专题学习 根的判别式的综合运用
专题05 与根的判别式有关的两种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题05与根的判别式有关的两种考法类型一、参数位置的问题例1.（二次项含参）关于x 的方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解，则m 的值等于（）A ．0，2B ．1，2C ．0，2-，1D ．0，2，1【答案】D 【分析】方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不为0；二次项系数不为0时，二次方程有两个相等的实数根．【详解】方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解，有两种情况：①当10m -=时，即1m =时，方程为20x =，∴0x =．故1m =时，程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解．②当10m -≠时，方程有一个实数解需满足：Δ0=．即()222410m --=．解得：02m m ==或．综上所述，m 的值等于0，2，1时，方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解．故选：D ．【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论．例2.（二次项不含参）关于x 的方程2230x mx m -+-=根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个不相等实数根C ．有两个相等实数根D ．只有一个实数根【答案】B【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可．【详解】解：根据题意得，()()()22423480m m m ∆=--⨯⨯-=-+>，则关于x 的方程2230x mx m -+-=有两个不相等实数根，故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握0∆>，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ0=，一元二次方程有一个实数根；Δ0<，一元二次方程无实数根是解题的关键．【变式训练1】若关于x 的方程210kx x --=有实数根，则k 的取值范围是（）A．14k≥-B．14k≥-且0k≠C．14k≤D．14k≤且0k≠【答案】A【详解】解：当k=0时，方程化为-x-1=0，解得x=-1；当k≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥-14且k≠0，综上所述，k的取值范围为k≥-1 4．故选：A．∴40m +>．∴4m >-．当0m =时，一元二次方程22240x mx m -+-=可化为240x -=，解得：122,2x x ==-．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．【变式训练4】若方程2210x x m --+=没有实数根，试判断方程()22210x m x m -+++=根的情况并说明理由．【答案】方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】由方程()22210x m x m -+++=没有实数根，可求出0m <，进而可得出方程()22210x m x m -+++=的根的判别式0∆>，然后根据判别式的意义得出结论．【详解】解：方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实数根，理由：∵方程2210x x m --+=没有实数根，∴()()224110m ∆=--⨯⨯-+<，解得：0m <，∴方程()22210x m x m -+++=的根的判别式()()22241210m m m m ∆=-+-⨯⨯+=-4>⎡⎤⎣⎦，∴方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0<时，方程无实数根”是解题的关键．类型二、分情况讨论（是否是二次方程）例1.m 为何值时，关于x 的方程()()22350mx m x m ++++=有唯一的根，并求这个根．【答案】当m ＝0时，53x =-；当m ＝98时，73x =-【详解】解：①当m ＝0时，原方程是一元一次方程，∴350x +=，解得53x =-；②当m ≠0时，原方程是一元二次方程，由题意知，()()223450m m m -=++= ，解得98m =，∴2921490848x x ++=，解得73x =-；综上所述，该方程的根为53x =-或73x =-．例2．（不需要讨论）关于的一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）：①若b a c =+，则方程必有两个不相等的实数根；②若32b a c =+，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是（）．【答案】②【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．【详解】解：①()()222440b ac a c ac a c ∆=-=+-=-≥，则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误；①()()2222224324940b ac a c ac a c ac a c a ∆=-=+-=+4+8=++5>，则方程必有两个不相等的实数根，故②正确．故答案为②．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，有两个不同的实根；当判别式等于0时，有两个相同的实根；当判别式小于0时，无实根．【变式训练1】已知，关于x 的一元二次方程2420kx x -+-=．(1)k 取何值时，此方程有两个不相等的实数根？(2)如果此方程的一个根为1x =-，求k 的值和另一个根．【答案】(1)2k >时，方程有两个不相等的实数根；(2)6k =-，另一个根为13【解析】(1)解：∵a k =-，4b =，2c =-，∴()()224442168b ac k k -=-⨯-⨯-=-．1680k ->，解得2k >所以，当2k >时，方程有两个不相等的实数根．(2)解：把1x =-代入原方程得：420k ---=，解得：6k =-．设另一个根为2x ，则221163x --⨯==-，即213x =，所以方程的另一个根为13．【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程2(21)20x k x k -++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）记该方程的两个实数根为1x 和2x 若以1x ，2x ，3为三边长的三角形是直角三角形，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2或102．【解析】（1）证明：2Δ[(21)]42k k =-+-⨯ 24148k k k =++-2441k k =-+2(21)0k =-，∴无论k 取何值，方程总有两个实数根．（2）解：2(21)20x k x k -++= ，(2)(1)0x k x ∴--=．12x k ∴=，21x =．以1x ，2x ，3为三边长的三角形是直角三角形，0k ∴>．当3为斜边时，则222(2)13k +=，解得k =．当2k 为斜边时，则222(2)13k =+，解得2k =．