电路原理课件-单位阶跃函数和单位冲激函数
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阶跃函数和冲激函数
பைடு நூலகம்
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
第四节阶跃函数和冲激函数
t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好
1.4阶跃函数和冲激函数
γn(t)=0 γn(t)=1/2+nt/2 γn(t)=1
信号与线性系统
采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示 的矩形脉冲Pn(t) 。
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
信号与线性系统
也可由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）
• 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度 极大，作用时间极短一种物理量的理想化 模型。
？
信号与线性系统
冲激函数的性质（2）
δ (t) 的尺度变换
研究
(at)(t)dt
a≠0的常数
δ (at) 的n阶导数
信号与线性系统
冲激函数的性质（3）
奇偶性
n为偶数 n为奇数
信号与线性系统
冲激函数的性质（4）
复合函数形式的冲激函数
• 实际中有时会遇到形如δ [f(t)]的冲激函数，其中f(t) 是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根ti ( i=1，2，…，n)；
0,
| t |
2
| t |
2
t
利用移位阶跃函数，门函数可表示为：
g
(t
)
(t
2
)
(t
2
)
信号与线性系统
二、冲激函数的广义函数定义
• 广义函数
• 选择一类性能良好的函数(t)(检验函数)，一
个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值
N[g(t), (t)]。
* 某些物理量在空间或时间坐标上集中与一点 的物理现象，奇异函数就是描述这类现象的 数学模型。
信号与线性系统
3-4单位阶跃函数和单位冲激函数
解：
i L ( t ) I s ( t )
diL ( t ) d (t ) uL ( t ) L LI s LI s (t ) dt dt
如果电感电流发生跳变，必然有冲激电压施 加在电感两端，电感中的磁通量发生跳变。
电感磁通的跳变量为：
uL ( t )dt LI s ( t )dt LI s
0 0 0 0
解二
L[iL (0 ) iL (0 )] LI s
解：
i (t ) ( t ) 2 t 2 t 2
4.阶跃函数的作用：
(1)阶跃函数可以作为开关的数学模型，所以有
时也称为开关函数。
(2)表示某些分段函数。 (3)起到分解波形的作用。
二、单位冲激函数
1.定义
(t ) 0 t0 ( t )dt 1
§34 单位阶跃函数和单位冲激函数
一、单位阶跃函数:
1. 定义
1 t 0 (t ) 0 t 0
t = 0，函数值不确定
(t 0 ) 0 (t 0 ) 1
(t )等效表示电路的输入示例
直流电压源和任意网络接通
(t ) 表示的等效电路模型
t 0 t 0
t 0 t 0
f ( t ) ( t t 0 )dt
f ( t0 )
( t )dt f ( t0 )
单位冲激函数的采样性质 (sampling property)
三. 单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系
lim f ( t ) ( t )
0
lim f ( t ) ( t )
A ( t )dt A
阶跃函数和冲激函数
阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激励或响应。
阶跃函数和冲激函数是两个最常用最重要的函数。
一、单位阶跃函数。
单位阶跃函数定义为：（式8-2-1）图8-2-1其波形如图8-2-1所示。
单位阶跃函数在处有跳变，是一个不连续点。
将单位阶跃函数乘以常数，就得到阶跃函数，又称为开关函数。
因为它可以用来描述电路中的开关动作，如图8-2-2所示。
图8-2-2所示电路在时刻开关S从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用阶跃函数表示为：，如图8-2-2所示。
