等腰三角形典型例题

合集下载

专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)

专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。

专题17 等腰(等边)三角形问题(学生版)

备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）专题17 等腰（等边）三角形问题考点扫描☆聚焦中考等腰（等边）三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题考查，也有解答题出现，难度系数小，较简单，属于低档题；考查的知识点主要有：等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质；考查热点主要有：等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质.考点剖析☆典型例题（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x ﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．2023•益阳）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE ＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．例4（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（）A．B．6C．8D．例5（2021•宁夏）如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（）A．2B．3C．4D．5考点过关☆专项突破类型一等腰三角形的性质与判定1．（2023•南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（）A．5B．10C．15D．202．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°3．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．58°C．74°D．75°4．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形5．（2022•宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．46．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．7．（2023•西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是．8．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为．9．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．10．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．类型二等边三角形的性质与判定1．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC 的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°2．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合3．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°4．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．26°5．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．6．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB 与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．7．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．8．（2023•雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为．9．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．10．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF 相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是．类型三线段垂直平分线的性质1．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．4．（2021•淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．2B．4C．6D．85．（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25B．22C．19D．186．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．78．（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．。

等腰三角形典型例题

典型例题例题1 如图，P、Q是边BC上的两点，且，求的度数．分析由已知为等边三角形，故可求得它的外角的度数，又由等腰三角形的性质求得底角的度数．解（已知）∴（等边三角形三个角都为60°）∴（等边对等角）又（三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和）∴同理∴说明几何计算的目的通常是找量与量的关系，等腰三角形的两底角相等，等边三角形三内角均为60°，等腰三角形三线合一的性质等都是建立量与量的关系的依据．例题2 如图，在中，在CA的延长线上，是高．试说明EF与BC的位置关系．并说明理由．分析画出准确的图形，能看出，三角尺也能显示出有这样的关系，但这并不能作为理由．真正的理由应该用我们所学的知识去推理．结论是，从图中看EF、BC没有联系，但AD与BC是垂直的，只要说明，问题就解决了．解∴又为的一个外角∴∴∴∴∴说明（1）在同一三角形中，有边相等，要联想到角相等．（2）在这里AD起到“桥梁”的作用，有的题题目中没有现成的“桥梁”，还可以自己“制造”“桥梁”．拿本题来说，过点A画BC的平行线与EF相交，或者，过点E作BC的平行线与BA的延长线相交，也都可以作为“桥梁”．有兴趣的同学可以试一试．例题3 如图是我们最为熟悉的图形之一，这个图形可以看做是按照一定规则连结正五边形的顶点得到的，被称为正五角形．这个图形有几条对称轴？在这个图形中有哪些个等腰三角形？分析由这个图形与正五边形的关系知过点和B的直线，以及有类似特点的直线都是这个图形的对称轴．由于直线是图形的对称轴，所以图形沿直线进行翻折后，点与点重合，这使得线段与重合，线段与重合，可见与都是等腰三角形，利用同样的思路可以发现图中的其他等腰三角形．解这个图形有五条对称轴．在这个图形中共有十个等腰三角形，可以视为两组：；，以及说明如果你只发现了图中的五个三角形，请不要以“粗心”原谅自己，而应该感到自己从多角度观察、思考问题的意识不强，基本功还差．例题4 一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他两边的长．分析题目中给出“一边长为4”，究竟是腰长为4，还是底边长为4呢？都无法确定，也许这两种情况都有可能，所以应该分两种情况进行讨论．解若以4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 cm．若以4cm长的边为腰，设底边长为x，则 cm．，出现二边之和小于第三边的情况，所以以4cm长为腰不能组成三角形．故其他两边的长为7cm、7cm．说明（1）涉及等腰三角形的边的问题，在未指明腰和底的情况下，要分情况予以讨论．（2）凡涉及三角形三边的长时，一定要检查三边能否构成一个三角形。

等腰三角形(一)

【知识要点】等腰三角形性质（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等腰三角形的是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线。

判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形；（3）中线、高、角平分线重合的三角形是等腰三角形。

【典型例题】例1 如图1，已知等边三角形ABC 边BA 延长线上有一点D ，BC 延长线上有一点E ，且AD=BE ，求证：DC=DE 。

例2 已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求出△ABC 的周长。

E 图1∠B ）。

例4 如图3，∠ABD=∠ACD=60，∠ADB=90°－12∠BDC ，求证：△ABC 是等腰三角形。

【闯关练习】1．已知等腰三角形ABC 的底边BC=8，AC BC =3，则腰AC 的长为。

2．若等腰三角形的周长为12，腰长为x ，则腰长x 的取值范围是。

3．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这条高与底边的夹角为。

4．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为。

5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a,则其底边上的高是。

6．如图4，已知等边△ABC 的周长为6，BD 是AC 边上的高，E 是BC 延长线上一点，CD=CE ，求△BDE 的周长。

F AB CM EP1 2 图2 D 图3【疯狂收获】【冲刺练习】1．如图6，△ABC 中，AB=AC ，D ，E ，F ，分别为AB ，BC ，CA 上的高，且BD=CE ，∠DEF=∠B 。