综上所述，k 或102．【变式训练3】已知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于y 的方程21y ay a ++=实数根的情况，并说明理由．【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．【分析】根据关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=--=-，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程2210x x a +-+=没有实数根，()144140a a ∴∆=--+=<，<0a ∴，对于关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=--=-，0a < ，()220a ∴->，即20∆>，∴方程21y ay a ++=一定有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．课后作业1．关于x 的一元二次方程2244m x mx -=-的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．根的情况与实数m 的取值有关【答案】B 【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答.【详解】解：∵方程化为一般式为22440m x mx -+=，则2222(4)4416160m m m m ∆=--⨯⨯=-=，∴方程有两个相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键．2．已知a ，b ，c 为常数，点(),P a c 在第四象限，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定【答案】B【分析】由点(),P a c 在第四象限，可得0a >，0c <，可得240b ac ∆=->，从而可得答案．【详解】解：∵点(),P a c 在第四象限，∴0a >，0c <，∴方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=->，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点为：(),+-以及根的判别式的含义是解本题的关键．3．已知关于x 的一元二次方程()2330x m x m -++=，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，则m 的值为（）A ．3B ．4C ．3或4D ．不能确定【答案】C 【分析】分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．【详解】解：当腰为4时，把4x =代入()2330x m x m -++=得，1641230m m --+=，解得4m =；当底为4时，则方程()2 3 30x m x m -++=有两相等的实数根，∴()224=3430b ac m m ∆=-+-⨯=，∴() 230m -=，解得3m =，综上所述，m 的值为4或3．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程以及根的判别式：一元二次方程2) 0(0 ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，若直线y x k =-+不经过第三象限，则关于x 的方程20x x k --=的实数根的情况为（）A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定【答案】C【分析】由直线解析式求得k ≥0，然后确定Δ的符号即可．【详解】解∶ 直线y x k =-+不经过第三象限，0,k ∴≥2(1)4()141,k k ∴∆=--⨯-=+≥∴关于x 的方程20x x k --=的实数根的情况为有两个不相等的实数根，故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式∶一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系∶当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．5．已知关于x 的一元二次方程260x x c ++=的一个根是1x =，则方程260x x c +-=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有一个根是1x =【答案】C 【分析】先将1x =代入260x x c ++=中求出7c =-，则一元二次方程260x x c +-=化为2670x x ++=，然后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：把1x =代入260x x c ++=得160c ++=，解得7c =-，则一元二次方程260x x c +-=化为2670x x ++=，∵2641780-∆=⨯⨯=>，∴一元二次方程260x x c +-=有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有一个根是=1x -C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根【答案】B【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，∴20a b -+=，即2b a =+，对于方程220ax bx ++=，∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+=，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．7．关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？【答案】一定有；理由见解析【分析】根据根的判别式进行判断即可．【详解】解：关于x 的方程2(1)0x m x m +--=中，∵1a =，1b m =-，c m =-，∴()()()22241410b ac m m m ∆=-=--⨯-=+≥，∴方程一定有实数根．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．8．已知关于x 的一元二次方程()230x m x m ---=．(1)求证：无论m 为何值，方程有两个不相等的实数根．(2)如果方程有一个实数根为0，求另一个实数根．【答案】(1)证明过程见详解(2)方程的另一个实数根为3x =-【分析】（1）运用根的判别式即可求解；（2）把一个实数根为0代入方程，可求出m 的值，再根据解一元二次方程的方法即可求解．【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()230x m x m ---=中，1,(3)3,a b m m c m ==--=-=-，∴224(3)41()b ac m m ∆=-=--⨯⨯-，整理得，2229(1)80m m m ∆=-+=-+>，∴无论m 为何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程有一个实数根为0，∴20(3)00m m --⨯-=，解得，0m =，∴原方程得，230x x +=，因式分解得，(3)0x x +=，∴10x =，3x =-，∴方程的另一个实数根为3x =-．【点睛】本题主要考查一元二次方程中根的判别式，根据根的情况求参数的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．9．关于x 的方程()21230k x kx k --+-=有实数根，求k 的取值范围．。
