2019-2020学年人教A版福建省厦门市高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设A ＝{x |2x ＞1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．[0，2]B ．（0，2]C ．（0，+∞）D ．[﹣2，+∞）2．（5分）已知向量a →=（1，2），a →+b →=（m ，4），若a →⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．33．（5分）已知扇形的圆心角为2π3，面积为4π3cm 2，则扇形的半径为（ ） A ．12cmB ．1cmC ．2cmD ．4cm4．（5分）已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N ，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ） A ．100NB ．50√3NC ．50ND ．50√33N5．（5分）已知a ＝0.20.3，2b ＝0.3，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b6．（5分）已知点（m ，n ）在函数y ＝log 2x 的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A ．（m 2，n 2）B ．（2m ，2n ）C ．（m +2，n +1）D ．(m2，n −1)7．（5分）已知函数f （x ）＝sin x +|sin x |，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x +π）＝f （x ）B ．f （x ）的值域为[0，1]C ．f （x ）在[π2，π]上单调递减D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称8．（5分）若函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，0] B ．（﹣∞，0]C ．（﹣∞，﹣4]D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y ＝ka t （k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1）．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过30m 2C ．浮萍面积从2m 2蔓延到64m 2只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到4m 2，6m 2，9m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1+t 3＝2t 2 10．（5分）已知函f （x ）＝ln （√x 2+1+1），则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）是偶函数 B ．f （x ）有最小值 C ．f （x +2）＞f （x +1）D ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根E ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）如图，全集U ＝N *，A 是小于10的所有偶数组成的集合B ＝{x ∈N *|x ≥5}，则图中阴影部分表示的集合为 ．12．（5分）已知函数y ＝a x ﹣2+3（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数y ＝f （x ）的图象上，则f （x ）＝ ．13．（5分）已知tan α＝3，π＜α＜3π2，则cos α﹣sin α＝ ．14．（5分）在四边形ABCD 中，若AC →+CB →+CD →=0→，且|AB →|=|AC →|=|AD →|＝4，则△BCD 的面积为 ．15．（5分）若函数f(x)=1x−1，g(x)=2cos(π3x +π6)，则f （x ）+f （2﹣x ）＝ ：当x ∈[﹣7，7]时，方程f （x ）＝g （x ）的所有实数根的和为 ．（本题第一空2分，第二空3分）16．（5分）高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y ＝[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|（3﹣[x ]），x ∈[0，2），若f(x)=52，则x ＝ ；不等式f （x ）≤x 的解集为 ． 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(√32，12)为单位圆上一点，射线OA 绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为y ＝f （θ）． （1）求函数y ＝f （θ）的解析式，并求f(π2)+f(2π3)； （2）若f(θ)=13，求cos(θ−π3)−sin(θ+7π6)的值．18．（12分）设函数f(x)=x +1x ，x ∈（1，+∞）． （1）判断函数f （x ）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x 的方程x 2﹣ax +1＝0在[2，3]上有解，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝3，△ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点设AB →=a →，AD →=b →． （1）用a →，b →表示AC →，AE →； （2）求AE →与AB →夹角的余弦值．20．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．。
福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题(含答案解析)
福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题（含答案解析）1 已知集合，，则A∩B=（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由交集定义直接求解即可.【详解】集合，，则.故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2 已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得.【详解】因为函数的定义域为,所以要使有意义,只需 ,解得:或,所以函数的定义域为.故选C.【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题.3 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则等于（）A. 2B. －2C. 4D. －4【答案解析】 A【分析】由题意可得，根据，求得的值，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，所以为第三象限角.又是角终边上一点，所以，再根据（为坐标原点），所以，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4 某工厂前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案解析】 C【分析】根据图中表示工厂前年的总产量与之间的关系，得出平均产量的几何意义是原点与该点连线的斜率，从而得出答案．【详解】解：∵工厂前年的总产量与在图中对应点，∴前年的年平均产量即为直线的斜率，由图得，当时，直线的斜率最大，即前5年的年平均产量最高，故选：C．【点睛】本题考查了函数图象的应用问题，也考查了统计中的散点图的应用问题，解题的关键是正确分析出平均产量的几何意义是什么．5 的值为（）A -1 B. C. 3 D. -5【答案解析】 A【分析】进行对数式、分数指数幂和根式的运算即可．【详解】原式＝lg2+lg5﹣2﹣2+2＝lg10﹣2＝1﹣2＝﹣1．故选A．【点睛】本题考查对数式，根式和分数指数幂的运算，考查学生计算能力，属于基础题．6 已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】利用，结合数量积的定义可求得的平方的值，再开方即可．【详解】依题意，，故选D．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.7 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案解析】 B∵，则，故选B.8 已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，，，，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，，再结合对勾函数的性质，从而得解；【详解】解：结合与的图象可知：，，，故，，由对勾函数的图象可知函数在单调递增，当时，所以，故，故选：B．【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题9 （多选题）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：（）A. 设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”B. 函数的充要条件是有最大值和最小值C. 若函数，的定义域相同，且，，则D. 若函数有最大值，则【答案解析】 ACD【分析】A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.【详解】对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符；假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．，即，故命题D是真命题．故选ACD.10 （多选题）已知为平面上两两不重合的四点，且，则（）．A. 当且仅当时，在的外部B. 当且仅当时，C. 当且仅当时，为的重心D. 当且仅当时，三点共线【答案解析】 CD【详解】当时，为的重心，在的内部，所以选项A不正确；当时，，，所以时也有，所以选项B错误；对于选项C重心的几何意义不难得出是正确的：可化为，由于，所以当且仅当时，三点共线，所以选项D正确.11 计算：_____．【答案解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.【详解】依题意，原式.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.12 已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_______.【答案解析】【分析】若则A⊆B，根据集合，集合，即可得出实数的取值范围.【详解】若则A⊆B，又集合，集合，所以.故答案为【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题.13 在平面直角坐标系中，角终边过点，则的值为__________．【答案解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得、的值，从而求得的值．【详解】解：∵平面直角坐标系中，角终边过点，∴，，，∴，，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14 在平面内，点A是定点，动点B，C满足，，则集合所表示的区域的面积是________.【答案解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.15 某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为___．【答案解析】【分析】先利用时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由于“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为”，所以，解得，故每小时油耗为，依题意，解得，依题意，故.所以速度的取值范围为.16 偶函数满足，在时，．若存在，，…，满足，且，则最小值为__________．【答案解析】 1012【分析】由函数是最小正周期为6的偶函数可知函数的值域为，，对任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，然后可得的最小值．【详解】解：∵偶函数满足，∴，∴函数是最小正周期为6的偶函数，且在时，，∴函数的值域为，对任意，（，），都有，∵时，单调递减，根据偶函数的对称性可知时，单调递增，∵，，要使取最小值，尽可能多让取最高点与最低点，满足，且，∵，∴，则最小值为1012，故答案为：1012．【点睛】本题考查函数的图象和性质，考查函数的有界性的应用，考查了分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题.17 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若为第二象限角且，求的值.【答案解析】 (1) ;(2) . 【详解】试题分析：（1）根据图象可得周期，故．