八年级轴对称专题课讲义
八年级数学轴对称课件ppt
边上的高互相重合。（三线合一）
3、等腰三角形的判定： 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这
两个角所对的边也相等。（等角对等边） 推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论②：有一个角是600的三角形是等边三角形。
本章目录
16.1轴对称图形 16.2线段的垂直平分线 16.3等腰三角形 16.4角的平分线
16.1(轴对称图形)知识点回顾
• 1、轴对称图形：把一个图形沿着一条直线 折叠，如果直线两旁的部分能够完全重 合，那么这个图形就叫做轴对称图形。 这条直线叫做对称轴。
• 2、轴对称：把一个图形沿一条直线折叠， 如果它能与另一个图形完全重合，那么 这两个图关于这条直线成轴对称。
A
D
B
C
5、已知，如图AB=AB=CD AD=BD 则∠BAC=
1080
A
B
C
D
16.4角平分线的性质与判定: 1、性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2、判定定理： 到角两边距离相等的点在角的平分线。
1、如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线交 AC于P,一个同学马上就得到PA=PC,你觉 得对吗?
（2）当汽车行驶到什么位置时，与村庄M、N的距离相等？ M
A
P3
B
N
答：如图 ，当汽车行驶到P3时，与村庄M、N的距离相等。
根据：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等。
例2 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、
N分别表示位于公路AB两侧的村庄，
（3）当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和
A
轴对称专业知识讲座
第十四章 轴对称
嗨!对称 轴在这 儿呢!
假如一种图形沿一条直线折叠，直线两
旁旳部分能够相互重叠，这个图形就叫做轴 对称图形，这条直线即折痕所在直线就是它 旳对称轴。
八年级 数学
12.1 轴对称(1)
第十二章 轴对称
下面四幅图中是轴对称旳有几种？
八年级 数学
12.1 轴对称(1)
第十二章 轴对称
下面这些图形是不是轴对称图形？
右边
实际图形和镜中旳像有何关系？
实际图形和镜中旳像能够构成轴对称 关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、 轴对称变换后旳像
原来旳图形
2.
轴对称变换后旳像
原来旳图形
请欣赏
m
n
请你用所学旳知识来欣赏下列漂亮旳图案
大自然中旳轴对称
生活中旳轴对称
A A′
B C
B′ C′
把一种图形沿着某一条直线 折叠 ,假如 它能够 与另一种图形重叠 ,那么就说这两个 图形有关这条直线对称,这条直线叫做对称轴, 折叠后重叠旳点是相应点,叫做 对称点。
MN⊥AF于P AP = AF
1、图中旳对称点有哪些？ 2、点Ａ和Ｆ旳连线与直线
是
是
是
不是
12.1 轴对称(1)
下面是几家银行旳标志,其中是轴对称 图形旳是？
12.1 轴对称(1)
下面这些图形各有几条对称轴？
12.1 轴对称(1)
画出下面每个轴对称图形旳对称轴
车标设计
12.1 轴对称(1)
想一想：能否用剪刀,利用轴
对称旳知识,剪出某些你喜欢旳 图案来?
八年级 数学
12.1 轴对称(1)
把一圆形纸片两次对折后，得到
人教版八年数学上 第13章_轴对称单元复习课件(共27张PPT)
(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线。
3
(4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。
13
例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。
B C
A D E
解：作图过程如下：
(1)分别作出点B、C关 F 于直线AE的对称点F、H。
(2)连结AF、FD、DH、 HE，得到所求的图形。
H
14
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y轴对y 称的点的坐标为（-a，b）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
4
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
5
二、题目特点：
• 判断轴对称图形或对称轴的条数 • 根据轴对称图形的性质作对称轴 • 用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理 三、解题切入点：
4
A5E来自FG3
12
∴ AB=DB， ∠1= ∠2=60° 从而有 ∠3= ∠1=60° 在△ABF和△DBG中
∠3= ∠1
BC
∠4= ∠5
AB=DB
∴ △ABF≌ △DBG
∴ＢF＝ＢG
1.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求 △PED的周长 .
