第2课 垂径定理
第二十四章 第2课 垂径定理
∠OMC＝∠OND＝90°
在 Rt△ ODN 与 Rt△ COM 中，∠COM＝∠NDO
，
OC＝OD
∴Rt△ ODN≌Rt△ COM.∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN 又∵OC2＝CM2＋OM2, OD2＝DN2＋ON2.∴OC2＝CM2＋PN2， OD2＝DN2＋PM2. ∴OC2 ＋ OD2 ＝ CM2 ＋ PN2 ＋ DN2 ＋ PM2 ＝ PC2 ＋ PD2.∴PC2 ＋ PD2＝2×52＝50.
7．如图，⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE＝2，EB＝ 6，∠DEB＝45°，求弦 CD 的长．
解：过点 O 作 OH⊥CD，垂足为 H. ∵AE＝2，EB＝6， ∴OA＝OB＝4，OE＝OA－AE＝4－2＝2. ∵∠DEB＝45°，∴OH＝2× 22＝ 2. ∴HD＝ 42－ 22＝ 14.∴CD＝2 14.
(1)证明：∵OQ 是弦 CD 的弦心距，∴CQ＝DQ， OQ⊥CD.
答案图 ∵∠APC＝45°，∴∠QOP＝45°.∴OQ＝PQ. ∴PQ＝PC－CQ＝PC－DQ＝PC－PQ－PD.∴PC－PD＝2PQ ＝2OQ.
(2)解：作 CM⊥AB 于 M，DN⊥AB 于 N，连接 OC，OD，∴∠NDP ＝∠MCP＝∠APC＝45°. 又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP.∴∠NDO＝∠COM，
证明：(1)连接 OA，OC，OB，OD，过点 O 作 OE⊥AB 于 点 E. 根据垂径定理可得：AE＝BE，CE＝DE. ∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE， ∴AC＝BD.
(2) 解：由(1)可知 OE⊥AB，OE⊥CD， ∵OA＝10，OC＝8，OE＝6， ∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
人教版九年级数学上册《第一单元_课时2_圆的轴对称性—垂径定理》名师教学设计
《圆的轴对称性——垂径定理》教学设计一、教学内容分析小学时，我们已经知道，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.也就是说，将圆沿着直径所在的直线对折，直线两侧的部分完全重合.这点学生通过动手操作不难理解，但是该如何证明呢？这是本课时首先要解决的问题.教科书中提供了一种证明轴对称的常用方法，即在圆上任意选取一点，证明该点关于给定对称轴（直径所在直线）的对称点也在圆上，这种证明轴对称的方法需要学生理解掌握.垂径定理将圆的轴对称性具体化、符号化，我们可以由下面这个问题引入垂径定理.如果我们在⊙O 中任意画一条弦AB ，观察图形（见下），它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？有几条呢？同学们通过动手实验不难得出，此时只要作出垂直于弦AB 的直径，沿着直径所在直线对折，图形的左右两边就可以完全重合，即图形关于该直径所在直线成轴对称.显然，我们只能找到一条这样的直径，因此图形只有一条对称轴.我们不妨设直径CD 与弦AB 垂直相交于点P （如图），观察图形，想想你能找出图中隐含的哪些相等关系.如图所示，通过动手操作发现：将⊙O 沿直径CD 所在的直线对折，CD 两侧的半圆重合，点A 与点B 重合，C A =BC ，D A = BD ，AP=BP.根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线段，我们可以得到，直线CD 是弦AB 的中垂线.学生通过直观感受总结出垂径定理的内容，接下来要引导学生通过严谨的逻辑推理来验证结论的正确性，这也体现了探究图形性质的科学过程.让学生分组讨论证明方法，引导学生构造辅助线，通过全等的知识证明垂径定理.上述图形结构特征可以概括为：（1）直径（半径或过圆心的直线）； （2）垂直于弦； （3）平分弦； （4）平分优弧； （5）平分劣弧.可以证明：由（1）（2）可以推出（3）（4）（5）. 即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.我们把圆的这个性质叫做垂径定理. 符号语言：如右图，∵直径CD ⊥AB 于P ， ∴C A =BC ，D A = BD ，AP=BP.引发学生思考：由（1）（3）是否可以推出（2）（4）（5）呢？ 即平分弦（非直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧. 上述结论可以通过全等三角形的知识证明，我们把圆的这个性质叫做垂径定理的推论.此处一定强调“非直径”，因为任意两条直径都是互相平分的，但并不一定都垂直.符号语言：如右图，∵直径CD 与弦AB 相交于P ，且AP=BP ， ∴C A =BC ，D A = BD ，CD ⊥AB.通过类比学习，引导学生思考：知道上述5个条件中两个条件是否就可以推导出其他3个结论呢？