再根据图象过点可得．最后根据函数的图象过点可求得，从而可得解析式．（2）由题意可得，进而可求得和，再按照两角和的正弦公式可求得的值．试题解析：(1)由图可知，周期，∴又函数的图象过点，∴，∴，∴，∵，∴．∴,∵函数图象过点，∴，∴，所以.（2）∵为第二象限角且，∴,∴，，∴18 已知函数．（1）写出f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）已知f(x)在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案解析】（1）（2）为奇函数．（3）【分析】（1）根据函数成立的条件即可求出的定义域；（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断的奇偶性；（3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可．【详解】解：（1）∵，恒成立，∴，即的定义域为．（2）∵由（1）得的定义域为关于原点对称，∴，∴为奇函数．（3）∵对任意的，不等式恒成立，∴，又∵是奇函数，∴又∵在定义域内为单调减函数．∴，即对任意恒成立，∴得即为所求．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，综合考查了函数的性质． 19 △ABC是边长为3的等边三角形，,,过点F作交AC边于点D，交BA的延长线于点E．（1）当时，设，用向量表示；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．【答案解析】（1）；（2）【详解】（1）由题意可知：，且，，故，（2）由题意，，，当时，有最大值．20 如图，已知P是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于M，轴于N．（1）比较与的大小，并说明理由；（2）的两边交矩形的边于A、B两点，且，求的取值范围．【答案解析】（1），见解析（2）【分析】（1）记，可求，，由，可得结论；（2）设，，，记，分，两种情况进行讨论，表示出，根据其单调性及端点处函数值可求得范围；【详解】解：（1）记，连接，则，依题意，∴；（2）设，，，记，①当时，，，∴②当时，，，∴综上，，在增函数，在是减函数，在是增函数，∵，，，，∴．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换、平面向量的综合应用，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题．21 如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，，若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系xOy则河岸可看成是曲线（其中是常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分．（1）求的值．（2）现准备建一座桥MN，其中M,N分别在上，且，的横坐标为t．写出桥MN的长l关于t的函数关系式，并标明定义域；当t为何值时，l取到最小值？最小值是多少？【答案解析】（1），.（2）；当时取到最小值，为【分析】（1）计算，，，，将点代入直线方程计算得到答案.（2）计算，得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由题意得：，，∴，，，，把，代入得，解得：，把，代入得，解得.（2）由（1）得：点在上，∴，①桥的长为到直线的距离，故；②由①得：，而，∴，当且仅当时即“=”成立，∴.【点睛】本题考查了函数的应用，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.22 设f(x)是定义在上的函数，若存在，使得f(x)在单调递增，在上单调递减，则称f(x)为上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；（2）若函数是[1,2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f(x)是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．【答案解析】（1）见解析（2）（3）证明见解析；【分析】（1）画出四个函数图像，根据图像集合单峰函数的定义进行判断.（2）利用的导函数的零点在区间列不等式，解不等式求得的取值范围.（3）分成、两种情况进行分类讨论，利用反证法证得结论成立.根据含峰区间的长度的概念列不等式，由此确定满足的条件.【详解】（1）①图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为；②的图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为；③的图像如下图所示，根据图像可知，不是上的单峰函数；④的图像如下图所示，其对称轴为，由图可知，是上的单峰函数，峰点为.（2）函数是上的单峰函数，令，解得，故时，递增，时，递减，所以，解得，故的取值范围是.（3）设为的峰点，则由单峰函数定义可知，在上递增，在上递减.当时，假设，则，从而，与矛盾，所以，即是含峰区间.当时，假设，则，从而，与矛盾，所以，即是含峰区间.在所得的含峰区间内选取，由与或与，确定一个新的含峰区间，对先选择的，，①，在第一次确定的含峰区间为的情况下，的取值应满足②，由①②可得，当时，含峰区间的长度为.由条件，得，从而.因此确定的含峰区间的长度不大于，只要取.【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查反证法，综合性很强，属于难题.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：2.2.2 对数函数及其性质 Word版含解析
2.2.2 对数函数及其性质课后篇巩固提升基础巩固1.y=2x与y=log2x的图象关于( )A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a (x+c )的图象是由y=log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.4.已知a>0且a ≠1,函数y=log a x ,y=a x ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,再由函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确.5.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( )2-1313g 1213A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=<20=1,b=log 2<log 21=0,c=lo >lo =1,∴c>a>b.故选D .2-1313g 1213g 12126.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f = .(12)f (x )=log a x (a>0,a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f =log 2=-1.(12)1217.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度,可求出解析式或利用几何图形直观推断.8.已知函数f (x )=直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围{log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,是 .f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.9.作出函数y=|log 2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图象,如图甲.再将y=log 2x 在x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图象不变),得函数y=|log 2x|的图象,如图乙;然后将y=|log 2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).10.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).由题意,f(9)=log a9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).g1(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo x.3能力提升1.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.2.若函数f (x )=log 2x 的反函数为y=g (x ),且g (a )=,则a=( )14A.2 B.-2 C. D.-1212,得g (x )=2x .∵g (a )=,∴2a =,∴a=-2.14143.若函数f (x )=log 2(x 2-ax-3a )在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)t (x )=x 2-ax-3a ,则由函数f (x )=log 2t 在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t (x )在区间(-∞,-2]上是减函数,且t (-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D .4.已知函数f (x )=a x +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值等于( )A. B.2 C.3D.1213y=a x 与y=log a (x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a ,整理得1+a+log a 2=a ,即log a 2=-1,解得a=.故选A .125.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a==2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,log 43.6log 42∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.6.已知a>0且a ≠1,则函数y=a x 与y=log a (-x )在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).方法一)首先,曲线y=a x 位于x 轴上方,y=log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x 与y=log a (-x )的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x 的图象,又y=log a x 与y=a x 互为反函数(两者图象关于直线y=x 对称),则可直接选②.7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 .f (x )的解析式为f (x )=其图象如右图所示.{lg x ,x >0,0,x =0,-lg (-x ),x <0,由函数图象可得不等式f (x )>0时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).-1,0)∪(1,+∞)8.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M.(1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围;(2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得解得-<a ≤-1.{2a +2≤0,5a +4>0,45所以a 的取值范围为.(-45,-1](2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.{4-4a 2<0,a >0,{a 2>1,a >0,所以a 的取值范围为(1,+∞).9.已知函数f (x )=log 2(a 为常数)是奇函数.1+ax x -1(1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.∵函数f (x )=log 2是奇函数,1+axx -1∴f (-x )=-f (x ).∴log 2=-log 2.1-ax -x -11+ax x -1即log 2=log 2,∴a=1.ax -1x +1x -11+ax 令>0,解得x<-1或x>1.1+x x -1所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f (x )+log 2(x-1)=log 2(1+x ),当x>1时,x+1>2,∴log 2(1+x )>log 22=1.∵x ∈(1,+∞),f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,∴m ≤1.故m 的取值范围是(-∞,1].。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
