量子力学(第六章)

附：最小电磁耦合原理及电磁场 中的 Schrodinger 方程
• 在建立 Schrodinger 方程的一次量子化中，我 们使用了以下对应
E i t p i
•
有电磁场时，电磁势表示为 ( A ) ( A, i ). 。按经
典的最小耦合原理，对电荷为 q 的粒子，其 q ( H q )和（p A) 之间的关系如同无电磁场时
§6.1
电磁场中荷电粒子的运动, 两类动量
考虑质量为 ,荷电 q 的粒子在电磁场 中的运动。在经典力学中,其Hamilton量为: (1) 其中 A , 分别是电磁矢势和标势,P 称为正则 动量,Hamilton量这样写法的理由如下:把式(1)
2 1 q H P A q 2 c








即
式中
j 0 t
(13)
1 q j p p A 2 c




1 q q p A p A 2 c c
讨论
1.定域的概率守恒与流密度 式(11)取复共轭(注意，A 与 为实，在坐
标表象中 p p )
2 2 1 q q 2 i p A p+ A +q 2 t c 2 c 2 (12) (11) (12) 利用 A 0 ,得
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
换(注意，此时相因子依赖于空间坐标，是定
域的)
e
则方程(9)形式不变
iq ／c

(17)
2 1 q i P A q t c 2
(18)
这说明，电磁场中Schrödinger方程具有定域
1 v v Re( v ) 2
(14)
q 1 q 1 v p A i A (15) c c
可理解为粒子的速度算 与式(6)比较，v 符，而 j 为流密度算符。
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
按照量子力学中的正则量子化程序，在坐 标表象中，把正则动量 P 换成算符 P ，即
P P =-i
(7)
则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符为:
2 1 q H P A q 2 c
(8)
iq 2 其中 H ( A A ) 2 2 c 2 q 2 （4） A q V 2 2 c
2
i H t
（3）
由于
( A ) A A
（5）
上式子可化为 2 iq 1 2 H ( A A) 2 c 2 q2 2 A q V （6） 2 2 c 在麦克斯韦的经典理论中还证明，矢势 A 和标势 可以同时进行如下的规范变换 1 A A A ; c t （7）
规范不变性。此外，容易证明， , j, v
等都具有规范不变性。
附：关于电磁场中Schrodinger 方程的规 范不变性的证明 在经典电动力学中已经证明，用矢势 A q 的任意粒子的动 描述的磁场使得电荷为 量 p 要用
q P p A c
（1）
来代替，于是非相对论性的哈密顿量变成
第六章 电磁场中粒 子的运动
本章所讲的主要内容
电磁场中荷电粒子运动，两类动量(6.1) 正常Zeeman效应(6.2)
Landau能级(6.3)
氢原子问题,即电子在原子核的Coulomb
引力 势中的运动。原子核结构问题原则上可
以归结为彼此有Coulomb斥力的多电子体系在
原子核Coulomb引力势中的运动。由于原子中
1 q 2 i [ (i A) V q ] t 2 c
q p A 是机械（普通）动量 这里 V 为其它势能项， c
算符， p i 为正则动量算符。注意，现在机械 动量 正则动量。
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2.规范不变性 作下 电磁场具有规范不变性，即当A， 列规范变换时，
因而Schrodinger方程为
q 2 1 i (i A) q (9) t c 2 q q 1 (i A) (i A) q c c 2 一般说来， 与 A 不对易
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
1 q 2 H ( p A) e(r ) V (r ) （2） 2 c
其中 是标量电磁势，而V (r )是由非电磁 力（例如核力）所引起的任何另外的势。 将 p 换成算符i ，经典表示式（2）就可 以转换成量子力学的表示式。因此我们得 到推广的薛定谔方程
（其中 是时间和空间的任意函数），而不 会改变场强 1 A B A; E （8） c t 如果物理现象仅仅决定于场强而不决定于势， 则这个规范不变性在量子理论中也必须成立。 现在如果我们简单的将(7)代入哈密顿量 (6)，当然会得到一些破坏薛定鄂方程规范不 变性的附加项。为了可能消去这些项，只有 让波函数也参与规范变换，但是由于 有 * 确定的物理意义，因此它和场强一样不会由 于变换而改变，唯一的可能是设
i
将这些表示式代入到式(6)，按(7)同时用 代替 ，则得 A, A,
2 i 2 2 2 e H { 2i i ( ) } 2 iq { A i A i c 1 2 1 ( A) } 2 2 2 q 2 2 {A 2 A ( ) } 2 2 c q （11） (q ) V c t
§6.2
正常Zeeman效应
原子中的电子，可近似看成在一个中心 平均场中运动，能级一般有m简并。实验发现， 如把原子(光源)置于强磁场中，原子发出的 每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman 效应，光谱线的分裂反映原子的简并能级发 生分裂，即能级简并被解除或部分解除 。
在原子大小范围中，实验室里常用的磁 场都可视为均匀磁场，记为 B，不依赖于电 子的坐标，于是，相应的矢势 A 可写为: 1 A B r （对称规范） (1) 2 不难验证 A B, A 0 。 取磁场方向为z轴方向，则
但若利用电磁场的横波条件 A 0
p A A p i A
P
(10) ，则方
程(9)也可以表示为
2 2 1 q q 2 i p A p+ A +q 2 t c 2 c 2 (11)
重新整理后可得 iq c i e H H ( ) c q
q 如果令 c
iq 2 c q 2 c { ( ) 2 A ( )} 22 c q mc q 2 2 e c c 2 2 {( ) 2 ( ) } 2 2 2 c q q q （ 12 ） c t
i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2


1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
（12a）
则上述表示式就可化简成
e
i
q H H c t
（13）
由于在同样的变换下薛定谔方程式(3)的左 边给出 q i ie i ( i ) i （14）
t t t t c t
上二式中右边第二项互相抵消，于是得到 i t H 。这就证明了，当 按照 (11,12a)变换时，薛定鄂方程具有规范不变 性。
式(3)即荷电q的粒子在电磁场中的Newton方 程,式(3)右边第二项即Lorentz力。由（1） 和（2）不难 得到 H 1 q x ( px Ax ), (5) px c
所以 q q Ax x Ax px x c c 因而 q p A , (6) c
i e
（9）
其中 仍然可以是r 和t的任意适当的函数。 这样一来
i
e { i} 2 i 2 2 2 e { 2i i ( ) } （10）
e { i }
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变