总结为“知二推三”，也就是说垂径定理有9个推论，这个可以留给学生课后分组讨论研究. 二、学情分析学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质、等腰三角形的对称性，以及证明垂径定理要用到的三角形全等的知识，并且在小学已初步了解了圆的对称性，具备了学习这节课的知识基础；学生通过学习平行四边形、角平分线、中垂线等几何内容，已经掌握了探究图形性质的不同手段和方法，具备了几何定理的分析探索和证明能力.但是垂径定理及其推论的条件和结论复杂，学生难以理解并应用. 三、教学目标1.通过观察、实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理，理解其证明过程，并会用它解决有关的证明与计算问题.3.掌握垂径定理的推论，理解其证明过程，并会用其解决有关的证明与计算问题.4.通过对定理的探究，提高观察、分析和归纳概括能力. 重点难点垂径定理及其推论的内容与证明是本节课学习的重点和难点. 四、评价设计.学习评价量表标准等级会用文字语言、图形语言、符号语言描述垂径定理 A 会用文字语言、图形语言、符号语言描述垂径定理的推论 A 会证明垂径定理及其推论 C 能利用垂径定理及其推论解决简单的计算问题Ｂ能利用垂径定理及其推论解决简单的证明问题Ｃ五、教学活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动导入新知问题1 约1400年前，我国隋代建造的赵州石拱桥（如图）主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果精确到0.1 m）．1.分析实际问题，将其转化为数学模型.赵州桥的桥拱呈圆弧形，如图，C为弧AB的中点，且CD⊥AB.已知CD=7.23 m，AB=37m，求该圆的半径.学生猜测（1）：AD=BD.学生猜测（2）：CD过圆心.不过该如何证明呢？带着这个问题进行本节课的学习.通过实际问题导入新知，引发学生思考，激发学习兴趣.探究新知问题 2 请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？哪些弧相等？2.（1）沿着直径将圆翻折，圆的直径两边的部分能够完全重合.圆是轴对称图形，直径所在直线为圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴.（2）连接关于直径所在直线对称的两个点所形通过动手操作——沿着直径折叠圆，让学生直观感受圆的轴对称性，体会观察、实验在选定一条直径，在圆上任取一点，证明该点关于已知直径所在直线的对称点也在圆上.3.（1）作AB⊥CD，交⊙O 于B点，若能证明AP=BP即可.（2）连接OA，OB，通过三角形全等可以得到AP=BP.所以B为A的对称点.A B.=BC，D=D（2）可以从圆的轴对称性质出发证明，只要证明A和B是关于直线CD的对称点即可.连接OA，OB，通过证明△OAP与△OBP 全等，得到AP=BP，说明DC所在直线为线段AB的对称轴根据圆的轴对称性得到：AC=BC，A B.D=D（2）可以从圆的轴对称性质出发证明，只要证明A和B为关于直线CD的对称点即可.（3）此处强调非直径的弦，因为圆的所有直径都是互相平分的，但不一定垂直.（4）垂径定理还有别的推论吗？需要继续研究.论.解决问题提问1：对于活动1提出的问题，你现在有思路了吗？请大家小组讨论，给出问题的计算过程.如图，赵州桥的桥拱呈圆弧形，C为AB的中点，且CD⊥AB，已知CD=7.23 m，AB=37m，求该圆的半径．提问2：应用垂径定理解决问题的一般思路是什么？1.根据垂径定理的推论，可知CD的延长线必定过O点，且AD=BD．设半径为r，则OB=r，OD=r-7.23，BD=18.5，根据勾股定理列方程为：222r18.5=r（-7.23）.一般思路：垂径定理构造直角三角形勾股定理建立方程.帮助学生进行知识迁移，熟练运用垂径定理及其推论解决计算问题.重要辅助线：过圆心作弦的垂线．典型例题例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点 M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB,若CD=16，BE=4，求⊙O的直径．例2 H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的疾病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3 km范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3~5 km范围内为免疫区，所有禽类强制免疫.同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内公路CD长为4 km.问：这条公路在免疫区内有多少千米？例1 解设半径为R，因为CD=16，直径AB⊥CD，根据垂径定理得AB平分CD，所以DE=8.因为BE=4，所以OE=R-4.根据勾股定理列方程得：222R8=R（-4）.