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
专题二：根的判别式的应用类型(一)-----根的情况(有答案)
专题二：根的判别式的应用类型（一）-----根的情况（有答案） ➢ 知识指引一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a ，b ，c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用.➢ 典型例题类型一：不解方程，用判别式判断根的情况【例1】一元二次方程x 2－5x ＋6=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】∵a=1，b=－5，c=6，∴∆=（－5）2－4×6=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【变式】关于x 的方程x 2－kx －2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【解答】由∆=（－k）2－4×1×（－2）=k2＋8．∵k2≥0，∴k2＋8＞0，即∆＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C．【例2】已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋2m2=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x=1是该方程的根，求代数式2（m－1）2＋3的值．【解答】（1）由题意，得∆=（4m）2－4•2m2=8m2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）把x=1代入方程得1－4m＋2m2=0，则2m2－4m=－1．∴2（m－1）2－3=2m2－4m＋2＋3=－1＋2＋3．【变式】关于x的一元二次方程x2+mx+m-3=0．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）∵方程的一个根为1，∴1+m+m-3=0，∴m=1；（2）依题意，得∆=m2-4（m-3）=m2-4m+12=（m-2）2+8＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．类型二：用判别式求字母系数的值或范围【例3】关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【解答】∵关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，∴∆=42－4×1×（－k）＞0，解得k＞－4，故答案为k＞－4．【变式】亮亮在解一元二次方程x2-6x+□=0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A．1 B．0 C．7 D．9【解答】设常数项为c，根据题意，得△=（-6）2-4c≥0，解得c≤9，∴c的最大值为9．故选：D．【例4】已知关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0．（1）若a=0，不解方程，试判断这个方程根的情况；（2）若这个方程有两个实数根，求实数a的取值范围．【解答】（1）∵a=0，∴方程为－x2＋2x＋3=0．∵∆=22－4×（－1）×3=16＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0有两个实数根，∴∆=22－4×（a－1）×3≥0且a－1≠0，且a≠1．解得：a≤43【变式】关于x的一元二次方程x2－4x＋2n=0无实数根，则一次函数y=（2－n）x＋n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】由已知，得：∆=b2－4ac=（－4）2－4×1×（2n）=16－8n＜0，解得n＞2，∵一次函数y=（2－n）x＋n中，k=2－n＜0，b=n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．➢跟踪训练1.关于x的一元二次方程x2+（-k+2）x-4+k=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】∵△=（-k+2）2-4×1×（-4+k）=k2-4k+4+16-4k=k2-8k+20=k2-8k+16+4=（k-4）2+4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】根据题意，得∆=42－4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．3.当b－c=3时，关于x的一元二次方程2x2－bx＋c=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】∵b－c=3，∴c=b－3，∵2x2－bx＋c=0，∴∆=（－b）2－4×2×c=b2－8c=b2－8（b－3）=b2－8b＋24=（b－4）2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4.关于x的方程（a－3）x2－4x－1=0有两个不相等的实数根，则a的值范围是（）A．a≥－1且a≠3 B．a＞－1且a≠3 C．a≥－1 D．a＞－1【解答】根据题意得a－3≠0且∆=（－4）2－4（a－3）×（－1）＞0，解得a＞－1且a≠3．故选：B．5．若关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，则k的值为．【解答】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，∴∆=b2－4ac=4＋4k=0，解得k=－1，故答案为－1．6.若关于x的一元二次方程（k－1）x2－x－1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．【解答】根据题意得：∆=b2－4ac=1＋4（k－1）=4k－3＞0，且k－1≠0，且k≠1．解得k＞34且k≠1．故答案为：k＞347.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4=0有两个相等实数根，则以k为边长的正方形的面积为．【解答】由题意得：∆=k2－4×4=0，解得：k2=16．则以k为边长的正方形的面积为16．故填：16．8.关于x的方程（a－5）x2－4x－1=0没有实数根，则a满足的条件是．【解答】由题意知，∆=（－4）2－4×（a－5）×（－1）＜0，且a－5≠0，解得：a＜1，故答案为a＜1．9.已知关于x的一元二次方程x2－mx－2m2=0．（1）若方程的一个根是1，求m的值；（2）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根．【解答】（1）将x=1代入x2－mx－2m2=0，得1－m－2m2=0．，m2=－1；解得m1=12（2）证明：∵a=1，b=－m，c=－2m2，∴∆=b2－4ac=（－m）2－4×1×（－2m2）=9m2．∵m2≥0，∴9m2≥0，∴不论m取何值，方程总有两个实数根．10.已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根，∴∆=（-3）2-4（a-1）=-4a+13≥0，解得a≤13，4；即a的取值范围是a≤134，∴整数a的最大值是3，（2）∵a的取值范围是a≤134把a=3代入方程x2-3x+a-1=0得：x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2．11.已知关于x的方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．【解答】（1）①当m=0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；②关于x的一元二次方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．∵∆=（5m-1）2-8m（3m-1）=（m-1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意，得∆=（m-1）2=1，解得m1=0，m2=2，∵m≠0，∴m=2．。
