考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
汤家凤高等数学讲义15页例4
汤家凤高等数学讲义15页例4
摘要：
一、题目与要求
二、分析
1.函数在x 趋近于1 时，分母趋近于0
2.分子可以写成(x - 1)(x - 2) 的形式
3.判断分子在x 趋近于1 时的极限是否存在
三、解答
1.分子在x 趋近于1 时的极限为-1
2.函数的极限存在
3.极限的值为-1
正文：
汤家凤高等数学讲义15 页例4 中，我们要求函数f(x) = (x^2 - 3x + 2)/(x - 1) 在x 趋近于1 时的极限。
首先，我们分析题目。
函数f(x) 在x 趋近于1 时，分母趋近于0，需要判断极限是否存在。
接着，我们将分子x^2 - 3x + 2 写成(x - 1)(x - 2) 的形式，当x 趋近于1 时，分子趋近于0。
由于分母x - 1 趋近于0，所以我们需要判断分子(x - 1)(x - 2) 在x 趋近于1 时的极限是否存在。
接下来，我们进行解答。
当x 趋近于1 时，分子(x - 1)(x - 2) 的极限为-1。
由于分母x - 1 趋近于0，而分子(x - 1)(x - 2) 的极限为-1，所以当x 趋近于1 时，函数f(x) 的极限存在。
最后，我们求得极限的值为-1。
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全国法律专业学位研究生教育指导委员会
2022-09-29中国人民大学出版社
肖秀荣
2019-12-01国家开放大学出版社
田静2024考研英语句句真研语法及长难句应试全攻略
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2022-07-29中国政法大学出版社
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2023考博英语词汇10000例精解第17版
新东方2023考研英语外刊精读36篇
董仲蠡
考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容概括〔略〕 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ； 〔2〕11lim 332+-=∞→k k nk n π；〔3〕∑=∞→+nk nn k k 1])1(1[lim ；2．求以下极限：〔1〕⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim ； 3．求以下极限： 〔1〕⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n ； 〔2〕nn nn !lim∞→； 〔3〕∑=∞→++ni n ni n 1211lim。
类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n ；〔2〕nn n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求以下极限： 〔1〕()xx xcos 1120sin 1lim -→+；〔3〕)21ln(103sin 1tan 1lim x xx x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++；〔4〕21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求以下极限：〔1〕)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→；〔2〕)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；〔3〕]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； 〔4〕)tan 11(lim 220xx x -→； 〔5〕203)3(lim xx xx x -+→； 〔6〕设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。
2．求以下极限：xx ex x x sin cos lim 3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。
2021年考研--高等数学强化课,知识笔记完整版(详细版)
●欢迎大家关注【公众号：南关OUT】●武忠祥老师的强化班课程●函数极限连续●函数●基本要素：定义域，对应规则●函数形态●单调性判定●定义●导数，●单调性应用●根的个数●证明不等式●奇偶性判定●定义●可导●原函数奇函数>导函数偶函数●原函数偶函数>导函数奇函数●连续●周期性判定●定义●可导的周期函数其导函数是周期函数●周期函数的原函数不一定为周期函数●f(x)连续且以T为周期●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0●有界性判定●定义●闭区间连续●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在●导数●极限●概念●数列极限●极限值等于多少与数列前有限项无关●与项数无关●函数极限●趋于无穷●趋于有限值●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关●分左右极限求●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样●特殊函数●2●性质●局部有界性●保号性注意等号●与无穷小之间的关系●极限存在准则●夹逼●单调有界●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小●比较●性质●无穷大●常用无穷大比较指幂对（大到小）●无穷大与无界变量●与无穷小互为倒数●求极限方法●有理运算法则●基本极限●等价无穷小●常用●积分情况●代换原则●乘除直接换●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1●洛必达●泰勒公式●常用●夹逼●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间●单调有界●函数极限题型●0/0 0比0型●拉格朗日中值定理●加减 