考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲 极限与连续

主要内容概括（略） 重点题型讲解

一、极限问题

类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1

531311lim n n n Λ； （2）1

1

lim 332+-=∞→k k n

k n π；

（3）∑=∞

→+n

k n n k k 1])

1(1

[

lim ； 2．求下列极限：

（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241

2411

41lim Λ； 3．求下列极限： （1）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++++++∞→2222221

211

1lim n n n n n Λ； （2）n

n n

n !lim

∞

→； （3）∑

=∞

→++

n

i n n

i n 1

2

11

lim

。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：

（1）)0(2

cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x

x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；

2．求下列极限： （1）(

)

x

x x

cos 11

20

sin 1lim -→+；

（3）)

21ln(103

sin 1tan 1lim x x x x x +→⎪⎭

⎫

⎝⎛++； （4）2

1cos lim x x x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∞

→；

类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：

（1）)

cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x

x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；

（3）]1)3cos 2[(1lim

30

-+→x x x x ； （4）)tan 1

1(lim 220x

x x -→；

（5）2

03)3(lim x x x

x x -+→；

（6）设A a x x f x x =-+

→1

)

sin )

(1ln(lim

，求20)(lim x x f x →。

2．求下列极限：x

x e

x x x sin cos lim

32

02

-

→-

类型四：极限存在性问题：

1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞

→lim 。

2．设)(x f 在),0[+∞上单调减少、非负、连续，),2,1()()(1

1

Λ=-=

⎰∑

=n dx x f k f a n

n

k n ，证明：

n n a ∞

→lim 存在。

类型五：夹逼定理求极限问题：

1．求⎰+∞→1

01sin lim dx x

x

n n ； 2．),,()(lim 1非负c b a c b a n

n n

n n ++∞

→；

3．)0(21lim 2≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++∞

→x x x n n

n

n 。 类型六：含参数的极限问题： 1．设0)3sin (lim 2

3

=++--→b ax

x x x ，求b a ,；

2．设3)11lim 2=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-++∞→b ax x x x ，求b a ,； 类型七：中值定理法求极限： 1、)1

arctan

(arctan

lim 2

+-∞

→n n

n n π

π

； 2、)(lim 1

211

21

2

+-+∞

→-x x x e e

x 。

类型八：变积分限函数求极限：

1、)

11)(tan (2

cos lim 2

00-+---⎰→x x x x x tdt e x t

x 。

2、设)(x f 连续，且1)1(=f ，则1

)(lim

3

11

1

-⎰→x dt xt f x x 。

二、连续与间断的判断

1．设⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)

1ln()(x x x x x x x x x f ，讨论函数)(x f 在0=x 处的连续性。

2．讨论⎪⎩⎪

⎨⎧=≠+-=0

,10,)12()12()(11x x x f x x 在0=x 处的连续性。

三、连续性命题的证明

1．设),[)(+∞∈a C x f 且)(lim x f x +∞

→存在，证明)(x f 在),[+∞a 上有界。

2．设)(x f 在],[b a 上连续，任取0,0>>q p ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得

)())()()(ξf q p b qf a pf +=+。

第二讲 微分学

第一部分 一元函数微分学

内容复习（略） 重点题型讲解

（一）与导数定义相关的问题

1．设)(0x f '存在，求)0()

()(lim

000≠--+→αβαβh

h x f h x f h 。

2．设)(x f 在1=x 处连续，且21

)

(lim 21=-→x x f x ，求)1(f '。

3．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，对任意的y x ,有)()()(y f x f y x f =+，且1)0(='f ，求

)(x f 。

4．设)(x f 二阶连续可导，且1)

(lim 0=→x

x f x ，e f ='')0(，则______lim

2)(0=-→x e e x x f x 。 5．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任意的x 有)(2)1(x f x f =+，又当]1,0[∈x 时，有

)1()(2x x x f -=，讨论)(x f 在0=x 处的可导性。

（二）各类求导数的问题 1．设x

x

e x

x e

y +-+

=111

sin ，求y '； 2．设x

x e

y +-=11arctan

，求y '；

3．)100()2)(1(+++=x x x x y Λ，求)

101(),0(y

y '；