一元二次方程根的判别式的综合应用
一元二次方程根的判别式的综合应用一、知识要点：1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.二.根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0)解：(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根。
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,∵无论b取任何关数，b2均为非负数，∴Δ≥0，故方程有两个实数根。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9（3）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
根的判别式及根与系数的关系
例 1 如果关于 x 的一元二次方程 kx2－ 2k＋1x＋1＝0 有 两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是( D )
A．k<12 B．k<12且 k≠0 C．－12≤k<12 D．－12≤k<12且 k≠0
k≠0， 解：由题意，得2（k＋ －1≥2k0＋，1）2－4k>0，解得－12≤k<12且 k ≠0，故选 D.点拨：本题考察了Δ>0 的同时，还考察了隐含 条件 k≠0 和 2k＋1≥0
解：(1)将原方程整理为 x2＋2(m－1)x＋m2＝0.∵原方程有两
个实根，∴Δ＝[2(m－1)]2－4m2＝－8m＋4≥0，解得 m≤12 (2)∵x1，x2 为 x2＋2(m－1)x＋m2＝0 的两个实数根，∴y＝
x1＋x2＝－2m＋2，且 m≤12，∵y 随 m 的增大而减小，∴当 m＝12时，y 取得最小值 1
专题课堂(三) 根的判别式及根与系数的关系
根的判别式的应用 类型：(1)通过求b2－4ac的值，判断一元二次方程的根的情 况； (2)根据方程根的情况求出字母系数的取值范围． 注意：(1)应用根的判别式时要准确确定a，b，c的值； (2)此判别式只适用于一元二次方程，当无法判定方程是不 是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论．
1．(2015·珠海)一元二次方程 x2＋x＋14＝0 的根的情况是 ( B) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定根的情况 2．(2015·成都)关于 x 的一元二次方程 kx2＋2x－1＝0 有两 个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( D ) A．k>－1 B．k≥－1 C．k≠0 D．k>－1 且 k≠0 3．(2015·黄冈)若方程 x2－2x－1＝0 的两根分别为 x1，x2， 则 x1＋x2－x1x2 的合应用 类型：(1)不解方程，求与方程的根有关的代数式的值； (2)已知方程一根，求方程的另一根； (3)与根的判别式进行综合应用． 例2 已知关于x的一元二次方程x2＝2(1－m)x－m2的两个实 数根为x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)设y＝x1＋x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出 最小值．
根的判别式的六种常见应用 (共15张PPT)
1. 已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0 有无实数根． ∵x2－2x－m＝0没有实数根， 解： ∴Δ1＝(－2)2－4· (－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4· m(m＋1)＝－4m>4， ∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的
故当m为1时，▱ABCD是菱形． 1 2 此时原方程为x －x＋ ＝0， 4 1 解得x1＝x2＝ . 2 1 即菱形ABCD的边长为 . 2
(2)由题意知2是关于x的方程x2－mx＋
的一个根，
1 m － ＝0 4 2
1 m ∴将x＝2代入原方程得4－2m＋ － ＝0， 4 2 5 5 2 解得m＝ ，故原方程为x － x＋1＝0， 2 2 1 1 解得x1＝2，x2＝ . ∴AD＝ . 2 2 骣 1÷ 2+ ÷ 故▱ABCD的周长为2× ç ＝5. ç ÷ ç 桫 2
应用
6
利用根的判别式探求菱形条件
7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 1 m 2 x －mx＋ － ＝0的两个根． 4 2 (1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的
边长． (2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？
(1)由题意，得Δ＝0， 解： 骣 m 1÷ 2 2－2m＋1＝0. ç - ÷ 即m －4 ç ＝ m ç 桫 2 4÷ ∴m＝1.
应用
4 利用根的判别式解与函数综合问题
5．y＝ k－1 x＋1是关于x的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为 ( A )
A．没有实数根
B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
培优专题03根的判别式的五种常见应用-原卷版
）．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
12．（2018·浙江·九年级期中）已知关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx+a c 0 ，其中 a、b、c 分别为
A ABC 三边的下列关于这个方程的解和 A ABC 形状判断的结论错误的是（
）．
A．如果 x 1 是方程的根，则 A ABC 是等腰三角形 B．如果方程有两个相等的实数根，则 A ABC 是直角三角形 C．如果 A ABC 是等边三角形，方程的解是 x 0 或 x 1 D．如果方程无实数解，则 A ABC 是锐角三角形
15．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于 x 的方程 x2 k 2x 2k 0