x 来凑常用等价无穷小●无穷 / 无穷●洛必达●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大●无穷—无穷●0 · 无穷●1 的无穷次方●无穷的0次方，0的无穷次方●数列极限●不定式●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限●n 项和的数列极限●夹逼定理●定积分定义●级数求和●常用结论●n 项连乘的数列极限●夹逼●取对数化为n项和●递推关系●数列存在单调性●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A●数列不具有单调性或者单调性很难判定●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A●单调性判定（直接，比值，函数）●无穷小量阶的比较●洛必达●等价无穷小●泰勒公式●常用结论及举例●连续●连续●间断点●连续函数的性质●连续题型●讨论连续性及间断点类型●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点●介值定理，最值定理，零点定理证明●一元函数微分●导数微分●导数定义●等价形式●注意分段函数●微分定义●连续、可导、可微之间的关系●求导公式●求导法则●有理运算法则●复合函数求导●隐函数求导●反函数求导●参数方程求导●高阶导数●对数求导法则●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导●●题型：导数与微分的概念●利用导数定义求极限●利用导数定义求导数●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求●利用导数定义判定可导性●导数几何意义●导数与微分计算●复合函数求导●导数与奇偶性●复合函数在一点的导数值●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以●高阶导数●公式●一阶二阶之后归纳●泰勒公式和泰勒级数●导数应用●微分中值定理●罗尔定理●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系●柯西定理●泰勒定理（拉格朗日余项）●极值最值●极值的必要条件●极值的充分条件●第一充分条件●第二充分条件●第三充分条件●凹向拐点●判定●必要条件●充分条件●渐近线●水平渐近线●垂直渐近线●斜渐近线●方程的根的存在性及个数●方法●注意把函数化到一边来求零点●将含有参数的式子参数分离出来●罗尔定理●证明函数不等式●方式方法●单调性●最大最小值●拉格朗日定理●泰勒公式●凹凸性●注意以及常用基本不等式●不等式●微分中值定理有关的证明题●证明存在一个点●构造辅助函数 P 82●证明存在两个中值点 p 85●方法●证明存在一个中值点 p 87●带拉格朗日余项的泰勒公式●一元函数积分●不定积分●原函数●原函数的存在性●f（x）在区间连续，有原函数●有第一类间断点，f（x）没有原函数●基本公式●公式●积分法●第一类换元法●第二类换元法●分部积分●定积分●概念●与积分变量无关●可积性●必要条件存在必有界●充分条件●连续必存在●有界，有限个间断点必存在●有限个第一类间断点必存在●计算●方法●奇偶性和周期性●公式 sin cos 公式注意上下限●变上限积分 p 105●公式●变上限积分函数及其应用●连续性●可导性●奇偶性●处理变上限积分有关极限问题方法●洛必达法则●等价无穷小代换●积分中值定理●图像●性质●不等式●大小●积分中值定理●广义积分中值定理●积分不等式问题●变量代换●积分中值定理●变上限积分●柯西积分不等式●反常积分●定义●无界函数●常用结论●定积分应用●平面图形面积●空间体体积●计算●曲线弧长●计算就是计算 d s●旋转体侧面积●常微分方程●一阶●齐次●线性方程●全微分方程●可降阶的高阶方程●形式●高阶线性微分方程●解的结构●定理一●定理二●定理三●定理四●常系数齐次线性微分方程●二阶常系数线性齐次微分方程解的形式●常系数非齐次线性微分方程●求特解●一●二●多元函数微分●●重极限●任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在●y = k x y = x x (x的方)●求重极限●连续●性质●偏导数●定义●代表斜率●二阶偏导数连续●全微分●定义非常重要●等价●注意，这个ρ 的高阶无穷小是关于ρ 的函数，但是里面的ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用●可微性判定●可微推出偏导数存在●偏导数连续推出可微●可微推出偏导数存在偏导数连续推出可微●计算●连续、可导、可微关系●偏导数与全微分计算●复合函数求导●全微分形式不变●隐函数求导●极值最值●无条件极值●定义对任意p（x,y）●必要条件存在偏导，且点就是极值点●充分条件领域内有二阶连续偏导，一阶导为0●二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值●条件极值二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算●二重积分●二重积分概念●几何意义积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积●二重积分性质●不等式性质●函数之间的关系●最大最小值●绝对值●二重积分计算●直角坐标●先 y 后 x●先 x 后 y●极坐标●极坐标计算●适合极坐标计算的被积函数●适合极坐标计算的积分域●对称性和奇偶性●奇偶性●变量对称性●无穷级数●级数的概念●无穷级数●部分和●级数收敛●级数发散●级数性质●收敛级数的倍数是极限s的倍数●收敛级数的求和●级数求和●收敛＋发散 = 发散●发散＋发散 = 敛散性不确定●在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性●收敛级数加括号仍然收敛且和不变●级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛●级数加括号以后发散，原级数不一定发散●级数收敛必要条件（反过来不一定成立）●级数的审敛准则●正向级数 u n > 