圆锥的侧面展开图及相关计算

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圆锥的侧面展开图-九年级数学下册同步教学课件(沪科版)

24.7.2 圆锥的侧面展开图
知识要点 1、圆锥侧面展开图的面积
（1）其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长l （2）侧面展开图扇形的弧长= l
底面周长 2 r
圆锥S扇的形侧 12面lR积计算S侧公式12 2πr l πrl 圆锥的全面积计算公式
l
侧面展开图
or
C 2r
S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(其中l是圆锥的母线长，
∵ 2πr=5 2π
A
①
②
r 5 2. 2
B
OC
③
24.7.2 圆锥的侧面展开图课堂小结重要图形
重要结论
圆锥的高 S
l
母线
A
h Or B
侧面展开
l图
or
底面
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl.
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l ②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
24.7.2 圆锥的侧面展开图
也是圆锥侧面展开图扇形的半径)．
24.7.2 圆锥的侧面展开图
如图：
24.7.2 圆锥的侧面展开图
例1 如图,圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为 80 cm，母线为 50 cm.在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.
24.7.2 圆锥的侧面展开图
解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图,设该扇形的
A．24 B．12 C．6 D．3
24.7.2 圆锥的侧面展开图
4.如图所示的扇形中，半径R =10，圆心角θ
=(114) 4这°个，圆用锥这的个底扇面形半围径成一r =个圆4锥的．侧面.
(2) 这个圆锥的高h= 2 21.
A

圆锥的侧面展开图

圆锥的侧面展开图
广东实验中学张兴华
回顾
l
n RO
A
n
BLeabharlann ROn Rl 180
S扇形
n R2
360
对比扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
S扇形 1 lR
2
回顾
1.已知扇形的半径为4，其圆心角为90°，则这个扇形
的弧长= 2 .
2.已知扇形的半径为2，其面积为 2 ,则这个扇形的
圆心角= 180 °
A
BO
C
2. 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如图，是一个蒙古包的示意图，现在想用毛毡搭建1个底面半径为2m，高为3.5m，外围高为2m的蒙古包，
至少需要多少平方米的毛毡？(结果保留π)
r
r
3. 已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为4cm，若一只甲虫从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，它所走的最短路程是多少？
行的最短距离为
cm
A
2. 高
3. 侧面积
4. 全面积;表面积 B O
C
1.圆锥的侧面展开图是扇形 2.母线的长=其侧面展开图扇形的半径 3.底面周长=侧面展开图扇形的弧长
2
为什么要展开圆锥的侧面?
1. 已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，
则这个圆锥的侧面积为_2_4_0__c_m_2，全面积为_3_8_4__c_m_ 2
S
C
B.
A
A
O
3
如何还原圆锥的侧面展开图?
R
A
n
l
B Or C
n R
l 180
S扇形
n R2
360

扇形、圆柱、圆锥面积公式及计算

扇形面积公式、圆柱、圆锥侧面展开图
1.弧长公式：
n
Lπ
÷
=R
180
n是圆心角，R是扇形半径，L是扇形中圆心角所对应的弧长；
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为L=nπR÷180。

2. 扇形面积公式：
3.圆柱
圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩形。

圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高。

4.圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。

圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，这个曲面在一个平面上展开后是一个扇形，这个扇形
的半径是圆锥的母线（把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线），扇形的弧长是圆锥底面的周长。