解得R=10，则直径等于20．例2 分析：利用垂径定理解决实际问题，首先需要理解题意，将实际问题抽象为数学模型.如图，过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC，OA，在Rt△OCE中就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，最后求出结论．帮助学生进行知识迁移，学以致用，熟练运用垂径定理及其推论解决计算及证明问题.利用垂径定理的关键是：熟悉基本图形，会过圆心作弦的垂线，熟悉连接半径等辅助线的作法，能够结合勾股定理、设参法等知识或方法解决问题．例3 如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=53，求弦CD及⊙O的半径．例4如果圆中两条弦互相平行，那么两条弦所夹的弧相等吗？例3 解如图，作OM⊥CD. ∵OE=4 cm，∠CEA=30°，∴OM=2 cm，EM=23cm DE=53 cm，∴D M=33 cm．∴OD=31 cm，即⊙O的半径为31 cm.OM⊥CD，∴CD=63 cm（根据垂径定理）例4 解通过画图可知，有三种情况.下图所示．在图（1）中，作 MN⊥AB 交圆于 M，N点，充分利用垂径定理即可解决此问题.∵ MN⊥AB，∴M=MA B.∵CD∥AB，∴ MN⊥CD.∴MC=MD.∴M MCA-=MB MD-∴=DAC B.同理：在其他两个图形中AC B的结也能得到=D论．六、板书设计圆的轴对称性——垂径定理七、达标检测与作业A级1．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于M.（1）AB=10，CD=8，求OM的长；（2）CD=8，OM=3，求AB的长；（3）CD=8，BM=2，求AB的长.2.如图，是一条直径为2 m的通水管道横截面，其水面宽1.6 m，则这条管道中此时水最深为 m.B级3.如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10，BP:PA=4：1.若⊙O的半径为7，求线段OP 的长.4.如图，AB为⊙O的直径，P为OB的中点，∠APC=30°.若AB=16，求CD的长.5.如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD.6.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径.如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，若这个输水管道此时的水面宽为16c m，且水最深高度为4c m，求这个圆形截面的半径.C级7.已知AB，CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5 cm，AB=8 cm，CD=6 cm，求AB，CD之间的距离.8.有一石拱桥的桥拱呈圆弧形.如图所示，正常水位时水面宽AB=60 m，水面到拱顶距离CD=18 m；当洪水泛滥时，水面宽 MN=32 m时，高度为5 m的船此时能否通过该桥？请说明理由．八、教学反思本节课遵循研究几何图形的一般过程：提出问题、猜想、实验、证明、得出结论、应用.研究过程中将直观感知、动手实验、逻辑推理有机结合，全面提高学生的数学核心素养.从以赵州桥为背景的实际问题出发，创设学习氛围，激发学生的学习兴趣，引发学生的探究欲望；接着通过实验操作让学生直观感受圆轴对称的性质；引导学生证明圆的轴对称性，并指出证明图形轴对称的一般方法，便于学生积累几何证明方法，产生学习迁移；利用圆的轴对称性和全等三角形的知识证明本节课的重点和难点——垂径定理及其推论；最后运用垂径定理及其推论解决赵州桥问题和平行弦所夹弧等问题.整个过程层层铺垫，环环相扣.本节课渗透研究问题的方法.比如在证明垂径定理的过程中，向学生渗透“先由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法.由动手操作、逻辑推理得到圆的轴对称性，这是由特殊到一般；再利用圆的轴对称性证明垂径定理及其推论，这是由一般到特殊.教师作为引导者，课堂上尽管给了学生充足的思考时间，但还没有完全放开.比如，在“提出问题”环节，可以让学生给出各种问题形式，而不是由老师给出问题或者例题.在探究垂径定理的证明时，应引导学生进行充分的讨论交流等．11/ 11。
垂径定理优秀课件
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
初中数学《垂径定理》公开课课件
C
O
AE
F
B
P
D
A
B
O
自我评价 本节课堂自我评价
评价项目及评价结果 优
良
合格
不合格
课前预习的主动性以及 效果
课堂活动的参与度
独立回答问题以及解决 问题的准确性
对整节课所学知识以及 数学思想方法的认识与 体会
较之上节课的学习表现 是
否
是否有了进步
备注：请根据评价项目对自己作出客观的评价,并写在相应的栏目下面。
E
连半径 建模思想
F
●
D
O
用勾股 方程思想
解这个方程,得R 545.
