2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习

2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习
1．椭圆的简单几何性质
直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的位置关系：
直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1________实数解，即Δ______0.
一、选择题
1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A ．5,3，45
B ．10,6，4
5
C ．5,3，35
D ．10,6，3
5
2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )
A ．x 236＋y 216＝1
B ．x 216＋y 2
36＝1
C ．x 26＋y 24＝1
D ．y 26＋x 2
4
＝1
3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2
，则m 等于( )
A ． 3
B ．32
C ．83
D ．2
3
4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y
2b
2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，
则该椭圆的离心率为( )
A.－1＋52 B ．1－22
C.2－1
D.2
2
5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4
＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。

满足1MF ·MF 2→
＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．⎝⎛⎦
⎤0，12 C ．⎛⎭⎫0，2 D ．⎣⎡⎫2
，1
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
5
，且过点P (－5,4)，则椭圆的
方程为______________．
8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的
离心率等于______．
9．椭圆E ：x 216＋y 2
4
＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为
____________．
三、解答题
10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦
点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2
c
(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交
点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .
11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
能力提升 12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A ．45
B ．35
C ．25
D ．13
13．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，
0)，且右顶点为D (2，0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭
⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P 是椭圆上的动点，求线段P A 的中点M 的轨迹方程．
2．1.2 椭圆的简单几何性质
答案
知识梳理
2
2
作业设计
1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 2
25
＝1，
其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B
4．A [由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，
∵e ＝c
a ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52
.]
5．B [∵4m 2＋n
2>2，∴m 2＋n 2
<4. ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4
＝1的内部，
∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有两个交点．]
6．C [∵ MF 1→·MF 2→
＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22
. 又∵0<e <1，∴0<e <2
2
.]
7.x 245＋y
236
＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)，
将点(－5,4)代入得25a 2＋16
b
2＝1，
又离心率e ＝c a ＝55，即e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝15
，
解之得a 2＝45，b 2
＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236
＝1.
8.255
解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为
(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝25
5
.
9．x ＋2y －4＝0
解析 设弦的两个端点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则⎩
⎨⎧
x 21
16＋y 2
14＝1x 2216＋y 2
2
4
＝1， 两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
4
＝0.
又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2
x 1－x 2
，
∴k MN ＝－1
2，由点斜式可得弦所在直线的方程为
y ＝－1
2
(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.
10．解 依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F (c,0)，B (0，b )．
设P (x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，
得y P ＝b 2a
.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . ∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋
a 2c
＝b 2
a
c .
∴ab ＝c 2.
∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2
＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.
∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e <1，∴e ＝
5－1
2
. 11．解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
4x 2＋y 2
＝1，
y ＝x ＋m ，
得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0.
解得－52≤m ≤5
2
.
(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m
5
，
x 1x 2＝1
5
(m 2－1)．
设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m )－(x 2＋m ) ＝x 1－x 2，
∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2
5
10－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x . 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .
∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.
∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝3
5或e ＝－1(舍去)．]
13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.
∴椭圆的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋1
2，y ＝y 0
＋
1
2
2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0
＝2x －1，y 0＝2y －1
2. 又∵x 204＋y 2
0＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。