因此，圆锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长积的一半。

如图所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则。

圆锥的侧面展开图问题

圆锥的侧面展开图问题解决圆锥问题的关键是明确圆锥的侧面展开图各元素与圆锥各元素的关系——圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面圆的周长．问题往往涉及圆锥的母线长、圆锥的高以及底面半径之间的关系，勾股定理则是架起三元素间的桥梁．如图1，设圆锥的底面半径为r ，母线AB 的长为l ，高为h ，则r 2+h 2=l 2，圆锥的侧面展开图是扇形ACD ，该扇形的半径为l ，设扇形ACD 的圆心角是θ，则扇形的弧CD 的长=2πr =180l θπ，圆锥的侧面积为S 侧=12×2πr ×l =πrl ．一、计算圆锥的侧面积例1 （邵阳）如图2所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2，则这外圆锥的侧面积为______（结果保留π）．分析：依题意，圆锥主视图是一个等边三角形，所以圆锥的母线长为2，底面半径为1，可以直接代入公式求得．解：依题意，r=1，l =2，所以S 侧=π×1×2=2π．二、求圆锥的母线长例2 （桂林）已知圆锥的侧面积为8πcm 2, 侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的母线长为（）．（A ）64cm （B ）8cm （C ）22cm （D ）2cm 分析：圆锥的侧面积即其侧面展开图扇形的面积，由扇形的面积公式可求出圆锥的母线长（侧面展开图扇形的半径即为圆锥的母线长）．解：由2360n l S π=扇形，即2360n l π＝8π，解得l ＝8（cm ）．故应选（B ）．三、计算圆锥的底面半径例3 （日照）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）．（A ）10cm （B ）30cm （C ）40cm （D ）300cm分析：依题意，将直径为60cm 的圆形铁皮分割成三个大小相等的扇形，这三个扇形即三个相同的圆锥容器的侧面展开图．根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”可求每个圆锥容器的底面半径．解：直径为60cm 的圆形铁皮的周长为60πcm ，故将该铁皮分割成三个大小相等的扇形的弧长为20πcm ．图1 图2设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝20π，解得r ＝10．故应选（A ）．四、计算圆锥的高例4 （鸡西）如图3，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm ，弧长是6πcm ，那么围成的圆锥的高度是 cm ．分析：借助图1分析，知在r 2+h 2=l 2中，欲求h ，需知道r ，l ，显然这里l ＝5 cm ，故只需再求出r ．解：设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝6π，解得r ＝3．所以h 2=l 2－ r 2＝52－32，所以h ＝4（cm ）．五、计算侧面展开图中扇形圆心角的度数例5 （成都）若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（）．（A ）40° （B ）80° （C ）120° （D ）150°分析：设圆锥展开图的圆心角为n °，根据弧长公式可求出侧面展开图扇形的弧长为180n l π，再根据“侧面展开图扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长”列方程可解．解：设圆锥展开图的圆心角为n °，则4π=6180n πg ．解得n ＝120．所以选（C ）．六、最短路径问题例6 （青岛）如图4是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线OE （OF ）长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA ＝2cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ．分析：由于小蚂蚁只能在圆锥侧面上爬行，所以我们可考虑把圆锥侧面展开，将问题转化为平面图形解决.将圆锥沿母线OE 剪开，如图7所示的展开图，根据“两点之间线段最短”，知EA 即为最短路径．解：设圆锥侧面展开后扇形的圆心角为n °，因为底面的周长等于展开后扇形的弧长，所以180n OE π⋅＝π E F ，即10180n π⋅＝10π，解得n °＝180°．此圆锥的侧面展开图为扇形（如图5），在Rt △AEO 中， OA ＝OF －AF ＝8（cm ），O B A 图3 5cm 图5 ＡＦＥＯ图4。

圆锥的侧面展开图课件青岛版九年级数学下册

导入
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
S侧 =prl S全 = S侧S 底 = prl p r2
(r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )
导入
弧长与扇形面积计算圆锥的侧面积计算
R l
l＝n1π8R0 S＝n3π6R02＝12lR
2πr l
r
S = prl
例3 如图7-38，将半径为1、圆心角为90°的扇形薄铁片
2.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线
问题：圆锥的母线有几条？
3.连接顶点与底面圆心的线段
叫做圆锥的高 .
R h
r
观察与思考
图中 R 是圆锥的母线 h 就是圆锥的高 r 是底面圆的半径
R h
r
观察与思考
圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间有什么关系？
R2 = h2 r2
例4 如图7-40，一顶帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆
柱形，已知圆柱的底面半径为、母线长，圆锥的高为1m. (1)制作一项这样的账篷(接缝不计)大约需要用多少帆布 (精确到0.1m²)? (2)帐篷的容积大约是多少(精确到01m³)?
例4 解： (1)圆柱底面周长l≈，
∴S圆柱侧 = lh≈15.07 1.6 = 24.11
解： (2) ∴V圆柱 = p r 2h 3.14 2.42 1.6 28.95.
V圆锥 =
1p
3
r2h
1 3
3.14
2.42
1
6.03.
∴V圆柱 V圆锥 28.95 6.03 35.0.
所以，帐篷的容积大约35.0m².
练习
1、若圆锥的底面半径r =4 cm，高线h =3 cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 288 度.