初中三数学等腰三角形典型例题分析

初中三数学等腰三角形典型例题分析模型一：向两边作垂线得距离相等如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；模型二：角的两边取等线段构全等如下图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；模型三：角平分线加垂线得三线合一如下图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”性质证题；模型四：角平分线遇见平行线得等腰三角形如下图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.【典例1】如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.证法一：如下图，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N.∵BD平分∠ABC∴ DM=DN又∵ AD=CD∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL）∴∠NAD=∠C∵∠BAD＋∠NAD=180°∴∠BAD＋∠C=180°.证法二：如下图，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS）∴∠A=∠BED, AD=ED∵AD=CD∴ED=CD∴∠C=∠DEC∴∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°.证法三：如下图，延长BA到E，使BE=BC,连接ED. 可证△BDE≌△BDC（SAS）∴∠E=∠C， ED=CD.∵AD=CD∴ AD=ED.∴∠E=∠DAE，∠C=∠DAE，∴∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°.【典例2】如下图，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路分析：注意到BD平分∠ABC，CE⊥BE，这种情况完全和第三种模型吻合，于是延长CE、BA相交于F，如下图，则易证△BEF≌△BEC（ASA）∴ EF=CE ∴ CE=EF=1/2CF.∵ CE⊥BE∴∠1=90°-∠F. 同理∠3=90°-∠F∴∠1= ∠3 又∵AB=AC ∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴ CE=1/2BD.。

等腰三角形典型例题

等腰三角形典型例题
哎呀呀，啥是等腰三角形啊？让我来给你好好讲讲！
我们在数学课上，老师经常提到等腰三角形。

就好像我们班的同学一样，有的高，有的矮，有的胖，有的瘦，可等腰三角形就特别有特点。

比如说，有这么一道题：一个等腰三角形的两条边分别是5 厘米和10 厘米，那它的周长是多少呢？
这可难不倒我！我就想啊，如果5 厘米是腰长，那另一条腰也是5 厘米，可两条腰加起来才10 厘米，这怎么能围成三角形呢？这就好像用两根短木棍和一根长木棍，根本拼不成三角形嘛！所以啊，腰长只能是10 厘米，那周长不就是10 + 10 + 5 = 25 厘米嘛！
还有一道题，一个等腰三角形顶角是80 度，那底角是多少度呢？我马上就想到，等腰三角形两个底角相等，三角形内角和是180 度，那不就是（180 - 80）÷ 2 = 50 度嘛！这多简单！
我同桌还跟我争论，说他觉得不是这样算的。

我就跟他说：“你好好想想，三角形内角和是不变的呀，这不是明摆着的嘛！”
还有一次，老师在黑板上画了一个大大的等腰三角形，问我们：“如果这个等腰三角形的底边长是12 厘米，高是8 厘米，面积是多少？”我马上举手回答：“面积就是12×8÷2 = 48 平方厘米呀！”老师还表扬我了呢！
你说，这等腰三角形是不是很有趣？它就像一个神秘的小宝藏，等着我们去挖掘里面的秘密！
总之，通过这些典型例题，我发现只要认真思考，等腰三角形也没那么难嘛！。

八年级轴对称典型例题

八年级轴对称典型例题一、等腰三角形与轴对称性质相关例题例题1：已知等腰三角形ABC中，AB = AC，∠A = 36°，请找出这个等腰三角形的所有对称轴。

解析：1. 因为等腰三角形ABC中，AB = AC，等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边的中线）所在的直线。

作AD⊥BC于D点，由于AB = AC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD所在直线就是等腰三角形ABC的对称轴。

因为∠A=36°，AB = AC，所以∠B=∠C=(180° 36°)/2 = 72°。

这条对称轴将等腰三角形ABC分成两个全等的直角三角形ABD和ACD。

2. 总结：等腰三角形ABC有1条对称轴，即底边上的高AD所在的直线。

二、线段垂直平分线与轴对称例题例题2：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

[此处可自行画一个简单的三角形ABC，其中DE是AC的垂直平分线，D在AC上，E在BC上]解析：1. 因为DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD = CD。

2. 已知△ABD的周长为AB+BD + AD = 13cm，由于AD = CD，所以AB+BD+CD = 13cm，即AB + BC = 13cm。

3. 又因为AE = 3cm，且DE垂直平分AC，所以AC = 2AE = 6cm。

4. 那么△ABC的周长为AB+BC + AC=13 + 6 = 19cm。

三、角平分线与轴对称例题例题3：如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，连接CD，求证：OP垂直平分CD。

[画一个∠AOB，OP为角平分线，PC垂直OA于C，PD垂直OB于D，连接CD]解析：1. 因为OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，根据角平分线的性质，可得PC = PD。

2. 在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP = OP（公共边），PC = PD，所以Rt△OPC≌Rt △OPD(HL)。

