最优滤波与应用作业1答案

《最优滤波与应用》上机练习题1

1、题目

参照《最优滤波与应用》课本第194页，题2-1。分别采用开、闭环对该系统进行仿真分析。

2、理论知识

卡尔曼滤波递推公式为：

()^

^

1//1,1,1/1,/1,,1,1,^

^

^

1/11/1/1111

11/111/111/1111/k k k k k k k k k

T T

k k k k k k k k k k k k k

k k k k k k k k k T T

k k k k k k k k k k k k k k k

T U P P T Q T K Z H K P H H P H R P I K H P +++++++++++++++-++++++++++++X =ΦX +=ΦΦ+⎡⎤

X =X +-X ⎢⎥

⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦

=- (2-1) 根据公式2-1，可以得出如图2.1所示卡尔曼滤波方程组的计算程序框图。

,1k k -k K +1

k -/k k

X /k k

图2.1 卡尔曼滤波算法实现流程图

对卡尔曼滤波的仿真研究有两种仿真方法：协方差分析法和蒙特卡洛法。

协方差分析法：仿真过程中不需要观测方程中的观测值，适用于对所选卡尔曼滤波方案的早期评定，其算法流程如图2.2所示。

图2.2 协方差分析法算法流程图

蒙特卡洛法：蒙特卡洛法是对卡尔曼滤波进行完整的仿真，带脉冲控制律的蒙特卡洛分析法算法流程如图2.3所示。

图2.3 带最优控制律的蒙特卡洛分析法算法流程图

当系统加入脉冲控制后，初始的卡尔曼滤波递推方程变为公式(2-2)所示形式。

()^

^

1//1,1/1,/1,,1,1,^

^

1/11/11

1

11/1

11/111/1111/0

k k k k k k T T

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k T T k k k k k k k k k k k k k k k

P P T Q T K Z K P H H P H R P I K H P ++++++++++++-++++++++++++X =ΦX ==ΦΦ+X =X +⎡⎤=+⎣⎦=- (2-2)

3、仿真结果与分析

3.1、开环控制仿真结果

根据第2部分的开环卡尔曼滤波算法，采用开环控制仿真，状态量的初值取为[1;1],仿真时间为150秒，经仿真得到1/11/1,,k k k k k P K P ++++经10次递推结果如表3.1所示。

表3.1 1/11/1,,k k k k k P K P ++++经10次递推结果

通过仿真得到状态量1和状态量2的变化曲线如图3.1和图3.2所示，观测量变化曲线如图3.3所示，状态量1、2的滤波值和理论值比较曲线如图3.4和图3.5所示，状态估计方差值变化曲线如图3.6所示，滤波增益值变化曲线如图3.7所示。

图3.1 状态量1变化曲线图3.2 状态量2变化曲线

图3.3 观测量变化曲线

图3.4 状态量1滤波值和理论值比较图 图3.5 状态量2滤波值和理论值比较

图3.6 状态量1滤波值和理论值比较图

图3.7 状态量2滤波值和理论值比较

由以上仿真结果，我们可以得到如下结论：

1） 由表3.1中的1k K +的变化值可以看出：当1K +为奇数时，值较大，当其为偶数时，值较小，即当1K +为奇数时的可靠性更大一些，这与系统观测方差定义112(1)k k R ++=+-所表述的意义是一致的。由图3.6和3.7所表示状态估计方差值和滤波增益值震荡曲线，与观测方差方程也是一致的。

2） 由表3.1可得，当14k +≥时，其值趋于周期稳定，于是可以计算k X 的卡尔曼滤波近似稳态解：

6,41)ˆ]01[(32626.052963.0ˆ1011ˆ/11/1/1=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++++k X Z X X k k k k k k k

7,51)

ˆ]01[(45092.084612.0ˆ1011ˆ/11/1/1=+-⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++++k X Z X X k k k k k k k

3） 由表3.1可知，当14k +≥时，增益矩阵1k k +与协方差矩阵1/1k k P ++基本达

到周期性的稳定。并且1k k +值与1/1k k P ++值变化趋势相反，即1k k +值大时1/1k k P ++值较小，1k k +值较小时1/1k k P ++值较大，与递推公式()1/1111/k k k k k k P I K H P +++++=-得出的变化结果一致。

4） 由图3.4和图3.5可知：开环控制的卡尔曼滤波状态值可以较好的跟踪其真实状态值，获得了比较好的跟踪效果。

3.2、闭环控制仿真结果

在开环控制的基础上，设计带有脉冲控制的闭环卡尔曼滤波，仿真算法流程如图2.3所示，状态量的初值取为[1,1],仿真时间为150秒，通过仿真得到状态量1和状态量2的变化曲线如图3.8和图3.9所示，观测量变化曲线如图3.10所示，状态量1、2的滤波值和理论值比较曲线如图3.11和图3.12所示，状态估计方差值变化曲线如图3.13所示，滤波增益值变化曲线如图3.14所示。

图3.8 状态量1变化曲线

图3.9 状态量2变化曲线

图3.10 观测量变化曲线

图3.11 状态量1滤波值和理论值比较图图3.12 状态量2滤波值和理论值比较