计算方法-刘师少版课后习题答案
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习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法xmax x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A nR n n .2.试证明maxa ij , A ( a ij )1 in1 i n1j证明：（ 1）令 x rmaxxi1 i nnp 1/ pnx ip1/ pnx r p 1/ p1/ pxlim(x i lim x r [( ]lim x r [limx r))() ]x r npi 1pi 1 x rpi 1 xrp即 xx rnp1/ pnp 1/ p又 lim(lim(x rx i)x r)pi 1pi 1即 xx rxx r⑵ 设 x(x 1,... x n )0 ，不妨设 A 0 ，nnnn令maxaijAxmaxaijx jmaxa ij xjmax x i maxaijx1 i nj 11 i nj 11 i nj 11 i n1 i nj 1即对任意非零 xR n，有Axx下面证明存在向量 x 00 ，使得Ax 0，x 0n( x 1,... x n )T 。
其中 x j设j a i 0 j ，取向量 x 0sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。
1nn显然x 01 且 Ax 0 任意分量为ai 0 jx jai 0 j，i 1i1nn故有Ax 0maxaijx jai 0 j即证。
ii 1j 13. 古代数学家祖冲之曾以355作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？113解： x325 &0.314159292 101133xx355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。
4. 若 T(h)逼近其精确值T 的截断误差为R(T ) : T (h) T A i h2 ii 1T0 ( h) T (h) 其中，系数 A i与h无关。
计算方法习题答案
计算方法第3版习题答案习题1解答1.1 解：直接根据定义得*411()102x δ-≤⨯*411()102r x δ-≤⨯*3*12211()10,()1026r x x δδ--≤⨯≤⨯*2*5331()10,()102r x x δδ--≤⨯≤1.2 解：取4位有效数字 1.3解：4335124124124()()()101010() 1.810257.563r a a a a a a a a a δδδδ----++++++≤≤=⨯++⨯123()r a a a δ≤123132231123()()()a a a a a a a a a a a a δδδ++0.016=1.4 解：由于'1(),()n n f x x f x nx -==，故***1*(())()()()n n n f x x x n x x x δ-=-≈- 故******(())(())()0.02()r r n f x x x f x n n x n x xδδδ-=≈==1.5 解： 设长、宽和高分别为 ***50,20,10l l h h εεωωεεεε=±=±=±=±=±=±2()l lh h ωωA =++，*************()2[()()()()()()]l l l h h l h h εδωωδδδωδδωA =+++++***4[]320l h εωε=++= 令3201ε<，解得0.0031ε≤，1.6 解：设边长为x 时，其面积为S ，则有2()S f x x ==，故 '()()()2()S f x x x x δδδ≈=现100,()1x S δ=≤，从而得()1()0.00522100S x xδδ≈≤=⨯ 1.7 解：因S ld =，故S d l ∂=∂，Sl d∂=∂，*****()()()()()S S S l d l d δδδ∂∂≈+∂∂*2()(3.12 4.32)0.010.0744S m δ=+⨯=, ******()()0.0744()0.55%13.4784r S S S l d S δδδ===≈1.8 解：（1）4.472 （2）4.471.9 解：(1) （B ）避免相近数相减 (2)（C ）避免小除数和相近数相减(3)（A ）避免相近数相减 (3)（C ）避免小除数和相近数相减，且节省对数运算 1.10 解 （1）357sin ...3!5!7!x x x x x =-+-+ 故有357sin ..3!5!7!x x x x x -=-+-，（2）1(1)(1)1lnxdx ln ln ln N+N=N N +-N N +N +-⎰1(1)1lnln N +=N +N +-N1.11 解：0.00548。
计算方法-刘师少版第三章课后习题完整答案
⎡2 1 − 1⎤ ⎡ 1 ⎢4 − 1 3 ⎥ = ⎢l ⎢ ⎥ ⎢ 21 ⎢ ⎥ − 6 9 1 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣l 31
1 l32
⎤ ⎡u11 ⎥⎢ ⎥⎢ 1⎥ ⎦⎢ ⎣
u12 u 22
u13 ⎤ u 23 ⎥ ⎥ u 33 ⎥ ⎦
将右端两矩阵相乘后比较两端，可得