3
2
B1
人教版八年级数学上册 轴对称专题复习讲义
轴对称专题复习讲义 一. 知识要点对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本. 本次课主要研究以下内容：（1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.（2）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一. 二.基本知识点过关测试1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说 关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 叫做 .如果一个图形沿一直线折叠，直线 能够相互重合，这个图形就叫做 这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说 . 2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数： （1）圆 ；（2）正方形 ；（3）等腰三角形 3.平面直角坐标系中，点A （-2,3）关于y 轴的对称点A 1的坐标是 ，点B （-4,1）关于x 轴的对称点B 1的坐标是 ，点A 1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是 .知识要点2：线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 为AB 的中垂线. 且△BEC 的周长为14，BC =6，则AB 的长为 .知识要点3：等腰三角形的性质与判定5.如图，在等腰△ABC 中,AB =AC ，若∠1=∠2，则BD CD ，AD BC6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为 ，若一个内角为40°，则另两个角为 .7.（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x 的范围是 ；若底边长为10，则腰长y 的范围是 .C E B DA（2）等腰三角形的顶角为60°，底边长8cm ，则腰为 .（3）等腰△ABC ，AB =AC ，BD 为AC 边的高，则∠DBC = ∠BAC ；若∠DBA =45°，则∠C = .（4）三角形三内角度数比为1：2：3，它的最短边为5cm ，则最长边为 ；等腰三角形底角为15°，腰长为30cm ，，则此三角形面积为 .知识要点4：等边三角形的性质与判定8.如图，在等边△ABC 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是 .知识要点5：含30°的特殊三角形9.如图，在△ABC ，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交于BC 于点D ，交AB 于点E ，BD =10，则AC = .知识要点6：尺规作图问题10.如图，直线MN 表示一条铁路，A 、B 两点表示铁路旁的两个村庄，要在铁路MN 旁修建一个车站C ，要使A 、B 两个村到车站的距离相等，请确定车站C 的位置11.某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M 、N 表示大学AO 、BO 表示公路），现计划修一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.C ED PE AD B EC A A B N MA三. 综合、提高、创新方法与技巧1：利用轴对称解决几何问题【例1】（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管道最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？（2）已知∠MON=30°，P为∠MON内一定点，且OP=10cm，A为OM上的点，B为ON上的点，当△P AB的周长取最小值时，请确定A、B点的位置，并求此时的最小周长.方法与技巧2：利用特殊图形的轴对称性（线段的垂直平分线，角平分线）实现边、角的集中【例2】（1）如图，AC=BG，AB，CG垂直平分线交于点F, 求证：∠ABF=∠CGF.（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分斜边AB于D，且点E在AB的下方，DE=12AB. ①求证：∠ACE=45°BAlNOFGECBDABDCA②若点E 在AB 的上方，其他条件不变，则①的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【例3】如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是角平分线，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：BE=12BD【练】如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 是BC 上的高线，P 是AD 上一点，试比较PB —PC 与AB —AC的大小.方法与技巧3：截长补短在特殊三角形中的应用 【例4】（1）在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C =2∠B .求证：AC +CD =BD .A CDE BE CD P B AC D B A（2）在△ABC，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证：AM=12（AB+AC）【练】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠ACD=60°，求证：AG=AH方法与技巧4：特殊要素法在特殊三角形中的应用【例5】（1）如图，△ABC中，AB=AC，BG⊥BC于B，CH⊥BC于C，过点A的直线l绕点A旋转，交BG、CH于G、H，求证：AG=AH（2）如图，点P为△ABC内一点G，PG垂直平分BC，交点为G，且∠PBC=12∠A，BP、CP 的延长线分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CDCMDBADCBACHGBADPEA【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 为AC 所在直线上一点，AE ∥BC ，且满足∠BDE =60°，当D 点分别运动到如图所示情形时. （1）求∠CBD 和∠ADE 的关系；（2）求证：DB =DE ；（3）求AD 、AE 和BC 之间的关系.三. 反馈练习1.如图，四边形EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？2.如图，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的两定点，在BC 上求一点M 使△MEF 的周长最短.GC B AE C D B A E D B C A C E B D3 如图，A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，4），作∠BAO 的平分线AC 交y 轴于C ，过B 作BD ⊥AC 于D ,求AC ：BD 的值.4 如图，AB =AC ，若∠A =20°，在AB 上取点W ，使AE =BC .求∠BWC 的度数？5.如图，A 、B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使C 到A ，B 的距离只差最大.6.如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，BE 平分∠ABC 交CD 于F ，CG 平分∠ACD . 求证：BE ⊥CGC BW AB Al C F EB D G A7.