牛刀小试
1.如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm,则∠OAB的正弦 值是 。
0
A
B
辅助线：作垂直，得平分，用勾股
大显身手
2.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16cm，CD=12cm，则AB、CD间的
距离是 2cm或14cm .
.
3.分类讨论思想
1.实际生活中的应用价值
2.自主探索和团队合作精神
当堂检测
必做题
1.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么
OP长的取值范围是______。
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。
O
A
PB
O.
AC
DB
当堂检测
动手操作
折一折：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的
直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
·
可以发现：圆是_轴__对__称_ 图形，任何一条直__径__所__在__的__直__线 都是它的对称轴，它有__无__数__条对称轴。
垂径定理第二课时
你会四等分弧AB吗?
赵州石拱桥
• 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
随堂练习P92 4
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高. 37.4 由题设 AB 37.4, CD 7.2, C
• . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 1 由题设得 AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5.
a 2 ⑵ r d ( ) 2
2 2
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的 夹角为 30 °,求弦 AB 的长.
O 6 A
30°
E
A
O M C
B
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互 相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
O
挑战自我
• 1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
《垂径定理》(北师大)参考教案
《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。
（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。
做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD。
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。
垂径定理PPT课件(人教版)
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
垂径定理公开课教案
垂径定理公开课优秀教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 激发学生对垂径定理的好奇心，提高学习兴趣。
教学内容：1. 回顾圆的定义、性质及圆的基本运算。
2. 提问：你们知道什么是垂径定理吗？它有什么作用？教学方法：1. 采用提问、讨论的方式，引导学生回顾圆的知识。
2. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。
教学步骤：1. 复习圆的定义、性质及基本运算。
2. 提问：什么是垂径定理？它有什么作用？3. 引导学生讨论，总结垂径定理的含义。
4. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。
教学评价：1. 检查学生对圆的知识的掌握情况。
2. 观察学生在讨论中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探究垂径定理教学目标：1. 让学生通过实验、观察和推理，探究并证明垂径定理。
2. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 实验：用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。
2. 观察：观察垂线与圆的关系。
3. 推理：引导学生总结垂径定理的证明过程。
教学方法：1. 实验法：让学生亲自动手作垂线，观察垂线与圆的关系。
2. 引导法：引导学生通过观察、思考，总结垂径定理的证明过程。
教学步骤：1. 让学生用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。
2. 观察垂线与圆的关系，引导学生发现垂径定理的规律。
3. 引导学生总结垂径定理的证明过程。
教学评价：1. 检查学生对垂径定理的理解程度。
2. 观察学生在实验和推理过程中的表现，了解他们的动手能力和逻辑思维能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 让学生学会运用垂径定理解决实际问题。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 运用垂径定理解决实际问题。
2. 练习题：巩固垂径定理的应用。
1. 引导法：引导学生运用垂径定理解决实际问题。
2. 练习法：让学生通过练习题，巩固垂径定理的应用。
教学步骤：1. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
垂径定理复习课件
04
CATALOGUE
垂径定理的变式与推论
垂径定理的变式与推论
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03
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
垂径定理是几何作图中的重要工 具，可以帮助确定圆心和半径，
从而画出精确的圆或圆弧。
在作图中，垂径定理常用于确定 垂直于给定直径的线段，这些线
段可以是半径、弦或切线等。
利用垂径定理，可以解决作图中 的一些复杂问题，例如确定圆上 两点之间的最短距离或找到通过
证明过程
