线性代数1.5 (1)矩阵的初等变换

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0
0

0
1

,
0
0 0
0


0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0

0

,

0 0
0

0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0

0
0

,

1 0 0
0 问题，读者将会在学习完第三章第3.3.1 节之后有深入的理解和答案．所有与矩阵 A 等价 的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准 形是这个等价类中最简单的矩阵.
Linear Algebra
BUCT
小结
Chapter 1 Matrix
初等变换的定义 化矩阵为行阶梯形的初 等变换法 矩阵的等价及其标准形
4
6 4

r2 3r1
r3 r1
r2 3r1
r3 r1

1 0 0
2 4 0
3 8 0
4
6 0

1 2 3 4
14 r2
0
1
2
3

@B,
4r2
0
0
0
2 0
显然，以上每一步 变换都是可以逆回 去的，具体如下：
0 0 0
1 0 0 0 0


0 c4 c1 c4 2c2 0 c5 3c1 c5 8c2 0 c5 6c3
1 0 0
0
0
0

@N
1 0 0
0 0 0
1 3
2 8
0 6 0 0
C
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BUCT
初等行变换和初等列变换统称为矩阵的
.
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例如：对矩阵A 作如下 初等行变换：
2 4 6 8
A
=

3 1
2 2
1 3
6 4

1
A 2r1 2r1

1 3 1
2 2 2
3 1 3
（3）传递性： 若A～B，B ～C，则A～C.
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显然有如下结论
定理1.6 任何矩阵都有与它行等价的行阶梯形矩阵 和简化行阶梯形矩阵.
定理1.7 任何一个m×n矩阵都等价于一个如下形式 的标准形：
Amn
Er O

O
O

（2）初等变换之后的 矩阵与原矩阵一般不 再相同.
（3）矩阵B是行阶梯形矩阵.
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Question
（1）任何矩阵都能通过初等变换化为行阶梯形矩阵吗？
（2）初等变换之后的矩阵与原矩阵有什么联系呢？
定理1.3 任意 m×n 矩阵 A 总可以经过有限次初等行 变换化为行阶梯形矩阵.
有限次初等列变换
有 限 次 初 等 行 变 换 行最简形矩阵
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矩阵的初等变换是矩阵的一种运算，变换前后的两 个矩阵一般不会相等.但两者又有千丝万缕的联系. 定义1.13（矩阵的等价）
若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则 称A与B行等价，记作A r B；
若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则 称A与B列等价，记作A c B；
若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称 A与B等价，记作A B.
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矩阵的等价是一种关系，它具有下列性质：
（1）反身性： A～A； （2）对称性： 若A～B，则B ～A；
0 0 1 0 0

0
0
0
0
0


0
0
0
0
0

标准形 矩阵
特征： 左上角为单位阵， 其余元素全部为零
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Chapter 1 Matrix
定义1.12（标准形矩阵）如果一个非零矩阵的左上角 为单位矩阵，其它位置的元素都为零，则称这个矩阵 为标准形矩阵. 例如：
mn
称为A的等 价标准形
此标准形由三个数m, n和r 唯一确定，其中r是行 阶梯矩阵的非零行数.
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问题1.1
对于任给定的矩阵 A，它的等价行阶梯形不唯一， 所有等价行阶梯中非零行数是否都相等呢？进一 步地，矩阵的等价标准形唯一吗？如果唯一，其 中的 是由哪个量决定的呢？
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2 4 6 8
A
=

3 1
2 2
1 3
6 4

… …
于是，容易得到
1 2 3 4
B= 0
1
2
3


2
0 0 0 0
（1）初等变换是可逆 的，其逆变换是同一类 的初等变换.
（1）交换矩阵的某两行的位置;
换法变换
记作 ri rj
（2）用非零数k乘以矩阵某行的每个元素;
记作 kri
倍法变换
（3）把某一行的所有元的倍数加到另一行的对应元上.
记作 ri krj
消法变换
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另外，我们也可以定义矩阵的 初等列变换 ，记号 把”r”换成“c”.
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0 0 2 3 7
【例1.20】 设矩阵
A


0
1
1
3
2
.
0 5 3 9 6

0
3
2
6
4

用初等行变换将A化为简化行阶梯形矩阵.
解：
1 0 1 0 3


0 1 2 0 8
AL
@A3
0 0 0 1 6
0 0 0 0 0
Linear Algebra
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Chapter 1 Matrix
1 0
0 1

0
0

0
0
A3
1 0 3
1 0 0


2 0 8
0 1 0
0
1
6

c3 c4
0
0
1
0
0
0



E3 O13

,
E4
O41 ,
分块矩阵 表达为
Linear Algebra
E3

O13
O32 O12

,
E3
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定理1.5 任意m×n矩阵总可以经过初等变换化为 标准形矩阵.
任意矩阵 有限次初等行变换 行阶梯形矩阵
有 限 次 初 等 变 换 标准形矩阵
§ ������. ������
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Chapter 1 Matrix BUCT
CONTENTS
Chapter 1 Matrix
在这一讲，我们重点介绍 矩阵的初等变换
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Chapter 1 Matrix
定义1. 11 （初等行变换）对矩阵施行下列三种变换称 为矩阵的初等行变换(elementary row operations)：

0
0
0
0
0


0
0
0
0
0

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Chapter 1 Matrix
如果对矩阵M再施以列的消法变换，可得
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0

0
1
0
0
5

c5 5c3
c5 c3

0
1
0
0
0

@N
0 0 1 0 1
6
4

利用初等行变换，求
板书讲解
（1）先将A化为行阶梯形矩阵，再化为简化行阶梯形 矩阵；
（2）不通过求A的行阶梯形，直接将A化为简化行阶 梯形矩阵.
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观察例1.19得到
（1）利用初等变换将一个矩阵化为阶梯形矩阵的方 法是不唯一的，得到的行阶梯形矩阵也不唯一.
例如: 这里的 B, B1, B2 ,C 都是行阶梯形矩阵. 但是， 所有这些行阶梯形矩阵的非零行数是相等的.
（2）如果再对其中的 C 施行列的换法变换，则有
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
C


0
0
1
0
5



0
1
0
0
5


M
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
证明请学生 课下阅读
定理1.4 任意m×n行阶梯形矩阵A总可以经过有限次 初等行变换化为简化行阶梯形矩阵.
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0 0 2 3 7
【例1.19】 设矩阵
A


0
1
1
3
2
.
0 5 3 9 6

0
3
2