概率论与数理统计课后答案北邮版 (第三章)

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概率与数理统计第3章答案

第3章习题答案祥解1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。

从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量、如下：X Y ⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第11,0;,1X ⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第22,0;,1Y 试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布。

),(Y X （1）第1次抽取后放回；（2）第1次抽取后不放回。

解（1）依题知所有可能的取值为.因为),(Y X )1,1(),0,1(),1,0(),0,0(； 254104104)0|0()0()0,0(1101411014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 256106104)0|1()0()1,0(1101611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 256104106)1|0()1()0,1(1101411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 259106106)1|1()1()1,1(1101611016=⨯=⋅===⋅====C CC C X Y P X P Y X P 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：),(Y X X Y （2）类似于（1），可求得； 15293104)0|0()0()0,0(191311014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P YX01⋅i p 0254256251012562592515jp ⋅251025151YX01⋅i p -111p 041021p 22p 21； 15496104)0|1()0()1,0(191611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15494106)1|0()1()0,1(191411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 15595106)1|1()1()1,1(191511016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：),(Y X X Y 2.已知随机变量、的概率分布分别为X Y 且，求1)0(==⋅Y X P （1）和的联合概率分布；（2）.X Y )(Y X P =解（1）因为)1,0()0,0()0,1()0,1()0(=======-===⋅Y X Y X Y X Y X Y X 所以1)1,0()0,0()0,1()0,1()0(22213111=+++==+==+==+=-===⋅p p p p Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P ＝又根据得，从而.于是由表12131=∑∑==j i ijp03212=+p p 03212==p p YX01⋅i p 01521541561154155159jp ⋅1561591X P-11412141Y P12121YX01⋅i p -141041002121141021jp ⋅21211可得，，，.4111=p 4131=p 2122=p 0212221=-=p p 故的联合概率分布为),(Y X (2)由(1)知.0)1,1()0,0()(===+====Y X P Y X P Y X P 3.设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分),(Y X {}10,20),(≤≤≤≤=y x y x D 布，且⎩⎨⎧>≤=.,1;,0Y X Y X U ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,0Y X Y X V 求与的联合概率分布。

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P （3）求{}5.1<X P ；（4）求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计课后谜底北邮版第三章 2

X Y 4
2
dx
0 2 8
4x 1(6 x y)dy 2 .
题5图 6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
求：（1） X 与 Y 的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
fY（y）= 0,
题6图【解】（1）因 X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为
0
P{0 X 1, 0 Y 2} 1 212e(3x4 y)dxdy (1 e3 )(1 e8 ) 0.9499.
0 0
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）确定常数 k；（2）求 P{X＜1，Y＜3}；（3）求 P{X<1.5}；（4）求 P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有
而
f
X
(
x)

D1
D2
5e5y , y 0,
1 0.2
,
0, 其他.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案-