0●比较判别法●比较法极限形式●使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则●比值法●根值法●交错级数●充分条件●任意项级数●条件收敛●绝对收敛●基本结论●常用结论●等价无穷小代换只适用正向级数●幂级数●定义●阿贝尔定理●绝对收敛（端点收敛则里面收敛）●发散（端点发散则外面发散）●可能性●收敛半径、收敛区间、收敛域●定理3●定理4●有理运算性质●运算●分析性质●连续性●可导性（逐项求导）●可积性●函数的幂级数展开●展开式唯一●泰勒级数●常用展开式●傅里叶级数●定义●展开●方向导数和梯度●方向导数●定义●计算●梯度●定义●多元微分几何应用●曲面的切平面与法线●曲面的切线和法平面●常见曲面●旋转面●柱面平行于 z 轴就是消去 z●多元积分学●三重积分●定义●计算●直角坐标●柱坐标●●线积分●对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关●计算（平面）●利用奇偶性曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性●利用对称性 x y 可以互换●对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关●计算方法●直接法●格林公式●补线用格林公式●利用线积分与路径无关●线积分与路径无关的判定以下四条等价●计算●该换路径●利用原函数●计算方法●斯托克斯公式●面积分●对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关●直接法●利用奇偶性●对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关●性质●计算●直接法●高斯公式●常用●多元积分应用●场论。
2014考研数学春季基础线性代数辅导讲义-汤家凤
=
⎜ c21
⎜ ⎜⎜⎝
L cm1
c22 L cm2
L L L
c2n L cms
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，其中
cij
=
n
aik bkj
k =1
（i
= 1,2,L, m;
j
= 1,2,L, s ）。
教 【注解】（1） A ≠ O, B ≠ O 推不出 AB ≠ O 。
频 （2） AB ≠ BA 。 视 （3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。 123 若 AB = BA ，则 A2 − 3AB + 2B2 = (A − B)(A − 2B) ，再如
m 2、数与矩阵的乘法—设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a21 L am1
a22 L am2
L L L
a2n L amn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
，则
kA
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
ka21 L kam1
ka22 L kam2
L L L
ka2n L kamn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
。
.co 3、矩阵与矩阵的乘法：
ipin ⎜⎛ a11 a12 L a1n ⎟⎞
ann
an1 an2 L ann an1 an2 L ann
频 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
3视 a11 a12 L a1n
a11
12 L L L L
L
a12
L
a1n
LLL
ai1 ai2 L ain ai1 + ka j1 ai2 + ka j2 L ain + ka jn
D = ai1Ai1 + ai2 Ai2 + L + ain Ain (i = 1,2,L, n) ，
考研数学高分导学班讲义汤家凤
考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。
此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。
3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。
汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。
汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。
4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。
特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。
若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。
2021考研数学高数必考的4个定理证明
2021考研数学高数必考的4个定理证明来源：文都图书高数是考研数学考察的重要科目，也是比较难的一门，其中有4个定理是高数的高频考点，我们一起来学习一下该如何运用这几个定理。
一、微分公式的证明2021年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2021年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2021考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考量f(x)*g(x)在点x0处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义实地考察，可以按照导数定义写下一个音速式子。
该音速为“0分之0”型，但无法用洛必达法则，因为分子的导数不好算是(乘积的导数公式恰好就是要证的，无法用!)。
利用数学上常用的堆砌之法，提一项，减至一项。
这个“无中生有”的项要和前后都存有联系，易于加公因子。
之后分子的四项两两接合，除以分母后考量音速，不难得出结论结果。
再由x0的任意性，便获得了f(x)*g(x)在任一点的导数公式。
类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。