圆锥的侧面积

表底
例4、根据圆锥的下面条件，求它的侧面积和表面积
（1）r=12cm, l=20cm （2）h=12cm, r=5cm
解:由s rl 2 20 240 (cm2 ) s表 s s底 rl r 240 144
2
解:由l 2 h 2 r 2得 l 122 52 13 s rl 5 13 65 (cm 2 ) s表 s s底 65 25 90 (cm 2 )
例6、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线 AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
将圆锥沿AB展开成扇形ABB’ A ，解：将圆锥沿将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB 则点 CB 是解：将圆锥沿AB展开成扇形ABB ，解则点 C是BB 的中点，：过点 B 作 BD AC ，是解将圆锥沿展开成 B ： AB 展开成扇形 AB B ，AB 则点 C ，：：将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB B C是，则点解将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB B 则点，则点 C 解：B 将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB B C B 的中点，垂足为 D . 垂足为 D .是垂足为 D .BD 成扇形 AB B B 的中点，解过点 B 作 AC ，垂足为 D . ，则点C是垂足为 DD .r 垂足为 .r 垂足为 D . r r BA B 360 360 120 BA B 120 BAB 360 120 BAB 360 120 l r r BAB l r l 360 120 l C B BA B 360 120 中， BAD 60, A BAB 360 BAD 120 60 BAD 60 . 在 Rt ABC . 在 Rt ABC 中， 60 BAD Rt 60 ABC , AB l BAD . 在 l l BAD 60.在RtABC中， BAD 60, AB 3. BAD 60 .，在 Rt ABC 中，， BAD 60 ,A 3 3 BAD 60 . 在 Rt ABC 中 BAD 60 3 BAD 60 . 在 Rt ABC 中 BAD 60 , AB 3 . BD BD 3 3 C中， BAD 60, AB 3. 3 BD 3 2 2 3 BD 3 2 33 3 BD 2 BD 3 BD 2 3 33 答：它爬行的最短路线是 3.3. 它爬行的最短路线是 2 2 答：它爬行的最短路线 3 2 32 答：它爬行的最短路线是 3. 答：它爬行的最短路线是 3 33. 3 答：它爬行的最短路线是 3. 答：它爬行的最短路线是 3. 2 2 线是 3. 2 2 2

《圆锥的侧面展开图》教案设计

《圆锥的侧面展开图》教案设计第一章：圆锥的侧面展开图概念介绍1.1 圆锥的侧面展开图定义引导学生回顾圆锥的基本概念，理解圆锥的侧面展开图是将圆锥的侧面展开后形成的平面图形。

通过实物演示或图片展示，让学生直观地感受圆锥的侧面展开图的形成过程。

1.2 圆锥的侧面展开图的特点分析圆锥的侧面展开图的形状，引导学生发现它是一个扇形。

解释圆锥的侧面展开图与圆锥的底面之间的关系，让学生理解展开图的弧长等于圆锥底面的周长。

第二章：圆锥的侧面展开图的计算2.1 圆锥的侧面积计算引导学生利用圆锥的侧面展开图来计算圆锥的侧面积。

给出圆锥的侧面积计算公式：侧面积= π×r ×l，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长。

2.2 圆锥的全面积计算引导学生理解圆锥的全面积包括底面积和侧面积。

给出圆锥的全面积计算公式：全面积= π×r ×(r + l)，其中r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长。

第三章：圆锥的侧面展开图的应用3.1 圆锥的侧面积在实际问题中的应用通过举例或情景设置，让学生理解圆锥的侧面积在实际问题中的应用，如制作圆锥形状的物体时计算材料用量等。

3.2 圆锥的全面积在实际问题中的应用通过举例或情景设置，让学生理解圆锥的全面积在实际问题中的应用，如计算圆锥形物体的表面积等。

第四章：圆锥的侧面展开图的绘制4.1 圆锥的侧面展开图的绘制方法引导学生学习如何将圆锥的侧面展开成一个扇形，并绘制出圆锥的侧面展开图。

通过步骤讲解和示范，让学生掌握绘制圆锥的侧面展开图的方法。

4.2 圆锥的侧面展开图的绘制技巧介绍一些绘制圆锥的侧面展开图的技巧，如如何准确地测量和标记圆锥的底面半径和母线长等。

第五章：圆锥的侧面展开图的综合练习5.1 圆锥的侧面展开图的计算练习提供一些有关圆锥的侧面展开图的计算题目，让学生巩固圆锥的侧面积和全面积的计算方法。

5.2 圆锥的侧面展开图的应用练习提供一些有关圆锥的侧面展开图的应用题目，让学生将所学知识应用到实际问题中。

有关圆锥展开图计算的两个重要公式

有关圆锥展开图计算的两个重要公式广东省东莞市光明中学许昌大家在解决有关圆锥侧面展开图的计算问题时，通常利用了两个等量关系，第一个是=×底面圆周长(或侧面的弧长)×母线长，第二个就是侧面的弧长等于底面的周长，但每次都直接利用这两个等量关系来计算还是很麻烦，特别是同学们往往容易忘记乘以系数，基于此我们不妨把这两个等量关系进一步推导，得出实质性的乘积、比例公式。

