《空间向量和立体几何》复习教案
高三数学复习教案10套立体几何与空间向量
yk iA(x,y,z)O jxzlB'O'A'B O A βα1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r ，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O叫原点，向量 ,,i j k r r r都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++u u u r r r，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz-中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r ， 112233a b a b a b a b ⋅=++r r ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a =r ， 则222123||a a a a a a =⋅=++r r r ．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a ba b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++r rr r r r ．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-uuu r uuu r7．直线和平面所成角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角8．公式：已知平面的斜线a 与内一直线b 相交成θ角，且a 与相交成1角，a 在上的射影c 与b 相交成2角，则有θϕϕcos cos cos 21=ϕ2ϕ1c b aθPαO ABED'B'C'A'ODACBαHDCBA9 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--10．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角（1）二面角的平面角范围是[0,180]o o ；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直11 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面12．面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 13．面面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 练习：1设231(,,)a a a a =r ，231(,,)b b b b =r，且a b ≠r r ，记||a b m -=r r ，求a b -r r 与x 轴正方向的夹角的余弦值2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿ 3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a r 分别与向量AC AB ,垂直，且|a r |＝3，求向量a r的坐标4．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45oo，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值5．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为22,4,42，求二面角的大小6．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求：（1）AO 与A C ''所成角； （2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）平面AOB 与平面AOC 所成角7已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，（1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线；（2）求异面直线1CC 和1BD 的距离参考答案： 1设231(,,)a a a a =r ，231(,,)b b b b =r，且a b ≠r r ，记||a b m -=r r ，αHDCBA求a b -r r与x 轴正方向的夹角的余弦值解：取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =r，设所求夹角为α，∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -⋅=---⋅=-r r r∴1111()()cos ||||a b c a b x a bmx m a b c α-⋅--===-⋅r r r r rr ，即为所求 2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿解：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-u u u r u u u rQcos ,||||BA BC BA BC BA BC ⋅∴===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴∠ABC ＝45°3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a r 分别与向量AC AB ,垂直，且|a r |＝3，求向量a r的坐标分析：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB BAC Θ ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴οAC AB S ⑵设a r＝(x,y,z)，则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x z y x解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a r ＝(1,1,1)或a r＝(－1，－1，－1).4．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45o o，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值解：过点C 作CH α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，则30CAH ∠=o，45CBH ∠=o，CDH ∠为所求CD 与α所成角，记为θ， 令CH a =，则2,AC a BC ==，则在Rt ABC ∆中，有AC BC CD AB ⋅==βαlP C B图1AED'B'C'A'ODACB在Rt CDH ∆中，sin CH CD θ==∴CD 与平面α所成角的正弦值2. 5．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,，求二面角的大小分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时， ∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥而面PAC I 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1sin 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠=o在Rt BPC ∆中，sin 2PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠=o故304575ACB ∠=+=ooo（图1）或453015ACB ∠=-=ooo（图2） 即二面角l αβ--的大小为75o 或15说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角6．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求：（1）AO 与A C ''所成角；（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角 解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）βαlPCB图2AO ED 1C 1B 1A 1DCBA OD 1C 1B 1A 1D CB A在Rt AOC ∆中， 2,2OC AC == ∴30OAC ∠=o （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角 在Rt OAE ∆中，22115,1()22OE AE ==+= ∴5tan 5OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为907已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，（1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线；（2）求异面直线1CC 和1BD 的距离 解：（1）解法一：延长EO 交1A A 于F ，则F 为1A A 的中点，∴//EF AC ， ∵1CC AC ⊥，∴1C C EF ⊥，连结1,D E BE ，则1D E BE =， 又O 是1BD 的中点，∴1OE BD ⊥，∴OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线（2）由（1）知，OE 122AC ==． 解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）引申：求1B C 与BD 间的距离解法一：（转化为1B C 到过BD 且与1B C 平行的平面的距离） 连结1A D ，则1A D //1B C ，∴1B C //平面1A DB ，连1AC ，可证得1AC BD ⊥，1AC AD ⊥，∴1AC ⊥平面1A DB ，∴平面1AC ⊥平面1A DB ，且两平面的交线为1A O ，过C 作1CE AO ⊥，垂足为E ，则CE 即为1B C 与平面1A DB 的距离，也即1B C 与BD 间的距离，在1A OC ∆中，111122OC A A CE AO ⋅=⋅，∴CE a =． （解法二）：坐标法：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(,0,0),(,,0),(0,,0)A a B a a C a ，11(,,),(,0,),(0,0,0)B a a a A a a D ， 由（解法一）求点C 到平面1A DB 的距离CE ，设(,,)E x y z ， ∵E 在平面1A DB 上，∴111A E A D A B λμ=+u u u u r u u u u r u u u r，即(,,)(,0,)(0,,)x a y z a a a a a λμ--=--+，∴x a a y a z a a a λμμλ=-⎧⎪=⎨⎪=--⎩， ∵1,CE A D CE BD ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u r ，∴(,2,)(,0,)0(,2,)(,,0)0x y z a a x y z a a ---=⎧⎨---=⎩，解得：23λμ==，∴111(,,)333CE a a a =--u u u r，∴3CE a =． 解法三：直接求1B C 与BD 间的距离设1B C 与BD 的公垂线为1OO ，且11,O B C O BD ∈∈，设(,,)O x y z ，设DO BD λ=u u u r u u u r，则(,,)(,,0)x y z a a λ=--，∴0x a y a z λλ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(,,0)O a a λλ--，同理1(,,)O a a a μμ，∴1((),,)OO a a a a μλλμ=++u u u u r ，∴111,OO BD OO B C ⊥⊥u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ， ∴1110,0OO BD OO B C ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，解得：21,33λμ=-=，1OO =u u u u r 111(,,)333a a a -，1||OO =u u u u r ．。
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。
本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
第一课时 空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。
（二）、知识梳理，方法定位。
