2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)

北京大学2017年硕士研究生招生考试试题

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考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午

专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业)

方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向)

————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效.

1.(10分)证明lim n !+1Z 2

sin n x p 2x

dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ˛在任何有限区间上一致收敛的充要条件是˛>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X

n =1a n n s =1X

n =1a n .

4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).

5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o Â1n n

Ã.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =˛<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1

.证明:8 2(˛;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1

.7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且

lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑

极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的ı邻域记为U ı(ı>0).如果 @2ij (X 0)

Á3 3是严格正定的,则当ı充分小时,证明如下极限存在并求之:

lim t !+1t 32•

U ıe t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3:

9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数:

f (x ) 4 1X n =112n 1

sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n Á=2 Z 0sin t t

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