《空间向量和立体几何》复习教案

空间向量与立体几何

一、教学目标

1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；

2.用向量方法求解线面的夹角、距离、证明平行或垂直关系；

3.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题．

二、教学重点

培养向量方法解决立体几何的思维方法

三、知识要点

1.运用空间向量求空间角

(1)求两异面直线所成角利用公式cos,

a b

a b

a b

⋅

<>=

⋅

，但务必注意两异

面直线所成角θ的范围是

0,

2

π

⎛⎤

⎥

⎝⎦，故实质上应有：

cos cos,a b

θ=<>

．

(2)求线面角

借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角ϕ，即可求出

直线与平面所成的角θ，其关系是sin cos a u a u

θϕ•

==

(3)求二面角

方法1：是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；

方法2：转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．

2.运用空间向量求空间距离，求解步骤是：

(1)求出该平面的一个法向量；

(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要

求的点面距离．

||

||

AB n d

n

⋅=

3.用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.

4.用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

四、知识总结

1.把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。

2.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理。

3.注意数学中的转化思想的运用：常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置；用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置；割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。