(1)求证：无论 k 取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰 A ABC 的一边长 a 1，另两边 b 、 c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．
◎应用四 与不等式结合
2a 1 1
16．（2022·云南昆明·二模）若
13．（2017·江苏·盐城市实验高级中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两腰是关于 x 的一元二次方程
x2﹣kx+4=0 的两根，则 k=__．
14．（2020·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）关于 x 的方程 x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角 形△ABC 一边长为 a＝6，另两边长 b，c 为方程两个根，则△ABC 的周长为_____．
◎应用二 求字母的值或取值范围
根据判别式，确定与 0 的关系，直接代入解不等式即可
6．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于 x 的一元二次方程 k 2x2 2kx k 5 有实数根，则 k 的取值范
专题三：根的判别式应用类型(二)-----互逆关系的运用(有答案)
【 解 答 】 （ 1） ∵ ∆=（ -a） 2-4×（ a-1） =（ a-2） 2≥ 0，
∴无论 a 为何值，方程总有两个实数根；
（2）设方程的两个根分别是 x1，x2，
解 方 程 得 x=a±|a−2|，
2
∴ x1=a-1， x2=1． 由题意可知 a-1＞2，即 a＞3．
∴a 的取值范围为 a＞3．
∴∆≥0，且 a≠3． ∴36-32（a-3）≥0． 解 得 a≤ 33，
8
∵a 是正整数， ∴a=1 或 2 或 4．
类型二：计算判别式的正负，说明根的情况， 【例 2】关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m-3=0． （1）若方程的一个根为 1，求 m 的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【解答】∵方程的一个根为 1，∴1+m+m-3=0，∴m=1； （2）证明：∵a=1，b=m，c=m-3， ∴ ∆=m2-4（ m-3） =m2-4m+12=（ m-2） 2+8＞ 0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax-a-1=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是负数，求 a 的取值范围． 【 解 答 】 ∵ ∆=a2-4×（ -a-1） =（ a+2） 2≥ 0， ∴无论 a 为何值，方程总有两个实数根； （2）∵方程有一个根是负数， ∴-a-1＜0， 解得，a＞-1． ∴a 的取值范围为 a＞-1．
① 0 方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 有两个不相等的实数根 x1,2 = −b
b2 − 4ac ． 2a
②
=
0
方程
ax2
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
初中数学“根的判别式”的应用
初中数学“根的判别式”的应用作者：张小龙来源：《江西教育·综合版》2013年第06期在初中数学教学中，根的判别式不仅仅用于解决一元二次方程的有关问题，在二次三项式、二次函数等问题中的应用也极为广泛。
我们若能熟练掌握它的各种用法，可以提高解题能力和综合应用知识的能力。
下面举例说明它的几种常见应用。
要点复习：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式是△=b2-4ac（1）△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△=b2-4ac反之也成立。
一、解决一元二次方程根的情况的有关问题例1 方程2x2+mx-1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定解析：因为b2-4ac=m2-4×2×（-1）=m2+8>0，所以方程有两个不相等的实数根。
故答案选A。
二、解决根与系数的关系的有关问题例2 关于x的方程x2-（m -1）x-3m-2=0的两个实数根的平方和为17，试求m的值。
解析：设该方程的两个根为x1、x2，则x1+x2=m-1，x1x2=-3m-2，所以x12+ x22=（x1+x2）2-2 x1x2=m2+4m+5=17，解得m=-6或2。
当m=-6时，△=m2+10m+9=-150，方程有实数根，故只取m=2。
三、判定二次三项式是完全平方式的应用例3 若关于x 的二次三项式x2+ kx+9是完全平方式，则k的值=______；若关于x 的二次三项式（k+1）x2+kx-1是完全平方式，则k的值=______。
解析：因为x2+kx+9是完全平方式，所以x2+ kx+9=0有两个相等的实数根，即b2-4ac=k2-4×9=0，所以k=±6；同理，k2+4（k+1）=0，得k=-2。
四、解决根的判别式的判别式问题例4 关于x的方程x2-2mx+2m+k=0有有理根，其中m为有理数，试求k的值。
一元二次方程的根的判别式综合应用
一元二次方程的根的鉴别式学习指导一、基本知识点：1.根的鉴别式：对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠可0)以用配方法将其2变形为: (x+b)2=b–4ac因为 a≠0，所以 4a2＞0，这样一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况可由 b2－4ac 来判断。
我们把 b2－4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的鉴别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿ =b2－4ac。
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠，0)当⊿ =b2－4ac＞0 时，有两个不相等的实数根；当⊿ =b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；当⊿ =b2－4ac＜0 时，没有实数根。
上述性质反过来也建立。
2.鉴别式的应用(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)依照方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；(3)证明方程的根的性质；(4)运用于解综合题。
二、重点与难点一元二次方程的根的鉴别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。
正确理解鉴别式的性质，熟练灵便地运用它，是本节的重点，同时也是难点。