我相信同学们在理解并运用这两个公式后，解题的思路可以变得清晰，速度和准确度也可以得到很大的提高。

一、推导公式：1.乘积式：侧面积：全面积：2.比例式：弧长等于⊙O1的周长∵∴又∵即：这两组公式的优点是避开了求底面圆周长，而直接建立了S侧与R、r的乘积关系，以及圆心角n与R、r的比例关系，减少了许多中间过程，特别是比例式给我们的计算带来了极大的便利。

二、运用乘积式：类型一：顺向使用公式【问题】（2009济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（）A．B．C．D．分析：从刚才推导出的可以看出，只与圆锥的母线长度以及底面圆半径有关，若题目没有直接给出母线长度以及底面圆半径，往往还可以利用R、r和h组成的直角三角形，求出未知的R或r来，从而计算出侧面积。

结论：要求,就求R、r。

解答：此题由底面半径高可以求出母线BC为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由，选C。

【练习】1. （2009铁岭）小丽想用一张半径为5cm的扇形纸片围成一个底面半径为4cm的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸片的面积是cm2．（结果用表示）202.（2009南昌）一个圆锥的底面直径是80cm,母线长是90cm,则它的侧面积是____ 。

3600cm23. （2008成都）小红同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（）BA．12πcm2B．15πcm2C．18πcm2D．24πcm2类型二：逆向使用公式【问题】（2009义乌）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，则圆锥的高AO为 .分析：从刚才推导出的可以看出，已知、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题目要求求出圆锥的高h，往往还可以利用R、r和h 组成的直角三角形，从而求出。