习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。

解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。

解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。

解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。

考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。

解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生。

C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。

)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生。

C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生。

C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生。

BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生。

C B C A B A ⋃⋃；(7) A 。

B 。

C 中至多有两个发生。

ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论与数理统计第三章习题及答案

《概率论与数理统计》(第三版)课后习题答案

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

《概率论与数理统计》习题及答案第三章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-

概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯=111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表： 23247C 3C 35= 13247C 2C 35= 1232247C C 6C 35= 1132247C C 12C 35= 13247C 2C 35= 2427C /C =2132247C C 6C 35= 23247C 3C 35=3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25ed d yy xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.x y x x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=e ,0,0,.y x y -⎧<<⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=22,1,0,.cx y x y ⎧≤≤⎨⎩其他（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0, .y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1,,01,0,.y x x ⎧<<<⎨⎩其他求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.x x y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为 2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXYXY(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2）当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰336231010101=d 12y yzy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180h 的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p qi k i n n p qi k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为 V =max(X ,Y ) 0 1 2 3 4 5 P 00.040.160.280.240.28(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑ 0,1,2,3,i =于是 U =min(X ,Y ) 0 1 2 3 P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j 1/61【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布. 【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：（1） a ,b ,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.27. 设随机变量X,Y 独立同分布,且X 的分布函数为F(x),求Z=max{X,Y}的分布函数.解：因为X,Y 独立同分布，所以F X （z ）=F Y (z),则F Z （z ）=P{Z ≤z}=P{X ≤z ，Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=［F （z ）］2.28.设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为1{},1,0,1,3P X i i ===-Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他.记Z =X +Y .（1）求1{|0};2P Z X ≤= （2）求Z 的概率密度()Z f z分析题（1）可用条件概率的公式求解.题（2）可先求Z 的分布函数，再求导得密度函数.解(1) 1{0,}12{|0}2{0}P X Z P Z X P X =≤≤===1{0,}2{0}P X Y P X =≤== 11{}22P Y =≤=（2）(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=1[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-1[(1)()(1)]3Y Y Y F z F z F z =+++-'1()()[(1)()(1)]3Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-1,1230,.z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,f X (x),f Y (y)分别表示X,Y 的概率密度,求在Y=y 的条件下,X 的条件概率密度f X ｜Y (x ｜y).解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f(x,y)= f X (x) ·F Y (y)，由本章所讨论知，/()()(,)(/)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===.30.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（1）求{2};P X Y >（2）求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .分析已知(X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)GG f x y dxdy =⎰⎰ 解（1）； Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解（1）2{2}(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰120120(2)57().824xdx x y dy x x dx =--=-=⎰⎰⎰（2）()(,),Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其他201,01z x z x -<<<-<⎧=⎨⎩其他当02z z ≤≥或时，()0Z f z =；当01z <<时，0()(2)(2);zZ f z z dx z z =-=-⎰当12z ≤<时，121()(2)(2),Z z f z z dx z -=-=-⎰即Z 的概率密度为2(2)01()(2)120Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。

概率论与数理统计第三、四章答案(DOC)

第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==（3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯=或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4．连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值解由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k == 5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。

概率论与数理统计教程(答案及课件)chapter3

,
则有
1 PZ x 2
e
x
du x
故
于是
Z
X

~ N 0 , 1 .
X ~ N , 2
X x FX x P X x P x
根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
2
设 X~ N ( , 2 ) ,
X 的分布函数是
2σ 2
F x
x 1 e 2πσ
( t μ )2
dt , x
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和
σ不同时，是不同的正态分布。下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
3
标准正态分布
7 （3）求P 1 X 2
解
kx , x f ( x ) 2 , 2 0,

0 x3 3 x4 其它
(1) 由
0
1 f ( x )dx 1得k 6
3
4
x
F x
x

f t dt , x
x2 x1
f ( x )dx
利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率
4
若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
5. 对连续型 r.v X , 有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ，故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3

概率论与数理统计第三、四章答案

第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4．连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值解由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r kb a C C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A AA ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，20 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

《概率论与数理统计答案》第三章

第三章
习题参考答案与提示
第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ；（2） EX = 1.7 ；（3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==+∞∞-+∞∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞∞-+∞∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰+∞+∞--=002d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)3,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，4)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰+∞+∞--=002d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(⎰+∞+-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式，得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，0≤y 时，0)|(|=y x f Y X ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e 2)|(2|y x y x f x Y X ；同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y 0≤x 时，0)|(|=x y f X Y ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e )|(|y x x y f y X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ，其他，0)|(|=y x f Y X ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其他．,0,10,1,12)|(2|y x y y xy x f Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ，其他，0)|(|=x y f X Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他．,0,10,0,1)|(|x x y x x y f X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x yx y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰+∞∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d )3()),((x xx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y x y x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a ay a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-+∞∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---+∞∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f yY X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=102d e12x x ⎰--=12e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰+∞∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰+∞∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰+∞∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e )(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．解：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y xf +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-+∞∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x ⎰⎰+∞--=10d e d e y x b y x)e 1(|)e(|)e (10102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(yy x x -+--=-=⎰e d e e 1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e 1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e 1e1,0,01u u u uu ．。