如图，∠1=∠2，DA =DB ，AC =12AB ，求证：DC ⊥AC .8.（1）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，求∠B ：∠C（2）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =AC9.如图，AM 为△ABC 的角平分线，BD =CE ，NE ∥AM ，求证：N 为BC 中点.C D BAC D B A C D B ACD E A10.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于O ，交AB 于E ，OF ∥BC ，交AB 于F ，AE =6，AB =18，求EF .11.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE =12（AB +AD ）. 求∠ABC +∠ADC 的度数.12.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，△ABE 和△ACD 都为等边三角形，F 为BE 中点，DF 交于AC 于M ，连接DE .求证：（1）AM =MC ；（2）AB 平分DE .OC DB E F A BC ED A MD FE A13.如图，△ABC 为等边三角形，CF 为∠C 的外角平分线，在BC 上任取一点D ，使∠ADE =60°，DE 交CF 于点E .求证：△ADE 为等边三角形14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =80°，O 为三角形内一点，∠OBC =10°，∠OCB =30°，求∠BAO 的度数.E F C D BA COBA。
八年级轴对称专题课讲义
轴对称【知识梳理】一、轴对称与轴对称图形的区别与联系：轴对称图形轴对称图形定义把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做_______，两个图形中的对应点叫做______。
区别①轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称图形是反映一个图形的特性。
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；联系①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
二、轴对称的性质：1.关于某条直线对称的两个图形是_________。
（全等图形一定轴对称吗？）2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________。
3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在________上。
【典型题型】轴对称、中心对称题型的识别：例1、（2010?兰州）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个练习1、写出以下轴对称图形的对称轴条数：（1）直线_______（2）线段_______（3）角_______（4）圆_______（5）等腰三角形_______（6）等边三角形_______作已知图形的轴对称图形例2、（2009 四川眉山，19）在33⨯的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。
练习2、画出以下图形的轴对称图形:L轴对称的概念和性质应用例3、下列命题中,说法正确的是( )A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形C 关于某直线对称的两个三角形全等D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等 练习3、1、下列说法中,正确的有（ ） （1）.两个关于某直线对称的图形是全等形;（2）两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁;（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴; （4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称. A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例4、（2009 江苏，26）将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．练习4、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为（ B ）(A) 8 (B)112(C) 4 (D)52利用对称轴解决几何最值问题E D CF B A 图③E D C A BF G A D E CBF G 图④图⑤ABCDEGF（第11题）F例5、在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3 km 和2 km ， AB=?a km （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥?l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2=PA+PB （km ）（其中点与点A 关于l 对称，B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d1= ___________km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=__________________km （用含a 的式子表示）．练习5、如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为__________________。
八年级数学上册13.1.1轴对称(共21张PPT)
课前准备：
正方形纸片、剪刀.
一、引出新知
二、探究新知
【问题1】如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折 痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到 了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什 么共同的特点吗？
（一）轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能 够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就 是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线 (成轴）对称．
B
B'
C
C'
N
（四）两个图形成轴对称的性质
思考：如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…
其他条件不变，前面的结论还成立吗？
M
l
l
A
A'
P
B C
B' C'
N
性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线．(即对称点所连线段被对称 轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段.)
四边形ABCD是轴对称图形
B
3
30°
C
30°
A
3
D
∆ABC ∆ADC
AC垂直平分BD
轴对称图形
课堂小结
轴对称
重要内容 线段的垂直 平分线
概念 性质
两个图形 成轴对称
概念 性质
本节课知识点对应数学课本P58-60
课后作业
完成课本P64-65习题13.1第1、2、3、4、5题．
谢谢!