2019_2020学年高中数学第一章空间几何体章末质量检测(含解析)新人教A版必修2
章末质量检测(一) 空间几何体一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )A．20条 B．15条C．12条 D．10条解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱共有对角线2×5＝10条．答案：D3．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B4．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( ) A．4S B．4πSC．πS D．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C5．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( ) A．18 3 cm2 B．18 cm2C．12 3 cm2 D．12 cm2解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为34a2 cm2，易求得高为63a cm，则体积为13×34a2×63a＝212a3＝9，解得a＝32，所以其表面积为4×34a2＝183(cm2)．答案：A6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A．16πB．32π C．36πD．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A7．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.答案：A8．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3D ．43π 解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.答案：C9．[2019·湖北省黄冈中学检测]已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积是( )A.233＋π B.233＋2π C ．23＋π D．23＋2π解析：由直观图可知该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，故其体积V ＝12π×12×2＋12×2×3×2＝π＋2 3. 答案：C 10.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V多面体P－BCC1B1＝13S正方形BCC1B1·PB1＝13×42×1＝163.答案：B11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )A．1：2：3 B．1：3：5C．1：2：4 D．1：3：9解析：如图，由题意知O1A1O2A2OA＝1：2：3，以O1A1，O2A2，OA为半径的圆锥的侧面积之比为1：4：9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1：(4－1)：(9－4)＝1：3：5.答案：B12．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122π B．12πC．82π D．10π解析：过直线O1O2的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为r，母线长为l，因为轴截面是面积为8的正方形，所以2r＝l＝22，所以r＝2，所以圆柱的表面积为2πrl＋2πr2＝8π＋4π＝12π.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体14．[2019·甘肃省兰州市校级检测]若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6. 答案：2＋22＋ 6 15.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，高为5，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为________．解析：如图所示，将三棱柱沿AA 1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝13.答案：1316．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆⊙O 1和外切圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，△ABC 的边长为23，于是知圆锥的底面半径为3，高为3.故所求体积为V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位：cm)．按照给出的数据，求该几何体的体积．解：该几何体的体积V ＝V 长方体－V 三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．18．(12分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．19．(12分)如图所示，在多面体FE ABCD 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积V .解析：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线AG ，BH ，垂足分别为G ，H .连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12.所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， V ＝V E ADG ＋V F BHC ＋V AGD BHC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×24×2＋24×1＝23. 20．(12分)用一张相邻边长分别为4 cm,8 cm 的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略不计)，求该圆柱的表面积．解析：有两种不同的卷法，分别如下：(1)如图①所示，以矩形8 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA ＝4，则OA ＝r 1＝2π cm ，∴两底面面积之和为8π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋8π cm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋8πcm 2.(2)如图②所示，以矩形4 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB ＝8，则OB ＝r 2＝4π cm ，∴两底面面积之和为32π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2.21．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a26a2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.22．(12分)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球的表面积之比．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3r ＝2R∴13π(2R )2·h ＝43πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝r 2＋h 2＝5h ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2h ×5h ＝25πh 2，S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52.。
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第1章 1.3.2 奇偶性 Word版含解析
1.3.2奇偶性1．结合具体函数了解函数奇偶性的含义．(难点)2．会判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)3．能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 偶函数阅读教材P33～P34“观察”以上部分，完成下列问题．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图1-3-4所示，请补出完整函数f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间．图1-3-4【解】由题意做出函数图象如下：据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．教材整理2 奇函数阅读教材P34“观察”至P35“例5”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )【解析】(1)×.如f(x)＝x2，满足f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数．(2)×.存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数．(3)×.函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，也不是偶函数．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]①f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数；②g(x )＝1－x2|x ＋2|－2既不是奇函数也不是偶函数； ③F (x )＝f (x )f (－x )(x ∈R )是偶函数；④h (x )＝x2－1＋1－x2既是奇函数，又是偶函数．其中正确的序号是________． 【精彩点拨】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断．【自主解答】 对于①，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数，①正确；对于②，由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1，∴g (x )＝1－x2|x ＋2|－2＝1－x2x ＋2－2＝1－x2x ，满足g (－x )＝－g (x )，故y ＝g (x )是奇函数，②错误；对于③，∵F (x )＝f (x )f (－x )，∴F (－x )＝f (－x )f (x )＝F (x )(x ∈R )，∴F (x )＝f (x )f (－x )是偶函数，③正确；对于④，由⎩⎨⎧x2－1≥0，1－x2≥0，解得x ＝±1，故函数h (x )的定义域为{－1,1}，且h (x )＝0，所以h (x )既是奇函数，又是偶函数，④正确．【答案】 ①③④定义法判断函数奇偶性的步骤[再练一题]1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)【导学号：97030060】 (1)f (x )＝x 3；(2)f (x )＝|x |＋1；(3)f (x )＝1x2；(4)f(x)＝x＋1x；(5)f(x)＝x2，x∈[－1,2]．【解析】对于(1)，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；对于(2)，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；对于(3)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝错误!＝错误!＝f(x)，则为偶函数；对于(4)，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，则为奇函数；对于(5)，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．故为偶函数的是(2)(3)．【答案】(2)(3)(1)A.12 B.23C.34D．1(2)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.【精彩点拨】(1)利用奇函数的定义得到f(－1)＝－f(1)，列出方程求出a；(2)由已知中f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，我们构造出函数g(x)＝f(x)＋8，由函数奇偶性的性质，可得g(x)为奇函数，由f(－2)＝10，我们逐次求出g(－2)、g(2)，可求f(2)．【自主解答】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴11＋a＝错误!，∴1＋a＝3(1－a)，解得a＝12，故选A.(2)∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.