等腰三角形

等腰三角形◆等腰三角形的性质等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成：等边对等角）几何符号语言：在ABC ∆中， ∵AC AB = ∴C B ∠=∠注：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、中线相互重合（简写成：三线合一）几何符号语言：∵AC AB = BC AD ⊥∴DC BD = C A D BAD ∠=∠或；或 .【典型例题】例1．如图，ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 上一点，且CE BD =，DC BF =.猜想FDE ∠与A ∠的关系并证明．例2．已知：如图，ABC ∆中，AC AB =，D 为边BC 的中点，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F . 求证：DF DE =例3．等腰三角形的一个角等于︒100，则另两个角的度数为（）A ．︒40，︒40B ．︒100，︒20C ．︒50，︒50D ．︒40，︒40或︒100，︒20例4．等腰三角形的顶角是底角的3倍，则底角的度数为（）A ．︒36B ．︒52C ．︒60D ．︒72例5．已知：如图，设P 是等腰直角ABC ∆的直角边AC 的中点，BP AD ⊥于E ，AD 交BC 于D .求证：CPD APB ∠=∠【随堂练习】6-1．如图，ABC ∆中，AC AB =，BD BC =，EB DE AD ==，则A ∠的度数为．6-2．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（）A ．11cmB ．7.5cmC ．11cm 或7.5cmD ．以上都不对6-3．如图：︒=∠15EAF ，EF DE CD BC AB ====，则DEF ∠等于（）A ．90°B ．75°C ．70°D ．60°6-4．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A ．50°或80°B ． 80°C ．50°D ．20°或80°6-5．如图，ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 中点，下列结论中不正确．．．的是( ) A. C B ∠=∠ B.BC AD ⊥ C.AD 平分BAC ∠ D. BD AB 2=6-6．在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠60CDA ，AC AD ⊥，则BAD ∠的度数为（）A ．︒18B ．︒30C ．︒36D ．︒606-7．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，且AC AE =，BC EF //交AC 于F .求证：CE 平分DEF ∠6-8．如图，在ABC ∆中，BD AD =，CE AE =，且︒=∠110A .求DAE ∠的度数.6-9．五边形ABCDE 中AE AB =，DE BC =，AED ABC ∠=∠，点F 是CD 的中点．•求证：CD AF ⊥◆等腰三角形的判定等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形叫做等腰三角形（等角对等边）几何符号语言：∵C B ∠=∠ ∴AC AB =【典型例题】例6．如图，ABC ∆中，A C ABC ∠=∠=∠2，BD 为ABC ∠的平分线，BC DE //，交AB 于E ，则图中的等腰三角形的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5例7．如图，在四边形ABDC 中，AC AB =，C B ∠=∠.求证：CD BD =例8．如图，ABC ∆中，C B ∠=∠2，AD 是BAC ∠的平分线.求证：BD AB AC +=例9．如图，OA 平分BAC ∠，21∠=∠.求证：ABC ∆为等腰三角形。

等腰三角形典型例题

等腰三角形典型例题【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。

ACB D思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。

解：∵AB=CD（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）同理：∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800∴X+2X+2X=180∴X=36答：∠B的度数为360注：用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。

练习1：如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=290，则∠A=__＿练习2：如图在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数？【例2】如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC 。

求证：AO ⊥BC思路点拨：要证AO ⊥BC ，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO 是顶角的平分线即可。

B证明：延长AO 交BC 于DAB=AC （已知）在△ABO 和△ACO 中 OB=OC （已知） AO=AO（公共边） ∴△ABO ≌△ACO （SSS ） ∴∠BAO=∠CAO即∠BAD=∠CAD （全等三角形的对应角相等）∴AD ⊥BC ，即AO ⊥BC （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）评注：本题用两次全等也可达到目的.。

练习：如图所示，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE 求证：BD=CE【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上C的高。

思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。

八年级等腰三角形练习题及答案汇总

等腰三角形典型例题一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D 到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD 交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）（第2题）（第1题）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．（第3题）（第4题）三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C 作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D 在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．（2006•郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D 到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB 的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD 交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△AC D和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3 ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△AB C中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C 作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+P F=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．（2006•郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。

等腰三角形典型例题练习含答案

添加标题
添加标题
性质：两腰相等，底边与两腰之间的比例为固定值
应用：在几何问题和实际问题中，利用等腰三角形的边长比例解决问题
等腰三角形的边长计算
等腰三角形的两腰相等，底边与两腰之间的夹角相等。
等腰三角形的边长关系可以根据勾股定理进行计算。
等腰三角形的高、中线和角平分线等性质可用于计算边长。
等腰三角形的角度关系
第四章
等腰三角形的角度性质
等腰三角形的顶角与底角互补，即它们的角度之和为 180度。
等腰三角形的两个底角相等，即两个角大小相等。
等腰三角形的一个角为顶角，其余两个角为底角，且三个角度之和为180度。
等腰三角形的一个角为底角，其余两个角为顶角，且三个角度之和为180度。
等腰三角形的角度计算
等腰三角形两底角相等，角度和为180度顶角与底角的角度关系：顶角 = 180度 - 2 × 底角度数等腰三角形的高、中线和角平分线重合等腰三角形中的角度计算可以通过三角函数或勾股定理进行求解
等腰三角形的角度证明
等腰三角形两底角相等，证明方法为取等腰三角形ABC，作底边BC的中点D，连接AD，则 ∠BAD=∠CAD。
自然界：蜂巢、蜘蛛网等自然现象中经常出现等腰三角形的形状。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
建筑学：等腰三角形在建筑设计中有广泛的应用，如金字塔、塔楼等。
艺术创作：等腰三角形在绘画、雕塑和图案设计中常被用作基本构图元素。
等腰三角形在实际问题中的应用
桥梁设计：利用等腰三角形的性质，实现桥梁的稳定和平衡建筑结构：等腰三角形在建筑设计中用于增强结构的稳定性机械零件：等腰三角形的特殊性质使其在某些机械零件中具有特殊用途自然界中的等腰三角形：例如蜂巢、蜘蛛网等自然现象中存在等腰三角形的实际应用