（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。
《空间向量与立体几何》全章复习与巩固
《空间向量与立体几何》全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a ．向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作〈〉，a b ，规定0π≤〈〉≤，a b ．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a 平行于b 记作b a//，此时．a b 〈〉，=0或a b 〈〉，=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量a，我们把a a叫作向量a 的单位向量，记作0a ．0a 与a同向．（4）当a b 〈〉，=0或π时，向量a 平行于b ，记作b a //；当 a b 〈〉，=2π时，向量a b ，垂直，记作a b ⊥． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型几何方法运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则：OC OA ABa b=+=+加法交换率：.a b b a +=+加法结合率： ()()a b c a b c ++=++()a b a b -=+-AB BC=AC + 0AB BA=+2三角形法则：OB OA AB a b=+=+向 量 的 减 法 三角形法则： BA OA OB a b=-=-AB OA OB =-向 量 的 乘 法 a λ是一个向量，满足：λ>0时，a λ与a 同向； λ<0时，a λ与a 异向；λ=0时， a λ=0()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+a ∥b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积1．a b 是一个数：||||cos()a b a b a b =，；2．0a =，0b=或a b ⊥ ⇔b a •=0．a b b a =()()()a b a b a b λλλ==()a b c a c b c +=+22||a a =||||||a b a b ≤要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使b aλ=．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数,x y ，使p xa yb =+．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---； ②2||(AB AB ==；③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫⎪⎝⎭，，．空间向量运算的的坐标运算设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 ① 121212(,,)a b x x y y z z +=+++； ② 121212(,,)a b x x y y z z -=---； ③ 111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈； ④ 121212a b x x y y z z ⋅=++；⑤ 222111a a a x y z ==++，222222b b b x y z ==++； ⑥ ()121212222222111222cos 00x x y y z z a b a b a b a bx y zx y z++==≠≠++++，，．空间向量平行和垂直的条件若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则①12//a b a b x x λλ⇔=⇔=，12y y λ=，12()z z R λλ=∈⇔111222x y z x y z ==222(0)x y z ≠； ②12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． 要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a ba b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=⋅，其中θ的范围是[0,]π．（３）0与任意空间向量平行或垂直． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行 （a //b ）a //b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线线垂直 （a b ⊥）⊥a b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线面平行 （l //α）⊥a n ，即0=⋅a n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量）．线面垂直 （l α⊥）a //n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量） 面面平行 （α//β）//u v（u v ，分别是平面α，β的法向量）面面垂直 （αβ⊥）⊥u v ，即0=u v（u ，v 分别是平面α，β的法向量）要点诠释：（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅（A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点）直线和平面的夹角||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u（其中直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ）二面角cos θ（平面α与β的法向量分别为1n 和2n ，平面α与β的夹角为θ）要点诠释：①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。
空间向量与立体几何(整章教案
空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，理解向量是有大小和方向的量。
学习如何用坐标表示空间中的向量，包括二维和三维空间中的向量。
1.2 向量的加法和数乘学习向量的加法运算，掌握三角形法则和平行四边形法则。
学习向量的数乘运算，理解数乘对向量大小和方向的影响。
1.3 向量的长度和方向学习向量的长度（模）的定义和计算方法。
学习向量的方向，理解余弦定理在向量夹角计算中的应用。
1.4 向量垂直与向量积学习向量垂直的概念，掌握向量垂直的判定方法。
学习向量积的定义和计算方法，理解向量积的几何意义。
第二章：立体几何基础2.1 平面和直线学习平面的定义和表示方法，掌握平面的基本性质。
学习直线的定义和表示方法，掌握直线的性质和判定方法。
2.2 点、线、面的位置关系学习点、线、面之间的位置关系，包括点在线上、点在面上、线在面上的判定。
学习线与线、线与面、面与面之间的位置关系。
2.3 空间角的计算学习空间角的定义和计算方法，包括二面角和平面角的计算。
学习空间角的性质和应用，理解空间角在立体几何中的重要性。
2.4 立体几何中的定理和公式学习立体几何中的重要定理和公式，如欧拉公式、施瓦茨公式等。
学会运用定理和公式解决立体几何问题。
后续章节待补充。
空间向量与立体几何第六章：空间向量的应用6.1 向量在几何中的应用学习利用向量解决几何问题，如计算线段长度、向量夹角、向量垂直等。
掌握向量在三角形和平面几何中的应用。
6.2 向量在物理中的应用引入物理中的向量概念，如速度、加速度、力等。
学习利用向量解决物理问题，如计算物体的运动轨迹、速度变化等。
6.3 向量在坐标变换中的应用学习坐标变换的基本概念，如平移、旋转等。
掌握利用向量进行坐标变换的方法和应用。
第七章：立体几何中的特殊形状7.1 柱体和锥体学习柱体和锥体的定义和性质，包括圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等。
掌握计算柱体和锥体的体积、表面积等方法。
7.2 球体学习球体的定义和性质，掌握球体的方程和参数。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：空间向量与立体几何
必刷大题14空间向量与立体几何1．(2022·新高考全国Ⅰ改编)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为22.(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1＝AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求平面ABD 与平面BCD 夹角的正弦值．解(1)设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为4，所以1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 11111433ABC A B C V -==，又△A 1BC 的面积为22，1113A A BC A BC V S h -=△＝13×22h ＝43，所以h ＝2，即点A 到平面A 1BC 的距离为2.(2)取A 1B 的中点E ，连接AE ，则AE ⊥A 1B .因为平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1＝A 1B ，AE ⊂平面ABB 1A 1，所以AE ⊥平面A 1BC ，又BC ⊂平面A 1BC ，所以AE ⊥BC .又AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .因为AA 1∩AE ＝A ，AA 1，AE ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥平面ABB 1A 1，又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥AB .以B 为坐标原点，分别以BC →，BA →，BB 1—→的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知，AE ＝2，所以AA 1＝AB ＝2，A 1B ＝22.因为△A 1BC 的面积为22，所以22＝12·A 1B ·BC ，所以BC ＝2，所以A (0,2,0)，B (0,0,0)，C (2,0,0)，A 1(0，2,2)，D (1,1,1)，E (0,1,1)，则BD →＝(1,1,1)，BA →＝(0,2,0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·BD →＝0，n ·BA →＝0，x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1,0，－1)．又平面BDC 的一个法向量为AE →＝(0，－1，1)，所以cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n |AE →|·|n |＝－12×2＝－12.设平面ABD 与平面BCD 的夹角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈AE →，n 〉＝32，所以平面ABD 与平面BCD 夹角的正弦值为32.2.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，M 是PC 的中点，PA ＝AB .(1)求证：AM ⊥平面PBD ；(2)设直线AM 与平面PBD 交于O ，求证：AO ＝2OM .证明(1)由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设PA ＝AB ＝2，则P (0,0,2)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，M (1,1,1)，PB →＝(2,0，－2)，PD →＝(0,2，－2)，AM →＝(1,1,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·PB →＝2x －2z ＝0，n ·PD →＝2y －2z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)，∵AM →＝n ，∴AM ⊥平面PBD .(2)如图，连接AC 交BD 于点E ，则E 是AC 的中点，连接PE ，∵AM ∩平面PBD ＝O ，∴O ∈AM 且O ∈平面PBD ，∵AM ⊂平面PAC ，∴O ∈平面PAC ，又平面PBD ∩平面PAC ＝PE ，∴O ∈PE ，∴AM ，PE 的交点就是O ，连接ME ，∵M 是PC 的中点，∴PA ∥ME ，PA ＝2ME ，∴△PAO ∽△EMO ，∴PA ME ＝AO OM ＝21，∴AO ＝2OM .3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，PA ＝AB ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，E ，F 分别为PB ，AB 的中点．