B
点C'是点C的对称点. 能成轴对称，
B′
那么它们是全
C
C′
等图形吗？
做一做
2.下列每副图形中两个图案是轴对称的吗？如果是，
人教版八年级数学上册《轴对称》PPT优秀课件
3.如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°， 且AB+BH=HC,求∠B的度数。
解：在CH上截取DH＝BH，连接 AD，如图 ∵BH＝DH，AH⊥BC,AH=AH ∴△ABH≌△ADH(SAS)∴AD＝AB
D
∵AB＋BH＝HC，而BH=DH 又∵CD＋DH＝HC ∴AD＝CD ∴∠C＝∠DAC， 又∵∠C＝35° ∴∠B＝∠ADB＝70°．
M
如果两个图形关于某条直线对称，那么 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂 直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应 点所连直线的垂直平分线。
N
做一做 ： 1.（1）图中三角形④与哪些三角形成轴对称？
（2）整个图形是轴对称图形吗？它们共有几 条对称轴？
12
43
（1）1和3 （2）是 2条
2.如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是 △ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两 点，若△ABC的面积为12，求图中阴影部分的 面积之和．
轴对称。
◆ 这条直线叫做对称轴。
◆ 折叠后重合的点叫对应点，也叫对称点。
对比：
定义 联系 区别 注意
轴对称图形
两个图形成轴对称
如果一个平面图形延一条直线折叠 ，直线两旁的部分可以相互重合，
这个图形就叫做轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折 叠，如果它能够与另一个图形 重合，那么称这两个图形关于
这条直线成轴对称
第13章 轴对称
轴对称
目录
01 观察发现 02 得出结论 03 产生思考 04 再得结论 05 练习巩固 06 头脑风暴
观察这些图像有什么共同特点？
结论：如果一个平面图形延 一条直线折叠，直线两旁的 部分可以相互重合，这个图
八年级数学上册《轴对称》讲义
轴对称知识点一、轴对称图形轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.知识点二、轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形与轴对称的区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形.知识点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.类型一、轴对称变换1.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点坐标分别为(1,6)A -，(5,3)B -，(3,1)C -．（1）ABC ∆关于y 轴对称的图形△111A B C （其中1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对称点），请写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）若直线l 过点(1,0)，且直线//l y 轴，请在图中画出ABC ∆关于直线l 对称的图形△222A B C （其中2A ，2B ，2C 分别是A ，B ，C 的对称点，不写画法），并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．类型二、线段垂直平分线知识点① 线段垂直平分线的性质2. 如图，已知ABC ∆，AB 、AC 的垂直平分线的交点D 恰好落在BC 边上．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若点A 在线段DC 的垂直平分线上，求AC BC的值．知识点② 线段垂直平分线的判定3. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，BE CD =，且BD 与CE 相交于点O ，求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．类型三、利用轴对称的性质求图形的面积4. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于AB 边的对称点为C '，若1ABC S ∆=，求A B C S '''．类型四、“将军饮马”问题5. 如图，点P、Q为MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．类型五、角平分线与线段垂直平分线的综合6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB于点F，交BC的延长线于E（1）在图①中，连接DF，证明DF//AC（2）在图①中，连接AE，证明∠EAC=∠B（3）如图②，若线段CD上存在一点M，使∠MPD=∠ACD，AM与EF交于点P，连接DP 并延长与AC交于点N，求证：AN=DM.①②【复习巩固】一．选择题（共7小题）1．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？( )A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒2．如图所示，在四边纸片ABCD 中，//AD BC ，//AB CD ，将纸片沿EF 折叠，点A ，D 分别落在A '，D '处，且A D ''经过点B ，FD '交BC 于点G ，连接EG ，若EG 平分FEB ∠，//EG A D ''，80D FC '∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒3．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是( )A ．AM BM =B ．AP BN =C ．M AP M BP ∠=∠D ．ANM BNM ∠=∠4．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线DE ，分别与AB 边和AC 边交于点D 和点E ，BC 边的中垂线FG ，分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，又BEG ∆周长为16，且1GE =，则AC 的长为( )A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，50∠的平分线BE交AD于点E，连接∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABCABC∠的度数是()EC，则AECA．115︒B．75︒C．105︒D．50︒6．如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110∠=︒，BAD则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒7．如图，P是AOB∠两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰∠外的一点，M，N分别是AOB好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若 2.5PN=，PM=，3 MR=，则线段QN的长为()7A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二．解答题（共3小题）8如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB+的值最小，画出图形并证明．9．如图，OBC ∆中，BC 的垂直平分线DP 交BOC ∠的平分线于D ，垂足为P ．（1）若60BOC ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若BOC α∠=，则BDC ∠= （直接写出结果）．10．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若60A ∠=︒，24ABD ∠=︒，求ACF ∠的度数；（2）若5BC =，:5:3BF FD =，10BCF S ∆=，求点D 到AB 的距离．。
八年级轴对称专题课讲义(精)
轴对称【知识梳理】一、轴对称与轴对称图形的区别与联系:二、轴对称的性质:1. 关于某条直线对称的两个图形是 _________。
(全等图形一定轴对称吗?2. 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的 __________。
3. 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在________上。