等腰三角形的性质专题练习

【典型例题分析】题型一：【例1】△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型二：【例2】等腰三角形的一个内角为80°，则另两个内角的度数为.【例3】（变式）等腰三角形的一个内角为35°，则另两个内角的度数为. 【例4】（变式）等腰三角形的一个内角为90°，则另两个内角的度数为. 【例5】（变式）等腰三角形的一个内角为120°，则另两个内角的度数为. 【例6】（变式）等腰三角形的一个内角为170°，则另两个内角的度数为. 【借题发挥】1.等腰三角形的一个内角为50°，则它的底角为（）A.50°;B.130°;C.65°;D.50°或65°.2．已知等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求此三角形顶角的度数.题型三：【例7】等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，则它的周长为.【例8】（变式）等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为. 【借题发挥】1.等腰三角形的两边长分别为8cm和17cm，则它的周长为.2.等腰三角形的周长为60cm，且其中一边长为18cm，求此等腰三角形的底边长.【例9】已知：AD既是是△ABC的角平分线、高线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD【借题发挥】1．已知：AD既是△ABC的角平分线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD2．已知：AD既是△ABC的高线又是△ABC的中线.求证△ABC为等腰三角形AB CD3．已知：AD既是是△ABC的角平分线又是△ABC的高线.求证△ABC为等腰三角形AB CD【例10】已知：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°.求该等腰三角形的顶角度数.【例11】已知：等腰三角形的顶角为150度，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.【借题发挥】1、已知等腰三角形的底角为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数.2、已知等腰三角形的一个内角的度数为40°，求该等腰三角形一腰上的高与底边夹角的度数【例12】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且BM=CN。

人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元《等腰三角形的实际应用》》专项练习(原卷版)

人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元：等腰三角形的实际应用专项练习（原卷版）1．已知一个等腰三角形中的一个内角是50°，那么这个三角形的另外两个内角可能是多少度？2．一个三角形它有两个角都是60°，它的一条边长是16cm。

另一个等腰三角形的周长与它相等，已知这个等腰三角形的底边长22cm，它的腰长是多少cm？3．有一根铁丝长1.9dm，把它做成一个等腰三角形，腰的长度为0.6dm。

那么它的底边长是多少dm？（接头处忽略不计）4．在一个等腰三角形中，一个角的度数是另一个角的2倍，求这个三角形的顶角和底角各是多少度。

5．一个等腰三角形中有两边的长度分别是5厘米，7厘米，这个等腰三角形的周长是多少？6．—个等腰三角形的顶角是48°，那么它的一个底角是多少度？7．一根铁丝长60厘米。

（1）用这根铁丝围成一个腰长为24厘米的等腰三角形，这个三角形的底边是多少厘米？（2）用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的底边是多少厘米？8．有一块等腰三角形的菜地，它的底角是49°，它的顶角是多少度？9．李大伯家有一块等腰三角形的菜园，底边长10米，腰长20米，要在菜园的边上围篱笆，篱笆的长是多少米？10．用一根长26厘米的铁丝圈一个等腰三角形，测的一条边的长度为10厘米，另外两边分别长多少厘米？11．我们的红领巾（等腰三角形），它的最大角是120°，它的另外两个角分别是多少度？12．下面图形是等腰三角形，先求出∠1和∠2的度数，再画出三角形指定底边上的高。

13．一根铁丝可围成边长是6厘米的正方形。

如果围成一个等边三角形，它的边长是多少厘米？14．一个等腰三角形，它的一个底角度数是35°，那么它的顶角是多少度？15．一个风筝的形状是等腰三角形，已知一个底角是42°，你能求出其他两个角的度数吗？16．用一根两米长的铁丝围成一个等边三角形框架后，剩下20厘米。

《等腰三角形的判定》练习

《等腰三角形的判定》练习篇一：等腰三角形经典练习题[1]等腰三角形练习知识梳理说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。

知识点4：等腰三角形的推论1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点5：等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

一、知识点回顾等腰三角形的性质：△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AB=AC，∴∠_____=∠______；（即性质1）（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C∴_____=_____．二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．第2题. 在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（） A．2B．3C．4D．5第3题. 如图1，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（）B知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

