等腰三角形典型例题

本次课课堂教学内容

知识梳理：

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

等腰三角形性质：等腰三角形底角相等

等腰三角形两腰相等

等腰三角形“三线合一”

垂直平分线的性质与判定

1.如图，在△ABC中，直线DE垂直平分线段AB，垂足为点E，交BC于点D，连接AD. 已

知∠B=60°，∠C=50°，∠CAD的度数为.

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，

E. 求证：DE=EC.

3.如图，在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线.

（1）若BC=13，求△AEG的周长；（2）若∠BAC=120°，求∠EAG的度数.

4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15 cm，△BCE的周长等于25 cm.

（1）求BC的长；

（2）若∠A=36°，并且AB=AC.求证：BE=BC.

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC，连接CD，过点D作AB 的垂线，交AC于点E，连接BE,交CD于点F．求证：BE垂直平分CD．

6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE 交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上.

7.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O. 已知∠ACB=45°，DE=3，BD=CE+1.

（1）求边BC的长；

（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为28 cm，求OA的长.

8. 如图，已知锐角三角形ABC中，AB，AC边的中垂线交于点O，∠A=α（0°＜α＜90°）. （1）求∠BOC的度数；

（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.

9．如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过D点分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE=DF．

探究发现：

如图2，在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED+∠AFD=180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明之；若不相等，请举反例说明．

10.如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．

11．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

①求证：BE=CF；

②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．

12.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E，求证：（1）∠EAD=∠EDA；

（2）DF∥AC；

（3）∠EAC=∠B．

等腰三角形的分类讨论

方法指导：

分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．

应用1：当顶角或底角不确定时，分类讨论

1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为( )

A．40° B．100°

C．40°或70° D．40°或100°

2．如果等腰三角形的两个内角的度数之比为1:4，那么这个三角形三个内角各是多少度？

应用2：当底和腰不确定时，分类讨论

3．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为( )

A．8或10 B．8

C．10 D．6或12

4．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．

5．若x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．

应用3：当高的位置不确定时，分类讨论

6．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．

应用4：由腰的垂直平分线引起的分类讨论

7．在△AB C中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．

应用5：由腰上的中线引起的分类讨论

8．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长．

本次课课后练习

1.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC，交AC于点E，AD交BE于点F，若已知AD=AB．（1）求证：∠CAD=∠ABE；

（2）求证：AF=DF．

2．数学课上，张老师举了下面的例题：

例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）

例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70或100°）

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．

（1）请你解答以上的变式题；

（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

3．【定义】数学课上，陈老师对我们说：如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“好线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．

【理解】（1）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数；

（2）如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．

【应用】（3）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形中最大内角的所有可能值为____________________________________________；

（4）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在边BC上，点E 在边AB上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．