弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，求这弓形所在的圆的半径。

12、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.

求证：四边形ADOE是正方形。