利用圆的性质，我们知道直径所对的圆周角是直角。因此，如果一条线段垂直于 弦并经过圆心，那么它必定将弦平分。同时，由于它是直径，它也平分弦所对的 两条弧。
证明方法三
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分 弦所对的两条弧。
证明过程
首先，过圆心作一条与弦垂直的线段 。然后，利用等腰三角形的性质，我 们知道这条线段将弦平分。最后，由 于它是直径，它也平分弦所对的两条 弧。
02
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垂径定理的证明
证明方法一
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的两条弧。
证明过程
首先，连接弦与直径的另一端的交点，然后作一条过圆心且垂直于弦的线段， 这条线段将弦平分。由于线段过圆心，所以它也是直径，因此它平分弦所对的 两条弧。
证明方法二
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理推论ppt课件
④A⌒C = B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
C
A
B
M└
●O
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
D
精品课件
6
判断
⑴垂直于弦的直径线平分弦，并且平分弦所对的弧( × )
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ )
⑶圆的不与直径两垂条直直的径弦必不被这条直径平分 ( × ) 不是直径
⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× )
⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
精品课件
7
（1）平分不弦是的直直径径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直直径线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
O
D
(1) B
•O
A
B
(2) D
精品课件
•O
A
B
(3) D
8
1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分. B•O来自DCA
(5)
精品课件
C
•O
E
A
B
D (6)
9
平分已知弧AB
已知：弧AB 求作：弧AB的中点
A
C
E
B
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
D
点E就是所求弧AB的中点。
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
)C
A
C
A.1.5cm
B
D
O
垂径定理2课件
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分
弦所对的两条弧.
C
∵ CD是直径
AE=BE
∴ CD⊥AB,
A⌒C=⌒BC, A⌒D=B⌒D.
O ●
E
A└
B
D
推广
C
① CD是直径(即：过圆心),
A M└
B
② CD⊥AB, ③ AM=BM
●O
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
如果具备上面五个条件中的任何两个， D
1.在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数
是60°, 那么弦AB的弦心距是 5 3cm .
圆的圆心到圆上弦的 距离叫做弦心距。
O ADB
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则
这弓形所在的圆的半径为
13 cm 4
.
6cm
2cm
C
A
D
B
O
回顾与思考 这节课你有什么收获？ 还有哪些疑问？
⌒⌒ 、 AC=BC
.
(2)若AM=MB, CD是直径,
D
则 CD⊥AB 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C .
(3)若CD⊥AB, AM=MB, 则 CD是直径 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C . (4)若A⌒C=B⌒C ，CD是直径, 则 CD⊥AB 、 AM=BM 、 A⌒D=B⌒D .
BC=8厘米，求圆的半径。
A
B
DC
O
练习
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
说明： 解决有关圆的问题，
C
F
A
B OE D
常常需要添加辅助线，
垂径定理课件
垂直于弦的直径
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 可利用什么样方法解决上述问题？
●
O
圆的对称性
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●
O
垂径定理
AB是⊙O的一条弦. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
A D O C
B
挑战自我填一填
1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ⑸弦的垂直平分线一定平分这Leabharlann 弦所对的弧. （） ）
此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A
M└
●
B O
你能发现图中有哪些等量关系?通过你准 备好的圆，探究一下
D
垂径定理
连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. C ∴AM=BM. A B ∴点A和点B关于CD对称. M└ ∵⊙O关于直径CD对称,
D
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD.
C
●
A
┗
B O
M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
垂径定理ppt课件
沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 A
E
B
个半圆重合，A点和B点重合，⌒ AE
和BE重合，AC、AD⌒分别和⌒BC、
D
BD重⌒ 合。⌒因此
⌒
⌒ppt课件⌒.
