数值分析(清华大学出版社)第二章课后答案

1.用Gauss 消去法解方程组

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥

⎥⎥⎦⎤---⎢

⎢⎢⎢⎣⎡-551631011

4110

1421

1264321x x x x 解：第一步：交换第三行和第一行，得到如下矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤----⎢⎢⎢⎢⎣⎡-56

153

101111402411

621

做运算()22121E E E →⎪⎭⎫ ⎝⎛+-

，()33161E E E →⎪⎭

⎫

⎝⎛+-，()()441E E E →+，得到增广矩阵 ⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤------⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡024952

521

323741

421

0001 第二步：再做运算()3322E E E →+，()44221E E E →⎪⎭

⎫

⎝⎛+-

，得到如下矩阵 ⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤-----⎢⎢⎢⎢⎣⎡942952

92113

377400210

001

第三步：做运算()4433713E E E →⎪⎭

⎫

⎝⎛+，得到 ⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤------⎢⎢⎢⎢⎣⎡2134295

191

9210377400210

001

利用回代公式求得.790576.0,361257.0,863874.0,115183.11234=-==-=x x x x

2、解 2.51 1.48 4.531.48

0.93 1.302.68 3.04

1.48⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦

123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.051.030.53⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-⎣

⎦ 做两次换行()()()()↔↔3

132;E E E E 得

2.68

3.04 1.

42.51

1.48 4.531.480.93

1.30⎡⎤-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥-

⎣

⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=0.530.051.03⎡⎤-⎢

⎥⎢

⎥⎢⎥⎣

⎦ 计算()()()()-+→-+→12

21330.93657;0.55224;E E E E E E

2.68

3.04 1.48

1.3672 5.916100.74881

0.48269⎡⎤-

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--

⎣

⎦123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=0.530.546381.3227⎡⎤-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

计算()()-+→23

30.54770;E E E

2.68

3.04 1.480

1.3672

5.916100

3.7229⎡⎤-

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦12

3x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

=0.530.546381.0235⎡⎤

-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 换行和消去到此结束，经回代计算得到

x =()1.440360, 1.577963,0.27494T

--

3.用Doolittle 三角分解方法解方程组

⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----5516310

1141101

4211264321x x x x

解：首先对系数矩阵A 做分解LU

A =

解出：

解b y L

=，计算出

T

y ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=74213,521,1,6

解y x U

=，计算出

()T x 115183

.1,863874.0,361257.0,790576.0--=

4.设][,ij n n a A R A =∈⨯,011≠a ，b Ax =经过高斯消去法一步后变为)2()2(b x A =，其中=)

2(A

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2111

0A a a T ，(2)

A =()(2),2n ij i j a =为(n-1)⨯(n-1)矩阵.其元素为

(2)ij

a =(1)ij a -(1)(1)11i j a a /(1)

11a , ,i j =2,3, n. 证明：（1）若A 对称正定，则2A 是对称矩阵。 （2）若A 严格对角占优，则2A 也严格对角占优。

证明：（1）2A 中的元素满足),,3,2,(,11

11n j i a a a a a j i ij ij

=-='，又因为A 是对称

阵，满足n j i a a ji ij ,,2,1,, ==，所以ji j i ji j i ij ij a a a a a a a a a a '=-=-='11

1111

11，即2

A 是对称矩阵。而Gauss 消去法一步，A 由变换),,3,2(11n i r l r i i =-得到)2(A ，在变换下各阶顺序主式的值均不变，有