【答案】(1)A (2)－261．由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． 2．利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此．[再练一题]2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.【解析】 由于f (x )是偶函数，由题意可知 ⎩⎨⎧a －1＋2a ＝0，b ＝0， ∴a ＝13，b ＝0. 【答案】 13 0函数f (x ) 【精彩点拨】 设x ＜0，则－x ＞0，结合f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，可求f (x )．【自主解答】 设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－x ＋1.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即－f (x )＝－x ＋1，∴f (x )＝－－x －1. ∵f (x)是奇函数，∴f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x>0，0，x ＝0，－－x －1，x<0.利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1．在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间．2．把x对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入．3．利用函数的奇偶性把f(－x)改写成－f(x)或f(x)，从而求出f(x)．[再练一题]3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，则当x＜0时，f(x)的表达式为( )A．f(x)＝x(x－2) B．f(x)＝x(x＋2)C．f(x)＝－x(x－2) D．f(x)＝－x(x＋2)【解析】∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵当x≥0时，f(x)＝x(x－2)，∴当x＜0时，即－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[－x(－x－2)]＝－x(x＋2)．故选D.【答案】 D[探究共研型]探究1 )上的单调性如何？如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？【提示】如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．探究2 你能否把探究1所得出的结论用一句话概括出来？【提示】奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．探究3若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？【提示】f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.(1)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，则当n ∈N *时，有( )A ．f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)B ．f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)C ．f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)D ．f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )(2)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且f (1－a )＋f (1－2a )＜0，则a 的取值范围是________．【精彩点拨】 (1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．(2)由于y ＝f (x )在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，可得函数f (x )是奇函数．再利用单调性即可得出．【自主解答】 (1)∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＞0， ∴若x 2－x 1＞0，则f (x 2)－f (x 1)＞0，即x 2＞x 1，则f (x 2)＞f (x 1)，若x 2－x 1＜0，则f (x 2)－f (x 1)＜0，即x 2＜x 1，则f (x 2)＜f (x 1)，则函数在(－∞，0]上为单调递增函数．又∵f (x )为定义在R 上的偶函数，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数，则f (n ＋1)＜f (n )＜f (n －1)，即f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)，故选B .(2)∵y ＝f (x )在定义域(－1,1)上，其图象关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．∵f (1－a )＋f (1－2a )＜0，∴f (1－a )＜－f (1－2a )＝f (2a －1)，又y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，∴1＞1－a ＞2a －1＞－1，解得0<a <23. ∴a 的取值范围是0<a <23. 【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，231．利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响．2．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较．[再练一题]4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) 【导学号：97030062】A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)【解析】由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.【答案】 A1．下列函数是偶函数的是( )A．f(x)＝x B．f(x)＝2x2－3C．f(x)＝x D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]【解析】对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不对称，则不是偶函数，故选B.【答案】B2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．【答案】A3．若奇函数f(x)在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2,6]上是( ) 【导学号：97030063】A．增函数且最小值是－1B．增函数且最大值是－1C．减函数且最大值是－1D．减函数且最小值是－1【解析】 ∵奇函数f (x )在[－6，－2]上是减函数，且最小值是1，∴函数f (x )在[2,6]上是减函数且最大值是－1.【答案】 C4．如图1-3-5，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (3)＝0，则不等式f (x )＜0的解集为________．图1-3-5【解析】 画出函数f (x )在R 上的简图，如图所示．数形结合可得不等式f (x )＜0的解集为(－3,0)∪(0,3)． 【答案】 (－3,0)∪(0,3)5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x 2－x . (1)求f (x )的表达式； (2)画出f (x )的图象．【解】 (1)当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，则f (0)＝0；当x <0时，即－x >0，函数f (x )是奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )2－(－x )]＝－(2x 2＋x )＝－2x 2－x .综上所述，f (x )＝⎩⎨⎧2x2－x ，x>0，0，x ＝0，－2x2－x ，x<0.(2)函数f (x )的图象如图所示．。
2020-2021学年高一数学必修第一册(人教A版(2019))(试卷+答案)
2020-2021学年高一数学必修一单元测试卷第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α< C ．sin 20α>D ．sin 20α<3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43B ．34C ．－34D ．－434. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π C 2 D 35.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ） A ．23- B ．23C ．43-D ．436.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29- B ．29 C ． 59- D ． 598 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-xD ．5cos(2)6x π-9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．5B ．23C ．13D 510. 设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33B ．－33C ．539D ．－69 12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 .14. （2020北京） 若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．15. （2020江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3sin cos 2f x x x x x =+-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．22.（12分） 已知函数f(x)＝sin2x －2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值； (2)求函数f(x)的零点的集合．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷 第5章 三角函数（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若=αsin 54，则=βsin (A ．53B ．54C ．53-D ．-54 答案D【解析】角与均以Ox 为始边，且它们的终边关于x 轴对称，=αsin βsin ， 又=αsin 54，∴=βsin -54． 故选：D ．2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<答案:D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<故选D ．3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) A ．43 B ．34C ．－34D ．－43答案:D【解析】：α是第二象限角，所以x<0，r ＝x 2＋16， 所以cos α＝x x 2＋16＝15x ，所以x 2＝9，所以x ＝－3， 所以tan α＝－43. 故选D ．4. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ．2π B ．3π CD【答案】C【解析】：设圆内接正方形的边长为a ，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα===，故选C ． 5.若4sin cos 3θθ-=，且3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin(π)cos(π)θθ---=（） A ．3-B ．3C ．43-D ．43【答案】A【解析】由题意，416sin cos 12sin cos 39θθθθ-=⇒-=， 则72sin cos 09θθ=-<，由于3π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 22sin(π)cos(π)sin cos (sin cos )12sin cos 3θθθθθθθθ---=+=-+=-+=-故选A ．6.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D ．7.若2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ． 