等腰三角形知识点+经典例题

第一讲等腰三角形【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.~作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；.(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.(（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质…等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题练习一．选择题（共 2 小题）1．如图，∠ C=90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm ， BD=3cm ，则点 D 到 AB 的距离为（）A ．5cmB ．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外），分别以 AC 、 BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边△ ACD 和等边△ BCE，连接 AE 交 CD 于 M ，连接 BD 交 CE 于 N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN ∥ AB其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C．2D．3二．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形ABC 中， D， E， F 分别是 BC， AC ， AB 上的点， DE⊥ AC ， EF⊥ AB ， FD⊥ BC ，则△ DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于_________．三．解答题（共15 小题）4．在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， E、 F 分别为 AB 、 AC 上的点，且∠ EDF+ ∠EAF=180 °，求证DE=DF ．5．在△ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DE ∥ BC，分别交 AB 、AC 于点 D 、E．请说明DE=BD+EC ．6．＞已知：如图， D 是△ABC 的 BC 边上的中点， DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC ，垂足分别为 E，F，且 DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长BC 至 E，使 CE=CD ．连接 DE．（1）∠ E 等于多少度？（2）△ DBE 是什么三角形？为什么？8．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD 是 AB 边上的高，∠A=30 °．求证： AB=4BD ．9．如图，△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 分别在 AB 、 AC 的延长线上，且BD=CE ， DE 与 BC 相交于点 F．求证：DF=EF ．10．已知等腰直角三角形ABC ， BC 是斜边．∠ B 的角平分线交AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于E，求证： BD=2CE ．11．（2012?牡丹江）如图①，△ ABC 中． AB=AC ， P 为底边 BC 上一点， PE⊥ AB ， PF⊥ AC ， CH ⊥AB ，垂足分别为 E、 F、 H．易证 PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接 AP．∵PE⊥AB ， PF⊥ AC ， CH ⊥ AB ，∴S△ABP= AB ?PE， S△ACP = AC ?PF， S△ABC= AB ?CH ．又∵ S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB ?PE+ AC ?PF= AB ?CH ．∵AB=AC ，∴PE+PF=CH ．（ 1）如图②，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变， PE、 PF、 CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（ 2）填空：若∠A=30 °，△ ABC 的面积为49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为PF，当 PF=3 时，则AB 边上的高CH= _________．点P到AB边的距离PE= _________．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ 1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE _________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（ 2）特例启发，解答题目解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是：AE _________ DB （填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点 E 作EF∥ BC，交 AC 于点 F．（请你完成以下解答过程）（ 3）拓展结论，设计新题3在等边三角形ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ．若△ ABC 的边长为1，AE=2 ，求 CD的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图， AF 平分∠ BAC ， BC ⊥ AF 于点 E，点 D 在 AF 上， ED=EA ，点 P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点M ．若∠ BAC=2 ∠ MPC ，请你判断∠ F 与∠ MCD 的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ ABC 是等边三角形，点D、 E 分别在 BC 、AC 边上，且AE=CD ， AD 与 BE 相交于点F．（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠ BFD 的度数．15．如图，在△ ABC 中， AB=BC ，∠ ABC=90 °， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上， BE=BF ，连接 AE 、EF 和CF，求证： AE=CF ．16．已知：如图，在△ OAB 中，∠ AOB=90 °， OA=OB ，在△ EOF 中，∠ EOF=90 °， OE=OF，连接 AE 、 BF．问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由．17．（ 2006?郴州）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB ，AC 引垂线，垂足分别为E，F，CG 是 AB 边上的高．（1） DE ， DF， CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上，（ 1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ ABC 中， AB=AC ，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即 PD+PE=CF ，若 P 点在 BC 的延长线上，那么请你猜想 PD 、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共 2 小题）1．如图，∠ C=90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D，若 BC=5cm ， BD=3cm ，则点 D 到 AB 的距离为（）A ．