二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马定理的条件存有两个：1.f'(x0)存有2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考量函数在一点的导数，用什么方法?自然想起导数定义。
我们可以按照导数定义写下f'(x0)的音速形式。
往下如何推理小说?关键必须看看第二个条件怎么用。
2023年考研数学三考试科学备考计划
2023年考研数学三考试科学备考方案2023考研数学三复习参考规划数三包括高数，线代以及概率论，个人认为高数复习难度最大，也是最耗时间的，计算与理解并重，线代和概率论重在理解和总结，一通百通。
下面我按照复习时间分几个阶段讲讲，复习进度和用书即可，不必完全遵守，每个人情况不同，合适自己的才是最好的。
4月到7月：1、高数局部：杨超视频课，同济教材两本我本科高数根底并不好，一开场我用的是杨超的视频网课，搭配两本同济教材，买了两个笔记本，没有买习题书，一共60个视频左右，平均一天3个，杨超教师幽默有才华，看他的课一个月就上手了。
这个月就是看视频，做笔记，做课后习题，任务很轻松。
特别指出，很多同学一开场很担忧是不是要买齐各种数学资料，直接上手做全书，不然就不安心，我想说前期大可不必，考研不必一开场就暗示自己是场艰辛的征途，完全可以平衡心态，从简单轻松的入手，全书一开场太难，容易给自己打击，全书里的题目也很典型，太早做甚至是在浪费好题目。
另外有的同学喜欢汤家凤的视频，我也很喜欢，只不过我一开场是回绝他的口音的，我到后期是用了他的强化班中的几章，挑了张宇讲的不太好的几章，视频课选择看个人爱好，不过不管看谁的，我建议这一个月不要做太多练习。
另外不要看张宇的根底班，他的根底班是强化班的删减，并不根底，只是强化班里的一些概念在根底班没讲，不推荐。
另外，觉得自己根底还不错，就不要看杨超的视频了，直接到强化。
2、高数强化局部：张宇高数强化网课，高数十八讲，1800题或者1000题，到了5月份，开场了高数强化，有了根底班的根底，在看强化班就轻松多了，也是按章节看，进度自己把握，看视频做笔记，这时课后题已经满足不了你了，推荐的1800题，先从根底开场做，或者张宇编写的1000题，选择其一，踏踏实实反反复复做一本，不要两本都买，18讲很好，只是题目不多。
指出，这时我建议就多做题找感觉了，1800题题目很多，渐渐练就可以感受到自己在发生质的变化，一股浴火重生的感觉。
[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)
![[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)](https://img.taocdn.com/s3/m/f6e47fa9bb4cf7ec4bfed040.png)
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤）2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。
3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。
著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。
凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
4、讲义：6页（电子版）文都网校2011年5月27日公开课二：定积分理论一、实际应用背景1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。
（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini it f S ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f S ∆=∑=→)(lim1ξλ2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。
（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，ini ix f A ∆≈∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i ni x ∆=≤≤λ，则ini ix f A ∆=∑=→)(lim1ξλ。
二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -⋃⋃⋃= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=∆-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作ini ix f ∆∑=)(1ξ；（3）取}{m a x 1i ni x ∆=≤≤λ，若ini ix f ∆∑=→)(lim 1ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(i ni i x f ∆=∑=→)(lim 1ξλ。
【15考研公共课-讲义】2015考研数学导学班辅导讲义-汤家凤20131028-16页
2015考研数学导学班辅导讲义高等数学部分第一章极限与连续第一部分函数的初等特性1、函数的奇偶性—设函数)(x f 的定义域关于原点对称，若)()(x f x f =−，称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f −=−，称)(x f 为奇函数。
【例1】判断函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数。
2、函数的周期性—设)(x f 的定义域为D ，若存在0>T ，使得对任意的D x ∈，有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，称)(x f 为周期函数。
【例2】讨论函数][)(x x x f −=的周期性。
3、函数的单调性—设对任意的D x x ∈21,且21x x <，有)()(21x f x f <，称)(x f 在D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。
4、函数的有界性—若存在0>M ，对任意的D x ∈，有M x f ≤|)(|，称)(x f 在D 上有界。