三、例题剖析例 1 不解方程，判断以下方程根的情况(1)2x2－5x+10=0(2)16x2－8 3x+3=0(3)( 3－ 2)x2－ 5x+ 10=0(4)x2－2kx+4(k－1)=0 (k 为常数 )(5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m 为常数 )(6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n 为常数 )解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴ 方程没有实数根(2)⊿=(－8 3)2－4×16×3=0∴ 方程有两个相等的实数根(3) ⊿=（－5)2－4( 3－2) ×10=5－4 30+8 5＞0∴方程有两个不相等实根(4)⊿=(－2k)2－4× 1×4(k－1)=4k2－16k+16=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根(5)⊿=〔－ (4m－1)〕2－4×2×(m－1)=16m2－8m+1－8m+8 =16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0∴ 方程有两个不相等实根(6)⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)=4n2－16n2+32n－80=－12n2+32n－8042176=－12(n－3) －3＜0∴ 方程没有实数根说明：①解这类题目时，一般要先求出⊿ =b2－4ac，尔后对⊿ =b2－4ac进行化简或变形，使⊿ =b2－4ac的符号光明化，进而说明⊿ =b2－4ac的符号情况，得出结论。
根的判别式的应用课件
判别式的未来发展
随着数学和其他学科的发展，判别式的研究和应用将更 加深入和广泛，未来可能会发现更多判别式的应用场景 。
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1. 当 $\Delta > 0$ 时，函数图像与 x 轴有两个交点；
案例三：利用判别式绘制二次函数的图像
2. 当 $\Delta = 0$ 时，函 口方向，我们可以绘 制出函数的图像。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，函数图像与 x 轴 没有交点。
详细描述
如果一个二次方程的两个根相等，那么这两 个根就具有对称性。此外，如果一个二次方 程的两个根互为相反数，那么这两个根也具 有对称性。这种对称性可以用于解决一些数 学问题，例如找到函数图像的对称轴等。
根与函数的零点
总结词
函数的零点与二次方程的根具有密切关系， 通过观察函数的零点可以获得二次方程的信 息。
详细描述：对于一元 二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，判别式 $\Delta = b^2 4ac$。根据 $\Delta$ 的值，我们可以判断 方程实数根的个数
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不同 的实数根；
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相同 的实数根；
一元二次不等式的解法
总结词
利用判别式可以快速求解一元二次不等式，进而求出其整数解。
详细描述
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（a≠0），可以利用判别式将其转化为几个一次不等式组，从而求解其 整数解。
二次函数图像的绘制
总结词
通过判别式可以判断二次函数的图像是开口向上还是向下，以及与x轴有无交点。
专题21.3根的判别式【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]
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试卷第 3 页，共 9 页
（23-24 九年级·北京顺义·期末）
14．关于 x 的一元二次方程 x 2 + mx + m - 1 = 0 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一个根小于 -2 ，求 m 的取值范围．
【变式 4-2】
（23-24 九年级·江苏泰州·期末）
15．已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 3mx + 2m 2 + m - 1 = 0 ．
专题 21.3 根的判别式【十大题型】
【人教版】
【题型 1 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】
【题型 2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】
【题型 3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】
【题型 4 证明一元二次方程的根的情况】
【题型 5 由根的判别式求代数式的取值范围】
【题型 6 根的判别式与三角形的综合运用】
A．《3，2，1》
B．《3，4，5》
D．《m, m, m +
)
C．《 n + 1 ， 2n ， n - 1 》
1
》
m
【变式 9-1】
（23-24 九年级·浙江金华·期末）
34．对于实数 a，b 定义新运算： a△ b = b 2 - ab ，若关于 x 的方程 6△ x = k 有两个相等实数
积．
【变式 7-1】
（23-24 九年级·湖南·阶段练习）
2
26．已知 Y ABCD 的两对角线 AC ， BD 的长是关于 x 的方程 x - mx +
m 1
- = 0 的两个实数
2 4
根．
(1)若 AC 的长为 1，求 m 的值；
根的判别式的十种常见应用(专题)
第3讲：根的判别式的十种常见应用--专题二 类型一：不解一元二次方程，判别根的情况（1）04322=+-x x （2）)0(02≠=-a bx ax练1. 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．（1）0)1(422=-+-k kx x （2）)0(02≠=+a bx ax （3）)0(02≠=+a c ax类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围k 为何值时，关于x 的方程0542=-+-k x x（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）没有实数根练2. 证明：不论m 取何值时，关于x 的方程2)2)(1(m x x =--总有两个不相等的实数根类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根求证：关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。
练3. 若关于x 的一元二次方程022=-+k x x 没有实数根，则k 的取值范围是？类型四：应用根的判别式判断三角形的形状已知三角形的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边长为5.（1）当k 为何值时，三角形ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）当k 为何值时，三角形ABC 是等腰三角形？并求三角形ABC 的周长。
练4. 已知c b a ,,，是三角形的三条边长,且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c ,有两个相等的实数根,试判断三角形的形状？类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式（1）若关于a 的二次三项式25162++ka a 是一个完全平方式，求k 的值；（2）若关于a 的二次三项式142++a ka 是一个完全平方式，求k 的值。
