第二节排列与组合

第二节排列与组合

【最新考纲】1•理解排列、组合的概念2理解排列数公式、组合数公式.3•能利用公式解决一些简单的实际问题.

©I基础梳理

1.

2•排列数与组合数

(1)从n个不同元素中取出m(m < n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.

(2)从n个不同元素中取出m(m < n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

3. 排列数、组合数的公式及性质

叶！ m ! (”一m) J

(7?^7? 6 N J ，且皿冬打)* 公式 性质 (1)0! — 1 ； A” = Tt!.

(2)C ；=C ：-w,；C ：+1=C ：+Cr 1

⑴ A ： = n (H- 1 ) (/? - 2) - (??- Z7? + I)

— 川

(n — m)!

f =垃—7』(〃一 1)(川一 一加+ 1) \ Z J

m I 特别地C ：=l

1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的 打 “X” )

(1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )

(2) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (

) (3) 若组合式C x = C ],则x = m 成立.( )

(4) 排列定义规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出 的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这 个元素就不再取了.( )

答案：⑴ x (2)V (3)X (4)V

2. 有A , B , C , D , E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第 一到第五的名次.A , B 两位学生去问成绩，老师对 A 说：你的名次 不知道，

但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一

下，这五位学生的名次排列的种数为（）

A．6B．18

C．20 D．24

解析：由题意知，名次排列的种数为C!A3= 18.

答案：B

3. （2015广东卷改编）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（）

A. 1 560条

B. 780条

c. 1 600条D. 800条

解析：由题意，得毕业留言共A4o = 1 560（条）.

答案：A

4. 我们把各位数字之和为6 的四位数称为“六合数” （如2013

是“六合数” ），则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有（）

A. 18个

B. 15个

c. 12个D. 9个

解析：根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组（0，0，4），（0，1，3），（0，2，2），（1，1，2）的所有排列，即共有3+A3+3+ 3 = 15（个）.

答案：B

5. （2016唐山调研）某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种

数为（）

1.排列数公式: m

A n =

n!

(n —m) !

2.组合数公式:

n!

(n —m)!

A. 85

B. 56

C. 49

D. 28

解析：法一（直接法）甲、乙两人均入选，有c；c2种方法.

甲、乙两人只有1人入选，有c2c2种方法，

二由分类加法计数原理，共有c；c7+49种选法. 法二（间接法）从9人中选3人有c3种方法.

其中甲、乙均不入选有c7种方法，

•••满足条件的选排方法是c3-c3= 84- 35= 49（种）.

答案：c -------- _［名师微博•通法领悟｝------------------------- 一个区别

排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素

后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合.

两个公式

三点提醒

1. 特殊元素、特殊位置优先原则.

2. 解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）和间接法（排除法）来解决，分类标准应统一.

3. 解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配.

四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序

排列,

备翻邈•高效提能I

无序组合；分类相加，分步相乘.

一、选择题

1. 把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐

法种数为（）

A. 144

B. 120

C. 72

D. 24

解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A3 = 24（种）放法.

答案：D

2. （2014安徽卷）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）

A. 24对

B. 30对

C. 48 对

D. 60 对

解析：正方体六个面的对角线共有12条，则有C12 = 66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°,则共有3X C4 = 18对, 而其余的都符合题意.因此满足条件的对角线共有66- 18= 48（对）.

答案：C

3. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发

言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )