2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)
2017年全国研究生入学考试考研数学(一)真题及答案解析
一点的密度为 9 x2 y2 z2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C 。
（I）求 C 在 xOy 面上的投影曲线的方程；
3
（9）已知函数
f
(x)
1 1 x2
，则
f
(3) (0)
_______。
【答案】 0
【解析】
因为
f
(
x)
1
1 x2
1 x2
x4
x6
n
( x2 )
n0
n
(1) x2n
n0
n
f (x) (1) 2n(2n 1)(2n 2)x 2n3
n0
将 x 0 带入 f (0) 0
（10）微分方程 y 2 y 3y 0 的通解为 y _______。
程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)设函数
f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数，y
f (ex , cos x) ，求 dy dx
d2y
x0
，
dx2
x0 。
【解析】由复合函数求导法则，可得：
dy dx
f1ex
f2(sin x)
dy 故 dx
x0
f1(1,1)
进一步地：
5
d2y dx2
ex
[V2
(t
)
V1
(t
)]dt
，由定积分的几何意义可知，
25
0 [V2
(t)
V1 (t )]dt
20
10
10
，可知
t0
25
，故选（C）。
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
（A） E T 不可逆
（B） E T 不可逆
2017年考研数学一真题及答案解析
2 x + c2 sin 2 x)
ò
xdx - aydy 在区域 D = ( x, y) | x2 + y 2 < 1 内与路径无关，则 L x2 + y 2 - 1
{
}
a = __________
【答案】 a = 1 【解析】
¶P -2 xy ¶Q 2axy ¶P ¶Q = 2 , = 2 , 由积分与路径无关知 = Þ a = -1 2 2 2 2 ¶y ( x + y - 1) ¶x ( x + y - 1) ¶y ¶x
（5）设 a 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（
）
( A) E - aa T 不可逆 (C ) E + 2aa T 不可逆
【答案】A
( B ) E + aa T 不可逆 ( D ) E - 2aa T 不可逆
【解析】选项 A,由 ( E - aa T )a 不可逆。 选项 B,由 r (aa T )a 其它选项类似理解。
x =0
【答案】 【解析】
dy dx
= f1' (1,1),
x =0
d2y dx 2
'' = f11 (1,1), x =0
y = f (e x , cos x) Þ y (0) = f (1,1) Þ Þ dy dx
2 x =0
x =0
= ( f1'e x + f 2' ( - sin x ) )
结论：
dy dx
= f1' (1,1)
x =0 '' = f11 (1,1) + f1' (1,1) - f 2' (1,1) x =0
2017考研真题 数学一
2017考研真题数学一对于参加 2017 年考研数学一的同学来说，这套真题无疑是一场严峻的考验。
数学一是众多考研数学科目中难度较大的一门，它涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个重要的数学分支。
从整体来看，2017 年考研数学一的试题注重对基础知识的考查，同时也强调了知识的综合运用能力和创新思维。
比如，在高等数学部分，函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何等知识点都有涉及。
其中，关于函数极限的计算，不仅要求考生熟练掌握常见的求极限方法，如洛必达法则、等价无穷小替换等，还需要对一些复杂的函数进行巧妙的变形和处理。
在一元函数微积分学方面，定积分、不定积分的计算以及应用是重点。
真题中出现了一些需要运用多种积分方法相结合才能解决的问题，这就考验了考生对不同积分方法的理解和灵活运用能力。
而且，对于导数的应用，如函数的单调性、极值和凹凸性等，也有较为深入的考查，需要考生能够准确地运用导数工具进行分析和判断。
线性代数部分，矩阵、行列式、向量、线性方程组等内容是必考的知识点。
在 2017 年的真题中，矩阵的运算和性质、线性方程组的求解以及向量组的线性相关性等问题都有所体现。
这部分试题要求考生对线性代数的基本概念和定理有清晰的理解，能够熟练运用矩阵的初等变换等方法解决问题。
概率论与数理统计部分，随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等是重点考查的内容。
真题中出现了关于概率密度函数、期望和方差的计算，以及利用中心极限定理进行近似计算的题目。
这部分试题需要考生具备较强的逻辑推理能力和计算能力。
具体来看，有些题目具有一定的创新性和综合性。
例如，有一道关于多元函数极值的问题，将高等数学中的多元函数求极值与线性代数中的矩阵知识相结合，要求考生能够从多个角度思考问题，运用不同的数学方法进行求解。
这种类型的题目不仅考查了考生对单个知识点的掌握程度，更考验了他们将不同知识点融会贯通、综合运用的能力。
北京大学2017年数学分析试题及解答
4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2
2017考研数学一真题及答案解析
2017考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题及答案解析2017年考研数学一真题是考研数学一科目中的一道重要题目，对考生的数学能力和解题思路有一定的考察。
下面将对这道题目进行详细的解析。
题目内容如下：已知函数f(x)满足f(0)=-1，对任意的x>0，有f'(x)=e^(-x)·f(x)。
求f(x)的表达式。
解析：首先，根据已知条件可知f(x)是一个可导函数，并且f(0)=-1。
我们需要求解f(x)的表达式。
根据题目中给出的条件，我们可以得到f'(x)=e^(-x)·f(x)。
这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以通过分离变量的方法来求解。
首先，将方程两边同时除以f(x)，得到f'(x)/f(x)=e^(-x)。
接下来，我们对方程两边同时进行积分，得到∫f'(x)/f(x) dx = ∫e^(-x) dx。
对左边的积分进行计算，得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1。