第二部分极限一、定义1、极限的定义（1）数列极限(N −ε)—若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<−||A a n 成立，称数列}{n a 以A 为极限，记为A a n n =∞→lim 。
（2）函数)(x f 当a x →时的极限（δε−）—若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<−<||0a x 时，有ε<−|)(|A x f 成立，称A 为)(x f 当a x →时的极限，记为A x f ax =→)(lim 。
（3）函数)(x f 当∞→x 时的极限（X −ε）—若对任意的0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<−|)(|A x f成立，称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 。
【注解】（1）a x →的含义为⎩⎨⎧+→−→≠a x a x ax 和。
汤家凤高等数学辅导讲义
汤家凤高等数学辅导讲义【最新版】目录一、汤家凤《高等数学辅导讲义》简介二、讲义的主要特点和优势三、讲义的内容和结构四、如何有效利用讲义进行高等数学学习五、结论正文一、汤家凤《高等数学辅导讲义》简介汤家凤《高等数学辅导讲义》是一本针对考研数学一、数学二、数学三考试的辅导书籍。
本书由考研数学辅导老师汤家凤编写，总结了全国硕士研究生招生考试数学部分涉及的高等数学基础知识，包括基本概念、基本原理和基本公式，精选了典型的基本题型和综合题型，并对解题方法进行了详尽的讲解。
二、讲义的主要特点和优势1.全面系统：汤家凤《高等数学辅导讲义》系统全面地总结和概括了考研数学涉及的高等数学部分的基础知识，帮助考生深入了解考试重点。
2.精选题型：本书精选了 76 种题型，涵盖了 36 类知识点，可以帮助考生全面掌握考试中可能出现的各种题型。
3.详尽讲解：汤家凤老师在书中对每个题型的解题方法进行了详尽的讲解，并附有典型例题，方便考生学习和参考。
4.适用广泛：本书适用于数学一、数学二、数学三的考生，无论您报考哪一类数学，都可以从本书中找到适合自己的学习内容。
三、讲义的内容和结构汤家凤《高等数学辅导讲义》共分为若干章，每章内容包括：考察要求、核心题型、题型解析和练习题。
书中按照考试大纲编写，既注重基础知识的讲解，又注重解题技巧的传授。
四、如何有效利用讲义进行高等数学学习1.熟悉考试大纲：在学习讲义之前，要先了解考试大纲的要求，明确学习目标和重点。
2.系统学习：按照讲义的章节顺序进行学习，从基础知识开始，逐步掌握题型和解题方法。
3.多做练习：通过做练习题来检验自己的学习效果，及时发现并弥补知识漏洞。
4.及时复习：学习过程中要适时进行复习，加深对知识点的理解和记忆。
5.交流讨论：与同学或老师进行交流和讨论，共同进步。
五、结论汤家凤《高等数学辅导讲义》是一本非常适合考研数学考生的辅导书籍，全面系统地总结了考试重点和解题技巧。
考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)-精选.pdf
2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i,是一对不等的正整数，若j i，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211称为n 阶行列式，规定nnn nj jj j j j j j j a a a D21212121)()1(。
定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1n 行和1n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ijM A )1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如n a a a 00000021称为对角行列式，n na a a a a a 212100000。
2、上（下）三角行列式—称nn n n a a a a a a 0022211211及nnn n a a a a a a 21222111000为上（下）三角行列式，nn nnn n a a a a a a a a a 2211222112110，nn nnn n a a a a a a a a a 22112122211100。
3、||||B A BOO A ，||||B A BOC A ，||||B A BCO A 。
4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(n nn n n n aaaa a a a a a V 称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j in nn n n n a a aaaa a a a a a V 1112112121)(111),,,(。
考研数学强化班高等数学讲义汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。
ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。
x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。
nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。
江苏师范大学考研分析(总汇)
江苏师范大学考研分析一、小学教育考研分析1、报录比。
师大官方不公布报录比，但是该专业竞争激烈，一般来说报录比在 15：1 左右，竞争激烈。
2、录取人数。
2021 考研全日制招生计划为 70 人，推免生不占统招名额。
3、就业。
该专业毕业基本就业不愁，能进一个不错的小学任教。
4、考生总体水平。
很多学生忽略这点，其实你的竞争对手是很重要的，报考师大的考生总体来说基本都是二本三本的学生，生源质量一般，如果你要报考南师大，你的对手可能就是一本和二本里面比较优秀的考生，甚至 211 的考生。
5、专业课（826）试题题型及难易程度。
专业课题型都是名词简答论述三种题型，总体难度一般，某些年份较难某些年份较容易。