⌒
4
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
总结
3、图形语言
A
垂径定理
1、文字语言 垂直于弦的直径平分圆，并 且平分 圆所对的两条弧。
O
C
E
D
B
2、符号语言
ppt课件.
1
问题：左图中AB为圆O
的直径，CD为圆O的弦。
A
相交于点E，当弦CD在
圆上运动的过程中有没有
特殊情况？
O
D
C
E
B
运动CD
直径AB和弦CD互相垂直
ppt课件.
2
特殊情况
C
O
A
E
D
特殊情况
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
提问：你在圆中还能找 到那些相等的量？并证 明你猜得的结论。
B
CE=DE
ppt课件.
AC =AD ,BC=BD
3
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
证CA明DC：⊥＝连AB⌒结CBO，，A垂A⌒、D足O＝B为B，⌒ED则。。O求⌒A＝证O：BA。E＝BEC，
因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴
.O
又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆
ppt课件.
7
例题1
例1 如图，已知在 A ⊙O中，弦AB的长为8 厘米，圆心O到AB的 距离为3厘米，求⊙O 的半径。
EB .
《垂径定理》课件2[1]
![《垂径定理》课件2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f0d80e42f7ec4afe04a1df2e.png)
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
讲解
例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
例题：
2、如图，AB是半圆的直径，O是圆心， C是半圆上一点，D是弦AC的中点，OD 交弧AC于E，若AC=8cm，DE=2cm，则 OD的长为____cm。
E D A
C
O
B
例题： 3.你能破镜重
n A
圆吗？
m C B
·
O
作弦AB．AC及它们的垂直平
分线m．n，交于O点；以O为圆 心，OA为半径作圆。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧
推论（2）
圆的两条平行弦所夹的弧相等
M A E
. O
B A C
C A O E
.
.O
N
D B
D
B
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
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第24章 圆
第
2课时 垂弦定理 新知探究
探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？
结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
探究二：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？
相等的线段：__________________
相等的弧： _____=______；_____=______。
【知识点一】垂径定理及其推论
垂径定理：
文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
数学语言：∵①CD 是⊙O 的直径， ②CD ⊥AB 于M
∴①MA=MB ；②弧AC=弧BC ；③弧AD=弧BD 。
垂径定理的推论：
文字语言：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
数学语言：∵①CD 是⊙O 的直径， ②MA=MB
∴①CD ⊥AB 于M ；②弧AC=弧BC ；③弧AD=弧BD 。
判断对错：
（ ）1、垂直于弦的直径平分这条弦。
（ ）2、平分弦的直径垂直于这条弦。
（ ）3、平分弦的直线必垂直弦。
（ ）4、弦的垂直平分线经过圆心。
（）5、平分弧的直径平分这条弧所对的弦。
（）6、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧。
（）7、分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分。
（）8、垂直于弦的直线必经过圆心。
【知识点二】用垂径定理解决问题
例1 、如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，DE=8cm,CE=2cm. 求弦AB的长.
例2、赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，
是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，
它的跨度（弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到
弦的距离）为7.23米，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留
小数点后一位）；
例3、为改善市区人居环境，某市建设污水管网工程，某圆形水管的直径为50cm, 若管内污水的面宽AB=40cm，求污水的最大深度；
三．练习
1、如图1，已知⊙O的半径为5,弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM长的范围是____________。
图1 图2 图3
2、如图2，已知CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若DE=8cm,CE=2cm,则AB=_____cm;
3、已知点P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过点P最长的弦长为____，最短的弦长
为_____；
4、如图3，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则 AB=___cm, ∠AOB=____.
5、如图4，P为⊙O内一点，且OP＝2 cm，⊙O的半径是3 cm，则过P点最短的弦长为__________.
图4 图5 图6
6、如图5，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求⊙O的半径；
7、如图6，⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求弦BC的长；
8、如图，在半径为5cm的⊙O中，弦CD⊥AB，垂足为点E，若CE=3cm，DE=5cm，求AB的长；
9、⊙O的半径为13cm，弦AB ∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离；
10、如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD
11、如图弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，求这弓形所在的圆的半径。
12、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.
求证：四边形ADOE是正方形。