《概率论与数理统计》习题及答案第三章

解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k pp p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。

解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C -，所以X 的分布列为()kr kb ar a bC C P X k C -+==，m a x (0,),m a x (0,)1,,m in (,)k r a r a b r =--+ ，此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。

3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。

解设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。

则 1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=.即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。

概率论与数理统计课后答案北邮版(第三章)

习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：X 0 1 23Y111 11321 1 1C 32228C 32223/ 831 01 1 1 182 2282.盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数 .求 X 和 Y 的联合分布律 .【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：X 0123YC 32 C 22 3 C 33 C 122C 7435C 7435 1C 13 C 12 C 226 C 32 C 12 C 12 12C 33 C 12 2 C 435C 4 35C 4357772P(0 黑,2 红,2 白)=C 13 C 22 C 126 C 32 C 22 3 0C 22 C 22 / C 74 1C 7435C 7435353.设二维随机变量（ X ， Y ）的联合分布函数为π πF （ x ， y ） =sin x sin y, 0 x 2 ,0 y 20,其他 . 求二维随机变量（X ， Y ）在长方形域0 π πyπ 内的概率 .x,634【解】如图 P{0 Xπ πYπ4,}公式 (3.2)6 3π π F ( π π F (0, π F (0, πF ( , ) , ) 3) )4 3 4 6 6π π π π π π sinsinsin sin6sin 0 sinsin 0 sin434362(31). 4题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（ X ，Y ）的分布密度A e (3x 4 y) ,x 0, y 0,f （x ， y ） =0,其他 .求：（ 1）常数 A ；（ 2）随机变量（ X ，Y ）的分布函数；（ 3） P{0 ≤X<1， 0≤Y<2}.【解】（ 1）由f ( x, y)dxdyAe -(3 x 4y )dxdyA 112得 A=12（ 2）由定义，有yxF ( x, y)f (u, v)dudvy y (3 u 4v)dudv (1 e3x)(1 e 4 y) y 0, x 0,0 12e0,其他0,(3) P{0 X 1,0 Y 2}P{0 X1,0 Y2}1 2 (3 x 4 y )dxdy (1 e 3)(1 e 8)0.9499.12e 05.设随机变量（ X ，Y ）的概率密度为f （x ， y ） =k (6 x y), 0x 2, 2 y 4,0,其他 .（ 1）确定常数 k ；（ 2）求 P{ X ＜1，Y ＜3} ；（ 3）求 P{ X<1.5} ；（ 4）求 P{ X+Y ≤4}. 【解】（ 1）由性质有f ( x, y)dxdy2 4x y)dydx 8k 1,0 k(62故1R8（2） P{ X1,Y 3}13f ( x, y)dydx1 31x3k(6y)dydx288 (3) P{ X 1.5}f (x, y)dxdy 如图 a f ( x, y)dxdyx 1.5D 11.5 4 1y)dy27dx(6 x .2832(4) P{ X Y 4}f ( x, y)dxdy 如图 b f ( x, y)dxdyX Y 42 4 x dx2D 21(6 x y)d y2 . 83题 5 图6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（ 0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为5e 5 y , y 0,f Y （ y ） =其他 .0,求：（ 1） X 与 Y 的联合分布密度；（ 2） P{ Y ≤X}.