【典型题型】轴对称、中心对称题型的识别:例 1、(2010• 兰州观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有 (个.A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个练习 1、写出以下轴对称图形的对称轴条数: (1直线 _______ (2线段 _______ (3角 _______ (4圆 _______(5等腰三角形 _______ (6等边三角形 _______作已知图形的轴对称图形例 2、 (2009 四川眉山, 19 在 33 的正方形格点图中, 有格点△ ABC 和△ DEF , 且△ ABC 和△ DEF 关于某直线成轴对称,请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。
练习 2、画出以下图形的轴对称图形 :轴对称的概念和性质应用例 3、下列命题中 , 说法正确的是 (A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形C 关于某直线对称的两个三角形全等D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等练习 3、 1、下列说法中 , 正确的有( (1 . 两个关于某直线对称的图形是全等形 ;(2两个图形关于某直线对称 , 对称点一定在直线两旁 ;(3两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 ; (4平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 . A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例 4、 (2009 江苏, 26将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,折痕为 BE (如图③ ;再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点D '处,折痕为 E G (如图④ ;再展平纸片(如图⑤ .求图⑤中α∠的大小.练习 4、矩形纸片 ABCD 的边长 AB =4, AD =2.将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 A 与点 C 重合, 折叠后在其一面着色 (如图 ,则着色部分的面积为( B(A 8 (B112(C 4 (D52E D CF B A图③ D C A B F 'A D E C 图④图⑤ AE(第 11题利用对称轴解决几何最值问题例 5、在一平直河岸 l 同侧有 A , B 两个村庄, A , B 到 l 的距离分别是 3 km和2 km, AB= a km(a >1 .现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ,用输水管向两个村庄供水.方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图 13-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为 d1,且 d1=PB+BA(km (其中 BP ⊥ l于点 P ;图 13-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为 d2 ,且 d2=PA+PB(km (其中点与点 A 关于 l 对称, B 与l 交于点 P .观察计算(1在方案一中, d1= ___________km(用含 a 的式子表示 ;(2在方案二中,组长小宇为了计算 d2的长,作了如图 13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算, d2=__________________km(用含 a 的式子表示 .练习 5、如图 , 正方形 ABCD 的边长为 8, M 在 DC 上,且 DM=2, N 是 AC 上的一动点, DN+MN的最小值为 __________________。
《轴对称》 ppt课件
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国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗， 哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴。
加拿大
瑞典
以色列
摩P洛PT哥课件
英国
17
试一试
你能举出日常生活中常见的 轴对称图形的例子吗？
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18Βιβλιοθήκη 字游戏在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜 下列是哪些字的一半吗？
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19
轴对称
观察下面的图形，你能发现它们有 什么共同的特征吗？
20
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轴对称
A
A′
B C
B′
C′
21
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定义
1.把_一_个__图__形_沿着某一条直线折叠,如果 它能够与另__一__个_图形_重__合_,那么就说这 两个图形_关__于__这_条__直_线__对_称__或者说这两 个图形成轴对称。
喜喜 FF
(A)
(B) (C)
25
(D)
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四. (分组讨论)
1.成轴对称的两个图形全等吗?( 全等 ) 2.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两
个图形,那么这两个图形全等吗?( 全等 ) 这两个图形对称吗?( 对称 )
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轴对称
想一想：轴对称图形与两个图形成轴 对称图形有什么区别和联系？
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八年级 数学
12.1 轴对称(1)
第十二章 轴对称
做一做：
如图，△ABC与△DEF关于直线a对称，
若AB=2cm，∠C=55°，则DE= 2cm，∠F= 55° 。
a
A
D
F
C
B
E
八年级轴对称专题课讲义
轴对称【知识梳理】一、轴对称与轴对称图形的区别与联系：轴对称图形轴对称图形定义把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做_______，两个图形中的对应点叫做______。
区别①轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称图形是反映一个图形的特性。
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；联系①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
二、轴对称的性质：1.关于某条直线对称的两个图形是_________。
（全等图形一定轴对称吗？）2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________。
3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在________上。
【典型题型】轴对称、中心对称题型的识别：例1、（2010?兰州）观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个练习1、写出以下轴对称图形的对称轴条数：（1）直线_______（2）线段_______（3）角_______（4）圆_______（5）等腰三角形_______（6）等边三角形_______作已知图形的轴对称图形例2、（2009 四川眉山，19）在33⨯的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。