图8-2-2延时的单位阶跃函数定义为：（式8-2-2）其波形如图8-2-3所示，同样以图8-2-2为例，若时刻将开关S 从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用延时阶跃函数表示为：。
二、单位冲激函数单位冲激函数定义为：（式8-2-3）其波形如图8-2-5所示。
为了更好地理解单位冲激函数，先来看单位脉冲函数。
单位脉冲函数定义为：（式8-2-4）图8-2-5其波形如图8-2-5所示。
单位脉冲函数的宽度是，高度是，面积为1。
当脉冲宽度减小，其高度将增大，而面积仍保持为1。
当脉冲宽度趋于无限小时，其高度将趋于无限大，但面积仍然为1。
当脉冲宽度趋于零时，这时脉冲函数就成为单位冲激函数。
将单位冲激函数乘以常数K，就得到冲激强度为K的冲激函数，表示为。
延时的单位冲激函数定义为：（式8-2-5）其波形如图8-2-6所示。
图8-2-6冲激函数不是一般函数，属于广义函数，其更严格的定义可参阅有关数学书中的论述。
一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数
一阶电路阶跃函数和冲激函数
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
电力电子器件开关过程分析
电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
系统故障分析与保护
在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求
目录
• 引言 • 一阶电路基础知识 • 阶跃函数在一阶电路中应用 • 冲激函数在一阶电路中应用 • 一阶电路与阶跃函数、冲激函数关系探讨 • 实际应用与案例分析数和冲激 函数的作用和影响。
背景
在电路分析中，一阶电路是最基 本的电路模型之一，而阶跃函数 和冲激函数是描述电路动态特性 的重要工具。
等效变换法
等效变换法是通过将复杂电路中的元 件进行等效变换，从而简化电路的分 析过程。
03 阶跃函数在一阶电路中应 用
阶跃函数定义及性质
阶跃函数定义
阶跃函数是一种特殊的连续时间函数，表示在某一时刻瞬间发生的跃变。
阶跃函数性质
在跃变时刻之前，函数值为0；跃变时刻之后，函数值为1（或其他常数）。
阶跃响应概念及求解方法
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
电力电子器件开关过程分析
电力电子器件在开关过程中会产生阶跃或冲激电流和电压，分析这些电流和电压对器件性能和系统稳定性的 影响，有助于提高电力电子系统的可靠性。
系统故障分析与保护
在电力系统中发生故障时，故障电流和电压往往具有阶跃或冲激特性，利用这些特性可以实现对故障的快速 检测和准确定位，为系统保护提供重要依据。
05 一阶电路与阶跃函数、冲 激函数关系探讨
阶跃函数与冲激函数关系
1
阶跃函数和冲激函数都是描述信号突变特性的函 数。
2
阶跃函数表示信号在某一时刻发生跃变，而冲激 函数则表示信号在某一时刻发生瞬时变化。
3
两者之间的关系可以通过微分和积分相互转换， 即冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激 函数的积分。
案例分析
滤波器类型与性 能要求
信号与系统§1.4 阶跃函数和冲激函数
= f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
■ 第 ▲1 页
■
第 23 页
取样性质举例
sin(t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
sin(t
)
(t)
d
t
2
4
4
2
4
2
0 sin(t
)
(t
1) d t
?
0
3
4
9
sin(t
) (t) d t
?
2
1
4
2
1
2 (
1
t) d
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函
数。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
举例
▲
■
第 11 页
2.冲激偶
s(t )
■ 第 ▲1 页
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取样性质举例
sin(t ) (t) sin( ) (t) 2 (t)
sin(t
)
(t)
d
t
2
4
4
2
4
2
0 sin(t
)
(t
1) d t
?
0
3
4
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sin(t
) (t) d t
?