29-B ．29C ． 59-D ．59【答案】C【解析】2cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， ()2225cos 2cos22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.选C ． 8 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=（ ）A ．sin()3x π+B ．sin(2)3x π-C ．)62cos(π-x D ．5cos(2)6x π- 【答案】：B 、 【解析】由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，由题意结合图像知，26πϕπ⨯+=，故23πϕ=，则2sin(2)sin(2)sin(2)333y x x x ππππ=+=+-=- sin(2)cos(2)266x x πππ=++=+.故选B ．9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．B ．23 C ．13D 【答案】：A【解析】由3cos28cos 5αα-=，得23(2cos 1)8cos 5αα--=， 得23cos 4cos 40αα--=，化为(3cos 2)(cos 2)0αα+-=，得2cos 3α=-，那么sin 3α=．故选A ．10. 设函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++（0,2πωϕ><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增【答案】C【解析】()2sin 3f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，周期为2,2T ππωω===，函数为偶函数，故,326πππϕϕ-=-=-，故()cos2f x x =-，所以函数在(0,)2π上单调递增. 故选C ．11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33 B ．－33 C ．539 D ．－69【答案】C【解析】：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C ．12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．πB ．3π4C ．3π2D ．7π4【答案】D【解析】：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2， 画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8； 由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13. （2020江苏卷）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 . 【答案】524x π=- 【解析】因为()3sin(2)4f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-. 14. （2020北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 15. （江苏卷）已知22sin ()43πα+=，则sin2α的值是________.【答案】：13【解析】因为22sin ()43πα+=，由2112sin ()(1cos(2))(1sin2)42223ππααα+=-+=+=，解得1sin 23α=16．(2020天津卷改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是________【答案】①③【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确； 51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知π02α<<，4sin 5α=． （1）求tan α及sin 2α的值；（2）求πcos 2sin()2αα++的值．【答案】（1）4tan 3α=，24sin 225α=；（2）825．【解析】（1）因为π02α<<，4sin 5α=，所以3cos 4α=，所以sin 4tan cos 3ααα==，4324sin 22sin cos 25525ααα=⋅=⋅⋅=．（2）原式223382cos 1cos 2()15525αα=-+=⋅-+=．18.（12分）已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．【答案】（1）f(α)＝sinα·cosα.（2）cosα－sinα＝－.(3)－【解析】(1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝可知(cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.又∵<α<，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－.(3)∵α＝－＝－6×2π＋，∴f(-)＝cos(-)·sin(-)＝cos(-6)·sin(-6)＝cos ·sin ＝cos(2π－)·sin(2π－)＝cos ·＝·(-)＝－. 19. （12分）（2020·湖北武汉高一期末）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭； （2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米.20．（12分）【2020·天津高三二模】已知函数()()21cos 3cos 2f x x x x x =-∈R （1）求()f x 的最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性；【答案】（1）π；（2）()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】（1）依题意，()211cos 231cos 3sin cos 2sin 222226x f x x x x x x +π⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭所以2T ωπ==π.（2）依题意，令222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z ， 解得36k x k ππ-+π≤≤+π，所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .设,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，,36B k k ππ⎡⎤=-+π+π⎢⎥⎣⎦，易知,46A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.21. （12分）(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值； (2)求cos β的值．【答案】（1）5314（2）4＋12335 【解析】 (1)∵α为锐角，sin α＝17， ∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314.(2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335.22.（12分）已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合．【答案】（1）1 （2）{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}【解析】(1)因为f(x)＝sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin(2x＋)－1，所以，当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取得最大值1.(2)法一：由(1)及f(x)＝0得sin(2x＋)＝，所以2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．法二：由f(x)＝0得2sin xcos x＝2sin2x，于是sin x＝0或cos x＝sin x即tan x＝. 由sin x＝0可知x＝kπ；由tan x＝可知x＝kπ＋.故函数f(x)的零点的集合为{x|x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z}．。
2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年福建省厦门市高一上学期期末教学质量数学模拟试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章~第五章第4节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，且，则（）{}9,3A m ={}2,9B m =A B =m =A. 0B. 3C. D. 3或03±2. 已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（ ）1rad 5A. B. 1C. 2D. 4123. “”是“”的（）1a >0a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，，，则（ ）ln x π=51log 3y =12z e -=A. B. C. D. x y z<<z x y<<z y x<<y z x<<5. 函数①；②，；③，中，2πcos 2y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin y x =[]0,2πx ∈sin 2y x =[]π,πx ∈-奇函数的个数为（ ）A 0B. 1C. 2D. 36. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭()(3)()g x x f x =-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦最小值是（ ）A. -1B. -2C -4D. -87. 已知函数则的大致图像是（ ）(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()2y f x =-A.B.C.D.8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ π()sin (0)4f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωωπ,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω）A. B. C. D. 59,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(0,2]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）θ5π3-θA. B. C. D. 7π3-1π34π313π310. 下列说法错误的是（）A. 函数与函数表示同一个函数xy x =1y =B. 若是一次函数，且，则()f x ()()165=+f f x x ()41f x x =-C. 函数的图象与y 轴最多有一个交点()f x D. 函数在上是单调递减函数11y x =+()(),11,-∞--+∞ 11. 下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（ ）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A. B.C.D.cos 2y x=sin y x=cos y x=tan y x=12. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R ()1f x -()1f x +[]1,1x ∈-，则下列结论正确的是（）()21f x x =-+A. 7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 为奇函数()7f x +C.在上为减函数()f x ()6,8D. 方程仅有6个实数解()lg 0f x x +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知且，则的终边在第__________象限.tan 0x <cos 0x <x 14. 函数的零点为______.()32x f x =-15. 已知一元二次不等式对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是23208kx kx ++>___________．16. 若函数在区间上的最大值为，最小值为，则()()22211x f x x +=+[]2023,2023-M m ______．M m +=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知为钝角，且.