变化率与导数

变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m
Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或
y ′|x ＝x 0，即
f ′(x 0)＝li m
Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
.
(2)导数的几何意义 ：
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝li m
Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
为f (x )的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x )′＝a x ln_a ， (e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a
，(ln x )′＝1
x .
3．导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤
f (x )
g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2
(g (x )≠0)． [小题体验]
1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e
D.1e
解析：选A 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 2．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________.
解析：由f (x )＝x ＋ln x (x >0)，知f ′(x )＝1＋1
x ，所以f ′(1)＝2.
答案：2
3．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．
解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭
⎫ln x ＋x ·1
x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：3
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[小题纠偏]
1．函数y ＝
ln x
e x
的导函数为________________． 答案：y ′＝
1－x ln x
x e x
2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1
a ·e x 图象的切线，则实数a ＝________. 解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1
a ·e x 0＝－1，
∴e x 0＝a ，又－1
a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2. 答案：e 2
考点一 导数的运算(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1
x ；
(3)y ＝cos x
e x
； (4)y ＝
11－x ＋1
1＋x
. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .
(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1x －1
x
2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫
cos x e x ′＝(cos x )′e x
－cos x (e x
)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . (4)∵y ＝
11－x ＋11＋x ＝2
1－x
， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2
(1－x )2
. [谨记通法]
求函数导数的三种原则
考点二 导数的几何意义(常考常新型考点——多角探明)
[命题分析]
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．
常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值．
[题点全练]
角度一：求切线方程
1．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
A ．4
B ．5 C.254
D.132
解析：选C ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，
∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，
故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－5
4，
∴所求面积S ＝12×54×10＝25
4.
角度二：求切点坐标
2．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1
x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，
则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．
答案：(e ，e) 角度三：求参数的值
3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2
解析：选B 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝
ln(x 0＋a )．
又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1
x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1.
又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.
[方法归纳]
导数几何意义的应用的2个注意点
(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)
D ．3(x 2＋a 2)
解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．
2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1
D ．e
解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则
f ′(1)＝－1.
3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0
D ．3x －y ＋1＝0
解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ， ∴y ′＝cos x ＋e x ， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，
∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 4．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，
∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：1
5．分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ·cos x ；(2)y ＝x ⎝
⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3. 解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2
x 3.
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2
D ．e
解析：选B f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1
x ＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋ln x 0
＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.
2．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2
D ．0
解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.
3．曲线y ＝1－
2
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2
解析：选A ∵y ＝1－
2x ＋2＝x x ＋2
， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2
(x ＋2)2，y ′| x ＝－1＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.
4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋2
3上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )
A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π
6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭
⎫2π
3，π D.⎝⎛⎦⎤
π2，5π6
解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭
⎫2π
3，π. 5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，
且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
解析：选D ∵f ′(x )＝1
x ，
∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，
∴切线l 的方程为y ＝x －1.
g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋7
2，m <0， 于是解得m ＝－2.
6．函数f (x )＝x e x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析： ∵f (x )＝x e x ， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，
∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝ 2e x －e.
答案：y ＝2e x －e
7.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.
解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1
3，即
f ′(3)＝－1
3
.
又因为g (x )＝xf (x )，
所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－1
3＝0. 答案：0
8．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋
c f ′(c )
＝________.
解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ， f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c
f ′(c )
＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c
(c －a )(c －b )
＝
a (
b －
c )－b (a －c )＋c (a －b )
(a －b )(a －c )(b －c )
＝0.
答案：0
9．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；
(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．
解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫
sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2
x ＋sin 2
x cos 2x
＝tan x ＋
x cos 2x
. (2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.
10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，
即x －y －4＝0.
(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－
8x 0＋5，
∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，
又切线过点P (x 0，x 30－4x 2
0＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0
－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，
∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )
A.27
8 B ．－2 C ．2 D ．－
278
解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′| x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝3
2代入①式，得k
＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝27
8
.
2．已知函数f (x )＝1
3x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .
(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，
即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪
⎧
k ≥－1，－1k ≥－1，
解得－1≤k ＜0或k ≥1，
故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。