第1讲 空间几何体的截面图形(解析版)

第1讲 空间几何体的截面图形一．选择题（共14小题）1．（2020•碑林区校级模拟）已知在一个棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N ，如图，则过A ，M ，N 三点的平面被正方体所截得的截面图形为( )A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形【解析】解：在一个棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N ，如图， 在1DD 上取点E ，使139DE ED ==，连结AE 、NE ， 1//AB D N ，1//BM D E ，ABBM B =，111D ND E D =，∴平面//ABM 平面1D NE ，又NE ⊂平面1D NE ，//NE ∴平面ABM ，1112D E D N BM AB ==，//NE AM ∴， 1//AE C M ，∴过A ，M ，N 三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形1AMC NE ．故选：B ．2．（2021春•凉山州期末）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是()A ．①②④B ．②③C ．①②D ．②③④【解析】解：当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①， 当截面过正方体的体对角线时得②， 当截面平行于正方体的一个侧面时得④， 但无论如何都不能得到截面③． 故选：A ．3．（2020•银川校级一模）对于棱长为1的正方体1AC ，有如下结论，其中错误的是( )A ．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体B ．过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则A 、H 、1C 三点共线C ．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形D ．三棱锥11A B CD -与正方体的体积之比为1:3 【解析】解：如图，对于棱长为1的正方体1AC ，在A 中，四面体1A ADC -的每个面都为直角三角形，故A 正确； 在B 中，BD AC ⊥，1BD CC ⊥，1ACCC C =，BD ∴⊥平面11ACC A ，1BD AC ∴⊥，11tan tan C AC AAO ∠=∠=，11C AC AAO ∴∠=∠， 111190C AC AOA AAO AOA ∴∠+∠=∠+∠=︒，11AC AO ∴⊥， 1AC ∴⊥平面1A BD ，∴过A 作平面1A BD 的垂线为1AC ，A ∴、H 、1C 三点共线，故B 正确；在C 中，若P ，Q ，N ，M ，F ，E 为正方体1AC 所在棱的中点，连结后得到六边形PQNMFE 是正六边形，且此正六边形的中心过正方体1AC 的中心，故C 错误；在D 中，三棱锥11A B CD -的体积为11111141323A B CD V -=-⨯⨯⨯=，正方体1AC 的体积为1V =，∴三棱锥11A B CD -与正方体的体积之比为1:3，故D 正确．故选：C ．4．（2021春•薛城区校级期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（1）（4）D ．（1）（5）【解析】解：当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）． 所以只有（1）、（5）正确． 故选：D ．5．（2020秋•开福区校级月考）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是楼1B B 、1B C 中点，点G 是棱1CC 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面图形为( )A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形【解析】解：取BC 的中点H ， 如图连接AH 、GH 、1D G 、1AD ， 由题意得：//GH EF ，1//AH A F ， GHAH H =，1EFA F F =，∴平面1//AHGD 平面1A EF ，过线段AG 且平行于平面AEF 的截面图形为等腰梯形1AHGD ． 故选：D ．6．（2020秋•温州期末）平面α截圆柱，截面图不可能是( ) A ．矩形B ．圆C ．椭圆D ．抛物线【解析】解：由平面α截圆柱，知： 在A 中，轴截面是矩形，故A 正确； 在B 中，横截面是圆，故B 正确； 在C 中，斜截面是椭圆，故C 正确；在D 中，平面α截圆柱，截面图不可能是抛物线，故D 错误． 故选：D ．7．（2021春•濮阳期末）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是()A ．①②B ．②④C ．①②③D ．②③④【解析】解：当截面平行于正方体的一个侧面时得③ 当截面过正方体的体对角线时得②当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得① 但无论如何都不能截出④ 故选：C ．8．（2020秋•临漳县校级月考）如图，球内切于正方体，B 、C 为所在棱的中点，过A ，B ，C 三点的截面图象为( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：设下方体的棱长为：2，正方体中过A ，B ，C 三点的截面是一个菱形，，短对角线长为：长对角线长为： 过A ，B ，C 三点的截面经过球心，截球得到一个大圆，其半径为1， 对照选项，只有B 正确． 故选：B ．9．（2020秋•万州区月考）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 的中点，则过这三点的截面图的形状是( ) A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【解析】解：分别取11D C 、1D D 、AD 的中点H 、M 、N ， 连结GH 、HM 、MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 的中点， //HG EN ∴，//HM EF ，//FG MN ，∴六边形EFGHMN 是过E ，F ，G 这三点的截面图， ∴过这三点的截面图的形状是六边形．故选：D．10．（2020•陕西校级模拟）用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，其截面图形不可能是() A．钝角三角形B．等腰梯形C．平行四边形D．