α4cos 5α=-（1）求，的值；sin αtan α（2）求的值sin(π)cos(2π)3πcos tan(π)2αααα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭18. 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..19. 已知定义在上的偶函数，当时，，且.R ()f x 0x ≥()()3x f x a a =-∈R ()326f -=（1）求的值；a （2）求函数的解析式；()f x （3）解不等式：.()2f x >20. 已知函数.π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期及单调递增区间；()f x （2）当时，求的最大值和最小值及取得最大值、最小值时x 的值.ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 21. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L 表示每一轮优化时()()00nG L n L Dn =∈N 使用的学习率，表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，表示衰减0L 0G 速度.已知某个指数衰减的学习率模型，，且当训练迭代轮数为18时，学()102L =018G =习率衰减为.25（1）求该学习率模型的表达式；（2）要使学习率衰减到以下（不含），至少需训练迭代多少轮？（参考数据1515）lg 20.3010≈22.已知函数．424()log 1,()log f x g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；()f x ()f x (2,0)（2）若关于x 的方程有解，求实数a 的取值范围．()()f x g x =数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. A解析：由得，解得或，A B =23m m =3m =0m =当时，，不满足元素的互异性，舍去；3m =39m =当时，成立.0m =A B =故选：A.2. B解析：因为扇形的圆心角为，半径为5，1rad 5所以由弧长公式得扇形的弧长为.1515l r α=⋅=⨯=故选：B.3. D 解析：因为或，11a a >⇔<-1a >又时，不能得出；1a <-0a >时，不能得出；0a >1a <-所以“”是“”的既不充分也不必要条件.1a >0a >故选: D.4. D解析：，，，ln 1π> 51log 03<120e 1-<<.y z x ∴<<故选：D.5. B解析：根据奇函数定义，②中违背了定义域要关于原点对称这一要求，所以排除[]0,2πx ∈②；对于①，，是奇22πcos sin 2y x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-函数；对于③，，是偶函数．sin 2y x=()()sin 2sin 2f x x x f x -=-==故选：B ．6. D解析：因为幂函数的图像过点，所以，得，()f x x α=15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭155α=1α=-所以，则显然在区间上单调递增，1()f x x =3()(3)()1g x x f x x =-=-1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以所求最小值为.11983g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：D 7. A解析：函数，则(),1,ln ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩()()2,1,2ln 2, 1.x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨--<⎪⎩根据复合函数的单调性，当时，函数单调递减；1x ≥()2f x -当时，函数单调递增，只有A 符合1x <()2f x -故选：A.8. C解析：由题意得，则，π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππππ,4244x ωωπω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦则，，πππππ,π2π,2π24422k k ωω⎡⎤⎡⎤++⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z k ∈当时，由，解得，又，故；0k =πππ242πππ42ωω⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩3124ω-≤≤0ω>104ω<≤当时，由，得无解，同理当时，无解.1k =ππ3π242π5ππ42ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ω2,Z k k ≥∈ω故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. BD解析：依题意，5π2π,3k k θ=-+∈Z 当时，，1k =π3θ=当时，，3k =13π3θ=所以BD 选项符合，AC 选项不符合.故选：BD 10. ABD解析：A ：函数的定义域为，函数的定义域为R ，xy x =(,0)(0,)-∞+∞ 1y =所以这两个函数不表示同一个函数，故A 符合题意；B ：设，则，()(0)f x kx b k =+≠2(())()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++又，所以，解得或，(())165f f x x =+2165k kb b ⎧=⎨+=⎩41k b =⎧⎨=⎩453k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以或，故B 符合题意；()41f x x =+5()43f x x =--C ：由函数的定义知，函数图象至多与y 轴有一个交点，故C 不符合题意；D ：函数在上是单调递减函数，故D 符合题意.11y x =+(,1),(1,)-∞--+∞故选：ABD11. BD解析：作出函数的图象，如图1，显然A 错误；cos 2y x =作函数图象，如图2，故B 正确；sin y x=作函数图象，如图3，故C 错误；cos y x=作函数图象，如图4，故D 正确.tan y x=故选：BD 12. BD 解析：因为为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以，即，(11)((1)1)f x f x -+=--+()(2)f x f x =-+因为为奇函数，所以，()1f x -()()11f x f x -=---所以，即，(31)((3)1)f x f x -+-=---+-(2)(4)f x f x -+=--所以，所以，()(4)f x f x =--(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--所以，所以，即函数的一个周期为.()(8)f x f x =-(8)()f x f x +=()f x 8在中，令，得，()(2)f x f x =-+72x =7732222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在中，令，得，()()11f x f x -=---12x =-3111222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故A 错误；1131244f ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭73132224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为，所以，(8)()f x f x +=()()71f x f x +=-所以，从而为奇()()()()()711187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+()7f x +函数，故B 正确；因为在区间上是增函数，且的一个周期为，()21f x x =-+(1,0)-()f x 8所以在上单调递增，在上不为减函数.故C 错误；()f x ()7,8()6,8因为为奇函数，所以的图象关于点对称，()1f x -()f x (1,0)-因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，()1f x +()f x 1x =又当时，，[]1,1x ∈-()21f x x =-+作出与的大致图象，如图所示.()f x lg y x =-其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，lg y x =-lg121-<-故方程仅有6个实数解，故D 正确.()lg 0f x x +=故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二解析：由，得角的终边所在的象限是第二、四象限，tan 0x <x 因为，所以角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，cos 0x <x x 由于上述条件要同时成立，所以的终边在第二象限；x 故答案为：二14. 3log 2解析：令，则，即，()320x f x =-=32x =3log 2x =所以函数的零点为.()32x f x =-3log 2故答案为：3log 215. {}03k k <<解：因为不等式为一元二次不等式，所以，23208kx kx ++>0k ≠又一元二次不等式对一切实数x 都成立，23208kx kx ++>所以有，解得，即，22034208k k k >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩003k k >⎧⎨<<⎩03k <<所以实数k 的取值范围是，{}03k k <<故答案为：．{}03k k <<16. 4解析：因为，()()222222124242111x x x x f x x x x +++===++++令，则，()[]24,2023,20231x g x x x =∈-+()()2f x g x =+又因为，所以函数为奇函数，()()()()224411x x g x g x x x ---===-+-+()g x 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，即，()g x []2023,2023-max min ()()0g x g x +=所以．max min ()2()24M m g x g x +=+++=故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）解：因为为钝角，α所以，3sin 5α===故.3sin 35tan 4cos 45ααα===--（2）原式.sin cos sin tan αααα-+=-+将，，代入，3sin 5α=4cos 5α=-3tan 4α=-得原式.342855332754--==--18. （1）∵， ， ，0x >0y >280x y xy +-=∴，当且仅当时取等号，28xy x y =+≥=28x y =8≥∴，当且仅当时取等号，64xy ≥416x y ==故的最小值为64.xy （2）∵，则 ，28x y xy +=281y x +=又∵， ，0x >0y >∴，2828()(101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=当且仅当时取等号，212x y ==故的最小值为18.x y +19. （1）因为是定义在上的偶函数，且，()f x R ()326f -=所以，即，()()3326f f =-=3326a -=解得.1a =（2）当时，，0x ≥()31x f x =-设，则，则，0x <0x ->()()31x f x f x -=-=-故()31,031,0x x x f x x -⎧-<=⎨-≥⎩（3）由是偶函数，等价于，即，()f x ()2f x >()2f x >312x->得，得，解得或，33x >1x >1x <-1x >故的解集是.()2f x >()(),11,-∞-⋃+∞20. （1）因为，π()sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以函数的周期，2ππ2T ==令,πππ2π22πZ 232k x k k -+≤+≤+∈，得,5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈所以函数的最小正周期为，单调递增区间为.π5ππ[π,π],Z 1212k k k -++∈（2）当时，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则，ππ5π2636x -≤+≤故当，即时，；ππ236x +=-π4x =-min 11()122f x =-+=当，即当时，.