从近三年来看，2019-2020 的试题比较灵活，而 2021 的试题就比较偏，考了很多学生平时复习不容易关注的知识点。
6、是否限制跨考。
本专业比较适合跨考，报考本专业的同学基本都是跨考的。
7、是否歧视本科学校。
不歧视的，二本三本的上岸较多，近三年都有同等学力上岸的先例，每年至少两个。
8、复试录取比例。
该专业 2020 年复试录取比例大约为 1：3 左右，2021 年为 1:1.5 以内，主要原因是 2021 年国家线提高和专业难度增加。
9、专业课压分程度。
以 2021 年考研为例，总体来说考上的同学 333 基本都在 100-115 之间， 826 基本在 100-120 之间。
10、保稳分数。
2020 年该专业保稳分数为 360，2021 为 350。
具体得看当年的总体情况。
11、专业课复习策略。
826 和 333 的教育心理学有些类似，所以一般先复习 333，等到五六月份再来复习 826。
心理学的内容比较抽象，一定要注重理解，光死记硬背不行。
12、其他。
师大小学教育不区分研究方向，但是学院可以根据你的实习方向和毕业论文开具相应研究方向的证明。
此证明在很多单位都是有效的，如果你所要报考的教师编制单位明确限制专业，例如小学教育（数学）。
文都数学基础班概率统计 汤家凤
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第三章 二维随机变量及其分布
一、基本概念 ∷
1、 联合分布 函数⊥ 设 (X,玢 为二维随Ⅱ机变量 ,称 F← ,力 =P(X兰 峦,y-yl为
(X,y)的 联合分布函数。
2← 二维离散型随机变量的联合分布律∵设(X,y,为 三维离散型随机变量,称
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惊呼 1、 二项分布一若随机变量 /的 分布律为 P(X=付 =C劳 p钅 (1-`)刀忄⑩ ≤乃兰⑷ ,
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称随机变量X服 从二项分布,记 为X~刀 ⒄,p)。
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(C)Flrjr)凡 ←)为 某随机变晕的分布函数;
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2、 设 随 机 变 量 X的 密 度 函数 /(另)为 偶 函 数 ,其 分 布 函 数 为 F(豸),则
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4、 设X~Ⅳ (〃 ,σ 2),则 随σ的增大,概率P(|X-〃 l【 σ)
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汤家凤高等数学辅导讲义
汤家凤高等数学辅导讲义
《汤家凤高等数学辅导讲义》是一本高等数学辅导教材，由著名数学家汤家凤编写。
这本讲义系统地介绍了高等数学的各个知识点和解题方法，适合高校大学生、研究生以及高中生等学习和复习使用。
该讲义从基础内容开始，包括函数、极限、导数、微分、积分等内容，并注重理论与实际应用的结合，强调数学思维和解题方法的培养。
它详细讲解了各种数学概念、定理和公式的推导过程，并给出了丰富的例题、习题和解题思路，帮助学生加深对知识的理解和掌握。
此外，该讲义还涵盖了高等数学的其他重要内容，如多元函数、级数、微分方程、空间解析几何等，以及一些数学物理问题的应用。
它注重启发式教学和培养学生的数学思维能力，帮助学生拓宽数学思维领域，提高解题的能力和应用能力。
《汤家凤高等数学辅导讲义》通俗易懂、思路清晰，适合自学和辅导使用。
它是一本全面的高等数学辅导资料，对于对高等数学感兴趣的人士来说是一本不可或缺的参考书。
2019年考研河海大学电气工程学长经验分享
2019河海大学电气工程考研心得体会本人2019年参加全国硕士研究生招生考试，经过一年的努力，考入了河海大学能源与电气学院电气工程专业。
河海的电气工程专业在学科等级排名中是B-等级，但是在接下来几年会有上升的趋势，这是我选择考入的原因之一；其次，河海大学的电气工程专硕只需要两年，可以快速就业，这是我选择的另一个原因！接下来我从五个方面谈谈自己的考验经历！1.本专业报考录取情况介绍这两年电气工程专业呈现扩招的趋势，在2019年，电气工程学硕：全日制统招计划30人，推免计划40人；电气工程专硕：全日制统招计划50人，推免计划20人，非全日制统考计划30人。
但是，今年在河海招生简章中有些小的变动，电气工程学硕没有变动，计划招收人数和19年相似，但是电气工程专硕已经归为能源动力专业其中一个方向，这意味着什么呢？这表示20级考入河海电气工程专硕的学生在两年后拿到自己的证书时上面专业可能不再是电气工程专业，而是能源动力专业。
其实，目前国内大学很多都有类似的专业调整，影响也不会太大！虽说电气工程专硕归为能源动力专业的一个方向，但是其是单独排名，20年招收人数与19年相比只是在非全日招生人数上不同!2.公共课和专业课复习时间节点以及参考书目电力工程专硕考的公共课:思想政治理论（100分）、英语二（100分）和数学二（150分）；专业课初试考的是843电力系统分析（150分），考的不再是电路，专业课是近两年才改的，以前考的是电路。
公共课：思想政治理论考试-------我当时复习时，前期看得徐涛老师的视频，买的《核心考案》，边听边做笔记，后期复习买的就是肖秀荣的八套卷和四套卷，试卷的重要性就不需要我赘述了，大家应该都知道是必买的！英语二-------当时只看了朱伟老师的《恋恋有词》，老师幽默诙谐，讲课很风趣，听他的课很难有困意！朱伟老师团队中也有专门讲授阅读、长难句翻译以及写作等，从个人角度还是挺认可这个考研团队的！数学二-------汤家凤老师的《考研数学复习大全》+《接力题典1800》。
2024考研汤家凤高等数学辅导讲义
2024考研汤家凤高等数学辅导讲义（实用版）目录1.2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述2.汤家凤辅导讲义的内容特点3.如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义4.汤家凤辅导讲义对考研数学的帮助正文一、2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义概述2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义是一本针对考研数学的高等数学辅导书籍，由著名数学教育专家汤家凤编写。