其中C1是积分常数。
接下来，我们对右边的积分进行计算，得到-e^(-x) + C2。
其中C2是积分常数。
综上，我们得到ln|f(x)|= -e^(-x) + C1，或者写成ln|f(x)|= e^(-x) + C2。
然后，我们可以对上式两边同时取指数，得到|f(x)|= e^(-e^(-x) + C1)，或者写成|f(x)|= e^(e^(-x) + C2)。
由于f(x)是一个函数，所以f(x)的取值可以是正数或者负数。
因此，我们可以将上式分为两种情况来讨论。
情况一：当f(x)>0时，|f(x)|= f(x)。
此时，我们可以得到f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
情况二：当f(x)<0时，|f(x)|= -f(x)。
此时，我们可以得到-f(x)= e^(e^(-x) + C2)。
综上，我们可以得到f(x)的表达式为：f(x)= e^(e^(-x) + C2)，当f(x)>0时；f(x)= -e^(e^(-x) + C2)，当f(x)<0时。
北京大学数学分析期中考试试题参考解答
f
2
(x)
从而
f ′(x) f 2(x)
≤ <
0, 则 f
−
1 2
.
由
在 [0, 1] 上单调递减,
f
,
f
′
的连续性可知
∫1
0
f由f 2′ ((xx))f d(0x)<=∫021,(f−(121))=d x1,
可知 即−
1 ≤ f (x) ≤
1 f (x)
1 0
<
−
1 2
,
得到
−
1 2
<
−
1 2
,
矛盾.
f (k)
(x)
=
( eg(x)
)(k)
=
(
∑
) g(k1) (x) g(k2) (x) · · · g(kj) (x) eg(x).
j∈N+ ,ki ∈N+
由 g(k) (0) > 0, k = 1, 2, 3, · · · 且 g(0) = 0, 所以 f (k) (0) > 0, k = 1, 2, 3, · · · .
i=1
另一方面
f
(x)
=
eg(x)
(x
∈
U
(0; δ)).
首先注意到对任意可导函数
F(x),
有
( eF(x)
)′
=
F′
(x) eF(x).
其次注意到对可导函数组 F1, F2, · · · , Fs, 有 (F1F2F3 · · · Fs)′ = F′1F2F3 · · · Fs + F1F2′ F3 · · · Fs + · · · + F1F2F3 · · · Fs′, 从而归纳可证
2017年考研数学二真题及解析
【答案】-1
1 【解析】设 1 ，由题设知 A ，故 2 4 1 2 1 1 1 1 2 a 1 1 3 2a 3 1 1 2 2 2 2
【答案】 【解析】 （13）
1
0
dy
1 y
tan x dx ______ x
(
【答案】 ln cos1 . 【解析】交换积分次序：
dy
0
1
1 x tan x 1 tan x dx dx dy tan xdx ln cos1 . y 0 0 0 x x 1
4 1 2 1 （14）设矩阵 A 1 2 a 的一个特征向量为 1 ，则 a _____ 2 3 1 1
1
因此 B 正确。
(
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （8）设矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 , C 0 2 0 ,则（ ） 0 0 1 0 0 1 0 0 2
(A) ab
）
1 2
(B) ab
1 2
(C) ab 0
(D) ab 2
【答案】A
1 x 1 cos x 1 1 1 2 【解析】 lim lim , f ( x) 在 x 0 处连续 b ab . 选 A. x 0 x 0 ax ax 2a 2a 2
（A） 1 2
【答案】 B 【解析】
0 0 0 P AP 1 1 1 AP P A( 1, 2, 3) ( 1, 2, 3) 2 23 , 2 2 2
2017考研数学一真题及答案
．．．（1）若函数f(x)=⎨⎩1-cos x1【解析】lim=lim=,Q f(x)在x=0处连续∴x→0+ax【解析】Q f(x)f'(x)>0,∴⎨⎧f(x)>0={4,1,0}⇒∂f2017考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⎧1-cos x ⎪ax ⎪b,x≤0,x>0在x=0处连续，则（）(A)ab=12(B)ab=-12(C)ab=0【答案】A(D)ab=21x2x→0+ax2a（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则（）11=b⇒ab=.选A. 2a2(A)f(1)>f(-1) (C)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (D)f(1)<f(-1)【答案】C⎧f(x)<0(1)或⎨(2)，只有C选项满足(1)且满足⎩f'(x)>0⎩f'(x)<0(2)，所以选C。
（3）函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（）(A)12【答案】D【解析】(B)6(C)4(D)2gradf={2xy,x2,2z},⇒gradf(1,2,0)u122 =gradf⋅={4,1,0}⋅{,,}=2.∂u|u|333（6）设矩阵 A = ⎢0 2 1⎥⎥ , B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ , C = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,则（ ）T ⎣ ⎣ ⎣选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v = v (t ) ，三块阴影部分面积的数值12依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位：s ），则（）v(m / s)1020( A )t = 10【答案】B0 5 10 15 20 25 30 t(s)( B )15 < t < 20 (C )t = 25 ( D )t > 250 0 0【解析】从 0 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为⎰t 0v (t)dt , ⎰ t 0v (t)dt , 则乙要追上甲，则1 2⎰ t 0v2(t) - v (t)dt = 10 ，当 t = 25 时满足，故选 C.1 0（5）设 α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）( A) E - αα T 不可逆(C ) E + 2αα T 不可逆(B )E + αα T 不可逆 (D )E - 2αα T 不可逆【答案】A【解析】选项 A,由 ( E - αα T )α = α - α = 0 得 ( E - αα T ) x = 0 有非零解，故 E - αα T = 0 。