(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)求点B 到平面PCF 的距离．(1)证明连接EF (图略)，∵E ，F 分别为PB ，AB 的中点，∴EF ∥PA ，∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ，∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF ∥CD ，且AF ＝CD .∴四边形ADCF 为平行四边形，即CF ∥AD ，∵CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CF ∥平面PAD ，∵EF ∩CF ＝F ，EF ，CF ⊂平面EFC ，∴平面PAD ∥平面EFC ，CE ⊂平面EFC ，则CE ∥平面PAD .(2)解∵∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，∴AB ⊥AD ，CF ⊥AB ，又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CF ，又PA ∩AB ＝A ，∴CF ⊥平面PAB ，∴CF ⊥PF .设CF ＝x ，则S △AFC ＝12×1×x ＝x 2，S △PFC ＝12×5×x ＝52x ，设点A 到平面PCF 的距离为h ，由V P －AFC ＝V A －PFC ，得13×x 2×2＝13×5x 2×h ，则h ＝255.∵点F 为AB 的中点，∴点B 到平面PCF 的距离等于点A 到平面PCF 的距离，为255.4.(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠BDC ，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设AB ＝BD ＝2，∠ACB ＝60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．(1)证明因为AD ＝CD ，E 为AC 的中点，所以AC ⊥DE .在△ADB 和△CDB 中，因为AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，DB ＝DB ，所以△ADB ≌△CDB ，所以AB ＝BC .因为E 为AC 的中点，所以AC ⊥BE .又BE ∩DE ＝E ，BE ，DE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .(2)解由(1)可知AB ＝BC ，又∠ACB ＝60°，AB ＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，则AC ＝2，BE ＝3，AE ＝1.因为AD ＝CD ，AD ⊥CD ，所以△ADC 为等腰直角三角形，所以DE ＝1.所以DE 2＋BE 2＝BD 2，则DE ⊥BE .由(1)可知，AC ⊥平面BED .连接EF ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC ⊥EF ，当△AFC 的面积最小时，点F 到直线AC 的距离最小，即EF 的长度最小．在Rt △BED 中，当EF 的长度最小时，EF ⊥BD ，EF ＝DE ·BE BD ＝32.方法一由(1)可知，DE ⊥AC ，BE ⊥AC ，所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E 为坐标原点，EA ，EB ，ED 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，D (0,0,1)，C (－1,0,0)，AB →＝(－1，3，0)，DB →＝(0，3，－1)．易得DF ＝12，FB ＝32，所以3DF →＝FB →.设F (0，y ，z )，则DF →＝(0，y ，z －1)，FB →＝(0，3－y ，－z )，所以3(0，y ，z －1)＝(0，3－y ，－z )，得y ＝34，z ＝34，即，34，所以CF →，34，设平面ABD 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，·AB →＝－x 1＋3y 1＝0，·DB →＝3y 1－z 1＝0，不妨取y 1＝1，则x 1＝3，z 1＝3，n ＝(3，1，3)．记CF 与平面ABD 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈CF →，n 〉|＝|CF →·n ||CF →||n |＝437.所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为437.方法二因为E 为AC 的中点，所以点C 到平面ABD 的距离等于点E 到平面ABD 的距离的2倍．因为DE ⊥AC ，DE ⊥BE ，AC ∩BE ＝E ，AC ，BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .因为V D －AEB ＝V E －ADB ，所以13·12AE ·BE ·DE ＝13·S △ABD ·d 2，其中d 为点C 到平面ABD 的距离．在△ABD 中，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，所以S △ABD ＝72，所以d ＝2217.由(1)知AC ⊥平面BED ，EF ⊂平面BED ，所以AC ⊥EF ，所以FC ＝FE 2＋EC 2＝72.记CF 与平面ABD 所成的角为α，则sin α＝d CF ＝437.所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为437.方法三如图，过点E 作EM ⊥AB 交AB 于点M ，连接DM ，过点E 作EG ⊥DM 交DM 于点G .因为DE ⊥AC ，DE ⊥BE ，AC ∩BE ＝E ，AC ，BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AB ，又EM ∩DE ＝E ，EM ，DE ⊂平面DEM ，所以AB ⊥平面DEM ，又EG ⊂平面DEM ，所以AB ⊥EG ，又AB ∩DM ＝M ，AB ，DM ⊂平面ABD ，所以EG ⊥平面ABD ，则EG 的长度等于点E 到平面ABD 的距离．因为E 为AC 的中点，所以EG 的长度等于点C 到平面ABD 的距离的12.因为EM ＝AE ·sin 60°＝32，所以EG ＝DE ·EM DM ＝DE ·EM DE 2＋EM 2＝217，所以点C 到平面ABD 的距离d ＝2217.FC ＝FE 2＋EC 2＝72.记CF 与平面ABD 所成的角为α，则sin α＝d CF ＝437.所以CF 与平面ABD 所成角的正弦值为437.5．(2023·青岛模拟)如图①，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ＝CD ＝2，AB ＝4，E 为AB 的中点，以DE 为折痕把△ADE 折起，连接AB ，AC ，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题．(1)证明：AC ⊥DE ；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE 与平面AEC 夹角的余弦值．①四棱锥A －BCDE 的体积为2；②直线AC 与EB 所成角的余弦值为64.(1)证明在图①中，连接CE (图略)，因为DC ∥AB ，CD ＝12AB ，E 为AB 的中点，所以DC ∥AE ，且DC ＝AE ，所以四边形ADCE 为平行四边形，所以AD ＝CE ＝CD ＝AE ＝2，同理可证DE ＝2，在图②中，取DE 的中点O ，连接OA ，OC (图略)，则OA ＝OC ＝3，因为AD ＝AE ＝CE ＝CD ，所以DE ⊥OA ，DE ⊥OC ，因为OA ∩OC ＝O ，OA ，OC ⊂平面AOC ，所以DE ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以DE ⊥AC .(2)解若选择①：由(1)知DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE ，且交线为OC ，所以过点A 作AH ⊥OC 交OC 于点H (图略)，则AH ⊥平面BCDE ，因为S 四边形BCDE ＝23，所以四棱锥A －BCDE 的体积V A －BCDE ＝2＝13×23·AH ，所以AH ＝OA ＝3，所以AO 与AH 重合，所以AO ⊥平面BCDE ，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，C (－3，0,0)，E (0,1,0)，A (0,0，3)，易知平面DAE 的一个法向量为CO →＝(3，0,0)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为CE →＝(3，1,0)，CA →＝(3，0，3)，·CE →＝3x ＋y ＝0，·CA →＝3x ＋3z ＝0，取n ＝(1，－3，－1)，设平面DAE 与平面AEC 的夹角为θ，则cos θ＝|CO →·n ||CO →||n |＝33×5＝55，所以平面DAE 与平面AEC 夹角的余弦值为55.若选择②：因为DC ∥EB ，所以∠ACD 即为异面直线AC 与EB 所成的角，在△ADC 中，cos ∠ACD ＝AC 2＋4－44AC＝64，所以AC ＝6，所以OA 2＋OC 2＝AC 2，即OA ⊥OC ，因为DE ⊥平面AOC ，DE ⊂平面BCDE ，所以平面AOC ⊥平面BCDE ，且交线为OC ，又OA ⊂平面AOC ，所以AO ⊥平面BCDE ，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，C (－3，0,0)，E (0,1,0)，A (0,0，3)，易知平面DAE 的一个法向量为CO →＝(3，0,0)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为CE →＝(3，1,0)，CA →＝(3，0，3)，·CE →＝3x ＋y ＝0，·CA →＝3x ＋3z ＝0，取n ＝(1，－3，－1)，设平面DAE 与平面AEC 的夹角为θ，则cos θ＝|CO →·n ||CO →||n |＝33×5＝55，所以平面DAE 与平面AEC 夹角的余弦值为55.6.(2022·连云港模拟)如图，在三棱锥A －BCD 中，△ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点．(1)证明：平面ACD ⊥平面AEF ；(2)若∠BCD ＝60°，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面AEG 与平面ACD 的夹角最小．(1)证明因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 的中点，所以AE ⊥BC ，又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AE ⊂平面ABC ，所以AE ⊥平面BCD ，又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥AE ，因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF ∥BD ，又因为BD ⊥CD ，所以CD ⊥EF ，又因为AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF .(2)解在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ，此时EH ∥CD ，即H 为BD 的中点，设BC ＝4，则EA ＝23，DF ＝FC ＝1，EF ＝ 3.以E 为原点，以EH ，EF ，EA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,0)，A (0,0,23)，C (－1，3，0)，D (1，3，0)，设G (1，y ,0)(－3≤y ≤3)，则EA →＝(0,0,23)，AD →＝(1，3，－23)，CD →＝(2,0,0)，EG →＝(1，y ,0),设平面AEG 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 1·EA →＝23z 1＝0，n 1·EG →＝x 1＋yy 1＝0，令y 1＝－1，得n 1＝(y ，－1,0)，设平面ACD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·CD →＝2x 2＝0，2·AD →＝x 2＋3y 2－23z 2＝0，令z 2＝1，得n 2＝(0,2,1)，设平面AEG 与平面ACD 的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|－2|5·y 2＋1＝25·y 2＋1，当y ＝0时，cos θ最大，此时平面AEG 与平面ACD 的夹角θ最小，故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 的夹角最小．。