ππ232x +=π12x =max ()2f x =即，此时；，此时.max ()2f x =π12x =min 1()2f x =π4x =-21. （1）由条件可得，指数衰减的模型为，()1812n L n D =当时，，代入可得，解得，18n =()25L n =18182152D =45D =所以该学习率模型的表达式()181425n L n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）由学习率衰减到以下（不含），可得，151518141255n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭即，所以，即184255n ⎛⎫< ⎪⎝⎭452log 185n >45218log 5n >，()()452lglg 21lg 22lg 2lg 52lg 21518log 1818181873.9452lg 2lg 52lg 21lg 23lg 21lg 5----=⨯=⨯=⨯=⨯≈----所以，则，即至少需训练迭代74轮.73.9n >74n =22. （1）由题设可得，解得，故的定义域为，410x ->04x <<()f x (0,4)而，4444444()(4)log 1log 1log log 044x x f x f x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故的图象关于点对称．()f x (2,0)（2）法一：因为关于x 的方程即有()()f x g x=4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭解，故在上有解．41x ax -=+(0,4)x ∈下面求在上有解时实数a 的取值范围．41a x x +=-(0,4)x ∈因为与在区间上都是减函数，4y x =y x =-(0,4)所以函数在区间上也是减函数，4y x x =-(0,4)所以时，的取值范围是．04x <<4xx -(3,)-+∞令，解得．13a +>-4a >-因此，所求实数a 的取值范围是．(4,)-+∞法二：，即，()()f xg x =4244log 1log log ()x a x ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭因为有解，故在上有解，()()f x g x =4x x a x -=+(0,4)整理得到在上有解，2(1)40x a x ++-=(0,4)设，显然，则或2()(1)4h x x a x =++-(0)40h =-<(4)0,104,2h a >⎧⎪⎨+<-<⎪⎩(4)0,10.2h a >⎧⎪⎨+-≤⎪⎩解得．4a >-故实数a 的取值范围为． (4,)-+∞。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。
福建省厦门市 2019-2020学年高一上学期期末质量检测(数学)含答案
16.偶函数 满足 ，在 时， ．若存在 ， ，… ，满足 ，且 ，则 最小值为__________．
2019-2020学年度厦门市第一学期高一年级质量检测数学试题
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题下对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
22.设 是定义在 上的函数，若存在 ，使得 在 单调递增，在 上单调递减，则称 为 上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为： ．
（1）判断下列函数中，哪些是“ 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因； ；
（2）若函数 是 上的单峰函数，求实数的取值范围；
（3）若函数 是区间 上的单峰函数，证明：对于任意的 ，若 ，则 为含峰区间；若 ，则 为含峰区间；试问当 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．
19. 是边长为 等边三角形， , ,过点作 交 边于点，交 的延长线于点．
（1）当 时，设 ，用向量 表示 ；
（2）当为何值时， 取得最大值，并求出最大值．
20.如图，已知单位圆（圆心在坐标原点）上一点， ，作 轴于 ， 轴于 ．
（1）比较 与 的大小，并说明理由；
（2） 的两边交矩形 的边于，两点，且 ，求 的取值范围．
2019-2020学年福建省厦门市高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省厦门市高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．设{}21xA x=>∣，{22}B x x =-≤≤∣，则A B =（ ）A ．[]0,2B ．(]0,2 C ．()0,∞+ D ．[)2,-+∞【答案】D【分析】解出不等式21x >，然后可得答案.【详解】因为{}{}210xA xx x =>=>∣∣，{22}B x x =-≤≤∣ 所以A B =[)2,-+∞故选：D2．已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【分析】先计算b 的坐标，再利用a b ⊥可得0a b ⋅=，即可求解. 【详解】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-， 因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=， 解得：3m =-， 故选：A3．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm【答案】C【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =， 故选：C4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N ，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ） A ．100N B ．503NC ．50ND ．503N 【答案】D【分析】利用向量的平行四边形法则求解即可【详解】如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设50AC =， 根据向量的平行四边形法则，503tan 30OB AC OA ==⋅︒=故选：D5．已知0.302a =.，20.3b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ． c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】根据指数函数的单调性分析出a 的范围，根据对数函数的单调性分析出,b c 的范围，结合中间值1，即可判断出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.2xy =在R 上单调递减，所以...030002021<<=，所以01a <<，又因为20.3b =且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0.3log 10b =<=，所以0b <，又因为0.3log y x =在()0,∞+上单调递减，所以0.30.3log 0.2log 0.31>=，所以1c >， 综上可知：c a b >>， 故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.6．已知点(),m n 在函数2log y x =的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A ．()22,m nB ．()2, 2m nC ．()2, 1m n ++D ．,12m n ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意可得2log n m =，再依次验证四个选项的正误即可求解. 【详解】因为点(),m n 在函数2log y x =的图象上， 所以2log n m =，222log 2log 2m m n ==，故选项A 不正确；22222log log log 1m m n +==+，故选项B 不正确；()2log 21m n +≠+，故选项C 不正确；222log log log 212mm n =-=-，故选项D 正确. 故选：D7．已知函数()sin |sin |f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()()f x f x π+= B ．()f x 的值域为[]0,1 C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象关于点(,0)π对称 【答案】C【分析】利用分段函数化简函数解析式，再利用函数的图像和性质，从而得出结论.【详解】2sin ,[2,2]()()sin sin 0,(2,22)()x x k k k Z f x x x x k k k Z πππππππ∈+∈⎧=+=⎨∈++∈⎩故函数的周期为2π，即(2)()f x f x π+=，故排除A, 显然函数()f x 的值域为[]0,2，故排除B,在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数()2sin f x x =为单调递减，故C 正确， 根据函数()f x 的图像特征，可知图像不关于点(,0)π对称，故排除D. 故选：C.【点睛】本题解题时主要利用分段函数化简函数的解析式，在化简的过程中注意函数的定义域，以及充分利用函数的图像和性质解题.8．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞【答案】A【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩， 当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A.【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.二、多选题9．如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系式为(t y ka k R =∈且0k ≠，1)a ≠．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC ．浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t += 【答案】BCD【分析】由题意结合函数图象可得314ka ka =⎧⎨=⎩，进而可得12t y -=；由函数图象的类型可判断A ；代入6x =可判断B ；代入2y =、64y =可判断C ；代入4y =、6y =、9y =，结合对数的运算法则即可得判断D ；即可得解.【详解】由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则314ka ka =⎧⎨=⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（负值舍去）， ∴函数关系式为11222tt y -=⨯=， 对于A ，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A 错误； 对于B ，当6x =时，523230y ==>，故选项B 正确；对于C ，令2y =得2t =；令64y =得7t =，所以浮萍面积从22m 增加到264m 需要5个月，故选项C 正确；对于D ，令4y =得13t =；令6y =得22log 12t =；令9y =得32log 18t =； 所以1222323log 12log 144log 1222t t t =+===+，故选项D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.10．已知函数)()ln 1f x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 有最小值C ．(2)(1)f x f x +>+D ．方程()||30f x x +-=有两个不相等的实数根 【答案】ABD【分析】A ．利用函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性；B ．根据()f x 的奇偶性和单调性确定出()f x 的最小值；C ．根据()f x 的单调性，采用举例的方式进行分析；D ．利用零点的存在性定理判断出()()3g x f x x =+-的零点个数，即可分析出方程()||30f x x +-=的实根个数.【详解】A ．因为)()ln 1f x =的定义域为R 关于原点对称，且()))()ln 1ln1f x f x -===，所以()f x 为R 上的偶函数，故正确；B ．当[)0,x ∈+∞时，1y =单调递增，所以)()ln 1f x =在[)0,+∞单调递增，所以)()ln 1f x =在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0ln 2f x f ==，故正确；C ．因为()f x 在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，所以()()12f f -<-， 所以()()3231f f -+<-+，所以(2)(1)f x f x +>+此时不成立，故错误；D ．记()()3g x f x x =+-，且3y x =-在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 所以()g x 在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，又3y x =-为偶函数，所以()g x 为偶函数，因为())())1ln120,3ln10g g =-<=>，所以()g x 在[)0,+∞上有一个零点，所以()g x 在(),0-∞上也有一个零点， 所以()g x 在R 上有两个零点，所以方程()||30f x x +-=有两个不相等的实数根，故正确， 故选：ABD.