5cmB ．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点 D 到 AB 的距离等于 D 到 AC 的距离即CD 的长，问题可解．解答：解：∵∠ C=90°， AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D∴D 到 AB 的距离即为CD 长 CD=5 ﹣ 3=2 故选 C．2．如图，已知 C 是线段 AB 上的任意一点（端点除外），分别以 AC 、 BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边△ ACD 和等边△ BCE，连接 AE 交 CD 于 M ，连接 BD 交 CE 于 N．给出以下三个结论：① AE=BD ② CN=CM ③ MN ∥AB 其中正确结论的个数是（）B ．1C．23A ．D．考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ ACD 和△ BCE 是等边三角形，根据SAS 易证得△ ACE ≌△ DCB ，即可得①正确；由△ACE ≌△ DCB ，可得∠ EAC= ∠ NDC ，又由∠ ACD= ∠ MCN=60 °，利用 ASA ，可证得△ACM ≌△ DCN ，即可得②正确；又可证得△ CMN 是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ ACD 和△BCE 是等边三角形，∴∠ ACD= ∠ BCE=60 °， AC=DC ，EC=BC ，∴∠ ACD+ ∠ DCE= ∠ DCE+ ∠ECB ，即∠ ACE= ∠DCB ，∴△ ACE ≌△ DCB （ SAS），∴AE=BD ，故①正确；∴∠ EAC= ∠NDC ，∵∠ ACD= ∠ BCE=60 °，∴∠ DCE=60 °，∴∠ ACD= ∠ MCN=60 °，∵AC=DC ，∴△ ACM ≌△ DCN （ ASA ），∴ CM=CN ，故②正确；又∠ MCN=180 °﹣∠ MCA ﹣∠ NCB=180 °﹣ 60°﹣ 60°=60°，∴△ CMN 是等边三角形，∴∠NMC= ∠ACD=60 °，∴ MN ∥ AB ，故③正确．故选 D ．二．填空题（共 1 小题）3．如图，在正三角形 ABC 中， D， E， F 分别是 BC， AC ， AB 上的点， DE⊥ AC ， EF⊥ AB ， FD⊥ BC ，则△ DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于1：3．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠ DFE= ∠ FED=∠ EDF=60 °，即可证得△ DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF： AB=1 ：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ ABC 是正三角形，∴∠ B=∠ C=∠ A=60 °，∵DE ⊥ AC ， EF⊥ AB ， FD ⊥BC，∴∠ AFE= ∠ CED= ∠ BDF=90 °，∴∠ BFD= ∠ CDE= ∠AEF=30 °，∴∠ DFE= ∠ FED= ∠EDF=60 °，，∴△ DEF 是正三角形，∴ BD ： DF=1 ：①， BD： AB=1 ： 3②，△ DEF ∽△ ABC ，①÷②， =，∴ DF ： AB=1 ：，∴△ DEF 的面积与△ ABC 的面积之比等于 1： 3．故答案为： 1： 3．三．解答题（共15 小题）4．在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， E、 F 分别为 AB 、 AC 上的点，且∠ EDF+ ∠EAF=180 °，求证DE=DF ．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过 D 作 DM ⊥AB ，于 M ，DN ⊥ AC 于 N ，根据角平分线性质求出DN=DM ，根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED= ∠CFD ，根据全等三角形的判定AAS 推出△ EMD ≌△ FND 即可．解答：证明：过 D 作 DM ⊥ AB ，于 M ， DN ⊥AC 于 N，即∠ EMD= ∠ FND=90 °，∵AD 平分∠ BAC ，DM ⊥AB ， DN ⊥ AC ，∴ DM=DN （角平分线性质），∠ DME= ∠DNF=90 °，∵∠ EAF+ ∠ EDF=180 °，∴∠ MED+ ∠ AFD=360 °﹣ 180°=180°，∵∠ AFD+ ∠NFD=180 °，∴∠ MED= ∠ NFD ，在△ EMD 和△ FND 中，∴△ EMD ≌△ FND ，∴ DE=DF ．5．在△ ABC 中，∠ ABC 、∠ ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DE ∥ BC，分别交 AB 、AC 于点 D 、E．请说明DE=BD+EC ．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据 OB 和 OC 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ，和 DE ∥ BC ，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出 DB=DO ， OE=EC ．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC 中， OB 和 OC 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ，∴∠ DBO= ∠ OBC，∠ ECO= ∠ OCB，∵DE ∥ BC ，∴∠ DOB= ∠OBC= ∠DBO ，∠ EOC= ∠OCB= ∠ECO ，∴DB=DO ， OE=EC ，∵ DE=DO+OE ，∴ DE=BD+EC ．6．＞已知：如图， D 是△ABC 的 BC 边上的中点， DE ⊥ AB ，DF ⊥ AC ，垂足分别为 E，F，且 DE=DF ．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（ HL ）证明△ EBD ≌△ FCD ，从而得出∠ EBD= ∠FCD ，即可证明△ ABC 是等腰三角形．解答：△ABC 是等腰三角形．证明：连接AD ，∵ DE ⊥AB ， DF⊥ AC ，∴∠ BED= ∠ CFD=90 °，且 DE=DF ，∵D 是△ABC 的 BC 边上的中点，∴BD=DC ，∴Rt△ EBD ≌ Rt△ FCD （HL ），∴∠ EBD= ∠ FCD ，∴△ ABC 是等腰三角形．7．如图，△ ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长BC 至 E，使 CE=CD ．连接 DE．（ 1）∠ E 等于多少度？（2）△ DBE 是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ ACB=60 °，∠ E=∠ CDE ，然后根据三角形外角的性质可知：∠ ACB= ∠E+ ∠CDE ，即可推出∠ E 的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD 不但为 AC 边上的高，也是∠ABC 的角平分线，即得：∠DBC=30 °，然后再结合（ 1）中求得的结论，即可推出△ DBE 是等腰三角形．解答：解：（ 1）∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ACB=60 °，∵CD=CE ，∴∠ E=∠ CDE，∵∠ ACB= ∠ E+∠ CDE ，∴，（2）∵△ ABC 是等边三角形， BD ⊥ AC ，∴∠ ABC=60 °，∴，∵∠ E=30°，∴∠ DBC= ∠ E，∴△ DBE 是等腰三角形．8．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD 是 AB 边上的高，∠A=30 °．求证： AB=4BD ．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ ABC 中，∠ ACB=90 °，∠ A=30 °可以推出AB=2BC ，同理可得BC=2BD ，则结论即可证明．