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量与立体几何复习1精品教案
空间向量与立体几何 ( 复习一 )【课题】：空间向量与立体几何复习一【教课目的】：（1）知识目标：运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题，及计算空间角的计算。
同时也试用传统的方法来解题。
（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练联合，以练为主。
（3）感情与能力目标：经过总结归纳，综合运用，让学生享受成功的愉悦，提升学习数学兴趣，提升计算能力和空间想象能力。
【教课要点】：。
运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题。
【教课难点】：计算空间角【课前准备】：投影【教课过程设计】：教课环节教课活动设计企图设空间两条直线l 1 , l 2的方向向量分别为e1 , e2，两个平面 1 , 2一、复习引入二、应用实例平行的法向量分别为n1 , n2，则由以下结论平行垂直l 1与 l 2 e1 // e2 e1 e2l1与 1 e1 n1 e1 // n11 与2 n1 // n2 n1 n2例 1．如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 交于 AD ，点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上，且BM1BD, AN1AE.3 3求证： MN// 平面 CDE证明： MN MB BA AN F E2 1N= CD DEA D3 3M又CD与 DE不共线 B C左表给出了用向量研究空间线线、线面、面面地点关系的方法，判断的依照是有关的判断与性质，要理解掌握依据共面向量定理，可知MN ,CD ,DE 共面。
垂直平行因为 MN 不在平面CDE 中，所以MN// 平面 CDE.证法二：思路：在上取一点P， F E1AD 再用传统的方法 AN使 PD DP3 MB C证明平面MNP ∥平面 CDE 即可。
例 2、棱长为 a 的正方体 ABCD —A 1B 1C1D1中，在棱 DD 1上是先成立图空间坐否存在点 P 使 B 1D ⊥面 PAC？标系再用向量解题解：以 D 为原点zC 1D 1成立以下图的坐标系， A 1 B 1P设存在点 P（ 0， 0，z），DCyAP =(-a,0,z)，x A BAC =(-a,a,0)，DB1=(a,a,a)，∵B 1D⊥面 PAC，∴DB1AP 0， DB1 AC 0∴－ a2+az=0 ∴z=a，即点 P 与 D1重合∴点 P 与 D 1重合时， DB 1⊥面 PAC方法二：指引学生用三垂线定理来解题。
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
2022年《空间向量与立体几何》与小结参考优秀教案3
空间向量与立体几何复习与小结教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点：掌握空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程〔一〕题型探析1、利用空间向量证明平行、垂直问题例1、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。
〔1〕证明：PA//平面EDB；〔2〕证明：PB⊥平面EFD；〔3〕求二面角C—PB—D的大小。
如下图建立空间直角坐标系，D为坐标原点。
设DC=a。
（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。
依题意得。
∵底面ABCD是正方形。
∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴那么而，∴PA//平面EDB。
（2）依题意得B〔a，a，0〕，又，故∴PB⊥DE由EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD。
〔3〕解析：设点F的坐标为，那么从而所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。
∵，且∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。
点评：〔1〕证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．〔2〕证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．〔3〕证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．〔4〕证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．〔5〕证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．〔6〕证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．2、用空间向量求空间角例2、正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：〔1〕异面直线AE与CF所成角的余弦值；〔2〕二面角C—AE—F的余弦值的大小。
“空间向量与立体几何（单元复习课）”教学设计
“空间向量与立体几何（单元复习课）”教学设计林洁萍（广西来宾高级中学）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》选修2—1 。
教学内容解析空间向量是解决立体几何问题简易而又强有力的工具，是高考的常考点之一．本章在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线及平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用．本节课是在完成这一章的新课学习后的一节单元复习课，是对本章所学知识进行的整理与概括，系统性较强，利于帮助学生初步形成数学结构知识，培养学生的系统性思维．基于以上分析，确定本课的重点是引导学生梳理、整合本章知识，并会用所学知识解决立体几何问题．学生学情分析通过前面的学习，学生对空间向量与立体几何知识已有了一定的认识，主要体现在以下三个层面。
（1）知识层面。
学生已经完成了本章的新课学习部分．同时，在必修2的学习中也掌握了传统的几何推理证明方法，这些都为本节课的学习奠定了基础．（2）能力层面。
学生对章节的知识结构图已有所掌握，并具备了一定的归纳、类比、自主探究及合作交流的能力．（3）情感层面。
经过一个章节的学习之后，学生迫切需要对本章知识进行高度概括，因此参与本节学习的积极性会比较高．教学目标设置（1）了解空间向量的基本概念和基本定理，掌握空间向量的运算；（2）能用空间向量的运算解决立体几何问题，从而体会转化及数形结合的思想．教学策略分析学生课前已经独立完成章节知识结构图及两道习题，本节课的主要任务是在学生自主复习的基础上进行交流与提升．本节体现了以生为本，以学定教，优质高效的教学理念，主要采用目标导航，问题导思，活动导学，评价促学的教学方法与策略，并借助多媒体设备优化教学过程. 在学法上，指导学生进行自主探究、同桌对照学习与小组交流讨论，培养学生聆听、观察、交流、思考、笔记及反思的学习习惯．教学过程1.课前准备学生独立作出本章知识结构图，并完成两道习题．【设计意图】本节是单元复习课，学生有能力完成课前准备工作.2.课堂活动（1）知识梳理。
空间向量与立体几何复习教案
授课教案学员姓名：__________ 授课教师：_ 所授科目：学员年级：__________ 上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时教学标题专题：空间向量法解决立体几何问题教学目标熟练掌握：三角函数复习教学重难点重点掌握：考点内容：上次作业检查正确数：正确率：问题描述：授课内容：一专题提纲(一)引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。
(二)立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系；(2)直线与平面的位置关系；(3)平面与平面的位置关系；2、求解空间中的角度（1）线线角（2）线面角（3）二面角二梳理知识（新课内容）（一）引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是u u u r()=---21,21,21AB x x y y z z2.平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n ⊥α,这时向量n 叫做平面α的法向量.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n ⊥a 且n ⊥b,则n ⊥α.换句话说,若n ·a = 0且n ·b = 0,则n ⊥α.求平面的法向量的坐标的步骤：第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组11122200x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩第三步(解):把z 看作常数,用z 表示x 、y.第四步(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n 的坐标.例1：在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是面AC 的中心,求面OA 1D 1的法向量.解：以A 为原点建立空间直角坐标系O-xyz （如图）,设平面OA 1D 1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则O （1，1，0），A 1（0，0，2），D 1（0，2，2） 由1OA u u u r =（-1，-1，2），1OD u u u u r =（-1，1，2）得2020x y z x y z --+=⎧⎨-++=⎩，解得20x z y =⎧⎨=⎩取z =1得平面OA 1D 1的法向量的坐标n=(2,0,1).（二）立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b 的方向向量分别为a r ,b r ①若a r ∥b r ,即a r =λb r ,则a ∥b.②若a r ⊥b r ,即a r ·b r = 0,则a ⊥b例2：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=θ,求证: CC 1⊥BD证明：设1,,,CD a CB b CC c ===u u u r r u u u r r u u u u r r依题意有a b =r r于是()11cos cos 0BD CD CB a b CC BD c a b c a c bc a c b CC BDθθ=-=-⋅=-=⋅-⋅=-=∴⊥u u u r u u u r u u u r r r u u u u r u u u r r r r r r r r Q r r r r(2)直线与平面的位置关系直线L 的方向向量为a r ,平面∂的法向量为n r ,且L ⊄∂①若a r ∥n r ,即a r =λn r ,则L ⊥∂②若a r ⊥n r ,即a r ·n r = 0,则L ∂P例3：棱长都等于2的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1,D,E 分别是AC,CC 1的中点,求证:(I)A 1E ⊥平面DBC 1;(II)AB 1∥平面DBC 1解：以D 为原点，DC 为x 轴，DB 为y 轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0), B(0,3,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B 1(0,3 ,2), C 1(1,0,2).设平面DBC 1的法向量为n r =(x,y,z),则2030x z y +=⎧⎪⎨=⎪⎩解之得，20x z y =-⎧⎨=⎩取z = 1得n r =(-2,0,1) (I)()12,0,1A E n =-=-u u u r ,从而A 1E ⊥平面DBC 1 (II)()11,3,2AB =u u u r ,而12020AB n ⋅=-++=u u u r r ，从而AB 1∥平面DBC 1(3)平面与平面的位置关系平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β②若n1⊥n2,即n1·n2= 0,则α⊥β例4：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点,求证:面ABD 1⊥面A 1FD证明:以A 为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),B(2,0,0),D 1(0,2,2),E(2,0,1),A 1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),于是()()12,0,00,2,2AB AD ==u u u r u u u u r设平面AED 的法向量为n1=(x,y,z)得20220x y z =⎧⎨+=⎩解之得0x y z=⎧⎨=-⎩取z=1得n1=(0,-1,1)同理可得平面A 1FD 的法向量为n2=(0,1,1)∵n1·n2 =0-1+1=0∴面ABD 1⊥面A 1FD2.