这本书旨在帮助广大考研学生更好地掌握高等数学的知识点，提高考研数学成绩。
二、汤家凤辅导讲义的内容特点1.系统性强：汤家凤辅导讲义全面覆盖了考研数学高等数学部分的所有知识点，从基本概念到复杂题目，都有详细讲解。
2.重点突出：汤家凤辅导讲义针对考研数学的考试重点进行了重点讲解，帮助学生把握考试命脉，提高答题效率。
3.技巧性强：汤家凤辅导讲义总结了大量解题技巧和方法，帮助学生快速解决各类题目，提高答题速度。
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三、如何获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义想要获取 2024 考研汤家凤高等数学辅导讲义，可以关注汤家凤的官方公众号或在线教育平台，也可以在各大书店或网络书店购买。
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四、汤家凤辅导讲义对考研数学的帮助1.提高理论水平：通过学习汤家凤辅导讲义，可以系统地掌握高等数学的理论知识，为考研数学打下坚实的基础。
2.提高解题能力：汤家凤辅导讲义中总结了大量解题技巧和方法，可以帮助学生提高解题能力，迅速提高考研数学成绩。
3.提高应试水平：汤家凤辅导讲义针对考研数学的考试重点进行了重点讲解，可以帮助学生把握考试命脉，提高答题效率和准确率。
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第一讲 极限与连续主要内容概括（略） 重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n Λ； （2）11lim 332+-=∞→k k nk n π；（3）∑=∞→+nk n n k k 1])1(1[lim ； 2．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim Λ； 3．求下列极限： （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n Λ； （2）nn nn !lim∞→； （3）∑=∞→++ni n ni n 1211lim。
类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x xx x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求下列极限： （1）()xx xcos 1120sin 1lim -→+；（3）)21ln(103sin 1tan 1lim x x x x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++； （4）21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ； （4）)tan 11(lim 220xx x -→；（5）203)3(lim x x xx x -+→；（6）设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。
2．求下列极限：xx ex x x sin cos lim3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。
2．设)(x f 在),0[+∞上单调减少、非负、连续，),2,1()()(11Λ=-=⎰∑=n dx x f k f a nnk n ，证明：n n a ∞→lim 存在。
类型五：夹逼定理求极限问题：1．求⎰+∞→101sin lim dx xxn n ； 2．),,()(lim 1非负c b a c b a nn nn n ++∞→；3．)0(21lim 2≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x n nnn 。
类型六：含参数的极限问题： 1．设0)3sin (lim 23=++--→b axx x x ，求b a ,；2．设3)11lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++∞→b ax x x x ，求b a ,； 类型七：中值定理法求极限： 1、)1arctan(arctanlim 2+-∞→n nn n ππ； 2、)(lim 1211212+-+∞→-x x x e ex 。
类型八：变积分限函数求极限：1、)11)(tan (2cos lim 200-+---⎰→x x x x x tdt e x tx 。
2、设)(x f 连续，且1)1(=f ，则1)(lim3111-⎰→x dt xt f x x 。
二、连续与间断的判断1．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x x x x x x x x f ，讨论函数)(x f 在0=x 处的连续性。
2．讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,10,)12()12()(11x x x f x x 在0=x 处的连续性。
三、连续性命题的证明1．设),[)(+∞∈a C x f 且)(lim x f x +∞→存在，证明)(x f 在),[+∞a 上有界。
2．设)(x f 在],[b a 上连续，任取0,0>>q p ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)())()()(ξf q p b qf a pf +=+。
第二讲 微分学第一部分 一元函数微分学内容复习（略） 重点题型讲解（一）与导数定义相关的问题1．设)(0x f '存在，求)0()()(lim000≠--+→αβαβhh x f h x f h 。
2．设)(x f 在1=x 处连续，且21)(lim 21=-→x x f x ，求)1(f '。
3．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，对任意的y x ,有)()()(y f x f y x f =+，且1)0(='f ，求)(x f 。