解答：解：∵∠ ACB=90 °，∠ A=30 °，∴ AB=2BC ，∠ B=60 °．又∵ CD⊥ AB ，∴∠ DCB=30 °，∴ BC=2BD ．∴ AB=2BC=4BD ．9．如图，△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 分别在 AB 、 AC 的延长线上，且BD=CE ， DE 与 BC 相交于点 F．求证：DF=EF ．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过 D 点作 DG ∥AE 交 BC 于 G 点，由平行线的性质得∠1=∠ 2，∠ 4=∠ 3，再根据等腰三角形的性质可得∠ B=∠ 2，则∠ B= ∠ 1，于是有 DB=DG ，根据全等三角形的判定易得△ DFG ≌△ EFC，即可得到结论．解答：证明：过 D 点作 DG∥ AE 交 BC 于 G 点，如图，∴∠ 1=∠ 2，∠ 4=∠ 3，∵AB=AC ，∴∠ B= ∠2，∴∠ B= ∠ 1，∴ DB=DG ，而 BD=CE ，∴ DG=CE ，9在△ DFG 和△ EFC 中，∴△ DFG ≌△ EFC ，∴ DF=EF ．10．已知等腰直角三角形ABC ， BC 是斜边．∠ B 的角平分线交AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于E，求证： BD=2CE ．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长 CE， BA 交于一点F，由已知条件可证得△ BFE全≌△ BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ ADB ≌△ FAC 可得 FC=BD ，所以 BD=2CE ．解答：证明：如图，分别延长CE， BA 交于一点 F．∵BE ⊥EC，∴∠ FEB= ∠CEB=90 °，∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ FBE= ∠ CBE ，又∵ BE=BE ，∴△ BFE≌△ BCE （ASA ）．∴ FE=CE ．∴ CF=2CE ．∵A B=AC ，∠ BAC=90 °，∠ ABD+ ∠ ADB=90 °，∠ ADB= ∠ EDC ，∴∠ ABD+ ∠EDC=90 °．又∵∠ DEC=90 °，∠ EDC+ ∠ ECD=90 °，∴∠ FCA= ∠ DBC= ∠ ABD ．∴△ ADB ≌△ AFC ．∴ FC=DB ，∴ BD=2EC ．11．（2012?牡丹江）如图①，△ ABC 中． AB=AC ， P 为底边 BC 上一点， PE⊥ AB ， PF⊥ AC ， CH ⊥AB ，垂足分别为 E、 F、 H．易证 PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接 AP．∵PE⊥AB ， PF⊥ AC ， CH ⊥ AB ，∴ S△ABP= AB ?PE，S△ACP = AC ?PF， S△ABC= AB ?CH ．又∵ S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB ?PE+ AC ?PF= AB ?CH．∵ AB=AC ，∴ PE+PF=CH ．（ 1）如图②，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变， PE、 PF、 CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（ 2）填空：若∠ A=30 °，△ ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH= 7 ．点 P 到 AB 边的距离 PE= 4 或 10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接 AP ．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出 PE=PF+PH ；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH ，再由△ ABC 的面积为 49，求出 CH=7 ，由于 CH ＞ PF，则可分两种情况进行讨论：① P 为底边 BC 上一点，运用结论 PE+PF=CH ；② P 为 BC 延长线上的点时，运用结论 PE=PF+CH ．解答：解：（ 1）如图②， PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB ， PF⊥ AC ， CH⊥ AB ，∴ S△ABP= AB ?PE，S△ACP = AC ?PF， S△ABC= AB ?CH ，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴ AB ?PE= AC ?PF+ AB ?CH，又∵ AB=AC ，∴ PE=PF+CH ；（2）∵在△ ACH 中，∠ A=30 °，∴ AC=2CH ．∵S△ABC = AB ?CH ，AB=AC ，∴×2CH ?CH=49，∴ CH=7．分两种情况：① P 为底边 BC 上一点，如图① ．∵P E+PF=CH ，∴ PE=CH ﹣ PF=7﹣ 3=4；② P 为 BC 延长线上的点时，如图② ．∵PE=PF+CH ，∴ PE=3+7=10 ．故答案为7；4 或 10．12．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC ，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（ 1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（ 2）特例启发，解答题目解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点 E 作EF∥ BC ，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）（ 3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ．若△ ABC 的边长为1，AE=2 ，求 CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ ECB=30 °，求出∠ DEB=30 °，求出 BD=BE 即可；（2）过 E 作 EF∥ BC 交 AC 于 F，求出等边三角形AEF ，证△ DEB 和△ ECF 全等，求出 BD=EF 即可；（3）当 D 在 CB 的延长线上， E 在 AB 的延长线式时，由（ 2）求出 CD=3 ，当 E 在 BA 的延长线上，D 在 BC 的延长线上时，求出 CD=1 ．解答：解：（ 1）故答案为： =．（2）过 E 作 EF∥ BC 交 AC 于 F，∵等边三角形ABC ，∴∠ ABC= ∠ ACB= ∠ A=60 °， AB=AC=BC ，∴∠ AEF= ∠ABC=60 °，∠ AFE= ∠ ACB=60 °，即∠ AEF= ∠ AFE= ∠ A=60 °，∴△ AEF 是等边三角形，∴AE=EF=AF ，∵∠ ABC= ∠ ACB= ∠AFE=60 °，∴∠ DBE= ∠EFC=120 °，∠ D+∠ BED= ∠ FCE+∠ ECD=60 °，∵DE=EC ，∴∠ D=∠ ECD，∴∠ BED= ∠ ECF，在△ DEB 和△ ECF 中，∴△ DEB ≌△ ECF ，∴ BD=EF=AE ，即 AE=BD ，故答案为：=．（3）解： CD=1 或 3，理由是：分为两种情况：①如图 1过A 作 AM ⊥BC 于 M ，过 E 作 EN⊥ BC 于 N ，则 AM ∥EM ，∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB=BC=AC=1 ，∵AM ⊥BC ，∴ BM=CM= BC=，∵ DE=CE，EN⊥BC，∴ CD=2CN，12∵AM ∥EN ，∴△ AMB ∽△ ENB ，∴=，∴=，∴B N= ，∴ CN=1+ = ，∴ CD=2CN=3 ；②如图 2，作 AM ⊥ BC 于 M ，过 E 作 EN⊥BC 于 N ，则 AM ∥EM ，∵△ ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM ⊥BC ，∴ BM=CM= BC=，∵ DE=CE，EN⊥BC，∴ CD=2CN，∵AM ∥EN ，∴=，∴=，∴ MN=1，∴ CN=1﹣=，∴ CD=2CN=113．