求空间中的角(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.例5如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,则对角线DB 1与CM 所成角的余弦值为_____.解: 以A 为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz, 设正方体的棱长为2,则M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),于是()()11,2,02,2,2CM DB =--=-u u u u r u u u u r1240215cos ,30140444543CM DB -++∴<>===++++⋅u u u u r u u u u r(2)直线与与平面所成的角若n r 是平面∂的法向量,a r 是直线L 的方向向量,则L 与∂所成的角,2a n πθ=-<>r r 或,2a n πθ=<>-r r于是，sin cos ,a n a n a n a n a nθ⋅⋅=<>==⋅⋅r r r r r r r r r r 所以，arcsin a n a n θ⋅=⋅r r r r ，或者arccos 2a n a nπθ⋅=-⋅r r r r 例6：正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a,高为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角解:建立如图示的直角坐标系,则A( 2a ,0,0),B(0,32a ,0) A1( 2a ,0,2a ). C 1(-2a ,0, 2a ) 设面ABB 1A 1的法向量为n=(x,y,z)由得()13,,0,0,0,222a AB a AA a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 得3002220a x ay az ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，解得30x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 取y=3,得n=(3,3 ,0)而()1,0,2AC a a =-u u u u r ∴12230031sin cos ,223393002a a n AC a a a θ-++=<>===⋅++++r u u u u r ∴30θ=o（3）二面角设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z 同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z 异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.例7：在四棱锥S-ABCD 中∠DAB=∠ABC=90，侧棱SA ⊥底面AC ，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C 的大小.解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），S （0，0，1）.设平面SCD 的法向量n1=(x,y,z),则由()()1,1,11,1,0SC CD =-=-u u u r u u u r得00x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得22z x zy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取z=2，得n1=(1,1,2). 而面SAD 的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C 的大小θ满足12116cos cos ,61141006n n θ=<>===++++ ∴二面角A-SD-C 的大小为6cos6arc . 三 真题演练例1（2011）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF =．（I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案课题：平面向量知识复习教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：平面向量的基础知识教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程：一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义3、两个向量平行的充要条件：⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）三、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ）A ． 矩形B ． 菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ．C ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞-B ．),2(+∞C ．),21(+∞-D ．)21,(--∞7．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念，理解空间向量的几何表示和运算规则。
2. 培养学生运用空间向量解决立体几何问题的能力，提高空间想象和思维能力。
3. 通过对空间向量与立体几何的学习，激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力。
二、教学内容1. 空间向量的基本概念及几何表示2. 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘、共线向量、平行向量）3. 空间向量的数量积（定义、性质、运算规则、几何意义）4. 空间向量的垂直与平行（垂直的判断、平行的判断、垂直与平行的应用）5. 空间向量在立体几何中的应用（线线、线面、面面间的位置关系）三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量与立体几何的基本概念、性质和运算规则。
2. 运用案例分析法，引导学生通过具体例子学会运用空间向量解决立体几何问题。
3. 利用多媒体技术，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
4. 开展小组讨论与合作交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
四、教学环境1. 教室环境：宽敞、明亮，教学设备齐全，包括黑板、投影仪、计算机等。
2. 学习资源：教材、辅导资料、网络资源等。
3. 实践场地：学校机房、实验室等。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度。
3. 考试成绩：定期进行测验，检验学生对空间向量与立体几何知识的掌握情况。
4. 实践能力：评估学生在实践活动中运用空间向量解决立体几何问题的能力。
5. 学生自评与互评：鼓励学生自我总结，互相交流学习经验，提高学习效果。
六、教学重点与难点教学重点：1. 空间向量的基本概念及几何表示。
2. 空间向量的线性运算规则。
3. 空间向量的数量积的定义和性质。
4. 空间向量的垂直与平行判断。
5. 空间向量在立体几何中的应用。
教学难点：1. 空间向量的数量积的运算规则。
《空间向量与立体几何复习》示范教案（第2课时）
《空间向量与立体几何复习》示范教案（第2课时）第2课时教学目标知识目标理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表示线线、线面、面面的位置关系，能用向量方法证明平行与垂直，能用向量方法求解长度与角度问题．能力目标培养学生的转化与化归能力，培养学生的空间想象能力、几何直观能力和解决实际问题的能力，培养学生的抽象概括能力．情感目标学生自己发现问题、提出问题，通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点教学重点：应用空间向量解决平行、垂直、长度、角度的方法，掌握用向量方法解决立体几何问题的“三步曲” .教学难点：建立空间图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，准确地使用并计算平面的法向量．教学过程形成网络【理清本章知识脉络】设直线a，b的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2.1．直线的方向向量是与直线__________的向量，平面的法向量是与平面________的向量．2．利用空间向量解决平行问题a∥b ____________，a∥α __________，α∥β ________．3．利用空间向量解决垂直问题a⊥b ____________，a⊥α ____________，α⊥β ________．4．利用空间向量解决角度问题两条异面直线所成的角cosα＝______________.直线与平面所成的角sinα＝__________，两个平面所成的角cosα＝____________.5．利用空间向量解决长度问题．线线、线面、面面距离皆可转化为点面距离问题．若a＝(x1，y1，z1)，则|a| ＝x21＋ y21＋ z21.若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝____________.点A到平面α(其上有一点为B)的距离为d＝______________.答案：1.平行垂直2．a∥b a⊥n1n1∥n23．a⊥b a∥n1n1⊥n24．|cos〈a，b〉||cos〈a，n1〉| cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉5.(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2|AB→2n| |n|【解题方法、数学思想】利用空间向量解决立体几何问题，其根本是把几何问题转化为向量问题，解决与面有关的平行、垂直、角度、长度时，若能采用平面的法向量，则可能更容易解决问题．向量方法的引入，淡化了几何证明的技巧，但是在削弱证明的同时，又对学生的运算能力提出了更高的要求．本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想．【活动设计】由学生来回答问题，思考空间向量能解决哪些问题，并且知道怎样解决．典型示例类型一：空间中的平行问题1如图所示，空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，P 是线段MN 的中点，Q 是三角形BCD 的重心，求证：A 、P 、Q 三点共线．思路分析：在空间合理地选取一组基向量，将AP →和AQ →按此基向量分解，若能证明AP →∥AQ →，即证明AP →＝λAQ →(λ∈R )，找到实数λ，问题就得到了解决．证明：AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋23BN →＝AB →＋23212(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]，所以AQ →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．①AP →＝12(AM →＋AN →)＝12[12AB →＋12(AC →＋AD →)]所以AP →＝14(AB →＋AC →＋AD →)．②由于AB →、AC →、AD →是一组不共面向量，由①②可得，AQ →＝43AP →，即AQ →∥AP →，即A 、P 、Q 三点共线．点评：本题有两点需要注意，一是利用纯向量方法解决问题实际上就是建立基向量表示所求向量，这是一种意识；二是三点共线的条件有哪些？除了利用向量平行之外，还可以利用推论，若能建立坐标系，则更容易操作．巩固练习已知棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF∥平面B 1MC.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A 1C 1→＝(－1,1,0)，B 1C →＝(－1,0，－1)，A 1D →＝(1,0,1)，B 1A →＝(0，－1，－1)．设A 1E →＝λA 1C 1→，A 1F →＝μA 1D →，B 1M →＝νB1A →(λ、μ、ν∈R ，且均不为0)．设n 1、n 2分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由n 12A 1E →＝0，n 12A 1F →＝0，可得n 12λA 1C 1→＝0，n 12μA 1D →＝0，即n 12A 1C 1→＝0，n 12A 1D →＝0.