圆柱和圆锥的侧面展开图

例（1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是2cm ______.（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是度. 分析首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 21=扇求得2cm 15π，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.例一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ∆，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系,222l lππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ，由题意得,22lC π=又.2r C π= ,222l lππ=∴得r l 2= ① 在SOA Rt ∆中，22210+=r l ② 由①、②得：cm.2320cm,2310==l r ∴所求圆锥的侧面积为)cm (3200332033102πππ=⨯⨯==rl S例圆锥的轴截面是等腰PAB ∆，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.解：如图，扇形的圆心角.12031360360οοο=⨯=⨯=l r ο60='∠∴PB A ，在PM A '∆中，过A '作PM N A ⊥'于N ，则,5.121='=A P PN ,3235.1322=-='∴N A MNA Rt '∆中，.74142722=+=+'='MN N A M A典型例题八例已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°．（1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3．圆锥的底面半径=512543=⨯ π=⨯⨯π+⨯⨯π=+=58435124512S S S 21侧侧全（cm 2）．说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．典型例题九例一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=πα180l ，又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ． ∴r 2r 2180π=⋅πα，∴︒=α)2180(．说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的345ABC 345ABCD长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．典型例题十例矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.典型例题十二例一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.解（1）).cm (30020010022πππππ=+=+=rl r S 圆锥表（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ∆中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ∆中，.30,21sin ︒=∴==ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由1802lr βππ=得︒=180β，∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.典型例题十三例一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）解设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.10222=+l l ∴25=l （负值已舍）.又 )cm (19.189)525(514.3)(,510212≈+⨯⨯=+=∴=⨯=r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=⨯答至少要油漆473.0克.说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.例（1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2cm 64π，那么圆柱的母线长为（）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（）（A ）302cm π （B ）602cm π （C ）902cm π （D ）1202cm π分析圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.典型例题二例已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π5则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=5060)5(260S 2．（2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π3 则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=1860)3(260S 2．说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．典型例题五例已知矩形ABCD 一边AB=10cm ，AD=6 cm ，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面积．解：（1）以AD 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π5则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=5060)5(260S 2．（2）以AB 为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径r=π3 则圆柱表面积为π+=π⋅π⋅+=1860)3(260S 2．说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．典型例题九例一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心角．解：设圆锥的母线SA=l ，底面半径为r ，则底边周长c=2πr ，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径为l ，它的中心角为α，则 c=πα180l ，又△ASB 为等腰直角三角形，∴l =2r ．∴r 2r 2180π=⋅πα，∴︒=α)2180(．说明：圆锥展开图的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥母线的长，扇形的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．典型例题七例一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=⨯π⨯2418018240∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=ππcm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ），∴圆锥的轴截面积S=572562421=⨯⨯（cm 2）说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．典型例题六例已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积．解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．典型例题一例矩形的边，，以为轴旋转一周得到的圆柱体的表面积是（）（A）（B）（C）（D）分析与解答：圆柱表面积是两底面积之和加上侧面积.圆柱的侧面展开图是矩形.因此，圆柱的侧面积是矩形的面积，即底面周长（）与圆柱的高（母线）的积，解之选（C ）.典型例题七例一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，求这个圆锥的轴截面积．解：∵扇形的半径为18cm ，圆心角为240°，∴扇形的弧长L=π=⨯π⨯2418018240∵扇形弧长等于底面圆周长，∴圆锥的母线长为18cm ，底面半径=12224=ππcm ∴圆锥的高为56121822=-（cm ）， ∴圆锥的轴截面积S=572562421=⨯⨯（cm 2）说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．典型例题四例已知一个圆柱的轴截面是一个面积为16cm 2的正方形，求它们侧面积．解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为16cm 2∴圆柱的高为4cm ，圆柱底面直径也是4cm 即底面半径为2cm ．∴圆柱的侧面积=2π×2×4＝16πcm 2．说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．典型例题五例（1）若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是2cm ______.（2）若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是度. 分析首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用lR S 21=扇求得2cm 15π，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288°.典型例题十一例已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.典型例题八例已知一个三角形的边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，求以一边所在的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．略解：如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3， ∵AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°．（1）当以AC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为3，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=24)35(3S S S 侧底全（cm 2）．