鸽巢原理及其应用

鸽巢原理是组合数学中最基本的计数原理之一，也是证明存在性问题的一种重要方法．本文首先介绍了鸽巢原理的不同表述形式及其推论，然后从整除关系的证明、几何图形的分割以及解决实际问题等几个角度介绍了鸽巢原理的应用，并对例题中鸽巢的构造技巧做了分析．

关键词：鸽巢原理；简单形式；一般形式；加强形式

Abstract

The pigeonhole principle is one of the basic counting principle in combinatorics, but also it is an important method to prove the problem of the existence. This paper first introduces the different expressions of the pigeonhole principle and its deduction, then the applications of the pigeonhole principle are introduced from several angles of proof of aliquot relationship, division of the geometrical figure and solving practical problems, the structured skills of the pigeonhole principle in examples are analysed.

Key words: pigeonhole principle; simple form; general form; strengthend form

摘要 ....................................................................................................... 错误!未定义书签。Abstract .................................................................................................................................. II 第1章鸽巢原理 (1)

第1节鸽巢原理的基本形式 (1)

第2节鸽巢原理的相关推论 (4)

第2章鸽巢原理的应用 (6)

第1节鸽巢原理应用于数的整除关系 (6)

第2节鸽巢原理应用于几何图形 (7)

第3节鸽巢原理应用于实际生活 (9)

总结 (12)

参考文献 (13)

致谢 (14)

第1章 鸽巢原理

鸽巢原理是组合数学中的一个基本原理．应用鸽巢原理可以解决涉及存在性的许多组合问题．本章将介绍鸽巢原理的表现形式及其相关推论，并以例题的形式作简单的说明．

第1节 鸽巢原理的基本形式

鸽巢原理又称鸽笼原理、抽屉原理．从其产生到现在，已产生有多种不同的表达形式．

1.1鸽巢原理的简单形式

定理1 如果把1+n 个物体放入到n 个盒子中去，则至少有一个盒子放有两个或更多的物体．

证明（反证法） 假设n 个盒子中的每个盒子里至多放入了一个物体，则放入n 个盒子中的物体总数至多为n 个．这与题设“共有1+n 个物体”相矛盾，所以知道假设是错误的，从而证明了至少有一个盒子中放有两个或更多的物体．

定理1仅能被用于证明一个排列或某种现象的存在性，不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示． 例1 在一次舞会上，来了n 位舞伴，彼此认识的握手问候．证明：在无论什么情况下，这n 位舞伴中至少有两个人握手的次数一样多．

解 由已知条件可知，这n 位舞伴中，每个人握手的次数最少有0次，最多有1-n 次．比如，如果有一位舞伴握手的次数是0次，那么其他舞伴握手次数最多不能多于2-n 次，即握手次数为0，1，2， ，2-n ；如果有一位舞伴握手的次数是1-n 次，那么其他舞伴握手次数最少不能少于1次，即握手的次数为1，2， ，1-n ．总之，这n 位舞伴握手次数有1-n 种情况．把这1-n 种情况看成1-n 个抽屉，并把舞会上的n 位舞伴按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，则根据抽屉原理可知，至少有两个人属于同一抽屉，即可得这两个人握手的次数一样多．

例2 设1a ，2a ，3a ，4a 为任意四个整数，1b ，2b ，3b ，4b 为1a ，2a ，3a ，4a 的任一排列，则11a b -，22a b -，33a b -，44a b -中必有两个数之差是3的倍数．

证明 既然1b ，2b ，3b ，4b 是1a ，2a ，3a ，4a 的一个排列，显然11a b -，22a b -，33a b -，44a b -为四个整数．这四个整数被3除的余数只能是0，1，2中的一个，于是

按余数的情形构造3个抽屉，把这四个数11a b -，22a b -，33a b -，44a b -视为四个物体，放入这3个抽屉中去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里面放了两个或两个以上的物体，不妨设这两个数为i i a b -与j j a b -，显然有

)3(mod j j i i a b a b -≡-，

根据同余与整除的关系，有

)]()[(|3j j i i a b a b ---，

从而11a b -，22a b -，33a b -，44a b -中必有两个数之差是3的倍数．

注：以2为标准，可以把全体整数分成奇数与偶数两类，这实际上是把整数用2除，余数为1的那些数构成了模2的一个剩余类1K ，即为奇数集；把整数用2除，余数为0的那些数构成了模2的一个剩余类0K ，即为偶数集，这两个集合的交集为空集，而其并集为整数集．这种做法可以推广，即可以把整数集按照被模m (1)m >除的余数分成m 个两两互不相交的集合0K ，1K ，，1-m K ，例2就是把整数集按照用3除而分为0K 、1K 和2K 三个抽屉，然后把11a b -，22a b -，33a b -，44a b -这四个物体放到三个抽屉里面去，由于物体数目多于抽屉个数，所以就有一个抽屉至少被放入了两个物体．

1.2鸽巢原理的一般形式

在定理1中，如果将1+n 改写成12221+-+++=+n n （式中含n 个2），于是定理1就可以叙述为：如果把12221+-+++=+n n 个物体放入n 个盒子中去，则至少存在一个i ),,2,1(n i =，使得第i 个盒子中至少放有两个物体．设想，如果将1222+-+++n 中的第i 个2改为正整数i q ),,2,1(n i =，就得到鸽巢原理的一般形式．

定理2 设i q 是正整数),,2,1(n i =，121+-+++≥n q q q q n ，如果把q 个物体放入n 个盒子中去，则必存在一个i ，使得第i 个盒子中至少有i q 个物体．

证明（反证法） 假设结论不成立，即对每个i ，第i 个盒子中至多放有1-i q 个物体，从而这n 个盒子放入的物体的总数最多为q n q q n

i i n i i <-=-∑∑==11)1(，这与“把q 个物

体放入n 个盒子中”矛盾，所以假设是错的，即：必存在一个i ，使得第i 个盒子中至少有i q 个物体．