解得n 1＝(1,1，－1)．由n 22B 1M →＝0，n 22B 1C →＝0，可得n 22νB 1A →＝0，n 22B 1C →＝0，即n 22B 1A →＝0，n 22B 1C →＝0.解得n 2＝(1,1，－1)，所以n 1＝n 2，n 1∥n 2.所以平面A 1EF∥平面B 1MC. 类型二：空间中的垂直问题2如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是B 1B 、AB 、BC 的中点．(1)证明：D 1F⊥EG；(2)证明：D 1F⊥平面AEG.思路分析：显然此题满足建立坐标系的条件，利用向量的数量积为0证明线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直，当然也可以利用法向量证明线面垂直．解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体AC 1的棱长为a ，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a ，a,0)，D 1(0,0，a)，E(a ，a ，a 2)，F(a ，a 2，0)，G(a2，a,0)．(1)D 1F →＝(a ，a 2，－a)，EG →＝(－a 2，0，－a 2)．∵D 1F →2EG →＝a(－a 2)＋a 230＋(－a)(－a 2)＝0，∴D 1F⊥EG.(2)AE →＝(0，a ，a 2)，∴D 1F →2AE →＝a30＋a 23a－a3a 2＝0.∴D 1F⊥AE.∵EG∩AE＝E ，∴D 1F⊥平面AEG.点评：空间向量是一种好工具，但是好工具不能乱用、滥用，当证明平行、垂直问题时，优先考虑几何方法，若是能够建立适当的坐标系，才可以无限制地使用向量办法．如第(1)小题可以使用平移，采用几何方法证明．类型三：空间中的角度问题3已知棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的二面角的余弦值的大小．思路分析：在正方体中可以很容易地建立空间直角坐标系，当求解二面角时，既可以通过线线角解决，又可以通过平面的法向量解决．解：如图建立空间直角坐标系，A 1C 1→＝(－1,1,0)，A 1B →＝(0,1，－1)．设n 1、n 2分别是平面A 1BC 1与平面ABCD 的法向量，由n 12A 1B →＝0，n 12A 1C 1→＝0，可解得n 1＝(1,1,1)．易知n 2＝(0,0,1)．所以，cos 〈n 1，n 2〉＝n 12n 2|n 1|2|n 2|＝33.所以平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的二面角余弦值为33. 点评：事实上，(1)本题可以利用几何方法解决，只不过需要作出两个平面的交线；(2)只要有垂直的直线就可以建立空间直角坐标系，如果有两两垂直的三条直线，则更容易建立空间直角坐标系；(3)用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．巩固练习在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角．(1)若AE⊥PD，E 为垂足，求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．(1)证明：∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE.故BE⊥PD.(2)解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为(a ，a,0)，(0,2a,0)．∵PA⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠P DA＝30°.于是，在Rt△AED 中，由AD ＝2a ，得AE ＝a.过E 作EF⊥AD，垂足为F ，在Rt△AFE 中，由AE ＝a ，∠EAF＝60°，得AF ＝a 2，EF ＝32a.∴E(0，12a ，32a)．于是，AE →＝(0，12a ，32a)，CD →＝(－a ，a,0)．设AE →与CD →的夹角为θ，则由cos θ＝AE →2CD→|AE →|2|CD →|02(－a)＋12a2a＋32a2002＋(12a)2＋(32a)22(－a)2＋a 2＋02＝24， AE 与CD 所成角的余弦值为24. 类型四：空间中的长度(距离)问题4已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求： (1)D 1E 与平面BC 1D 所成角的正弦值大小； (2)二面角DBC 1C 的余弦值大小； (3)异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离．思路分析：建立空间直角坐标系，利用法向量解决线线、线面、面面之间的角度与距离问题，只要将法向量求解正确，方法掌握得当就行．解：建立如图所示坐标系，则A(2,0,0)、B(2,2,0)，C(0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，D 1(0,0,2)，E(2,1,0)，A 1C →＝(－2,2，－2)，D 1E →＝(2,1，－2)．(1)A 1C →是平面BC 1D 的一个法向量．∵cos〈A 1C →，D 1E →〉＝A 1C →2D 1E →|A 1C →||D 1E →|＝39，∴D 1E 与平面BC 1D 所成的角的正弦值大小为39.(2)A 1C →、AB →分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量，∵cos〈A 1C →，AB →〉＝A 1C →2AB →|A 1C →||AB →|＝33，∴二面角DBC 1C 的余弦值大小为33.(3)∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为d ＝|A 1C →2BB 1→||A 1C →|＝233.点评：建立空间直角坐标系，利用空间向量可以一劳永逸地解决所有立体几何问题，只不过是增加了运算量而已，其关键是能否建立适当的坐标系，坐标容易不容易求出，运算的准确性是否比较强．巩固练习如图，空间四边形SABC 中，线段SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA ＝SB ＝a>0，SC ＝2a ，求点S 到平面ABC 的距离．解：建立以S 点为原点的空间直角坐标系，此时 A(a,0,0)， B(0，a,0)， C(0,0,2a)，解得平面ABC 的一个法向量是n ＝(2,2,1)，SA →＝(a,0,0)，所以点S 到平面ABC 的距离是 d ＝|SA →2n ||n |＝2a 3.所以点S 到平面ABC 的距离为2a 3.拓展实例如图正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，过线段BD 1上一点P(P 平面ACB 1)作垂直于D 1B 的平面，分别交过D 1的三条棱于E 、F 、G.(1)求证：平面EFG∥平面A CB 1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a ，求△EFG 的最大面积，并求此时EF 与B 1C 的距离．思路分析：证明(1)用纯粹的几何方法要通过辗转证明EF∥AC，EG∥B 1C ，FG∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．要证平面EFG∥平面ACB 1，由题设知只要证BD 1垂直平面ACB 1即可．对于(2)只要把面积的表达式解出就可以了．。
《空间向量与立体几何复习》示范教案(第1课时)
本章复习整体设计教材分析本章是数学《必修4》“平面向量”在空间的推广，又是数学《必修2》“立体几何初步”的延续，应当注重学生应用能力的养成．空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量是我们所学的平面向量的延伸，平面向量可以解决平面几何的主要问题，从而空间向量就一定可以解决立体几何的主要问题，即以几何体为载体，以空间向量为工具，通过平行与垂直，来解决空间中的位置关系与度量关系．空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性问题提供了简便、快速的解法，它的实用性是其他方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题．课时分配2课时第1课时教学目标知识目标了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握坐标表示，掌握空间向量的加法、减法、数乘、数量积运算及其坐标表示，并掌握其简单应用． 能力目标再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想，进一步体会类比、猜想、归纳、推广等数学思想，培养学生的空间想象能力、几何直观能力和解决实际问题的能力，培养学生的抽象概括能力．情感目标思考、探究的多次出现，引导学生自己发现问题、提出问题，主动思维，理解和掌握数学基础知识，体会到探索的快乐，增加同学们学习数学的兴趣．重点难点教学重点：空间向量的概念及其运算、空间向量基本定理．教学难点：空间向量基本定理及空间坐标系的建立．教学过程形成网络【本章知识脉络】1．空间向量的概念在空间，具有______________和______________的量叫做向量；长度相等且方向相同的向量叫做______________，长度相等且方向相反的向量叫做_______________．2．向量运算和运算率(1)加法：a ＋b ＝OA →＋AB →＝______________.(2)减法：a －b ＝OA →－OB →＝________________.(3)数乘分配率：λa ＋λb ＝________________.(4)数量积：①〈OA →，－OB →〉＋〈OA →，OB →〉＝__________；②a ·b ＝____________；③性质与运算率： 1 a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉； 2 a ⊥b a ·b ＝0； 3 |a |2＝a ·a . 1 (λa )·b ＝λ(a ·b )；2 a ·b ＝b ·a ；3 a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．定理体系及坐标体系的建立(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线__________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a (a ≠0)、b ，a ∥b ________________．(3)推论：P ，A ，B 三点共线 OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．(4)把平行于同一平面的向量叫做____________．(5)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与a 、b 共面 ____________．(6)推论：四点P ，A ，B ，C 共面 OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)(7)空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋y b ＋z c .其中，a ，b ，c 是空间的一组基向量 ________________．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.(8)当三个向量i ，j ，k 是三个互相垂直的单位向量时，若a ＝x i ＋y j ＋z k ，则a 的坐标表示是a ＝(x ，y ，z)．(9)若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ＋b ＝________，a －b ＝______________，λa ＝______________，a·b ＝____________.答案：1.大小 方向 相等向量 相反向量2.OB → BA → λ(a ＋b ) π |a ||b |cos 〈a ，b 〉3．互相平行或重合 b ＝λa (λ唯一) 共面向量 p ＝x a ＋y b三个向量a 、b 、c 不共面 (x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2) (x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2) (λx 1，λy 1，λz 1) x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2【解题方法、数学思想】空间向量的概念及其运算与平面向量类似，平面向量加减法的平行四边形法则、三角形法则及其相关的运算律在空间仍然成立，其中定理体系与坐标系的引入都是平面向量在空间的推广，空间向量解决问题的方法都是平面向量由二维到三维的推广．所以类比的思想方法，在这里体现得淋漓尽致．【活动设计】教师可以让学生填空，然后贯通其脉络．