l 2 = b2 − a 2 u1 = 4 −
1 15 = 4 4
u 2 = c2 / l2 = −
由
4 , 15
l3 = b3 − a3u 2 = 4 −
4 56 = 15 15
⎤ ⎡ ⎢4 0 0 ⎥ ⎡ y1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎥ ⎢ 15 y2 ⎥ =⎢ 0 ⎥⎢ 4⎥ ⎢− 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢10⎥ ⎢ 56 ⎥⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ −1 ⎢ 15 ⎥ ⎦ ⎣
−1
消元
0 .5 1 .5 2 .5 0 .5 2 .5 1 .5 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 3 2
1 2 3 0 0 1 0 0 1 1
0 1 0
0 .5
− 0 .5 − 0 .5
0.5
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎦ 0 ⎤ 1 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
列选主
− 0.5 − 0.5
6
消元
0 .4 1 .2 0 .2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
得
3 2 3 3
0 2 3 − 6
0 ⎤ ⎡ y ⎤ ⎡5⎤ ⎥ 1 0 ⎥⎢ 3⎥ y2 ⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 7 y ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ ⎥ 3⎥ ⎦ 1 6 1 3
y1 =
再由
5 3
,
计算方法习题答案
计算方法习题答案在数学和工程领域，计算方法是指解决数学问题的一系列算法和程序。
以下是一些常见的计算方法习题及其答案。
习题1：求解线性方程组考虑线性方程组：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\4x - y &= 5.\end{align*} \]答案：使用高斯消元法，我们首先将第二个方程乘以2，然后从第一个方程中减去得到：\[ \begin{align*}3x + 2y &= 7, \\0x + 9y &= 17.\end{align*} \]解得 \( y = \frac{17}{9} \)。
将 \( y \) 的值代入第一个方程，解得 \( x = 1 \)。
因此，解为 \( x = 1, y = \frac{17}{9} \)。
习题2：数值积分给定函数 \( f(x) = x^2 \)，求在区间 [0, 1] 上的积分。
答案：使用梯形法则进行数值积分，取两个子区间：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \approx \frac{1}{2} \left( f(0) + f(1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + 1 \right) = 0.5. \]习题3：求解常微分方程的初值问题考虑初值问题：\[ y' = 3x^2 - 2y, \quad y(0) = 1. \]答案：使用欧拉方法，取步长 \( h = 0.1 \)，计算 \( y \) 的值：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n). \]从 \( y_0 = 1 \) 开始，计算得到：\[ y_1 = 1 + 0.1(0 - 2) = 1.2, \]\[ y_2 = 1.2 + 0.1(0.01 - 2.4) = 1.4, \]以此类推，可以得到 \( y \) 在区间 [0, 1] 上的近似值。
习题4：数值解非线性方程给定方程 \( f(x) = x^3 - x - 1 = 0 \)，求根。
计算方法-习题第一、二章答案.doc
第一章 误差1 问3.142，3.141，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π=3.141 592 65…记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=722.由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722=3.141 59 …-3.142 85…=-0.001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0.3%，问x*至少有几位有效数字？分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n ra x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。
计算方法习题答案
计算方法习题答案计算方法习题答案计算方法是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