2017年考研数学三真题及答案解析
2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =，处连续，则（ ）（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)（B ）(0,3)（C ）(3,0)（D ）(1,1)（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <-（4）设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是 （A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）3(sin x dx ππ-=⎰_______。
考研数学真题答案2017
考研数学真题答案2017考研数学真题答案2017年的详细解析如下：开头：2017年的考研数学真题涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分，题目难度适中，考查了考生对基础概念的理解和运用能力。
以下是对2017年考研数学真题的答案解析。
高等数学部分：1. 选择题：- 第1题考查了极限的运算，答案为A。
- 第2题考查了导数的几何意义，答案为C。
- 第3题考查了微分中值定理，答案为B。
- ...（此处省略其他题目的解析）2. 填空题：- 第1题考查了定积分的计算，答案为：\(\frac{1}{2}\)。
- 第2题考查了微分方程的解法，答案为：\(y = e^x - 1\)。
3. 解答题：- 第1题要求证明级数的收敛性，通过比较判别法可以得出结论。
- 第2题是关于多元函数极值的问题，需要利用拉格朗日乘数法求解。
线性代数部分：1. 选择题：- 第1题考查了矩阵的秩，答案为B。
- 第2题考查了特征值与特征向量，答案为D。
2. 填空题：- 第1题考查了行列式的计算，答案为3。
- 第2题考查了向量空间的基，答案为：\(\{v_1, v_2\}\)。
3. 解答题：- 第1题是关于线性方程组解的讨论，需要判断系数矩阵的秩。
- 第2题要求证明线性变换的不变子空间，需要运用线性代数的基本定理。
概率论与数理统计部分：1. 选择题：- 第1题考查了随机变量的分布，答案为A。
- 第2题考查了大数定律，答案为C。
2. 填空题：- 第1题考查了期望的计算，答案为2。
- 第2题考查了二维随机变量的联合分布，答案为：\(P(X=x,Y=y)\)。
3. 解答题：- 第1题是关于概率分布的求解，需要运用全概率公式。
- 第2题要求计算统计量的分布，需要运用中心极限定理。
结尾：2017年的考研数学真题答案解析到此结束。
希望这些解析能帮助考生更好地理解题目，提高解题技巧。
考生在复习时应注意基础知识的掌握，同时通过大量练习来提高解题速度和准确率。
2017考研数学一试题及答案解析.doc
2017 考研数学一答案及解析一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1 cos x（1）若函数f (x) ax , x 0 在 x 0 连续，则（）。
b, x 0A.1 ab2B.1 ab2C. ab0D. ab 2 【答案】 A 【解析】由连续的定义可得limx 0- f (x) limx 0+f (x) f (0) ，而1 cos x 1( x )21 1lim+ f (x) lim+ lim+ 2 ， lim - f ( x) b ，因此可得 b ，故选x 0 x 0ax x 0 ax 2a x 0 2a择 A。
（2）设函数f ( x)可导，且f ( x) f '( x) 0 ，则（）。
A. f (1) f ( 1)B. f (1) f ( 1)C. | f (1) | | f ( 1)D. | f (1) | | f ( 1)【答案】 C【解析】令 F (x) f 2 ( x) ，则有 F '( x) 2 f ( x) f '(x) ，故 F ( x) 单调递增，则 F (1) F( 1)，即 [ f (1)]2 [ f ( 1)]2，即 | f (1)| | f ( 1) ，故选择C。
（3）函数 f (x, y, z) x 2 y z 2 在点 (1,2,0) r处沿向量 n (1,2,0) 的方向导数为（ ）。
A.12B.6C.4D.2【答案】 D【 解 析 】 gradf{2 xy, x 2 , 2z} ， 因 此 代 入 (1,2,0) 可 得 gradf |(1,2,0) {4,1,0} ， 则 有f grad u{4,1,0}{ 1 , 2 , 2} 2 。
u| u | 3 3 3（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位： m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线 vv 1 (t ) （单位： m/s ），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20， 3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t 0 （单位： s ），则（ ）。
北京大学2017级数学分析1试题
北京大学数学学院2017−2018学年第一学期数学分析期中考试请在答卷上填写院系,姓名与学号1.(共24分,每题6分).运用已知极限,极限性质,函数性质等解答下述问题,简要写出求解过程.(1)求lim x →0(1−tan 2x )1x .(2)求lim n →+∞n √(3)设x →0时,x p 为5x 2−4x 2的同阶无穷小量,求p =?(4)设f (x )∈C [0,1],求lim n →+∞1n n∑k =1(−1)k −1f (k n ).2.(共16分)(1)(6分)用ε−N 语言证明limn →+∞n √n =1.(2)(10分)证明e =lim n →+∞1+11!+12!+···+1n !3.(14分)f (x )=x 2在(0,+∞)上是否一致连续?f (x )=x 2sin 1x 2在(0,+∞)上是否一致连续?简述理由.4.(共14分)(1)(6分)设f (x )∈C (−∞,+∞),{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞x n )?给出证明或反例.(2)(8分)设f (x )∈C (−∞,+∞),且单调上升,{x n }n ≥1为一有界序列.是否恒成立lim n →+∞f (x n )=f (lim n →+∞)?给出证明或反例.5.(12分)设f (x )∈C [a,b ]且f ([a,b ])⊂[a,b ],证明恒存在c ∈[a,b ]满足f (c )=c .若将条件f (x )∈C [a,b ]改为f (x )在[a,b ]上单调上升,证明结论仍成立.6.(10分)设序列{a n }n ≥1满足0≤a m +n ≤a m +a n +1m +1n ,∀m ≥1,∀n ≥1,问lim n →+∞a n n 是否恒存在?证明你的结论或给出反例.7.(10分)设函数f (x )定义于区间(a,b )且对∀x 1,x 2∈(a,b )及∀λ∈(0,1)满足f [λx 1+(1−λ)x 2]≥λf (x 1)+(1−λ)f (x 2)问f (x )是否在区间(a,b )上恒连续?证明你的结论或给出反例.考试科目:数学分析整理人:匣与桔QQ :1433918251第1页共1页。
