2019-2020学年人教A版福建省厦门市高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）
A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
3．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm
4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）
A．100N B．C．50N D．
5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b
6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．
7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）
A．f（x+π）＝f（x）
B．f（x）的值域为[0，1]
C．f（x）在上单调递减
D．f（x）的图象关于点（π，0）对称
8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]
C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）
二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2
C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2 10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）有最小值
C．f（x+2）＞f（x+1）
D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根
E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为．
12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．
13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．
14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为．
15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝：当x
∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为．（本题第一空2分，第二空3分）
16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．
四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；
（2）若，求的值．
18．设函数，x∈（1，+∞）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．
19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）求与夹角的余弦值．
20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．
21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；
（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？
22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．
（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；
（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）
A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．
解：∵A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∪B＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．
故选：D．
2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．解：∵向量＝（1，2），+＝（m，4），∴＝（m﹣1，2），
若⊥，则m﹣1+2×2＝0，∴m＝﹣3，
故选：A．
3．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm
【分析】利用扇形的面积即可求出扇形的半径．
解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，
可得S＝lr＝r2α．
则：r2＝＝＝4．解得r＝2，
故选：C．
4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）
A．100N B．C．50N D．
【分析】如图所示，可得||＝||＝•tan30°．
解：如图所示，
||＝||＝•tan30°＝N．
故选：D．
5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．解：0＜a＝0.20.3＜0.20＝1，
由2b＝0.3，得b＝log20.3＜log21＝0，
c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，
∴c＞a＞b．
故选：B．
6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．
【分析】把点（m，n）代入函数解析式得log2m＝n，再利用log2＝n﹣1即可判断出点也在函数图象上．
解：∵点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，
∴y＝log2m＝n，
若x＝，则log2x＝log2＝log2m﹣1＝n﹣1，
∴点（，n﹣1）也在该函数的图象上，
故选：D．
7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）
A．f（x+π）＝f（x）
B．f（x）的值域为[0，1]
C．f（x）在上单调递减
D．f（x）的图象关于点（π，0）对称
【分析】利用分段函数化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：函数f（x）＝sin x+|sin x|＝，
故函数的周期为2π，即f（x+2π）＝f（x），故排除A；
显然，函数的值域为[0，2]，故排除B；
在上，函数t＝sin x单调递减，故函数y＝2sin x单调递减，故C正确；
根据故函数f（x）的图象特征，可得它的图象不关于点（π，0）对称，故排除D，故选：C．