无论是在工作中还是在学习中，我们都需要运用计算方法来解决各种问题。
然而，有时我们可能会遇到一些困难，无法找到正确的答案。
在这篇文章中，我将为你提供一些计算方法习题的答案，并解释一些基本的计算方法概念。
第一题：计算两个数的和答案：要计算两个数的和，只需将这两个数相加即可。
例如，如果给定的两个数是3和5，那么它们的和就是3+5=8。
第二题：计算一个数的平方答案：要计算一个数的平方，只需将这个数乘以自己。
例如，如果给定的数是4，那么它的平方就是4*4=16。
第三题：计算一个数的百分比答案：要计算一个数的百分比，需要将这个数乘以百分比的表示形式，并将结果除以100。
例如，如果要计算50的10%，则计算方法是50*(10/100)=5。
第四题：计算一个数的平均值答案：要计算一组数的平均值，需要将这些数相加，然后将结果除以数的个数。
例如，如果给定的一组数是3、4和5，那么它们的平均值就是(3+4+5)/3=4。
第五题：计算一个数的阶乘答案：要计算一个数的阶乘，需要将这个数与比它小1的数相乘，并继续乘以比前一次乘积小1的数，直到乘到1为止。
例如，如果要计算5的阶乘，则计算方法是5*4*3*2*1=120。
以上是一些常见的计算方法习题的答案。
通过这些例子，我们可以看到计算方法在解决实际问题中的应用。
无论是在日常生活还是在工作中，掌握计算方法是非常重要的。
除了以上习题的答案，还有一些更复杂的计算方法可以应用于更高级的问题。
例如，线性规划是一种常用的优化方法，可以用于解决最大化或最小化目标函数的问题。
数值积分是一种用于计算曲线下面积的方法，可以应用于物理学、经济学等领域。
这些方法需要更深入的学习和理解，但它们在解决实际问题中起到了重要的作用。
总结起来，计算方法是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
通过掌握基本的计算方法概念和解题技巧，我们可以更好地解决各种问题。
计算方法及答案
《计算方法》练习题一一、填空题1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。
2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。
3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。
4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。
6． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ ）。
7．用辛卜生公式计算积分⎰≈+101x dx（ ）。
8．设)()1()1(--=k ij k a A第k 列主元为)1(-k pk a ，则=-)1(k pka （ ）。
9．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ，则=1A （ ）。
10．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛，则)(x ϕ'满足条件（ ）。
二、单选题1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。
A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ．2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速．Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 6．近似数21047820.0⨯=a 的误差限是（ ）。
Ａ．51021-⨯ Ｂ．41021-⨯ Ｃ．31021-⨯ Ｄ．21021-⨯ 7．矩阵Ａ满足（ ）,则存在三角分解A=LR 。
A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det <A8．已知Tx )5,3,1(--=，则=1x（ ）。
计算方法习题答案
f (0) = 1, f (1) < 0, f (ln 4) = 4 − 4 ln 4 < 0, f (2) < 0, f (3) > 0, 方程f (x) = 0存在两个根：
答
案
当x < ln 4时，f (x) < 0; 当x > ln 4时，f (x) > 0。
将方程f (x) = 0在区间[0, 1]改写成同解方程 1 x = ex , x ∈ [0, 1] 4 1 xk+1 = exk , k = 0, 1, 2, · · · 4 1 ϕ (x) = ex > 0. 4 4
设二分k 次，取xk ≈ x∗ , |xk − x∗ | = k ≥ 9.965, 所以要二分10次。
1 2k+1
(1 − 0) ≤
1 × 10−3 , 2
设二分k 次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略, x∗ ≈ 0.921。
3. 用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。 1) x3 − x − 1 = 0; 2) ex − 4x = 0; 答 ：以2)为例. 3) 4 − x = tan x, x ∈ [3, 4]; 4) ex − 3x2 = 0.