题 6 图【解】（ 1）因 X 在（ 0， 0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1, 0 x 0.2,f X ( x)0.20, 其他 .而f Y ( y)5e 5 y , y0,0, 其他 .所以f (x ,y )X Y,独立 fX x( f) y ( )Y1 5e 5 y25e 5 y ,0 x 且 y0,0.20.20,其他 .0,(2) P(YX )f ( x, y)dxdy 如图 25e 5 y dxdyy xD0.2x0.2( 5e5x5)dx0 dx 25e-5ydy 0=e -10.3679.7.设二维随机变量（ X ， Y ）的联合分布函数为F （ x ， y ） =(1 e 4 x )(1 e 2 y ), x 0, y 0,0,其他 .求（ X ， Y ）的联合分布密度 .【解】 f (x, y)2F ( x, y) 8e (4 x 2 y) , x 0, y0,x y0,其他 .8.设二维随机变量（ X ， Y ）的概率密度为f （ x ，y ） =4.8y(2 x), 0 x 1,0 y x,0,其他 .求边缘概率密度 .【解】( )( , )df X xf x y yx4.8y(2 x)dy2.4x 2 (2 x), 0 x 1,=0,0,其他 .f Y ( y)f ( x, y) dx1x)dx2.4 y(3 4yy 2), 0 y 1,=4.8 y(2 y0,0,其他 .题8图题9图9.设二维随机变量（X， Y）的概率密度为e y , 0 x y,f（x， y） =0,其他 .求边缘概率密度.【解】()( , )df X x f x y y=xe y dy e x,x 0,0,其他.0,f Y ( y) f (x, y)dxye y dx ye x ,y 0,=0,其他.0,题 10图10.设二维随机变量（X， Y）的概率密度为cx2 y, x2y 1,f（ x，y） =其他 .0,（1）试确定常数 c；（2）求边缘概率密度 .【解】（ 1） f ( x, y)dxdy如图 f (x, y)dxdyD112ydy 4c 1.= dxx 2 cx-121 21得.c4(2) f X ( x) f ( x, y)dy221x2 ydy21x2 (1x4 ), 1 x 1,1x480,0,其他.f Y ( y) f ( x, y)dxy 21x2 ydx7 y25,0 y1,0,y420,其他.11.设随机变量（ X， Y）的概率密度为1, y x, 0 x1,f（ x， y）=0,其他 .求条件概率密度f Y｜X（ y｜ x）， f X｜Y（ x｜ y） .题 11图【解】()( ,)df X x f x y yx1dy2x, 0 x 1,x0,其他 .11y,1y0,1dxyf Y ( y) f ( x, y)dx11y,0y1,1dxy0,其他 .所以f ( x, y)1| y | x 1,,f Y |X ( y | x) 2 xf X (x)0,其他 .1,y x 1,1yf ( x, y)1,y x 1,f X |Y (x | y)1f Y ( y)y0,其他 .12.袋中有五个号码1， 2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为 Y.（1）求 X 与 Y 的联合概率分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】（ 1） X 与 Y 的联合分布律如下表Y345P{ X xi }X1112233610C5310C5310C5310201122310C 5310C531030011110C5210P{ Y y i}136 101010(2)因P{X1}P{Y61611,Y3}, 3}10100P{ X1010故X与Y不独立13.设二维随机变量（X， Y）的联合分布律为X258Y0.40.150.300.350.80.050.120.03（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（2） X 与 Y 是否相互独立？【解】（ 1） X 和 Y 的边缘分布如下表YX258P{ Y=y i } 0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2P{ X x }0.20.420.38(2) 因 P{ X 2} P{Y 0.4}0.2 0.8 0.160.15 P( X2, Y0.4),故X 与Y 不独立 .14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（ 0，1）上服从均匀分布， Y 的概率密度为f Y （y ） = 1 e y / 2 ,y 0,2其他 .0,（ 1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（ 2）设含有 a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 .y1, 0 x 1, f Y ( y)1e 2, y 1,【解】（ 1）因 f X ( x)其他 ;20,0,其他 .故f ( x, y) X ,Y 独立 f X (x) f Y ( y)1 e y /2 0 x 1, y 0, 20, 其他 .