2
1
4
2
1
2 (
1
t) d
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分
有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函
数。
阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
■
第1页
一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t) f (t) f (0) (t)
f (t)
(t) f (t)d t f (0)
f (0) (t )
证明
t
o
对于平移情况：
f (t) (t t0) f (t0 ) (t t0)
(t t0 ) f (t)d t f (t0 )
举例
▲
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2.冲激偶
s(t )
阶跃函数和冲激函数
f ( t ) ( t t1 ) f (t1 ) (t t1 ) f (t ) (t t1 )dt f (t1 ) (t t1 )dt f (t1 ) ' f (t ) (t t1 )dt f ' (t1 )
0 r (t ) t
t0 t0
εxdx r t tεt
t
三、有延迟的单位冲激和单位阶跃信号 若冲激不是发生在原点,而是在 t t 0 则记为 ( t t 0 )
(t t0 ) 时移的冲激函数
1
0
t0
t
( t t 0 ) 0 , t t 0 t t 0 dt 1
例如：如图所示的函数：
f t
1
可表示为：
1
0
1
2
t
f t t 1 t 1 t t 1 t t 2
例如：如下图所示的函数：
f t
1
1 0 1 2 t
可表示为：
f t t 1 2 t t 2
0 单位冲激函数
sgnt
符号函数：(Signum)—奇异函数例
1 sgn( t ) 1 t 0 t0
1 (t ) [sgn( t ) 1] 2
O
t
sgn( t ) (t ) (t ) 2 (t ) 1
冲激函数的导数
s(t )
1 1
1/n
t
(虚线代表n增大时的 变化趋势)
该脉冲波形下的面积为1， 不妨称其为函数 pn t 的强度
rn(t)
1 1/2
(t)
一阶电路(电路原理)阶跃函数和冲激函数.ppt
f(0)(t)
同理有： f ( t ) ( t t ) d t f ( t ) 0 0
* f(t)在 t0 处连续
(t)
(1)
f(t) t
例
t t ) ( t ) d t (sin 6
f(0)
0
sin 1 . 02 6 6 2 6
1
t
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
时间常数 的简便计算： 例1 + R1 R2 L R1
R2
L
= L / R等 = L / (R1// R2 )
例2
R等
C
= R等C
§6-5 一阶电路的零状态响应
零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应 一. RC电路的零状态响应 K(t=0) US R
i()d
0
uC (0+) = uC (0-) q (0+) = q (0-)
电荷守恒
当iC为冲激函数时，即 iC (t)
0 1 1 uC (0 ) u ( 0 ) u ( 0 ) ( ) d C C 0 C C
uC (0 )
结论 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
f(t)
t 0- 0 0+
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
初始条件为 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值
第一章(2)阶跃函数和冲激函数
2、移位 在t
= t1
处的冲激函数为 δ ( t − t 1 ) 则：
f ( t )δ ( t − t 1 ) = f ( t 1 )δ ( t − t 1 ) ∞ ∞ ∫−∞ f (t )δ (t − t1 )dt = f (t1 )∫−∞ δ (t − t1 )dt = ∞ ' f ( t ) δ ( t − t1 )dt = − f ' ( t1 ) ∫− ∞
1.4 阶跃函数和冲激函数
0, 1 n γ n (t ) = + t , − 1 < t < 1 ; 我们 来讨论这样的一个函数： n n 2 2 1 1, t > n
一、阶跃函数和冲激函数
1 t < − n
rn(t)
1 1/2
pn(t) 求导 1/n t -1/n 0
n/2
ε(t)
1
t ε(t) = ∫−∞δ (τ )dτ
可见它们不同于普通函数。 可见它们不同于普通函数。
0 单位阶跃函数
t
δ(t)
(1)
0 单位冲激函数
t
ε (t )与 (t )之 的 系 δ 间 关 ：
dε (t ) δ (t ) = dt
ε(t)
1
t ε(t) = ∫−∞δ (τ )dτ
乘积。 乘积。 解： t δ ( t ) = 0