（2）当以BC 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是以底面半径为4，母线长为5的圆锥．π=+⨯⨯π=+=36)45(4S S S 侧底全（cm 2）．（3）当以AB 所在的直线为轴旋转一周时，形成的几何体是同底面的两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为4、3．圆锥的底面半径=512543=⨯ π=⨯⨯π+⨯⨯π=+=58435124512S S S 21侧侧全（cm 2）．说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．典型例题六例一个圆锥的高是10㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.分析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l ，底面半径r .由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即SOA Rt ∆，且,,,10r OA l SA SO ===关键找出l 与r 的关系，又其侧面展开图是345ABC 345ABCD半圆，可得关系,222l lππ=，即r l 2=. 解：设圆锥底面半径r ，扇形弧长为C ，母线长为l ，由题意得,22lC π=又.2r C π= ,222l lππ=∴得r l 2= ① 在SOA Rt ∆中，22210+=r l ② 由①、②得：cm.2320cm,2310==l r ∴所求圆锥的侧面积为)cm (3200332033102πππ=⨯⨯==rl S典型例题十例已知：斜边，以直线为轴旋转一周得一表面积为的圆锥，则这个圆锥的高等于 .分析与解答：圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和.圆锥的侧面展开图是扇形.圆锥的侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的一半.此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为的长，关键在于求底面半径，不妨设，则，即可求出，解之得高＝12cm.典型例题十二例一个圆锥的底面半径为10cm ，母线长20cm ，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的高；（3）轴与一条母线所夹的角；（4）侧面展开图扇形的圆心角.解（1）).cm (30020010022πππππ=+=+=rl r S 圆锥表（2）如图，OS 为圆锥的高，在Rt OSA ∆中，31010202222=-=-=AS OA OS （cm ）.（3）设轴与一条母线所夹的角为α，在Rt OSA ∆中，.30,21sin ︒=∴==ααOA AS （4）设侧面展开图扇形的圆心角度数为β，则由1802lr βππ=得︒=180β，∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式.典型例题十三例一个圆锥形工件的轴截面是一个等腰直角三角形，这个直角三角形的斜边长为10厘米，现为这个工件刷油漆，若每平方厘米要2.5克油漆，问至少要油漆多少克（备用数据：π取3.14，2取1.41，结果精确到0.1）解设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，表面积为S .∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴由勾股定理得.10222=+l l ∴25=l （负值已舍）.又 )cm (19.189)525(514.3)(,510212≈+⨯⨯=+=∴=⨯=r l r S r π 则.0.47398.47219.1895.2≈=⨯答至少要油漆473.0克.说明：本题考查圆锥表面积计算的应用，易错点是忽视精确度误得472.98克.典型例题十二例圆锥的轴截面是等腰PAB ∆，EG ,2,3===AB PB PA M 是AB 上一点，且2=PM ，那么在锥面上A 、M 两点间的最短距离是多少？分析：设圆锥的侧面展开图是扇形,B PB 'A 点落在A '点，则所求A '、M 之间的最短距离就是侧面展开图中线段A 'M 的长度.解：如图，扇形的圆心角.12031360360οοο=⨯=⨯=l r ο60='∠∴PB A ，在PM A '∆中，过A '作PM N A ⊥'于N ，则,5.121='=A P PN ,3235.1322=-='∴N A MNA Rt '∆中，.74142722=+=+'='MN N A M A典型例题三例（1）如果圆柱底面半径为4cm ，它的侧面积为2cm 64π，那么圆柱的母线长为（）. （A ）16cm （B ）16πcm （C ）8cm （D ）8πcm（2）如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为10cm ，那么圆柱的侧面积为（）（A ）302cm π （B ）602cm π （C ）902cm π （D ）1202cm π分析圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm ，故选（C ），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B ）.填空题1．用边长分别为π8和π6的矩形卷成圆柱，则圆柱的底面面积是 . 2．如果圆锥的高为8㎝，圆锥的底面半径为6㎝，那么它的侧面展开图的面积为 . 3．已知矩形ABCD ，一边AB=30㎝，另一边AD =9㎝，以直线AB 为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为 2cm （结果用π表示）.4．已知一矩形的长为AB =6，宽AD =4，若以它垂直于一组对边的对称轴为轴旋转180°，得到的立体图形的表面积为 .5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形做一个圆锥，那么这个圆锥的底面周长为 .6．用过轴线的平面把一个圆锥剖开得到一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径是高的倍，母线是高的倍.7. 圆柱的高与底面直径相等，如果它的侧面积为S ，则底面积是________8. 矩形ABCD 的边cm 4=AB ，cm 2=AD ，以直线AD 为轴旋转一周，所得的圆柱的侧面积是_______2cm9. 底面直径是0cm 1，高是cm 12的圆锥，沿它的轴剖开得到一个______三角形，该三角形的面积是______2cm10. 一个圆锥形零件的高为0cm 1，若经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为______cm ，母线长为______cm ，侧面积为______2cm ，表面积为_____2cm 11. 若一圆锥的侧面积为415π，母线长为3，则侧面展开图的圆心角为________. 12．若一个圆锥的母线长是5cm ，底面半径是3cm ，则它的侧面展开图的面积是 2cm . 13．一位同学制作一圆锥模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm ，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆铁片做底，那么这块圆铁片的半径为 . 14．已知圆柱底面半径为π2，高为10，则圆柱侧面积是 .参考答案:1．;916ππ和 2．π60； 3．π702； 4．ππ3242或； 5．38π；6．1，2.7.4S8. π16 9. 等腰 60 10. cm 10，cm 210，2cm 2100π 2cm )12(100π+11. ︒150. 12．π1513．6cm 14．40.选择题1．在矩形ABCD 中，CA AB ≠，分别以直线AB ，AC 为轴旋转一周得两个圆柱，这两个圆柱的底面积与侧面积分别有什么关系？（） A ．底面积相等，侧面积也相等 B ．底面积不等，侧面积相等 C ．底面积相等，侧面积不相等 D ．底面积不等，侧面积也不等2．如图，已知圆锥的高为cm 4，底面半径为cm 3，则圆锥侧面展开图的面积为（）A ．2cm 9πB ．2cm 15πC ．2cm 24πD ．2cm 30π3．一个圆锥的高为cm 310，侧面展开后是一个半圆，则圆锥的表面积是（） A ．2cm 002π B ．2cm 003π C ．2cm 004πD ．2cm 603π4．在ABC ∆中，︒=∠90C ，a BC =，b AC = )(b a >，分别以AC ，BC 所在的直线为轴旋转一周，所得的圆锥的侧面积依次记为1S ，2S ，则1S 和2S 的大小关系为（） A ．21S S >B ．21S S =C ．21S S <D ．以上情况都有可能5．一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的侧面积和底面积的比是（）（A ）1 （B ）π （C ）π4 （D ）46．在△ABC 中，,90,4,3ο=∠==A AC AB 把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为1S ；把Rt △ABC 绕直线AB 一周得到另一个圆锥，其表面积为2S ，则=21:S S （）（A ）3:2 （B ）4:3 （C ）9:4 （D ）56:397．已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）（A ）12.5厘米（B ）25厘米（C ）50厘米（D ）75厘米8．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（）（A ）60° （B ）90° （C ）120° （D ）180°9．如果圆柱的底面直径为4，母线长为2，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）（A ）π8 （B ）π4 （C ）π16 （D ）810．一张矩形纸片，两边长分别为2cm 和4cm ，以它的一边所在直线为轴旋转一周，所得的圆柱的表面积一定是（）（A ）2cm 24π或2cm 48π （B ）2cm 32π或2cm 20π （C ）2cm 24π或2cm 32π （D ）2cm 20π或2cm 48π参考答案：1．B 2. B 3. B 4. A 5．C ； 6．A ； 7．B ； 8．D. 9．A 10．A.解答题1．已知圆柱的底面半径为2cm ，圆柱的高为3cm ．求它的侧面积． 2．已知圆柱的底面直径为4cm ，圆柱的高为5cm ．求它的全面积． 3．已知圆拄的高为4cm ，侧面积为40πcm 2．求它的全面积．4．已知矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=2cm ，以AB 为轴旋转一周，补上底面，求所成的圆柱的全面积；再以BC 为轴旋转一周，补上底面．求所成的圆柱的全面积．比较一下两个圆柱全面积的大小．5．已知圆锥的母线长为6cm ；底面半径为2cm ．求它侧面展开图的圆心角的度数． 6．已知扇形的半径为4cm ，圆心角为120°，用它做成一个圆锥．求圆锥的底面面积． 7．已知圆锥的高为6cm ，底面半径为8cm ．求这个圆锥的侧面积． 8．在如图所示的矩形ABCD 中，cm 2=AB ，cm 3=BC ，MN 是它的一条对称轴。