题14图(2) 方程 a 22Xa Y 0 有实根的条件是(2X )24Y 0故X 2 ≥Y ，从而方程有实根的概率为：P{ X 2Y}f ( x, y)d xdyx 2y1 x 21e y/ 2dydx21 2 [(1)(0)]0.1445.15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （ x ）=1000 ,x 1000,x20, 其他 .求Z=X/Y 的概率密度 .【解】如图 ,Z 的分布函数F Z(){}{ X}z P Z z P zY (1) 当 z≤0时，F Z(z)0（2）当 0<z<1 时，（这时当 x=1000 时 ,y= 1000） (如图 a) zF Z (z)1062 dxdy103dyyz1062 dxx2y103x2y x zyz= 103103106zy2zy3dyz2题15 图(3)当 z≥1时，（这时当 y=10 3时， x=10 3z）（如图 b）F Z (z)106dxdy3 dy zy1062 dxxx2y210103x2yyz=103106dy11 103y232zzy1 1 ,z1,2z即f Z ( z)z ,0z1,20,其他 .1,z1,2z2故 f Z ( z) 1 ,0z 1,20,其他 .16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于 180h 的概率 .【解】设这四只寿命为X i(i=1,2,3,4) ，则 X i~N（ 160， 202），从而P{min( X1, X 2 , X 3 , X 4 ) 180} X i之间独立 P{ X1 180} P{ X 2 180}P{ X3180} P{ X 4 180}[1P {X180} ][1P X {180}P] [1X{ 1 8P0} X] [1{180} ] 12344[1P{ X1180}] 4118016020[1(1)]4(0.158) 40.00063.17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{ X=k}= p（ k）， k=0， 1， 2，⋯，P{ Y=r}= q（ r）， r =0，1， 2，⋯.证明随机变量Z=X+Y 的分布律为iP{ Z=i}=p(k)q(i k) ，i=0，1，2，⋯.k 0【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数，所以{ Z i} { X Y i }{ X 0, Y i} { X 1,Y i 1}{ X i, Y0}于是i iP{ Z i}P{ X k, Y i k} X ,Y相互独立P{ X k} P{ Y i k}k 0k 0ip(k )q(i k )k 018.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p 的二项分布 .证明 Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布 .【证明】方法一： X+Y 可能取值为0，1， 2，⋯， 2n.kP{ X Y k}P{ X i, Y k i}i 0kP( X i ) P{ Y k i} i0ki0 ki 0n i n i n k iq n k i ip q pk in n pk q2n ki k i2np k q2 n kk方法二：设μ, ，⋯μ′均服从两点分布（参数为n p），则1,μ2,⋯,μn;μ′,μ′12， Y=μ′+μ′ +⋯+μ′,X=μ1+μ2n12nX+Y=μ1+μ2+⋯+μn+μ1′+μ2′ +⋯+μn′,所以， X+Y 服从参数为（2n,p)的二项分布 .19.设随机变量（X， Y）的分布律为X012345Y000.010.030.050.070.09 10.010.020.040.050.060.08 20.010.030.050.050.050.06 30.010.020.040.060.060.05(1) 求 P{ X=2｜Y=2} ， P{ Y=3｜ X=0} ；（2）求 V=max （ X， Y）的分布律；（3）求 U =min （ X， Y）的分布律；（4）求 W=X+Y 的分布律 .【解】（ 1）P{ X 2 |YP{ X2,Y2}2}P{Y2}P{ X2,Y2}0.05150.25, P{ X i ,Y2}2 i0P{ Y3| XP{Y3, X0}0}P{ X0}3P{ X0, Y3}0.011 ;P{ X0, Y j}0.033 j0（ 2）P{V i} P{max( X ,Y )i} P{ X i ,Y i} P{ X i ,Y i}i1iP{ X i ,Y k}P{ X k ,Y i},i0,1, 2,3, 4, k0k0所以 V 的分布律为V=max( X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)P{U i } P{min( X ,Y ) i}P{ X i ,Y i }P{ X i ,Y i}35i0,1, 2,3P{ X i,Y k}P{ X k,Y i}k i k i1于是U=min( X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X， Y）在屏幕上服从均匀分布 .