正五边形【解析】解：用一个平面去截一个所有棱长均为1的五棱锥，①若截面过棱PB、PE，则截面PBE∆是全等三角形，∆与ABE且108∠=︒，BAE∆是钝角三角形，如图1所示∴截面PBE②在平面PAB内作//CE AB，MN AB，交PA、PB于点M、N，连接CE，则//≠，∴，且MN CEMN CE//∴四边形CEMN是等腰梯形，如图2所示；③用平行于底面的平面截该棱锥，其截面图形是正五边形，如图3所示；综上，不可能的截面图形是平行四边形．故选：C．11．（2020秋•迁安市校级期末）已知正四面体ABCD及其内切球O，经过该四面体的棱AD及底面ABC上的高DH作截面，交BC于点E，则截面图形正确的是()A．B．C．D．【解析】解：画出图形，如图所示；正四面体ABCD及其内切球O，经过该四面体的棱AD及底面ABC上的高DH作截面，交BC于点E，则截面ADE所表示的图形是：故选：B ．12．（2021春•鹤岗校级期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，E ，F 分别是AB ，AD ，11B C ，11C D 的中点，则正方体过P ，Q ，E ，F 的截面图形的形状是( ) A ．正方形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形【解析】解：如图所示，由//EF PQ ，可以确定一个平面，这个平面与正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 、1DD 分别交于M ，N ， 由正方体的性质得//FN MP ，//NQ ME ， 且EF FN NQ QP PM ME =====，∴正方体过P ，Q ，E ，F 的截面图形的形状是正六边形．故选：D ．13．（2021春•道里区校级期末）正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1DD 和1BB 上的点，113MD DD =，113NB BB =，那么正方体的过M 、N 、1C 的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【解析】解：正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1DD 和1BB 上的点，113MD DD =，113NB BB =，延长1C M 交CD 于P ，延长1C N 交CB 于Q ，连结PQ 交AD 于E ，AB 于F ，连结NF ，ME ，则正方体的过M 、N 、1C 的截面图形是五边形． 故选：C ．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，作截面EFGH （如图所示）交11C D ，11A B ，AB ，CD 分别于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的形状是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．梯形【解析】解：根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH 中， //EF HG ，且//EH FG ，故四边形EFGH 是平行四边形， 故选：A ． 二．多选题（共1小题）15．（2021•福田区校级二模）已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α．下面说法正确的是( )A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为2B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点【解析】解：对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点(2A ，0，0)、(2B ，2，0)， 设点(0M ，2，)(02)a a ，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且(2,2,)AM a =-，(0,2,0)AB =，|||cos ,|||||2AB AM AB AM AB AM ⋅<>===⋅⨯，所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为，A 选项正确；对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A DBD D =，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知△1A BD 是边长为其面积为12A BDS==3= 设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH //EFQNGH 平面1A BD ，正六边形EFQNGH 的周长为26= 则△1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(E b ，0，2)，点(0M ，2，1)，(2,2,1)AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，(1E ∴，0，2)，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点， 则(2F ，1，2)，(1,1,0)EF =，而(2,2,0)DB =，∴12EF DB =，//EF DB ∴且EF DB ≠，由空间中两点间的距离公式可得DE BF ，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，11//CC DD ，∴2MC AC DN AD ===，1122MC CC =≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误．故选：AC ．三．填空题（共8小题）16．（2020秋•迎泽区校级月考）在正方体1111ABCDA B C D 中，M ，N 分别是棱1DD 和1BB 上的点，113MD DD =，113NB BB =，那么正方体过点M ，N ，1C 的截面图形是 五 边形．【解析】解：延长1C M 交CD 于点P ，延长1C N 交CB 于点Q ， 连接PQ 交AD 于点E ，交AB 于点F ，则正方体过点M ，N ，1C 的截面图形是五边形1C MEFN ， 故答案为：五边形．17．（2020秋•河南期末）平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是①②④⑥⑦（填上所有你认为正确的序号）①正三边形②正四边形③正五边形④正六边形⑤钝角三角形⑥等腰梯形⑦非矩形的平行四边形【解析】解：画出截面图形如图：可以画出三边形，但不能画出直角三角形和钝角三角形，故①正确，⑤错误；可以画出正四边形，故②正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故③错误；．