练习2、画出以下图形的轴对称图形:L轴对称的概念和性质应用例3、下列命题中,说法正确的是( )A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形C 关于某直线对称的两个三角形全等D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等 练习3、1、下列说法中,正确的有（ ） （1）.两个关于某直线对称的图形是全等形;（2）两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁;（3）两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴; （4）平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称. A 0个 B 1个 C 2个 D 3个图形的“折叠”问题例4、（2009 江苏，26）将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．练习4、矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色(如图)，则着色部分的面积为（ B ）(A) 8 (B)112(C) 4 (D)52利用对称轴解决几何最值问题例5、在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3 km 和2 km ，E D CF B A 图③E D C A BF G A D E CBF G 图④图⑤ABCDEGF（第11题）FAB=?a km （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥?l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2 ，且d2=PA+PB （km ）（其中点与点A 关于l 对称，B 与l 交于点P ）． 观察计算（1）在方案一中，d1= ___________km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=__________________km （用含a 的式子表示）．练习5、如图,正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，DN+MN 的最小值为__________________。
人教版八年级数学上册第13章轴对称(复习课)课件
B
A
C B1
P
C1
O
A1
x
并直接写出P点的坐标：
A1
2.在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值
分别为（ C ）
A. 3，-2
B. -3，-2
C. 3，2
D. -3，2
考点4.等腰三角形的性质及判定
顶角
1.性质
腰
腰
(1)两腰相等;
底角
底角
底边
(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;
(3)两个__底__角___相等，简称“等边对等角”;
(4)_顶__角__平__分__线__、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
A
2.判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;
B
D
C
(2)如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成“__等__角__对__等__边__”）.
考点3.平面直角坐标系中轴对称
点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为 (x,-y) . 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为 (-x,y) .
关于谁对称谁不变
点（x, y）关于原点对称的点的坐标为 (-x,-y) .
常见题型
y
1 按要求完成作图： (1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，
为_6__．
3.如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直
平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_4_5__°．
4.已知△ABC，∠BAC=110°，DE，FG分别是AB，AC的垂直 平分线且DE交BC于M点，FG交BC于N点，求∠MAN的度数。
初二数学轴对称图形综合讲义
初二数学轴对称图形综合讲义一、知识点：1．轴对称与轴对称图形：(1)成轴对称：把__________沿某一条直线折叠，如果它能够与_______________，那么称_____________。
(2)轴对称图形：把___________沿某一条直线折叠，如果__________________，那么称_______________。
(3)轴对称与轴对称图形的区别与联系：如果把成轴对称的_________________看作一个整体，那么这个整体就是____________________；如果把一个轴对称图形位于直线两旁的部分看作____________________，那么这两部分图形就是__________________。
2．轴对称的性质：(1)___________________一条线段的___________，叫做这条线段的垂直平分线。
(2)轴对称的性质：①成轴对称的两个图形__________；成轴对称的两个图形的对称线段_________，对称角________。
②如果两个图形成轴对称，那么对称轴是_____________________________；③成轴对称的两个图形的任何对应部分________________．3．设计轴对称图形：对称的美术图案，除____________对称外，有时___________也对称。
4．线段、角的轴对称性：(1)线段的轴对称性：①线段是______________，线段的_________________________是它的对称轴。
②垂直平分线的性质：垂直平分线上的点______________________________________。
③到_____________________________点，在这条线段的垂直平分线上。
(2)角的轴对称性：①角是_____________，_________________________是它的对称轴。
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轴对称
【知识梳理】
二、轴对称的性质：
1. 关于某条直线对称的两个图形是_________________ 。
(全等图形一定轴对称吗？)
2. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________________________ 。
3. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在__________ 上。
【典型题型】
轴对称、中心对称题型的识别：
例1、(2010?兰州)观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形也是中心对称图形的有( )个.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
练习1、写出以下轴对称图形的对称轴条数：
(1)直线 __________
(2)线段 __________
(3)角 ___________
(4)圆 ___________
(5)等腰三角形 ___________
(6)等边三角形____________ 作已知图形的轴对称图形
例2、（2009四川眉山，19）在3 3的正方形格点图中，有格点 △ ABC 和厶DEF ，且△ ABC 和厶DEF
轴对称的概念和性质应用
例3、下列命题中，说法正确的是（
）
A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形
B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形
C 关于某直线对称的两个三角形全等
D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等 练习3、1、下列说法中，正确的有（）
（1） .两个关于某直线对称的图形是全等形
；
（2） 两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线两旁； （3） 两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 ；
（4） 平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称
A 0个
B 1个
C 2个
D 3个
图形的“折叠”问题
例4、（ 2009江苏，26）将矩形纸片 ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点 A 落在BC 边上的点F 处，折 痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点 D 落在BE 上的点D 处，折痕为EG （如图④）；再 展平纸片（如图⑤）.求图⑤中的大小.