（ 1）求 P{ Y＞0｜Y＞X}；（2）设 M=max{ X， Y} ，求 P{ M＞ 0}.题20 图【解】因（ X， Y）的联合概率密度为1222f (x, y)πR2,x y R ,0,其他 .P{Y0, Y X }（1）P{Y 0|Y X}P{Y X}f (x, y)dy0y xf (x, y)dy xπR1r drdπR2π/ 405πR1r dr4 dπR2π/ 403/ 8 3 1/ 2;4(2) P{ M 0} P{max( X ,Y) 0} 1 P{max( X ,Y ) 0}1P{ X 0,Y 0} 1f ( x, y)d113 . x 04 4y 021.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0， x=1,x=e2所围成，二维随机变量（ X ，Y ）在区域 D 上服从均匀分布，求（ X ， Y ）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？题 21 图【解】区域 D 的面积为 S 0e 21dxln x 1e 2 2. （ X,Y ）的联合密度函数为1xf ( x, y)1 , 1 x e2 ,0 y 1 , 2 x0, 其他.（ X ， Y ）关于 X 的边缘密度函数为1/ x11 2f X ( x)dy, 1 xe ,0 22x0,其他 .所以 f X (2)1 .422.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处 .Yy 1y 2y 3P{ X=x i }= p iXx 11/8x 21/8P{ Y=y j }= p j 1/612【解】因P{Y y j } P jP{ X x i ,Yy j } ,i 1故 P{Y y 1} P{ X x 1,Y y 1}P{ X x 2 ,Y y 1},从而 P{ X x 1,Y y 1}1 1 1 . 6824而 X 与 Y 独立，故{ } { }{ , } , P X x i P Y y jP X x i Y y i从而 P{ X x 1}1 P{ X x 1, Y y 1}1 . 624即： P{ X x 1}1 / 1 1 .24 6 4又 P{ Xx 1 } P{ X x 1, Yy 1} P{ X x 1 ,Y y 2} P{ X x 1,Y y 3},即11 1P{ X x 1,Y y 3},424 81从而 P{Xx 1,Yy 3 }.1 , 12 3同理 P{ Y y 2 }P{ X x 2 ,Y y 2 }28 31 1 1P{ Y y j }1 ,故 P{ Y y 3又} 12.j163同理 P{Xx 2} 3 .4从而P{ X x 2 , Y y 3} P{Y y 3} P{ X x 1,Y y 3 } 1 11 .3 124 故XYy 1 y 2 y 3P{ X x i } P ix 11111248124x 213138844P{ Y y j }p j111162323.设某班车起点站上客人数 X 服从参数为λ(λ>0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p （ 0<p<1 ），且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求：（ 1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ， Y ）的概率分布 .【解】 (1){ | } C mm(1 ) n m,0 , 0,1,2, .np pP Y m X nm n n(2) P{ X n, Y m}P{ X n} P{Ym | X n}C n m p m (1 p) n men, n m n, n 0,1,2, .n!24.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X~1 2 ，而 Y 的概率密度为f(y)，0.30.7求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】设 F （ y ）是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为G (u) P{ X Yu} 0.3P{ X Y u | X 1} 0.7 P{ X Y u | X 2}0.3P{ Y u1|X 1} 0.7 P{Yu 2 | X2}由于 X 和 Y 独立，可见G (u) 0.3P{Yu 1} 0.7 P{Y u2}0.3F (u 1)0.7F (u 2).由此，得 U 的概率密度为g(u) G (u)0.3F (u 1) 0.7 F (u 2)0.3 f (u 1) 0.7 f (u 2).25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间[0,3] 上的均匀分布，求 P{max{ X,Y} ≤1}.解：因为随即变量服从 [0， 3]上的均匀分布，于是有10 x 3,1 0 y 3,f ( x),f ( y),330, x0, x 3;0,y 0, y 3.