第1讲 空间几何体的截面图形(解析版)

第1讲 空间几何体的截面图形

一．选择题（共14小题）

1．（2020•碑林区校级模拟）已知在一个棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 和11C D 的中点分别为

M ，N ，如图，则过A ，M ，N 三点的平面被正方体所截得的截面图形为( )

A ．六边形

B ．五边形

C ．四边形

D ．三角形

【解析】解：在一个棱长为12的正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N ，如图， 在1DD 上取点E ，使139DE ED ==，连结AE 、NE ， 1//AB D N ，1//BM D E ，AB

BM B =，111D N

D E D =，

∴平面//ABM 平面1D NE ，又NE ⊂平面1D NE ，//NE ∴平面ABM ，

111

2

D E D N BM AB ==，//NE AM ∴， 1//AE C M ，∴过A ，M ，N 三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形1AMC NE ．

故选：B ．

2．（2021春•凉山州期末）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是(

)

A ．①②④

B ．②③

C ．①②

D ．②③④

【解析】解：当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①， 当截面过正方体的体对角线时得②， 当截面平行于正方体的一个侧面时得④， 但无论如何都不能得到截面③． 故选：A ．

3．（2020•银川校级一模）对于棱长为1的正方体1AC ，有如下结论，其中错误的是( )

A ．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体

B ．过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则A 、H 、1

C 三点共线

C ．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形

D ．三棱锥11A B CD -与正方体的体积之比为1:3 【解析】解：如图，对于棱长为1的正方体1AC ，

在A 中，四面体1A ADC -的每个面都为直角三角形，故A 正确； 在B 中，

BD AC ⊥，1BD CC ⊥，1AC

CC C =，BD ∴⊥平面11ACC A ，1BD AC ∴⊥，

11

tan tan C AC AAO ∠=∠=，11C AC AAO ∴∠=∠， 111190C AC AOA AAO AOA ∴∠+∠=∠+∠=︒，11AC AO ∴⊥， 1AC ∴⊥平面1A BD ，∴过A 作平面1A BD 的垂线为1AC ，

A ∴、H 、1C 三点共线，故

B 正确；

在C 中，若P ，Q ，N ，M ，F ，E 为正方体1AC 所在棱的中点，连结后得到六边形PQNMFE 是正六边形，

且此正六边形的中心过正方体1AC 的中心，故C 错误；

在D 中，三棱锥11A B CD -的体积为11111

141323

A B CD V -=-⨯⨯⨯=，正方体1AC 的体积为1V =，

∴三棱锥11A B CD -与正方体的体积之比为1:3，故D 正确．

故选：C ．

4．（2021春•薛城区校级期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )

A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．（1）（4）

D ．（1）（5）

【解析】解：当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）． 所以只有（1）、（5）正确． 故选：D ．

5．（2020秋•开福区校级月考）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是楼1B B 、1B C 中点，点G 是棱1CC 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面图形为( )

A ．矩形

B ．三角形

C ．正方形

D ．等腰梯形

【解析】解：取BC 的中点H ， 如图连接AH 、GH 、1D G 、1AD ， 由题意得：//GH EF ，1//AH A F ， GH

AH H =，1EF

A F F =，

∴平面1//AHGD 平面1A EF ，

过线段AG 且平行于平面AEF 的截面图形为等腰梯形1AHGD ． 故选：D ．

6．（2020秋•温州期末）平面α截圆柱，截面图不可能是( ) A ．矩形

B ．圆

C ．椭圆

D ．抛物线

【解析】解：由平面α截圆柱，知： 在A 中，轴截面是矩形，故A 正确； 在B 中，横截面是圆，故B 正确； 在C 中，斜截面是椭圆，故C 正确；

在D 中，平面α截圆柱，截面图不可能是抛物线，故D 错误． 故选：D ．

7．（2021春•濮阳期末）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是(

)

A ．①②

B ．②④

C ．①②③

D ．②③④

【解析】解：当截面平行于正方体的一个侧面时得③ 当截面过正方体的体对角线时得②

当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得① 但无论如何都不能截出④ 故选：C ．

8．（2020秋•临漳县校级月考）如图，球内切于正方体，B 、C 为所在棱的中点，过A ，B ，C 三点的截面图象为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】解：设下方体的棱长为：2，

正方体中过A ，B ，C 三点的截面是一个菱形，，短对角线长为：长对角线长为： 过A ，B ，C 三点的截面经过球心，截球得到一个大圆，其半径为1， 对照选项，只有B 正确． 故选：B ．

9．（2020秋•万州区月考）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 的中点，则过这三点的截面图的形状是( ) A ．三角形

B ．四边形

C ．五边形

D ．六边形

【解析】解：分别取11D C 、1D D 、AD 的中点H 、M 、N ， 连结GH 、HM 、MN ，

在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是AB ，1BB ，11B C 的中点， //HG EN ∴，//HM EF ，//FG MN ，

∴六边形EFGHMN 是过E ，F ，G 这三点的截面图， ∴过这三点的截面图的形状是六边形．