练5. 若关于x 的二次三项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，则a 的值为多少？类型六：判断抛物线与直线的交点情况当m 取何值时，抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点？练6. 已知抛物线22x y =,直线b kx y +=经过点(2,6)。
根系的判别式及应用
根系的判别式及应用根系是由一个多项式的所有根所构成的集合。
判别式是用来判断多项式的根系类型的代数量，它可用于对多项式进行分类和分析。
判别式的计算公式取决于多项式的次数和系数，不同的判别式对应于不同的根系类型。
在数学中，根系的判别式及其应用具有广泛的意义和应用。
下面将介绍根系的判别式及其应用方面的内容。
第一节：根系的判别式对于一个n次多项式f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+...+an-1x+an，它的判别式可以用来判断它的根系类型。
具体而言：1. 如果判别式Δ=∏(ai-aj)^2=0，则多项式f(x)有重根。
也就是说，多项式f(x)存在至少两个根相等的情况。
2. 如果判别式Δ>0，则多项式f(x)有n个不同的实根。
这意味着多项式f(x)的根是一个由不同实数构成的集合。
3. 如果判别式Δ<0，则多项式f(x)有n个不同的复根。
也就是说，多项式f(x)的根是一个由复数构成的集合。
需要注意的是，当多项式的次数特别高时，计算判别式可能会非常复杂。
因此，在实际应用中，我们通常使用计算机来计算判别式。
第二节：根系判别式的应用根系判别式在数学和其他领域有着广泛的应用。
以下是根系判别式的一些常见应用：1. 多项式的因式分解：根系判别式可以用来判断一个多项式是否可分解，并找到它的因式。
通过判断判别式的值和类型，我们可以确定多项式是否可以被因式分解，以及如何找到它的因式。
2. 求解方程：根系判别式可以帮助我们求解各种类型的方程。
根据判别式的值和类型，我们可以确定方程的根的数量、根的类型（实根或复根）以及根的位置。
3. 研究函数的性质：根系判别式可以用来研究函数的性质，特别是在寻找函数的极值点和拐点时。
通过计算判别式的值和类型，可以确定函数的拐点和极值点的位置，并研究它们的性质。
4. 优化问题：根系判别式在一些优化问题中也有应用。
通过计算判别式的值和类型，我们可以确定函数的最大值、最小值以及它们的位置，从而得出问题的最优解。
专题训练(二) 根的判别式的三种应用
专题训练(二)根的判别式的三种应用►应用一应用一元二次方程的根的判别式判断方程根的情况1．2017·锦州关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断2．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是()A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根3．2018·福建已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是()A．1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根C．1和－1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根D．1和－1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根►应用二根据一元二次方程根的情况求字母系数的取值范围4．2017·齐齐哈尔 若关于x 的方程kx 2－3x －94＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＝0B ．k ≥－1且k ≠0C ．k ≥－1D ．k ＞－15．如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0 6．2017·营口 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________．7．2017·岳阳 在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2 3，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为________．8．关于x 的一元二次方程x 2－x ＋p －1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求p 的取值范围；(2)若[2＋x 1(1－x 1)][2＋x 2(1－x 2)]＝9，求p 的值．► 应用三 证明一元二次方程根的情况9．已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)10．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋3k＝0.(1)求证：不论k取何实数，该方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．详解详析1．A [解析] 在方程x 2＋4kx －1＝0中，Δ＝b 2－4ac ＝(4k )2－4×1×(－1)＝16k 2＋4. ∵16k 2＋4＞0，∴方程x 2＋4kx －1＝0有两个不相等的实数根．故选A.2．A [解析] Δ＝(2c )2－4(a ＋b )2＝4(c －a －b )(c ＋a ＋b )．∵a ，b ，c 分别是三角形的三边长，∴c －a －b ＜0，c ＋a ＋b ＞0，∴Δ＜0，∴原方程没有实数根．故选A.3．D [解析] 依题意，得4b 2－4(a ＋1)2＝0.由此得b ＝±(a ＋1)．于是方程x 2＋bx ＋a ＝0化为x 2±(a ＋1)x ＋a ＝0.(1)1是方程x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0的根，可见选项A 错误；(2)a ＝0，b ＝1时是选项B 的一个特例，此时0是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，可知选项B 错误；(3)1是方程x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0的根，但－1不是；－1是方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＝0的根，但1不是．因此±1不可能同时是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，可见选项C 错误；(4)由(3)的理由可知选项D 正确．故选D.4．C [解析] 关于x 的方程kx 2－3x －94＝0有实数根，分两种情况求解： (1)若k ≠0，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4k ·(－94)＝9＋9k ≥0，∴k ≥－1且k ≠0. (2)若k ＝0，则原方程可化为－3x －94＝0，此时方程有解，∴k ＝0符合要求． 综上所述，k ≥－1.5．D [解析] k 需满足⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，2k ＋1≥0，Δ＞0.由此求得－12≤k ＜12且k ≠0.故选D.6．[答案] k ＞12且k ≠1 [解析] 根据题意得k －1≠0且Δ＝22－4(k －1)×(－2)＞0.解得k ＞12且k ≠1. 7．[答案] 2[解析] 因为关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4b ＝16－4b ＝0，得AC ＝b ＝4.