正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故④正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故⑥正确．可以画出非矩形的平行四边形，故⑦．故平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是：正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形．故答案为：①②④⑥⑦．18．（2020秋•渭城区校级期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点，下列说法正确的是 ②③④ ．（填上所有正确命题的序号） ①1AC ⊥平面1B EF ；②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线； ③△1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；④当E ，F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形．【解析】解：对于①1A C ⊥平面1B EF ，不一定成立，因为1A C ⊥平面1AC D ，而两个平面1B EF 与面1AC D 不一定平行．对于②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于③△1B EF 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱1BB ，而E 点在面上的投影到此棱1BB 的距离是定值，故正确；对于④，当E ，F 为中点时平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形1B QEPF ， 故答案为：②③④19．（2015•池州二模）如图，点E ，F 分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 、AB 上，下列命题：①11AC B E ⊥； ②在平面1111A B C D 内总存在于平面1B EF 平行的直线； ③△1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；④当E 、F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤若点P 为线段EF 的中点，则其轨迹为一个矩形的四周． 其中所有真命题的序号是 ②③④ ．【解析】解：对于①11AC B E ⊥，不一定成立，因为1A C ⊥平面1AC D ，而两个平面1B EF 与面1AC D 不一定平行．对于②，在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，故②正确；对于③△1B EF 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱1BB ，而E 点在面上的投影到此棱1BB 的距离是定值，故正确；对于④当E ，F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形1B QEPF ，故④正确； 对于⑤若点P 为线段EF 的中点，则其轨迹为一个矩形的面；故⑤错误； 故答案为：②③④．20．（2021•芜湖模拟）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为棱1DD 和AB 上的点，则下列说法正确的是 ②③④⑤ ．（填上所有正确命题的序号） ①1A C ⊥平面1B CF ；②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线； ③△1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；④当E ，F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当E ，F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P ，则23AP =．【解析】解：对于①，1A C ⊥平面1B EF ，不一定成立， 因为1A C 与1B F 不一定垂直．故①错误；对于②，在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面， 故②正确；对于③，△1B EF 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形， 此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱1BB ， 而E 点在面上的投影到此棱1BB 的距离是定值，故③正确； 对于④当E ，F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形1B QEPF ，故④正确； 对于⑤由面面平行的性质定理可得1//EQ B F ， 故114D Q =，1//B Q PF ，故23AP =，故⑤正确．故正确的命题有：②③④⑤．故答案为：②③④⑤．21．（2021•兴化市校级模拟）正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 正六边形 ． 【解析】解：延长QP ，CB 交于V ，连接RV ，交1BB 于S ．作//RT PQ ，交11C D 于M ．延长PQ ，CD 交于T ，连接TM ，交1DD 于N ． 如图所示：正方体过P 、Q 、R 的截面图形是六边形，且是边长是正方体棱长的2倍的正六边形． 答案：正六边形．22．在正四面体ABCD中，P，Q，R分别为所在棱的中点，则四面体过P，Q，R三点的截面图形为等边三角形或菱形．【解析】解：在正四面体ABCD中，①若P，Q，R均为侧棱的中点时，如图所示：此时截面图形为等边三角形，②若P，Q，R有两个为侧棱的中点时，如图所示：此时截面图形为菱形，③若P，Q，R有一个为侧棱的中点时，此时截面图形仍为等边三角形或菱形， 故答案为：等边三角形或菱形23．在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是棱1DD 上的动点，则过A 、Q 、1B 三点的截面图形的形状为 梯形、平行四边形或三角形 ．【解析】解：由于1//AB 平面1C D ，点Q 是棱1DD 上的动点，∴过A 、Q 、1B 三点的截面图形的形状为梯形、平行四边形或三角形．故答案为：梯形、平行四边形或三角形．。