8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]
C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）
【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．
解：f（x）＝x2+a|x﹣2|＝，
要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则：，解得﹣4≤a≤0；
∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．
故选：A．
二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2
C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2【分析】函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，即可判断．
解：由题意可知，函数过点（1，1）和点（3，4），代入函数关系式：y＝ka t（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1），得：，
解得：，
∴函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，
∵函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误，
当x＝6时，y＝25＝32，浮萍的面积超过了30m2，故选项B正确，
令y＝2得：t＝2；令y＝64得：t＝7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确，
令y＝4得：t1＝3；令y＝6得：t2＝log212；令y＝9得：t3＝log218，∴t1+t2＝3+log212＝log296≠t3，故选项D错误，
故选：BC．
10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）有最小值
C．f（x+2）＞f（x+1）
D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根
E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根
【分析】A：计算f（﹣x），再利用偶函数的定义判断即可；
B：，而y＝lnx单调递增，所以函数的最小值为ln2；
C：利用“同增异减”的原则判断函数的单调性，由于未已知x的范围，所以无法判断f （x+2）和f（x+1）的大小关系；
D：构造函数g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，结合函数的单调性和零点存在定理判断零点个数，再由偶函数的性质，得出x＜0时零点的个数，进而得出方程根的个数．解：函数的定义域为R
对于A选项，，所以f（x）是偶函数，即A正确；
对于B选项，，所以f（x）有最小值ln2，即B 正确；
对于C选项，由复合函数单调性的判断原则﹣﹣同增异减，可知：当x＞0时，函数f（x）单调递增；当x＜0时，函数f（x）单调递减；
而此选项中，x的范围无法确定，所以无法比较f（x+2）和f（x+1）的大小，即C错误；
对于D选项，令g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，g（x）＝f（x）+x﹣3，
由于g（0）＝f（0）﹣3＝ln2﹣3＜0，g（）＝f（）+＝ln4+＞lne+＝＞0，即
由零点存在性定理，以及函数的单调性可知：当x＞0时，g（x）＝0有唯一实根
因为函数g（x）为偶函数，所以当x＜0时，g（x）＝0有唯一实根，
因此，方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根．所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为{2，4} ．
【分析】先求出集合A，集合∁U B，先利用韦恩图得到图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A，从而求出结果．
解：由题意可知：A＝{2，4，6，8}，∁U B＝{1，2，3，4}
∴图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A＝{2，4}，
故答案为：{2，4}．
12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝x2．
【分析】令幂指数等于0，求得x、y的值，可得点A的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．
解：对于函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1），令x﹣2＝0，求得x＝2，y＝4，可得它的的图象恒过定点A（2，4），
∵点A在幂函数y＝f（x）的图象上，∴设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，
则f（x）＝x2，
故答案为：x2．
13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．
【分析】由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinα的值，代入原式计算即可．
解：∵tanα＝3，π＜α＜，
∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝﹣＝﹣，
则cosα﹣sinα＝﹣+＝，
故答案为：
14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为4．
【分析】由向量的加减运算可得四边形ABCD为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．
解：在四边形ABCD中，++＝，即为+＝，即＝，
可得四边形ABCD为平行四边形，又，
可得四边形ABCD为边长为4的菱形，
则△BCD的面积为正△ABC的面积，即为×42＝4，
故答案为：4．
15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝0 ：当x∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为 4 ．（本题第一空2分，第二空3分）
【分析】第一空：用2﹣x替换x代入解析式计算即可；第二空：作出图象，数形结合即可．
解：f（x）+f（2﹣x）＝+＝+＝0；
作出f（x）与g（x）在[﹣7，7]上的图象如图：
由图可知，共有4个交点，且两两关于点（1，0）对称，
设四个交点的横坐标从小到大为a，b，c，d，
则a+d＝2，b+c＝2，
故这四个实根的和为2×2＝4，