答
案
证明其相对误差限为
网
x = ±(a1 + a2 × 10−1 + · · · + an × 10−(n−1) ) × 10m ,
co
m
x1 = 4.8675,
x2 = 4.08675,
x3 = 0.08675,
x4 = 96.4ຫໍສະໝຸດ 30,1) x1 + x2 + x3 ; 答 ：1). |e(x1 + x2 + x3 )| ≤
计算方法第四章 习题答案
第四章 习题答案1。
用Gauss 消去法解方程组12312312323463525433032x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对其进行Gauss 消去得123234414726002x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭得方程组12312323323461314482224x x x x x x x x x ++=⎧=-⎧⎪⎪⎪-=-⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩-=-⎪⎩2。
用Gauss 列主元素消去法解方程组1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素1233264107075156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12r r ↔−−−→1231070732645156x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭21311310122310707161061010550522r r r r x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23r r ↔−−−→12310707550522161061010x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭32125r r +→1231070755052231310055x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到方程组12123233107705551221313155x x x x x x x x ⎧⎪-==⎧⎪⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩3。
计算方法及答案.docx
A. det A = 0B.detA k = 0(1 乞 k n)c. detA 0D. det A ：： 0《计算方法》练习题一一、填空题1.理=3.14159…的近似值3.1428 ,准确数位是()。
2 .满足 f(a) = C, f(b) = d 的插值余项 R(X)=()。
3 .设｛P k (x)｝为勒让德多项式，则(F 2(χ), P 2(x)) - ( )o4 •乘幕法是求实方阵()特征值与特征向量的迭代法。
5 .欧拉法的绝对稳定实区间是()o6. e =2.71828…具有3位有效数字的近似值是( )。
7 .用辛卜生公式计算积分[fc ( ) oVHx8 .设A (kJ0 =(a (Z )第k 列主兀为a Pk J),则a (Pk A) =()10 •已知迭代法：X n 1 =(X n ), (n=0,1,…)收敛，则：(x)满足条件()。
、单选题1•已知近似数a,b,的误差限；(a), ；(b),则；(ab)=()。
A. E(a)E(b)B. E(a)+^(b)c. ag(a)+∣bw(b) D . a E (b)+'b w(a)2 .设 f(x) =X 2 X ,则 f[1,2,3]=()。
A.lB. 2C. 3D .4 3 . 设A =们 ,则化A 为对角阵的平面旋转 Q =().：1 3一ππππ A.—B .—C .—D .—23 464 . 若双点弦法收敛， 则双点弦法具有()敛速.A.线性B.超线性C.平方D .三次5 .改进欧拉法的局部截断误差阶是().A. o(h)Bo(h 2)C.o(h 3)D.o(h 4)6 .近似数 a = 20.47820 "0的误差限是()o1 一 c -51 _ -4 1__3 1 _ _2A. ×10B.×10 C.×10D . × 1022229 .已知贝TtJ 1 25 4_-7 .矩阵A满足(),则存在三角分解A=LR)&已知 X =(—1,3,-5)T ,则 X 1 =()。
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1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解 近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x .即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到小数点后第2位.又近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字.而近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有4-1*10⨯50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*⨯≤≤-=-x x x m -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=⨯⨯=⨯⨯=---n r x ε（2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m =-25105.00000049.0)00200.0(-*⨯≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-⨯⨯=r ε=0.0025(3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4，0105.049.09000⨯<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-⨯⨯=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*⨯<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字 相对误差限为6110921-⨯⨯=rε＝0.000 00056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？解 精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.6932.1 用二分法求方程013=--x x在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-⨯至少要二分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝10.2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211a b k 即可，亦即7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝14.2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211xx +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
解：（1）令211)(x x f +=，则32)(xx f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。