典型示例类型一：空间向量的概念及性质1有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③思路分析：掌握空间向量定理的基本知识，是解决此题的关键．解：对于①“如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系一定是共线”；所以①错误．②③正确．点评：该题通过命题的形式给出了空间向量能成为一组基底的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系．巩固练习下列命题正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面就是它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb答案：A 中向量b 为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D 中需保证b 不为零向量．零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处．像零向量与任何向量共线等性质要兼顾．零向量的方向是任意的，所以答案选C.类型二：空间向量的基本运算2如图：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c →，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c 思路分析：运用空间向量的基本运算即可解决此题，此题的实质是空间向量的分解．解析：显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝12(AD →－AB →)＋AA 1→＝－12a ＋12b ＋c ，答案为A. 点评：类比平面向量表达平面位置关系的过程，掌握好空间向量的用途．用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等与向量的加法，考查了学生的空间想象能力．巩固练习已知：a ＝3m －2n －4p ≠0，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面．若a∥b ，求x ，y 的值．解：∵a ∥b ，且a ≠0，∴b ＝λa ，即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp .又∵m ，n ，p 不共面，∴x ＋13＝8－2＝2y －4，∴x＝－13，y ＝8. 类型三：空间向量的坐标3(1)已知两个非零向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，它们平行的充要条件是( )A ．a ∶|a |＝b ∶|b |B ．a 1·b 1＝a 2·b 2＝a 3·b 3C ．a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0D ．存在非零实数k ，使a ＝k b(2)已知向量a ＝(2,4，x)，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A. －3或1 B ．3或－1 C. －3 D ．1(3)下列各组向量共面的是( )A ．a ＝(1,2,3)，b ＝(3,0,2)，c ＝(4,2,5)B ．a ＝(1,0,0)，b ＝(0,1,0)，c ＝(0,0,1)C ．a ＝(1,1,0)，b ＝(1,0,1)，c ＝(0,1,1)D ．a ＝(1,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)思路分析：考查坐标表示下的向量的有关概念与运算，注意向量的坐标是三维的． 解析：(1)D 点拨：由共线向量定理易知．(2)A 点拨：由题知⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋16＋x 2＝364＋4y ＋2x ＝0 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝1.(3)A 点拨：由共面向量基本定理可得．点评：空间向量的坐标运算，除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况，注意平行与垂直的充要条件的坐标表示．巩固练习已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a ＝AB →，b ＝AC →，(1)求a 和b的夹角θ；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 和b 的夹角为arccos(－1010)． (2)∵k a ＋b ＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0. 则k ＝－52或k ＝2. 类型四：数量积4设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 ②|a |－|b |<|a －b | ③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直④(3a ＋2b )(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④思路分析：本题考查的是数量积的有关运算律和运算公式．解：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直．故③假；④(3a ＋2b )(3a －2b )＝9·a ·a －4b ·b ＝9|a |2－4|b |2成立．故④真．答案：D点评：实际上，只要是二维数量积的运算，其运算公式就一定与实数相同，比如说平方差公式、完全平方公式等等．巩固练习已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝________. 答案：13解析：∵(2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a |·|b |·cos120°＝2·4－2·5·(－12)＝13.拓展实例设空间两个不同的单位向量a ＝(x 1，y 1,0)，b ＝(x 2，y 2,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角都等于π4.(1)求x 1＋y 1和x 1y 1的值；(2)求〈a ，b 〉的大小(其中0＜〈a ，b 〉＜π)． 思路分析：根据数量积的代数运算公式与坐标运算公式即可解决此问题．解：(1)∵|a |＝|b |＝1，∴x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.又∵a 与c 的夹角为π4，∴a ·c ＝|a ||c |cos π4＝2212＋12＋12＝62. 又∵a ·c ＝x 1＋y 1，∴x 1＋y 1＝62. 另外x 21＋y 21＝(x 1＋y 1)2－2x 1y 1＝1，∴2x 1y 1＝(62)2－1＝12.∴x 1y 1＝14. (2)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2，由(1)知，x 1＋y 1＝62，x 1y 1＝14.∴x 1，y 1是方程x 2－62x ＋14＝0的解． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6＋24，y 1＝6－24，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝6－24，y 1＝6＋24.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6＋24，y 2＝6－24，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6－24，y 2＝6＋24. ∵a ≠b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝y 2＝6＋24，x 2＝y 1＝6－24，或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝y 2＝6－24，x 2＝y 1＝6＋24. ∴cos〈a ，b 〉＝6＋24·6－24＋6＋24·6－24＝14＋14＝12. ∵0<〈a ，b 〉<π，∴〈a ，b 〉＝π3. 点评：利用数量积可以求解立体几何的三大问题：垂直、距离、角度问题，求解的方法主要有纯向量与向量坐标两种方法．巩固练习直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C ，求证： AB 1＝A 1C.证明：∵A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →，BC 1→＝BC →＋CC 1→，∴A 1C →·BC 1→＝(A 1C 1→＋C 1C →)·(BC →＋CC 1→)＝A 1C 1→·BC →－C 1C →2＝0， ∴C 1C →2＝A 1C 1→·BC →.同理AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BC →＋CC 1→，AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋CC 1→2＝0(∵BB 1→＝CC 1→)，∴AB →·BC →＋A 1C 1→·BC →＝0.又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·(AB →＋AC →)＝0.设D 为BC 中点，则AB →＋AC →＝2AD →.∴2BC →·AD →＝0.∴BC⊥AD.∴AB＝AC.又A 1A ＝B 1B ，∴A 1C ＝AB 1.变练演编(1)已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则点Q 的坐标为________________时，数量积 QA →·QB →取得最小值．(2)如图：在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则向量DM →＝______a ＋______b ＋______c ；AM →＝______a ＋____________b ＋________c.答案：(1)(43，43，83) (2) 12 －12 1 12 121 设计意图：课堂教学中，教师尽量不要照搬教材上的原例题，而是在尊重原例题编写意图，保证其训练的技能技巧、解题思路、数学思想方法、能力不变的前提下，改变原例题中的数值，或字母，或已知条件，或求解目标，……即表面上换一个例题，但其实质并没有变化．可以说是换又没有换，这就是很多专家所讲的“换一个的策略”．目的还是保证让全体学生真正不仅动手，而且动脑，还又不偏离教学目标，是对学习真实性的保障．达标检测1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量D 1A →、D 1C →、A 1C 1→是( )A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量2．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝____________.答案：1.C 2.C 3.－112AB →－13AC →＋34AD → 课堂小结活动设计：可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．小结：①空间向量的概念的引入与运算法则、运算律．②空间向量环境下的基本定理体系及其注意事项．③坐标体系的建立，利用向量坐标表示进行各种计算．④加深对不同方法(如综合法、向量法、坐标法)的理解．布置作业课本复习参考题：A 组1,2,5,6,7.补充练习1．平行六面体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1 的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝02．已知空间三点O(0,0, 0), A(－1, 1, 0), B(0, 1, 1), 在直线OA 上有一点H 满足BH⊥OA，则点H 的坐标为( )A ．(－2, 2, 0)B ．(2, －2, 0)C ．(－12，12，0)D ．(12，－12，0)3．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3), 则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．设a ＝(1,2,0), b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－23)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分条件也非必要条件答案：1.A2．C3．A解：设a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝k, 易知a ∥b .即条件具有充分性． 又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)，虽有a ∥b ，但条件a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3显然不成立，所以条件不具有必要性．4．B设计说明围绕本章内容主要从以下三类问题进行设计、选题：1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质．此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题．2．向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质．3．在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针．本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本．因此，掌握双基、精通课本是本章的关键．备课资料判断下面各个命题的正误：(1)若a ·b ＝0，则a ＝0，b ＝0.( )(2)(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( )(3)p 2·q 2＝(p·q )2.( )(4)|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|.( )(5)若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0.( )(6)空间中两个不同的向量，皆可表示空间中的任意一个向量．( )答案：错 错 错 错 对 错。