圆锥的侧面展开图

例1、圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高
为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（取3.14，结
果保留2个有效数字）
l h
r
解：∵l=80，h=38.7 ∴r= l2 h2 802 38.72 70 ∴S侧=πrl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2）
答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2。
例2：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r; r=4
(2)求这个圆锥的高. 2 21
A
r
C
B
O
1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm, 求它的全面积.
S全=5200 cm2
2.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
A
BO
C
圆锥的侧面展开图是扇形
A
l
BO
C
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长2r
S
A
Or
B
做一做
(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这
个圆锥的母长为_1_0_c_m___
(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，
则这个圆锥的侧面积为_2_4_0___c_m__2，全面积为_3_8_4___c_m2
C. 28cm2
B.30cm2 D. 15cm2
例2.蒙古包可以近似地看成由圆锥
和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建
20个底面积为16πm2,高为4.5 m，外围高1.5 m的蒙古包,至少需要多少
m2的毛毡?
解:如图是一个蒙古包的示意图依题意,下部圆柱的底面积16πm2,高为1.5m;

圆锥的侧面和全面积

位mm），求：（1）圆锥形零件的母线长； SB=50 mm （2）零件的表面积。 2400π mm2
S
40
A
.
φ60
B
❖ 1、如图，有一直径为2米的圆形铁皮，要从中剪
出一个最大的圆心角为90°的扇形铁皮ABC。
拓（1）被剪去部分的面积是多少？（2）把剪出的扇形围成一个圆锥，那么该圆锥
展的底面圆的半径是多少？
提高
1 米2
A
90°
2
2 2 米 B
1O 1
C
4
.
❖ 2、从一个底面半径为20cm，高30cm
的圆柱中挖去一个以圆柱上底为底，下
拓底圆心为顶点的圆锥，如图，得到一个
展几何体，求这个几何体的表面积。
提 1 6 2 00 1 0 c 0 32m
高
B
10 13 30
O 20 A
.
3、已知一直角三角形两直角边长分别为3
2.4。
3
.
3、已知一直角三角形两直角边长分别为3
和4，以它的一边所在直线为轴旋转，形成一
个几何体，求几何体的表面积。
解：分三种情况
V
（3）以边长为5
的斜边所在直线为
轴旋转得双圆锥，
这时，底面半径为
2.4。
A
O
B
.
S
3、已知一直角三角形两直角边长分别为3
和4，以它的一边所在直线为轴旋转，形成一
个几何体，求几何体的表面积。
MB
H3
2
7
.
A
❖ 圆锥的母线： S圆锥的有关如概：念SA、SB、SA1
❖ 圆锥的高： SO ❖ 圆锥的轴：直线SO
B