已知：如图， AF 平分∠ BAC ， BC ⊥ AF 于点 E，点 D 在 AF 上， ED=EA ，点 P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点M ．若∠ BAC=2 ∠ MPC ，请你判断∠ F 与∠ MCD 的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD ，推出∠CDA= ∠ CAD= ∠ CPM ，求出∠ MPF= ∠ CDM ，∠ PMF= ∠ BMA= ∠ CMD ，在△ DCM 和△ PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答：解：∠ F=∠MCD ，理由是：∵ AF 平分∠ BAC ， BC⊥ AF ，∴∠ CAE= ∠BAE ，∠ AEC= ∠AEB=90 °，在△ ACE 和△ ABE 中∵，∴△ ACE ≌△ ABE （ASA ）∴ AB=AC ，∵∠ CAE= ∠CDE ∴ AM 是 BC 的垂直平分线，∴CM=BM ，CE=BE ，∴∠ CMA= ∠BMA ，∵A E=ED ， CE⊥ AD ，∴ AC=CD ，∴∠ CAD= ∠ CDA ，∵∠ BAC=2 ∠ MPC ，又∵∠ BAC=2 ∠ CAD ，∴∠ MPC= ∠ CAD ，∴∠ MPC= ∠CDA ，∴∠ MPF= ∠ CDM ，∴∠ MPF= ∠CDM （等角的补角相等），∵∠ DCM+ ∠ CMD+ ∠ CDM=180 °，∠ F+∠ MPF+ ∠PMF=180 °，又∵∠ PMF= ∠ BMA= ∠ CMD ，∴∠ MCD= ∠F．14．如图，已知△ ABC 是等边三角形，点D、 E 分别在 BC 、AC 边上，且AE=CD ， AD 与 BE 相交于点F．（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠ BFD 的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC= ∠ C=60°，AB=CA ，结合 AE=CD ，可证明△ ABE ≌△ CAD ，从而证得结论；（2）根据∠ BFD= ∠ ABE+ ∠ BAD ，∠ ABE= ∠ CAD ，可知∠ BFD= ∠ CAD+ ∠ BAD= ∠ BAC=60 °．解答：（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC= ∠ C=60 °， AB=CA ．在△ ABE 和△ CAD 中，∴△ ABE ≌△ CAD ∴ AD=BE ．（2）解：∵∠ BFD= ∠ABE+ ∠BAD ，又∵△ ABE ≌△ CAD ，∴∠ ABE= ∠ CAD ．∴∠ BFD= ∠CAD+ ∠ BAD= ∠ BAC=60 °．15．如图，在△ ABC 中， AB=BC ，∠ ABC=90 °， F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上， BE=BF ，连接 AE 、EF和CF，求证： AE=CF ．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS 即可判定△ ABE ≌△ CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF ．解答：证明：∵∠ ABC=90 °，∴∠ ABE= ∠ CBF=90 °，又∵ AB=BC ， BE=BF ，∴△ ABE ≌△ CBF （ SAS）．∴ AE=CF ．16．已知：如图，在△ OAB 中，∠ AOB=90 °， OA=OB ，在△ EOF 中，∠ EOF=90 °， OE=OF，连接 AE 、 BF．问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE ，CF 放到△AEO ，△ BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得 AO=BO ，OE=OF ，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE 的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO ≌△ BFO ；延长 BF 交 AE 于 D ，交 OA 于 C，可证明∠ BDA= ∠ AOB=90 °，则 AE ⊥ BF．解答：解： AE 与 BF 相等且垂直，理由：在△AEO 与△ BFO 中，∵R t△ OAB 与 Rt△OEF 等腰直角三角形，∴ AO=OB ， OE=OF ，∠ AOE=90 °﹣∠ BOE= ∠ BOF，∴△ AEO ≌△ BFO ，∴ AE=BF ．延长 BF 交 AE 于 D，交 OA 于 C，则∠ ACD= ∠BCO ，由（ 1）知∠ OAE= ∠OBF ，∴∠ BDA= ∠ AOB=90 °，∴ AE ⊥ BF ．17．（ 2006?郴州）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB ，AC 引垂线，垂足分别为E，F，CG 是 AB 边上的高．（1） DE ， DF， CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上，（ 1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接 AD ，根据三角形ABC 的面积 =三角形 ABD 的面积 +三角形 ACD 的面积，进行分析证明；（2）类似（ 1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC 的面积 =三角形 ABD 的面积﹣三角形ACD 的面积．解答：解：（ 1） DE+DF=CG ．证明：连接AD ，则 S△ABC =S△ABD +S△ACD，即AB ?CG= AB ?DE+AC ?DF，∵ AB=AC ，∴ CG=DE+DF ．（2）当点 D 在 BC 延长线上时，（ 1）中的结论不成立，但有DE ﹣ DF=CG ．理由：连接AD ，则 S△ABD =S△ABC +S△ACD，即AB ?DE= AB ?CG+AC ?DF∵A B=AC ，∴ DE=CG+DF ，即 DE ﹣DF=CG ．同理当 D 点在 CB 的延长线上时，则有DE ﹣ DF=CG ，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ ABC 中， AB=AC ，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即 PD+PE=CF ，若 P 点在 BC 的延长线上，那么请你猜想 PD 、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想： PD、 PE、 CF 之间的关系为 PD=PE+CF ．根据∵ S△PAB= AB ?PD， S△PAC=AC ?PE，S△CAB = AB ?CF， S△PAC= AC ?PE， AB ?PD= AB ?CF+ AC ?PE，即可求证．解答：解：我的猜想是： PD、PE、 CF 之间的关系为 PD=PE+CF ．理由如下：连接 AP，则 S△PAC+S△CAB =S△PAB，∵S△PAB= AB ?PD， S△PAC= AC ?PE，S△CAB =AB ?CF，又∵ AB=AC ，∴ S△PAC= AB ?PE，∴AB ?PD= AB ?CF+AB ?PE，即AB （PE+CF）= AB ?PD，∴ PD=PE+CF ．。

等腰三角形典型例题

专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)

专题17 等腰(等边)三角形问题(学生版)

等腰三角形 典型例题

等腰三角形(一)

初中三数学等腰三角形典型例题分析

等腰三角形典型例题

八年级轴对称典型例题

等腰三角形

等腰三角形典型例题

八年级等腰三角形练习题及答案汇总

等腰三角形典型例题练习含答案

等腰三角形的性质专题练习

人教版四年级数学下册典型例题系列之第五单元《等腰三角形的实际应用》》专项练习(原卷版)

《等腰三角形的判定》练习

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形典型例题练习(含答案)

等腰三角形典型例题