因为 X ，Y 相互独立，所以10 x 3,0 y 3,f (x, y),90, x 0, y 0, x 3, y 3.推得P{max{ X ,Y}11}.926. 设二维随机变量（ X ， Y ）的概率分布为X11 Y1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.210.1c其中 a,b,c 为常数，且X 的数学期望 E(X)= 0.2,P{ Y ≤0|X ≤0}=0.5，记 Z=X+Y.求：（1） a,b,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） P{ X=Z}.解(1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1即a+b+c = 0.4.由 E(X)0.2 ，可得a c0.1 .再由P{ X0, Y0}a b0.1P{Y 0X 0}a b0.5 ,P{X 0}0.5得 a b0.3 .解以上关于 a，b，c 的三个方程得a0.2,b 0.1,c 0.1 .(2)Z 的可能取值为 2， 1， 0， 1， 2，P{ Z2}P{ X1,Y1} 0.2，P{ Z1}P{ X1,Y0}P{ X0,Y1}0.1 ，P{ Z0} P{X1, Y1}P{ X0,Y0}P{ X1,Y1}0.3 ，P{ Z1}P{ X1,Y0}P{ X0,Y1}0.3 ，P{ Z2}P{ X1,Y1}0.1，即 Z 的概率分布为Z21012P0.20.10.30.30.1(3)P{ X Z}P{Y0} 0.1b0.20.10.10.20.4.27. 设随机变量X,Y 独立同分布 ,且 X 的分布函数为 F(x), 求 Z=max{X,Y} 的分布函数 .解：因为 X,Y独立同分布，所以 F X（ z） =F Y (z), 则 F Z（ z） =P{Z ≤ z}=P{X ≤ z， Y ≤ z}=P{x ≤z} · P{Y ≤ z}= ［F（ z）］2.28.设随机变量X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为P{ X i }1,i1,0,1, 31,0 y1,Y 的概率密度为f Y( y)其他 .记 Z=X+Y.0,（1）求P{ Z 10}; | X2（2）求 Z 的概率密度f Z (z)分析题（ 1）可用条件概率的公式求解.题（ 2）可先求 Z 的分布函数，再求导得密度函数.1P{ X0, Z1}解(1)P{ Z0}2| XP{ X0}2P{ X0,Y1}P{ X0}2P{Y1}122（2）F Z (){}{} z P Z z P X Y zP{ X Y z, X 1}P{ X Y ,z X 0 }P{ X Y , z XP{ Y z 1, X1} P { Y z, X 0 } P {Y z 1, XP{ Y z 1} P{ X1} P{Y z} P{ X 0 } P {Y z 1} P { X1[P{Y z 1} P {Y z} P{ Y z 1} ]31Y Y[ F Y( z 1 ) F (z ) F (z 1 ) ]31f Z ( z)'[ Y f ( z 1 ) Y f (z ) Y f (z 1 ) ]F Z( z)31 ,1z 230,其他 .29.设随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布,且 X 与 Y 不相关 ,f X (x),f Y (y) 分别表示 X,Y 的概率密度 ,求在 Y=y 的条件下 ,X的条件概率密度f X｜Y (x｜ y).解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f(x,y)=f X (x)· F Y (y) ，由本章所讨论知，f ( x, y) f X ( x) f Y( y)f X / Y (x / y)f Y ( y)f X ( x) .f Y ( y)30.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2 x y, 0 x 1,0 y1,f ( x, y)0,其他.（1）求P{ X2Y};（2）求 Z=X+Y 的概率密度f Z( z) .分析已知 (X,Y)的联合密度函数，可用联合密度函数的性质 P{(X,Y)∈G} f ( x, y)dxdy解（ 1）； Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的G方法或直接套公式求解 .解（1）P{ X2Y} f ( x, y)dxdyx 2 y1x2(2x y) dydx0015x2 ) dx7.(x0824（2）( )( ,) ,z f x z x dxf Z其中 f ( x, z x)2x ( z x)0x1,0z x 1 0其他2z0x1,0z x10其他当 z 0或 z 2时，f Z( )0；z当 0z 1 时，f Z( z)zz)dx z(2z); 0(2当 1z 2 时，f Z( z)1(2z)dx(2z) 2 ,z1z(2z)0z1即 Z 的概率密度为f Z ( z)(2z) 21z20其他。

