2022版《优化方案》高中数学人教A版必修四文档：第二章§2.2向量的减法 Word版含答案

2．2 向量的减法

1．问题导航

(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？

(2)点O ，A ，B 为平面中的任意三点，则AB →＝OB →－OA →

对吗？ (3)在向量运算中a ＋b ＝c ＋d ，是否有a －c ＝d －b 成立？ 2．例题导读

P 79例4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差．

P 80例5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模． 试一试：教材P 81习题2－2 A 组T 4你会吗？

向量的减法

向量的减法相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a ，零向量的相反向量仍是零向量定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：

已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →

＝b －a ，即b －a 可以表示为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量性质：

①－(－a )＝a ， ②a ＋(－a )

＝(－a )＋a ＝0，

③假如a 与b 互为相反向量， 则a ＝－b ，

b ＝－a ，a ＋b ＝0

1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意两个向量的差向量不行能与这两个向量共线．( )

(2)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( ) (3)相反向量是共线向量．( )

解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误． (2)正确．由于两个向量的差仍旧是一个向量，所以向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．

(3)正确．依据相反向量的定义知，该说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．下列等式中，正确的个数是( )

①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析：选C.由向量的加法及几何意义，可得：①a ＋b ＝b ＋a ，正确；由向量的减法及其几何意义，得a －b ＝－(b －a )，即②错误；0－a ＝－a ，③正确；依据相反向量的定义及性质得－(－a )＝a ，④正确；而a ＋(－a )＝0≠0，⑤错误． 3.OC →－OA →＋CD →

＝________．

解析：OC →－OA →＋CD →＝(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →

.

答案：AD →

4．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.

解析：由于a 与b 反向，所以|a －b |＝|a |＋|b |＝2. 答案： 2

1．相反向量满足的两个条件 (1)两个向量的方向相反． (2)两个向量的长度相等． 2．相反向量的意义

(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法． (2)为向量的“移项”供应依据．利用(－a )＋a ＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．

3．对向量减法的三点说明 (1)减法的几何意义

a －

b 的几何意义是：当向量a ，b 的起点相同时，从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． (2)与向量加法的关系

a －

b ＝a ＋(－b )，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (3)向量减法运算法则

把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．

已知向量作差向量

如图，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b －c .

(链接教材P 79例4)

[解] 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →

＝b －c .过点A

作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →

＝a ＋b －c .

法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →

＝c ，连接CB ，则CB →

＝a ＋b －c .

法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC →

，则OC →

＝a ＋b －c .

方法归纳

求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算．

平移作两向量的差的步骤

此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．

1．(1)如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .

(2)如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，求作向量b ＋c －a .

解：(1)作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →

＝a －b －c .

(2)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →

＝b ＋c －a .

向量的减法运算

化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →；

(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)． (链接教材P 81习题2－2A 组T 5)

[解] (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →

.

法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →

＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.

(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →

.

法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →

.

(3)法一：原式＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →

＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →

＝0.

法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →

) ＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →

＝0. 方法归纳 (1)

(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，留意观看是否有这两种形式的向量消灭．同时留意向

量加法、减法法则的逆向运用．

2．(1)在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →

＝d ，则下列等式中不正确的是( ) A ．a ＋b ＝c B ．a －b ＝d C ．b －a ＝d D ．c －a ＝b (2)化简下列各式： ①OP →－OQ →＋PM →－QM →； ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)．

解：(1)选B.依据向量加法的平行四边形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d .c －a ＝AC →－AB →＝BC →＝AD →

＝b ，故选B.

(2)①OP →－OQ →＋PM →－QM →＝QP →＋PM →－QM →＝QM →－QM →

＝0. ②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)－(EF →－EA →)＝AC →＋CE →－AF →＝AE →－AF →＝FE →.

用已知向量表示其他向量

设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第

四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →

.

[解] 由题意可知四边形OADB 为平行四边形，

所以OD →＝OA →＋OB →

＝a ＋b .

所以DC →＝OC →－OD →

＝c －(a ＋b )． 又四边形ODHC 为平行四边形，

所以OH →＝OC →＋OD →

＝c ＋a ＋b .

所以BH →＝OH →－OB →

＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .

若题中的条件不变，如何用向量a ，b ，c 表示出向量AH →

？

解：由例题解析可得OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ，则AH →＝OH →－OA →

＝c ＋a ＋b －a ＝b ＋c . 方法归纳

用已知向量表示其他向量的三个关注点

(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．

(2)留意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题．

(3)留意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.

3.(1)如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，则OD →＝

________．

且AB →＝a ，AC →＝(2)如图所示，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.

解：(1)由于BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →

＝OA →－OB →，OD

→＝OA →－OB →＋OC →，所以OD →

＝a －b ＋c .故填a －b ＋c .