f (t )δ ' (t ) = f (0 )δ ' (t ) − f ' (0 )δ (t )
f (t )δ (t ) = f (0 )δ (t )
e −αtδ ( t ) = δ ( t )
tδ ' ( t ) = − δ ( t ) e − α t δ ' ( t ) = δ ' ( t ) + αδ ( t )
单位阶跃函数和单位冲激函数
单位阶跃函数和单位冲激函数
分析动态电路中的电参量如电流、电压时，必须将其表示成一个随时间变化的函数。
实际上，在某个时刻，将开关闭合或断开，就可表示成一个函数。
1、Unit-step Function 单位阶跃函数
在t ＝t 0 时刻，将直流电压源U 0 与电路接通，可表示成：
定义一个名为“单位阶跃函数”：
函数在t ＝0 时，发生了跃变。
但为了问题的方便，认定：
ε( t ＝0－) ＝0
ε( t ＝0＋) ＝1
显而易见：
只要令t' ＝t －t0 即可。
上述直流电源的开关例子可表示为：
u( t )＝u0 ε( t －t0 )
一个幅度为I0 的矩形脉冲，可以用单位阶跃函数表示成：
2、Unit-impulse Function 单位冲激函数
单位冲击函数是另一个奇异函数，用δ(t) 表示，其定义为：
由定义可见，δ(t)只存在于t ＝0 时刻，故有：
δ(t)的性质有：
δ(t) 与ε(t) 的关系证明如下：
例如：如果在t ＝0 时刻，将恒压源U0 加到一个事先没有电荷的电容C 上，则有：
得结论：
充电前后，电容电压发生跃变0→U0；
流过电容的电流为冲激电流CU0δ(t)；
电容极板上的电荷量的跃变是有限的，为冲激电流的强度CU0。
又例如，如果在t ＝0 时刻，将恒流源I0 加到一个事先没有电流的电感L 上，则有：
得结论：
给电感接上恒流源前后，迫使电感电流发生跃变0→I0；
电感两端产生的感应电动势为冲激电压LI0δ(t)；
电感中的磁匝链数的跃变是有限的，为冲激电压的强度LI0。
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(t ), (t ) 的波形
ε( t )
ε( t )
2. 移位的单位阶跃函数
1 t t 0 t 0 t 0 即t t 0 t 0 即t t 0
t0 0
3. f(t)为任意函数
f (t ) f ( t ) t 0 t0 t0
t 0 t 0
t 0 t 0
f ( t ) ( t t 0 )dt
f ( t0 )
( t )dt f ( t0 )
单位冲激函数的采样性质 (sampling property)
三. 单位冲激函数和单位阶跃函数之间的关系
lim f ( t ) ( t )
0
lim f ( t ) ( t )
t t0 t t0
f (t ) f ( t ) t t0 0
例1. 矩形脉冲函数分解
解：
f ( t ) A ( t ) A t t 0
例2. 试写出下图的时间函数表达式f(t)
解：
i (t ) 10 ( t 1) 10 t 2
A ( t )dt A
0 0
( t )dt A
4. f(t)为任意函数
f ( t ) ( t )dt
0 0
0 0
f ( t ) ( t )dt
f (0)
( t )dt f (0)
f ( t ) ( t t 0 )dt
解：
i L ( t ) I s ( t )
diL (t ) d (t ) uL ( t ) L LI s LI s (t ) dt dt
如果电感电流发生跳变，必然有冲激电压施 加在电感两端，电感中的磁通量发生跳变。
电感磁通的跳变量为：
uL ( t )dt LI s ( t )dt LI s
§34 单位阶跃函数和单位冲激函数
一、单位阶跃函数:
1. 定义
1 t 0 (t ) 0 t 0
t = 0，函数值不确定
(t 0 ) 0 (t 0 ) 1
(t )等效表示电路的输入示例
直流电压源和任意网络接通
(t ) 表示的等效电路模型
0
d (t
例3. 如图所示电路，uc(0) =0, 求电容电压和电流
解：
uC (t ) U s (t )
duC ( t ) d (t ) i (t ) C CU s CU s ( t ) dt dt
如果电容电压发生跳变，必然有冲激电流流 过电容，电容极板上的电荷量发生跳变。
电容电荷的跳变量为：
q i ( t )dt CU s ( t )dt CU s
0 0 0 0
解二
q C[uC (0 ) uC (0 )] CU s
例4. 如图所示电路，iL(0) =0, 求电感电压和电流
(t )dt ( t )dt 1
0
0
2.移位的单位阶跃函数
(t ) 0
t 0
t 0 t0
即t t0
t0 0
( t )dt
t t 0 dt 1
t t t0
3.A为常数
解：
i (t ) ( t ) 2 t 2 t 2
4.阶跃函数的作用：
(1)阶跃函数可以作为开关的数学模型，所以有
时也称为开关函数。
(2)表示某些分段函数。 (3)起到分解波形的作用。
二、单位冲激函数
1.定义
t0 ( t ) 0 ( t )dt 1
0 0 0 0
解二
L[iL (0 ) iL (0 )] LI s