数值分析第二章答案

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;

()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)

()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--=

=-+-----=

=------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为

2

20()()k k k L x y l x ==∑

0223()4()

14(1)(2)(1)(1)235

37623l x l x x x x x x x =-+=-

--+-+=+

- 5设[]2(),f x C

a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21m ax ()()m ax ().8a x b a x b

f x b a f x ≤≤≤≤''≤

- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为

1010101

0()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b

x a

f a f b a b x a --=+--

1()()0

()0f a f b L x ==∴= 又 插值余项为1011

()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=

--

011

()()()()2f x f x x x x x ''∴=--

[]012

012

102

()()

1()()21()

41

()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫

≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=- 又 ∴2

1m ax ()()m ax ().8a x b a x b

f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 16．求一个次数不高于4次的多项式

P （x ），使它满足

(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

0101010,1

0,10,1

x x y y m m ======

11

300

201

00101

2

()()()

()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x

x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑

210

110102

()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-

2

021()(1)()(1)x x x x x x

ββ=-=-

22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+

设22

301()()()()P x H x A x x x x =+--

其中，A 为待定常数

3222(2)1

()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-

1

4A ∴= 从而2

21()(3)4P x x x =-

19．求4()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。

解：

在[,]a b 区间上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-

令01

max i i n h h ≤≤-= 43(),()4f x x f x x '==

∴函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的分段埃尔米特插值函数为

2111211112112111()(

)(12)()(

)(12)()(

)()()()()()i i h i i i i i i i i i i i i i i i i i i

i i i i

x x x x I x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x ++++++++++++--=+----++---'+---'+-- 42

13421

1332

1232

1

12()(22)

()(22)4()()

4()()i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i x x x h x x h x x x h x x h x x x x x h x x x x x h ++++++=-+-+--++--+-- 误差为

(4)221(4)4

()()

1()()()4!1

m ax ()()242h i i i a x b f x I x f x x x x h f ξξ+≤≤-=

--≤ 又4()f x x =

(4)4401()4!24

m ax ()()m ax 1616

i h a x b i n f x h h f x I x ≤≤≤≤-∴==∴-≤≤