故答案为：0；4．
16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过
x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．【分析】根据题意，化简函数f（x）可得，再分别求解即可．
解：当x∈[0，1）时，[x]＝0，f（x）＝3|x﹣1|＝3（1﹣x），令，解得，满足题意；
当x∈[1，2）时，[x]＝1，f（x）＝|x﹣1|（3﹣1）＝2（x﹣1），令，解得，不合题意；
故若，则；
由以上分析可知，，
当x∈[0，1）时，令3（1﹣x）≤x，解得；当x∈[1，2）时，令2（x﹣1）≤x，解得1≤x＜2；
综上，不等式f（x）≤x的解集为．
故答案为：，．
四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；
（2）若，求的值．
【分析】（1）结合三角函数的定义的正弦定义即可求解；
（2）由已知结合诱导公式对所求式子进行化简即可求解
解：（1）由题意可得，∠AOx＝，
根据三角函数的定义可得，y＝f（θ）＝sin（），
因此＝sin+sin＝；
（2由），可得sin（）＝，
所以＝cos[]+sin（）＝2sin （）＝．
18．设函数，x∈（1，+∞）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据对勾函数性质可知其在（1，+∞）上单调递增，取任意1＜x1＜x2，证明f（x1）＜f（x2）即可；
（2）分离参数得a＝，结合（1）即可求得a的取值范围．
解：（1）f（x）在（1，+∞）上单调递增，
取任意1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+﹣＝（x1﹣x2）+＝
，
因为1＜x1＜x2，所以＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（2）由方程可得a＝＝x+，根据（1）可知a∈[，]．
19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）求与夹角的余弦值．
【分析】（1）如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、向量平面基本定理即可得出．
（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
解：（1）如图所示，建立直角坐标系．
A（0，0），D（3，0），B（﹣，），C（，），E（，），＝＝（﹣，），＝＝（3，0），
设＝（，）＝x（﹣，）+y（3，0），
解得x＝1，y＝．
∴＝+．
同理可得＝+．
（2）＝（，），＝（﹣，），
•＝﹣+＝﹣．
＝＝，＝＝1．
设与夹角为θ．
∴cosθ＝＝﹣．
20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．
【分析】（1）由函数图象过的两点及最大值求出函数f（x）的解析式，进而求出函数的单调递增区间；
（2）由题意求出函数g（x）的解析式换元，画出函数图象，有图象求出函数g（x）在所给区间的值域．
解：（1）由图象知：A＝2，且：﹣πω+φ＝﹣π+2kπ，+φ＝2kπ，k∈Z，|φ|＜π，解得：ω＝，φ＝﹣，
所以函数f（x）＝2sin（x﹣）；
单调递增区间满足+2kπ≤k∈Z，解得：+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，
所以单调递增区间为：[+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；
（2）由（1）可得：将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不
变），可得2sin（2x﹣），又左平移个单位长度可得：g（x）＝2sin （2x+2m﹣），
由题意可得：2+2m﹣＝+kπ，k∈Z，0，解得：m＝，所以g（x）＝six（2x﹣），
∵x∈[，]，∴2x﹣∈[﹣，]，令t＝2x﹣∈[﹣，]，g（t）＝2sin t，t﹣，]，如图所示
；
当t＝﹣时，g（t）最小，且为：﹣1，当t＝时g（t）最大且2，所以g（t）∈[﹣1，2]，
所以g（x）在[，]的值域为：[﹣1，2]．
21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．
（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；
（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？
【分析】（1）由题意可得函数g（x）和函数h（x）的解析式，再用作差法比较大小即可；
（2）利用函数f（x）在各段的单调性即可求解．
解：（1）由题意可知：g（x）＝，h（x）＝，（0＜x＜50），∴，
∴0＜x＜50，
∴当1≤x≤17（x∈N*）时，g（x）＞h（x）；当18≤x≤49（x∈N*）时，g（x）＜h（x）；
∴，其中x∈N*；
（2）即求当x为何值时，f（x）最小，
∵f（x）＝在[1，17]上为减函数，f（x）＝在[18，49]上为增函数，而，
∴当x＝18时，f（x）最小，
即制作画册的工人18位，制作书刊的工人32位，完成订单所需时间最短．
22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．
（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；
（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．【分析】（1）先判断出函数f（x）的单调性，然后求其最小值，再列出关于k的不等式，求解即可；
（2）分类讨论函数h（x）在（0，2]和（2，+∞）上的零点情况，其中用到了零点存在性定理；利用得出的零点结论，找到关系式，然后将﹣log2x0代入函数f（x）中进行计算即可证明不等式成立．
解：（1）因为是增函数，是减函数，所以函数f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝0，
因为对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，
所以g（k）＝log2k＜0，解得0＜k＜1，
故k的取值范围为（0，1）．
（2）（i）由于函数在（0，+∞）上的值域为[﹣1，1]，所以下面分两种情况讨论：
①当x∈（0，2]时，因为g（x）与均单调递增，
所以h（x）在（0，2]上单调递增．
因为，，
所以．
由函数零点存在定理知，∃，使得h（x0）＝0，
所以h（x）在x∈（0，2]有且只有一个零点x0．
②当x∈（2，+∞）时，因为g（x）＝log2x单调递增，所以g（x）＞g（2）＝log22＝1，因为≥﹣1，所以h（x）＞1+（﹣1）＝0，即h（x）在（2，+∞）上没有零点．
综上所述，h（x）有且只有一个零点x0．
（ii）因为，即，
所以0，，
因为在上单调递减，所以，
所以．。