因为BC ＝2，AB ＝2 3，所以BC 2＋AB 2＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形，AC 为斜边，则AC 边上的中线长为斜边的一半，为2.8．解：(1)由题意，得Δ＝(－1)2－4(p －1)≥0.解得p ≤54. (2)由[2＋x 1(1－x 1)][2＋x 2(1－x 2)]＝9，得(2＋x 1－x 12)(2＋x 2－x 22)＝9.∵x 1，x 2是方程x 2－x ＋p －1＝0的两个实数根，∴x 12－x 1＋p －1＝0，x 22－x 2＋p －1＝0.∴x 1－x 12＝p －1，x 2－x 22＝p －1.∴(2＋p －1)(2＋p －1)＝9，即(p ＋1)2＝9.解得p 1＝2，p 2＝－4.∵p ≤54，∴舍去p 1＝2.∴p ＝－4. 9．解：(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4(4－p 2)＝4p 2＋9＞0，∴不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.由求根公式得方程的根为x ＝5±4p 2＋92. ∵方程有整数解，∴找到p 的值，使5±4p 2＋92为整数即可， ∴p 可取0，2，－2，10，－10等，此时方程有整数解．10．解：(1)证明：∵Δ＝b 2－4ac ＝[－(k ＋3)]2－4·3k ＝(k －3)2≥0，∴不论k 取何实数，该方程总有实数根．(2)当△ABC 的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则(k －3)2＝0，解得k ＝3，方程为x 2－6x ＋9＝0，解得x 1＝x 2＝3，此时三角形的三边长分别为2，3，3，故△ABC 的周长为2＋3＋3＝8；当△ABC 的一腰长为2时，方程有一根为2，把x ＝2代入方程，得22－2(k ＋3)＋3k ＝0，解得k ＝2，方程为x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3，此时三角形的三边长分别为2，2，3，故△ABC 的周长为2＋2＋3＝7.综上，△ABC 的周长为8或7.。
06专题：与根的判别式有关的应用
解：若方程x2 （k 1）x k 0有两个相等的实数根，则 （ k 1）2 4k k 2 2k 1 0
k 1 当k 1时，
x2 （k 1）x k x2 2x 1关于x的方程（m 1）x 2 2m 1x 1有
两个实数根，求m的取值范围。
9、已知a、b是方程x 2 x 2 0的两根，求
a2
2a
2
b
的值。
10、若m、n为方程x 2 3x 1 0的两根，求
m3 8n 20的值
拓展练习：
• １、已知方程x2－mx-2+m=0的两根互为相反 数，则m= 。
5、已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于点O， AO、BO的长分别是x2 (2m 1)x m 2 3 0的 两根，求m的值
6.已知x2-7xy+12y2=0,求证： X=3y或x=4y
7.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值 是 A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2
（4）有实数根
3、当m为何值时，关于x的一元二次方程 mx 2 2(2m 1)x 4m 1 0;
(1) 有两个相等的实数根。 (2) 有两个不相等的实数根。 (3) 没有实数根。 （4）有实数根。
4、已知关于x的方程x2 2mx 2m 4 0, 求证：不论m为何值，这个方程总有两个
1、不解方程，判断下列方程的根的情况。
（1）2x2 3x 4 0
（2）3x 2 2 2 6x
（3） 3 x 2
2
2 2
x
1
(4)(2x 1)(3x 2) 1
2、当m为何值时，关于x的一元二次方程 x2 4x m 1 0
(1) 有两个不相等的实数根。
根的判别式的综合应用
专题根的判别式的综合应用一、根的判别式与一次函数的综合应用1．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第( )象限．A．四B．三C．二D．一2．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、根的判别式与配方法的综合应用3．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．三、整数根问题4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．四、根的判别式与特殊三角形的综合应用5．已知a，b，c分别为Rt△ABC(∠C＝90°)的三边长，则关于x的一元二次方程(c＋a)x2＋2bx＋(c－a)＝0根的情况是( )A．方程无实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个相等的实数根D．无法判断6．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．7．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．。
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专题学习 一元二次方程根的判别式的综合运用
【学习目标】
1.判定方程根的情况。
2.利用判别式建立等式，不等式，求方程中参数值或取值范围。
3.利用判别式解决相关证明问题。
【知识储备】
1．叫做一元二次方程的根的判别式
2. 方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根
【难点突破】
利用判别式，判定根的情况及参数取值范围。
【典例精讲】
例1、关于x 的方程
（1）有两个相等的实数根，求的取值范围。
（2）有两个不相等等的实数根，求的取值范围。
（3）无实数根，求的取值范围。
（4）有实数根，求的取值范围。
（5）若方程的一个根为-2，求另一个根及值
方法点拔： 练习：
1、若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 。
2.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。
3、已知关于的方程，求证：取任意实数时，方程总
有实数根。
24b ac ∆=-20(0)ax bx c a ++=≠0∆>⇔0∆=⇔0∆<⇔()2120m x mx m -++=m m m m m x 0122=-+x k x k x 2(21)0kx
k x k --+=k x 23(1)230mx
m x m --+-=m
例2、已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求
的值
方法点拔：
练习：已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：
例3、已知是△的三边，其中，且关于的方程有两个相等的实数根，是判断△的形状。
方法点拔：
练习：已知是△的三边，当时，关于的一元二次方程
有两个相等的实数根，判断△的形状并说明理由。
【专题总结】
1、运用判别式 ，求方程中待定系数的值或取值范围。
2、利用判别式，解决化简求值问题。
3、利用判别式，判定三角形的形状。
x ()2100ax bx a ++=≠4
)2(22-+-b b a x 222(1)50x m x m ++++=1m -+,,a b c ABC 1,c 4a ==x 240x x b -+=ABC ,,a b c ABC 0m >x 22()()20c x m b x m ++--=ABC。