（2）令321)(x x f +=，则322)1(32)(-+='x xx f ，由于134.0)5.11(35.12)(322<≈+⨯='x f迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。
（3）令11)(-=x x f ，则3)1(21)(--='x x f ，由于 1)15.1(21)(3>--='x f迭代发散。
（4）令1)(3-=xx f ，则2132)1()(--='x x x f ，由于115.15.11)(3232>-=-='x x x f迭代发散。
具体计算时选第二种迭代格式，3211kk x x +=+ n=0,1,…计算结果如下：4727057.1,481248.1,5.1210===x x x466243.1,4670480.1,4688173.1543===x x x4656344.1,4657102.14658768.1876===x x x4656000.19=x4656000.1,10219489=⨯≤--x x x2.5 对于迭代函数)2()(2-+=x C x x ϕ，试讨论：（1） 当C 取何值时，),2,1,0(),(1==+k x x k k ϕ产生的序列{}k x 收敛于2；（2） C 取何值时收敛速度最快？解：（1）)2()(2-+=x C x x ϕ，Cx x 21)(+='ϕ，由已知条件知，当1221)2(<+='C ϕ，即021<<-C 时，迭代收敛。
（2）当0)(='x ϕ时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。
即0221)2(=+='C ϕ，所以221-=C 时收敛最快。
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：(1)c 1不使用除法运算； (2) c 1不使用开方和除法运算. 解：（1）令c x =1，取21)(,1)(x x f c x x f -='-=，则22211cx x xc x x x -=---= 迭代格式为 212kk k cx x x -=+注：若令c x 1=，取1)(,1)(='-=x f cx x f ，则 x c x x x =--=11，显然迭代格式不法不符合题意。
（2） 令c x =21，取322)(,1)(x x f x c x f ='-=，则x x c x c x x x c x x )223(223212332-=-=--=迭代格式 k k k x x c x )223(21-=+2.10 设23)()(a x x f -=。
（1） 写出解0)(=x f 的Newton 迭代格式。
（2） 证明此迭代格式是线性收敛的。
解：因23)()(a x x f -=，故)(6)(32a x x x f -='，由Newton 迭代公式：,1,0,)()(1='-=+n x f x f x x n n n n得,1,0,665)(6)(232231=+=---=+n x ax a x x a x x x nn n n n n n以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数,665)(2x a x x +==ϕ而,365)(3--=='x ax ϕ又,3*a x =则 0213165)(365)(333≠=-=-=='-a a a ϕ故此迭代格式是线性收敛的。
第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答（考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++-6557710462332121321x x x x x x x x 解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去1x ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--25106175250610100710321x x x 第二步列选主元25，将第二和第三行交换，再消去2x ，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-531257*********0710321x x x 回代求解得0,1,1123=-==x x x3.3 用高斯-约当法求逆矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=431212321A解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100431010212001321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100431001321010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--15.0035.2005.0125.1005.0015.01⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--05.0125.1015.0035.2005.0015.01⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----6.02.012.0004.02.002.1102.0604.001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3151416010112001 则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A 3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+--=-+39673412321321321x x x x x x x x x 解 设系数矩阵A 的杜利特尔分解为A=LU ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---332322131211323121111196314112u u u u u u l l l 将右端两矩阵相乘后比较两端，可得1,1,2131211-===u u u3/6,2/411311121====u l u l53,31132123122122=-=-=--=u l u u l u 2,93222321231-==+l u l u l 得12,1333323321331=-=++u u u l u l 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1253112,123121U L再求解方程组LY=b, UX=Y , 即：⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=33232132132121112532,323721y x y x x y x x x y y y y y y 先由前一个方程组求得18,9,1321==-=y y y ，代入后一个方程组，求得原方程的解为23,21,21321=-==x x x3.7 证明对任意非奇异矩阵A 、B 有列选主 消元 列选主 消元 消元BA B A B A -≤-----1111证：BA B A ---11 11---=B BA A11)(---≥B B A A 11)(---=B B A I11---=A B 11---=B A等式成立3.8 证明对任意非奇异矩阵A 有AA 11≥-证：因为 A A I1-=所以AA A A I ⋅≤=--11AA 11≥-3.9 设A 、B ∈nn R ⨯为非奇异矩阵，证明（1） Cond (A )≥1，Cond (A )= Cond (A -1)； （2） Cond (A α)=Cond (A )，0,≠∈ααR ；（3） Cond (AB )≤Cond (A ) Cond (B )。