圆锥的侧面积

（结果可含∏）
• 1、高为４㎝，底面直径为６㎝的圆锥侧面积＿＿＿ 15 ∏ , • ２圆锥的母线与高的夹角为300，母线长 27 ∏ 18 ∏ 为6cm ,求它的侧面积＿＿，全面积 —— ， • 3若圆锥的母线l=10cm，高h=8cm，则 0 其侧面展开图中扇形的圆心角是 216 ——。
例:圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的 . 圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长58cm,高为 20cm,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2) 解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，
段村一中高贵芳
装修这样一个蒙古包需要多少布料？
蒙古包可近似看作下面几何体
（1）圆锥的侧面展开图是个什么图形？
（2）如何计算圆锥的侧面积？
h L
r
2∏ r 圆柱的侧面积＝2 ∏ rL
S
A
O
B
3，圆锥的侧面积与底面积之和称为全面积
1，圆锥的侧面展开图是扇形个----------2，设圆锥的母线长为 L,底面圆的半径为r,那么这个扇形的 L ，扇形半径为—— r ，因的弧长为2∏ —— 此圆锥的侧面积为 ∏ r L ——
58 r= 2
L=
58 2 ( ) 20 2 2
≈22.03(cm)
S
h=20
S圆锥侧=rl ≈
638.87

1 2
58 22.03=638.87(cm2)
20=12777.4 (cm2)
l
所以,至少要12777.4 cm2的纸
O┓ r 2πr=58
蒙古包可近似的看
成是由圆锥和圆柱组成的，
数学题闯关
直角三角形ABC中，∠C=900， AC=4，BC=3，求以一边所在直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体的表面积.

人教版九年级上册第24章：圆锥的侧面积和全面积课件(共37张PPT)

180 l
l
侧面展开图
C 2 r
r
o
其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2 r
圆锥的侧面积计算公式
S侧

1 lR 2
S侧

1 2

2r
l.
l
侧面展开图
l
r
o
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的全面积计算公式
练一练：已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为 20cm，则这个圆锥的侧面积为 240πcm2 ，全面积为 384πcm2 .
课堂小结
重要图形
圆锥的高 S
l
母线
h
r
AO
B
侧面展开图
l
or
底面
重要结论
r2+h2=l2
S圆锥侧＝πrl. S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底＝ πrl+πr2
①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l ②侧面展开图扇形的弧长=底面周长
当堂检测
1 填空、根据下列条件求值（其中r、h、 a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） (1) a = 2, r=1 则 h=_______
4.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇
形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积？
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这
个圆锥的底面圆的半径？
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？
请说明理由．
A
①
②
B
O
C
③
A
解：（1）连接BC，则BC=20，
①
②

圆锥的侧面展开图汇总

圆锥的侧面展开图汇总圆锥是一种由平面形状和锥体组合而成的立体几何体，其侧面展开图可以展开成一个平面图形。

本文将为您介绍几种常见的圆锥侧面展开图，以及计算圆锥侧面展开图面积和体积的方法。

圆锥的侧面展开图直角圆锥展开图直角圆锥是指其底面和母线之间夹角为90度的圆锥。

在展开图中，圆锥的底面展开成一个圆形，侧面展开成一条斜线和两个扇形。

直角圆锥展开图直角圆锥展开图在计算直角圆锥侧面展开图面积时，可以将侧面分解成两个扇形和一条三角形。

设圆锥的半径为r，侧面直线段长度为l，则展开图面积为：A = πr² + πrl在计算直角圆锥体积时，可使用下列公式：V = (1/3)πr²h其中，h为圆锥高度。

正圆锥展开图当圆锥的底面和母线之间的夹角不为90度时，被称为正圆锥。

在正圆锥展开图中，圆锥的底面展开成一个圆形，侧面展开成一个扇形。

正圆锥展开图正圆锥展开图在计算正圆锥侧面展开图面积时，可使用下列公式：A = πr² + πrl其中，r为圆锥的半径，l为圆锥侧面直线段长度。

在计算正圆锥体积时，可使用下列公式：V = (1/3)πr²h其中，h为圆锥的高度。

倒圆锥展开图倒圆锥是指圆锥的底面反转的立体几何体。

在展开图中，倒圆锥的底面展开后成为一个带有三角形开口的圆形，侧面展开成两条直线段和两个扇形。

倒圆锥展开图倒圆锥展开图在计算倒圆锥侧面展开图面积时，可使用下列公式：A = πr² - πrl其中，r为圆锥的半径，l为圆锥侧面直线段长度。

在计算倒圆锥体积时，可使用下列公式：V = (1/3)πr²h其中，h为圆锥的高度。

本文介绍了三种常见的圆锥侧面展开图，包括直角圆锥展开图、正圆锥展开图和倒圆锥展开图。

此外，还介绍了计算圆锥侧面展开图面积和体积的方法。

希望本文能够对您有所帮助。