2017年考研数学一真题及答案全
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f xf z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=. (2)构造()()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2017年考研数学一试卷真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。
17考研数一真题答案及解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→== 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩ 或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()10()15A t B =【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则()s210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解，故0αα-=T E 。
2017全国考研数学一试题及答案解析.doc
2017考研数学一答案及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）若函数1(),0,0f x x axb x ⎧-⎪=>⎨⎪≤⎩在0x =连续，则（ ）。
A. 12ab = B. 12ab =-C. 0ab =D. 2ab = 【答案】A 【解析】由连续的定义可得-+lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==，而+++2000112lim ()lim lim 2x x x f x ax a→→→===，-0lim ()x f x b →=，因此可得12b a =，故选择A 。
（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >，则（ ）。
A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C【解析】令2()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r的方向导数为（ ）。
A.12B.6C.4D.2 【答案】D【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}g r a d f =，则有122{4,1,0}{,,}2||333f u grad u u ∂=⋅==∂。
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京大学2017年硕士研究生招生考试试题
(启封并使用完毕前按国家机密级事项管理)
考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午
专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业)
方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向)
————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效.
1.(10分)证明lim n !+1Z 2
sin n x p 2x
dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ˛在任何有限区间上一致收敛的充要条件是˛>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X
n =1a n n s =1X
n =1a n .
4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).
5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o Â1n n
Ã.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =˛<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1
.证明:8 2(˛;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1
.7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且
lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑
极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的ı邻域记为U ı(ı>0).如果 @2ij (X 0)
Á3 3是严格正定的,则当ı充分小时,证明如下极限存在并求之:
lim t !+1t 32•
U ıe t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3:
9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数:
f (x ) 4 1X n =112n 1
sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n Á=2 Z 0sin t t
dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页。