《概率论和数理统计》第三版-课后习题及答案解析.

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

概率论与数理统计第三章课后习题答案习题二1■将一硬币抛掷二次，以X表示在二次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:3•设二维随机变量（X, F）的联合分布函数为求二维随机变量（x, y）在长方形域内的概率.4 6 3J【解】如图叫眈怎＜今空^求：（1）常数/；F (x, y)sin xsiny,0,0"岁詣其他.・Tt ■兀・兀■兀=sin —_sin ——sin —_sin ——4 3 4 6二#(dl).斗sin OLfeinK ■八■兀—+sinIksin —3 6JT7说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4•设随机变量（X, Y）的分布密度f（兀，y）j e-(3.r+4y)x >0, y >0, 其他.(2) 随机变量(X, Y)的分布函数;(3) P{0 «1, 0之<2}.【解】(1)由 f(x,y)dxdy° °Ae(3x4y)dxdy £ 1得A = 12(2) 由定义，有y xF (x, y)f (u, v)dudvy y(3u 4v)12e dudvo o0,(3) P{0 X 1,0 Y 2}P{0 X 1,0 Y 2}5. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为(1 e 3x )(1 e 4y ) y 0,x 0,0,其他212e (3x 04y)dxdy(1 e 3)(1 e 8)0.9499.f(x ，y)=k(6 x y), 0,x 2,2 y 4,其他.(1)确定常数k ；(2)求 P{X v 1, Y v 3};(3)求 P{X<1.5};(4)求 P{X+Y W 4}.【解】(1)由性质有2 4f(x, y)dxdy ° 2 k(6 x y)dydx 8k 1,31-k(6 x y)dydx86.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0,0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为求：（1） X与Y的联合分布密度；（2）P{YN}.(2) P{X 1,Y 3} f (x, y)dydx(3)P{X(4)P{X1.5}x 1.5f (x, y)dxdy 如图 a f (x,y)dxdy1.5 4 10 dx -(6 x y)dy82732Y 4}Xf (x, y)dxdy如图 b f (x,y)dxdy(61 ) y)f Y（ y）5e5y, y 0,0, 其他.【解】（1）因X 在（0, 0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为f x (X)10 x 0.2,0.2,0,其他.而f/y)5e 5y , y 0,0,其他.所以f (x, y)X,丫独立 fx(x)gf Y (y)⑵ P(Y X) f (x, y)dxdy 如图 25e 5y dxdyy xD丄 0.2 5e 5y0,25e 5y, 0 x 0.2且 y 0, 0, 其他•0.2 0dx25e -5ydy0.2 5x0 ( 5e5)dx■1=e 0.3679.7.设二维随机变量（X, Y ）的联合分布函数为F （ x ，y ）(1 e 4x)(1 e 2y), x 0,y 0,0,其他.求（X ，Y ）的联合分布密度2［解］ f(x,y)x y8e(4x 2y), x 0,y 0,0, 其他.8.设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为f (x, y)=4.8y(2 x), 0 0,x 1,0 y x,其他.求边缘概率密度.【解】f x(x) f (x,y)dyx0 4.8y(2x)dy0,2.4X2(2 x), 0 x 1,0, 其他.f y(y) f (x,y)dx1=y4-8y(2x)dx 2.4y(3 4y y2), 0 y 1,0, 其他.,题8图9.设二维随机变量题9图X, Y)的概率密度为f (x, y) e y, 0 x y,0, 其他.求边缘概率密度.【解】f x(X) f (x, y)d yx0,e y dy xe , x 0,0, 其他.f Y(y) f (x,y)dxy e y dx0,ye x, y 0,0, 其他.y\i■v=xw p题10图10.设二维随机变量（X, Y）2f （x, y）= J试确定常数c;求边缘概率密度的概率密度为x2y 1,其他.(1)(2)【解】(1)f (x, y)dxdy如图Df (x,y)dxdy1 12-1dx x2cx ydy4c211.214f x(X) f(x,y)dy1 212 , xydyx 40, 212。

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