4．设)(x f 二阶连续可导，且1)(lim 0=→xx f x ，e f ='')0(，则______lim2)(0=-→x e e x x f x 。
5．设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任意的x 有)(2)1(x f x f =+，又当]1,0[∈x 时，有)1()(2x x x f -=，讨论)(x f 在0=x 处的可导性。
（二）各类求导数的问题 1．设xxe xx ey +-+=111sin ，求y '； 2．设xx ey +-=11arctan，求y '；3．)100()2)(1(+++=x x x x y Λ，求)101(),0(yy '；4．设)(x f y =由⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 确定，求22dx yd ； 5．设xy y x =，求dxdy； 6．设y xy exy=+)tan(，求=x dxdy ；7．设)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=5sin 3tan 22y t ty tex t确定，求dx dy ；8．设⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<+=0,)1(2arctan 90,2sin )(3x x b x x ae x x f x在0=x 处可导，求b a ,；9．求下列函数的导数：（1）设dt t x y x ⎰=22cos ，求dx dy；（2）设⎰-=x dt x t tf y 022)(，求dxdy ；10．设)(x f 连续，⎰=1)()(dt xt f x ϕ，且A xx f x =→)(lim，求)(x ϕ'，并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性。
11．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos )()(x a x xxx g x f ，其中)(x g 二阶可导且1)0(=g 。
（1）当a 为何值时，)(x f 在0=x 处连续；（2）求)(x f '；（3）研究)(x f '在0=x 处的连续性。
解答：（1）]cos )0()0()([lim cos )(lim)(lim 000x xg x g x g x x x g x f x x x -+-=-=→→→)0(]cos 1)0()([lim 0g xx x g x g x '=-+-=→， 于是当)0(g a '=时，)(x f 在0=x 处连续。
（2）当0=x 时，xg x xx g x f x f x x )0(cos )(lim )0()(lim 00'--=-→→ )]0(1[212sin )0()(lim )0(cos )(lim 020g x x g x g xx g x x g x x ''+=+'-'='--=→→， 即)]0(1[21)0(g f ''+='；当0≠x 时，2cos )(]sin )([)(x xx g x x g x x f +-+'='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+-+'=''+='0,cos )(]sin )([0),0(1[21)(2x x x x g x x g x x g x f 。
（3）因为200cos )(]sin )([lim)(lim x xx g x x g x x f x x +-+'='→→)0()]0(1[21]cos )(sin )([lim 20f g xx x g x x x g x '=''+=--+'=→， 所以)(x f '在0=x 处连续。
12．设)(x f 在]1,1[-上可导，)(x f 在0=x 处二阶可导，且4)0(,0)0(=''='f f ，求3)]1[ln()(limxx f x f x +-→。
13．设)1()1(21lim )(--∞→+++=x n x n n ebax e x x f ，求)(x f ，并讨论)(x f 的连续性和可导性。
（三）高阶导数问题1．设x e y xsin =，求)(n y ；2．设)23ln(2+-=x x y ，求)(n y 。
3．设)1ln()(2x x x f +=，求)0()49(f。
第二部分 一元函数微分学的应用 内容复习（略）附：中值定理部分的推广1．设)(x f 在0x x =的邻域内n 阶连续可导，则有))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x o x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=Λ。
2．（导数零点定理）设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且0)()(<''-+b f a f ，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf 。
3．（导数介值定理）设设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且)()(b f a f -+'≠'，不妨设)()(b f a f -+'<'，则对任意的)](),([b f a f -+''∈η，存在),(b a ∈ξ，使得ηξ=')(f 。
4．设],[)(b a C x f ∈，且)0(0)(<>''x f ，则有))(()()()(000x x x f x f x f -'+≤≥，等号成立当且仅当0x x =。
重点题型讲解（一）中值定理等式的证明类型一：目标表达式中仅含ξ不含端点字母，且导数之间相差一阶1．设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(,1)0(==f f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得 0)()(2='+ξξξf f 。
2．设)(x f 在]1,0[上可微，且⎰-=3101)(3)1(dx x f e f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得0)()(=+'ξξf f 。