空间向量与立体几何 教案
空间向量与立体几何教案教案标题：空间向量与立体几何教案概述：本教案旨在帮助学生理解和应用空间向量与立体几何的概念和原理。
通过引导学生进行实际问题的解决，培养学生的空间想象力和几何思维能力。
教案内容涵盖了空间向量的基本概念、向量运算、向量的线性相关性以及立体几何中的平面与直线的方程等知识点。
教学目标：1. 理解空间向量的基本概念和性质；2. 掌握空间向量的运算法则；3. 理解向量的线性相关性及其几何意义；4. 掌握立体几何中平面与直线的方程求解方法；5. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 空间向量的基本概念和运算法则；2. 向量的线性相关性及其几何意义；3. 立体几何中平面与直线的方程求解方法。
教学难点：1. 向量的线性相关性及其几何意义的理解与应用；2. 立体几何中平面与直线的方程求解方法的掌握与运用。
教学准备：1. 教材：空间向量与立体几何相关章节；2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等；3. 学生练习册、作业本等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）通过一个生活实例引入空间向量的概念，如飞机起飞、导弹发射等，让学生了解空间向量的应用背景和重要性。
Step 2：学习空间向量的基本概念和运算法则（15分钟）2.1 讲解空间向量的定义和表示方法；2.2 引导学生进行向量的加法、减法和数量乘法的运算练习；2.3 给出一些实际问题，让学生通过运算求解。
Step 3：理解向量的线性相关性及其几何意义（20分钟）3.1 讲解向量的线性相关性的定义和判定方法；3.2 引导学生进行线性相关性的判定和几何意义的分析；3.3 给出一些实际问题，让学生应用线性相关性解决问题。
Step 4：掌握立体几何中平面与直线的方程求解方法（25分钟）4.1 讲解平面与直线的方程的定义和求解方法；4.2 引导学生进行方程的求解练习；4.3 给出一些实际问题，让学生应用方程求解几何问题。
Step 5：综合应用与拓展（15分钟）给出一些综合性的应用题，让学生综合运用所学知识解决问题，并引导学生思考如何将所学知识应用到更复杂的几何问题中。
北师大版数学高二-高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》全部教案第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(21OB OA OP +=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15B ． 14 D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=(+λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
空间向量与立体几何(整章教案
空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示了解向量的概念，掌握向量的几何表示和代数表示。
学习向量的长度和方向，掌握向量的模和单位向量。
1.2 向量的运算学习向量的加法、减法和数乘运算。
掌握向量加法和减法的几何意义，理解数乘向量的意义。
1.3 向量的坐标表示学习空间直角坐标系，了解向量的坐标表示方法。
掌握向量坐标的加法和数乘运算，理解向量坐标的几何意义。
第二章：立体几何基础2.1 平面立体几何学习平面的基本性质，掌握平面方程和点到平面的距离公式。
学习直线与平面的位置关系，了解线面平行、线面相交和线面垂直的判定条件。
2.2 空间立体几何学习空间几何体的基本性质，包括点、线、面的位置关系。
掌握空间几何体的体积和表面积计算公式，了解空间几何体的对称性。
第三章：空间向量在立体几何中的应用3.1 空间向量与直线的位置关系学习利用空间向量判断直线与直线、直线与平面的位置关系。
掌握向量夹角的概念，学习利用向量夹角判断直线与直线的夹角。
3.2 空间向量与平面的位置关系学习利用空间向量判断平面与平面的位置关系。
掌握平面法向量的概念，学习利用平面法向量求解平面方程。
3.3 空间向量与空间几何体的位置关系学习利用空间向量判断空间几何体与空间几何体的位置关系。
掌握空间几何体的体积和表面积计算方法，学习利用空间向量求解空间几何体的体积和表面积。
第四章：空间向量的线性运算与立体几何4.1 空间向量的线性组合学习空间向量的线性组合，掌握线性组合的运算规律。
理解线性组合在立体几何中的应用，包括线性组合与空间几何体的关系。
4.2 空间向量的线性相关与线性无关学习空间向量的线性相关和线性无关的概念。
掌握判断空间向量线性相关和线性无关的方法，理解线性相关和线性无关在立体几何中的应用。
4.3 空间向量的基底与坐标表示学习空间向量的基底概念，掌握基底的选取方法。
学习空间向量的坐标表示方法，理解坐标表示在立体几何中的应用。
高中数学 空间向量与立体几何复习与小结参考教案1 北师大版选修2-1
空间向量与立体几何复习与小结教案一、教学目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。
二、重难点分析：本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．1、空间向量及其运算：重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。
难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。
理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。
（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。
难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。
（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。
难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。
由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。
（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。
难点：向量坐标的确定、公式的应用。
2、空间向量的应用重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。
（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。
难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。
（2）直线与平面的夹角：重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法。
难点：斜线与平面所成的角的求解，公式12cos cos cos θθθ=⋅的灵活运用。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案教案：空间向量与立体几何一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握空间向量的基本概念和运算法则，并能够运用空间向量解决立体几何问题。
2.过程与方法目标：培养学生的观察能力和逻辑思维能力，通过实例分析和综合运用，激发学生对数学的兴趣和学习积极性。
3.情感态度目标：培养学生的合作学习精神，增强学生对数学的自信心和探究精神。
二、教学重点难点：1.教学重点：空间向量的概念、性质及运算法则。
2.教学难点：如何灵活应用空间向量解决立体几何问题。
三、教学方法：1.教师讲授与学生合作探究相结合的方法。
2.案例分析和综合运用的方法。
四、教学过程：第一节空间向量的概念和性质（40分钟）1.通过引入空间向量的概念，让学生了解空间向量的定义，并掌握向量的表示方法。
2.解释向量的性质，如向量的加法、数乘、共线和共面性质。
3.设计一些简单的例题进行讲解，引导学生掌握和理解空间向量的性质。
第二节空间向量的运算法则（40分钟）1.通过实例引导，让学生掌握向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则。
2.类比二维向量，在立体几何实例中引入空间向量运算，帮助学生理解和应用空间向量运算。
第三节空间向量在立体几何中的应用（40分钟）1.通过立体几何实例，引导学生运用空间向量解决立体几何问题。
2.给学生创设情境，让学生在小组合作的形式下，互相讨论和解决立体几何问题。
3.设计不同难度的立体几何问题，让学生进行综合运用，提高解决问题的能力。
第四节拓展课程与归纳总结（40分钟）1.设计拓展课程，引导学生发现和探究空间向量在其他学科中的应用，如物理、工程等领域。
2.巩固和总结空间向量的知识点，通过小测验和思维导图等方式，让学生检验和反思自己的学习效果。
五、教学资源准备：1.多媒体教学设备和教学课件。
2.各类立体几何教具和实物模型。
3.教科书及参考资料。
六、教学评价与反思：1.课堂提问与讨论，根据学生的回答和互动评价学生的理解和能力。
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空间向量与立体几何
一、教学目标
1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；
2.用向量方法求解线面的夹角、距离、证明平行或垂直关系；
3.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题．
二、教学重点
培养向量方法解决立体几何的思维方法
三、知识要点
1.运用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成角利用公式cos,
a b
a b
a b
⋅
<>=
⋅
，但务必注意两异
面直线所成角θ的范围是
0,
2
π
⎛⎤
⎥
⎝⎦，故实质上应有：
cos cos,a b
θ=<>
．
(2)求线面角
借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角ϕ，即可求出
直线与平面所成的角θ，其关系是sin cos a u a u
θϕ•
==
(3)求二面角
方法1：是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；
方法2：转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
2.运用空间向量求空间距离，求解步骤是：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要
求的点面距离．
||
||
AB n d
n
⋅=
3.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
4.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
四、知识总结
1.把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。
求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。
2.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理。
3.注意数学中的转化思想的运用：常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。