例5、在一平直河岸I 同侧有A , B 两个村庄,
A ,
B 到I 的距离分别是3 km 和2 km ,
D 的边长AAB=4厂ADE^.■将矩形纸片沿
E E
折叠］D 使点A 与点C 重合，折叠后在 ,则着色部分的面积为
C B 练习4、矩形:纸片--AB
其一面着色（如 I （A ） B （B ） 11 2 F
图③ ） G C 图④ B ------------- :
_ C B F G 图⑤ D -----------------F （C ）
4
（D ）
5
C E （第 11
题）
利用对称轴解决几何最值问题
△
DEF 。
L
AB=?a km (a > 1).现计划在河岸I 上建一抽水站 P ，用输水管向两个村庄供水. 方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 且
d 仁PB+BA ( km )(其中BP 丄?l 于点P );图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为 且d2=PA+PB (km )(其中点与点 A 关于I 对称，B 与I 交于点P ). 观察计算
(1) 在方案一中，d1 = _____________ km (用含a 的式子表示); (2) 在方案二中，组长小宇为了计算 d2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路 计算，d2= ___________________ k m (用含a 的式子表示). 练习5、如图，正方形ABCD 勺边长为8，M 在DC 上，且 DM=2 N 是AC 上的一动点，DN+MN 勺最小值为 di ， d2 , 全等三角形解题能力提升
1. 全等三角形的性质 (1)全等三角形中，对应边相等，对应角相等。
2)全等三角形的对应线段(对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线)相等。
(3)全等三角形的周长相等，面积相等。
2. 全等三角形的五种判定公理： (1) (2) (3) (4)
(5) 三边对应相等的两个三角形全等， “边边边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等， 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等， (SSS ； “边角边”
“角边
角”
(SAS ); (ASA )；
“角角边”
“斜边，直角
边” 一、挖掘“隐含条件”判全等 【提示】：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件 1.如图(1)，AB=CD AC=BD 则厶ABC^^ DCB 吗？说说理由 二、添条件判全等 【提示】：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件，
这些条 件有些是题目已知条件，
有些是图中隐含条件. 如图，已知AD 平分/ BAC 要使△ ABD^A
ACD 需要哪些条件？ 三、熟练转化“间接条件”判全等 女口图(4) AE=CF Z AFD=/ CEB DF=BE △ AF^A
CEB 全等 吗？为什么？ (AAS );
(HL )
A D
四、条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线 如图 3, AB=AC Z
仁/ 2. 求证：A0平分/ BAC
构造全等三角形的主要方法
常见的构造三角形全等的方法有以下三种： ①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线 三角形； ② 涉及角平分线问题时，经过角平分线上 构造一对全等三角形； A/
一倍来构造一对全等 一点向两边作垂线来
③ 证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形;
(1 )利用中点(中线)构造全等
若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形, 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例1:如图，已知△ ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD又是BC 上的
中线。
求证：△ ABC是等腰三角形。
(2 )利用角平分线构造全等
C 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，用的思
维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角分线的性质定理
或逆定理。
例2:已知，如图，AC平分/ BAD CD=CB AB>AD 求证：/ B+Z
ADC=180。
(3)用“截长补短”法构造全等
证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构
造一对全等三角形。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段
相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等, 再利用三角形全等的
有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目
例3:如图甲，AD// BC,点E在线段AB上, Z ADE Z CDE Z DCE Z ECB
求证：CD=AD+BC
图甲
8。