【点睛】结论点睛：奇、偶函数在对称区间上的单调性和最值： （1）奇函数在对称区间上的最值互为相反数； （2）偶函数在对称区间上的最值相等； （3）奇函数在对称区间上的单调性相同； （4）偶函数在对称区间上的单调性相反.三、填空题11．如图，全集*U =N ，A 是小于10的所有偶数组成的集合，{}*5B x x =∈≥N ∣，则图中阴影部分表示的集合为__________.【答案】{}2,4【分析】根据维恩图可知，求()UA B ∩，根据补集、交集运算即可.【详解】*U =N ，A 是小于10的所有偶数组成的集合，{}*5B x x =∈≥N ∣，{2,4,6,8}A ∴=，{1,2,3,4}UB =由维恩图可知，阴影部分为(){}2,4U A B =,故答案为：{}2,412．已知函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x =__________.【答案】2x【分析】先求出定点A 的坐标，再代入幂函数()f x x α=，即可求出解析式.【详解】令20x -=可得2x =，此时034y a =+=， 所以函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点()2,4A ， 设幂函数()f x x α=，则42α=，解得2α=，所以()2f x x =，故答案为：2x【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出()2,4A ，设幂函数()f x x α=，代入即可求得2α=，()2f x x =.13．已知tan α=，32ππα<<，则cos sin αα-=_________.【分析】由条件结合三角函数的同角基本关系可解出1sin 2αα==-，然后可得答案.【详解】因为sin tan cos ααα==32ππα<<，22sin cos 1αα+=所以可解得1sin 22αα=-=-所以cos sin αα-=12-14．在四边形ABCD 中，若0AC CB CD ++=，且||||||4AB AC AD ===，则BCD △的面积为_______.【答案】【分析】由向量的加减运算可得四边形ABCD 为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．【详解】在四边形ABCD 中，0AC CB CD ++=，即为0AB CD +=，即AB DC =， 可得四边形ABCD 为平行四边形，又||||||4AB AC AD ===， 可得四边形ABCD 为边长为4的菱形， 则BCD △的面积为正ABC 23443=， 故答案为：43四、双空题 15．若函数1()1f x x =-，()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()(2)f x f x +-=_________；当[]7,7x ∈-时，方程()()f x g x =的所有实数根的和为__________. 【答案】0 4【分析】直接计算11()(2)0121f x f x x x +-=+=---，可以判断1()1f x x =-的图象和()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象都关于点()1,0中心对称，所以所以两个函数图象的交点都关于点()1,0对称，数形结合即可求解.【详解】因为1()1f x x =-， 所以11()(2)0121f x f x x x +-=+=---， 分别作出函数()f x 与()g x 的图象，1()1f x x =-图象的对称中心为()1,0， 令()362x k k Z ππππ+=+∈，可得13x k =+，当0k =时，1x =，所以()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为()1,0，所以两个函数图象的交点都关于点()1,0对称， 当[]7,7x ∈-时，两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则232x x +=，142x x +=，所以12344x x x x +++=，所以方程()()f x g x =的所有实数根的和为4， 故答案为：0，4【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断出1()1f x x =-的图象和()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象都关于点()1,0中心对称，作出函数图象可知两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则2x 和3x 关于()1,0中心对称，1x 和4x 关于()1,0中心对称，所以232x x +=，142x x +=，即可求解.16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 【答案】16 3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩， 当01x ≤<时，5332x -=，即16x =； 当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<， 综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.五、解答题17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，23123f f ππ+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而代入计算；（2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得.【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.所以2251sin sin 23362f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.18．设函数1()f x x x=+，(1,)x ∈+∞. （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（2）若关于x 的方程210x ax -+=在[]2,3上有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）在(1,)+∞上为增函数，证明见解析；（2）510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，作差()()12f x f x -，整理计算判断出正负即可；（2）将关于x 的方程210x ax -+=在[]2,3上有解转化为1a x x=+在[]2,3上有解，进一步转化为1()f x x x=+在[]2,3上的值域问题，求出值域即可. 【详解】解：（1）任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，()()12121211f x f x x x x x -=+-- ()()()()1212211212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； （2）由题意，得21ax x =+在[]2,3上有解，即1a x x=+在[]2,3上有解. 由（1）知1()f x x x=+在[]2,3上为增函数，所以510(),23f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以a 的取值范围是510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值. 【答案】（1）13AC a b =+，1223AE a b =+；（2）13【分析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定AC ，AE 与a ，b 的关系； （2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值. 【详解】解法一：（1）由图可知1133AC AB BC AB AD a b =+=+=+. 因为E 是CD 的中点，所以11112()22323AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭. （2）因为BC AD ∥，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =，所以13||||cos 1322a b a b BAD ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以212121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222121241||12AE a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=⨯= ⎪. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1cos 13||||132AE AB AE AB θ-⋅===-，所以在AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 解法二：（1）同解法一.（2）以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0)A ，12⎛-⎝⎭B ，12C ⎛ ⎝⎭，(3,0)D . 因为E 是CD 的中点，所以744E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以7,44AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，122AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以71142422AE AB ⎛⎫⋅=⨯-+=- ⎪⎝⎭，227313||44AE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1132cos ||||131AE AB AE AB θ-⋅===-⨯，所以AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．20．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【分析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈， 因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为()g x 的图象关于直线512x π=对称， 所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈， 因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.21．2019年是中华人民共和国成立70周年，70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就，为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊，某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单，已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊，现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时．．开始工作．．．．，设制作画册的工人有x 位，制作完画册所需时间为()g x (小时)，制作完书刊所需时间为()h x (小时).（1）试比较()g x 与()h x 的大小，并写出完成订单所需时间()f x (小时)的表达式； （2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？ 【答案】（1）当()*117x x ≤≤∈N时，()()g x h x >；当()*1849x x ≤≤∈N 时，()()g x h x <；()()**100,117()180,184950x x xf x x x x⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪≤≤∈⎪-⎩N N ；（2）安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短. 【分析】（1）由题意得300100()3g x x x==，900180()5(50)50h x x x ==--，利用作差法可比较出()g x 与()h x 的大小，然后可得()f x 的表达式； （2）利用反比例函数的知识求出()f x 的最小值即可. 【详解】（1）由题意得300100()3g x x x==，900180()5(50)50h x x x ==--，()*149,x x ≤≤∈N所以1001805000280()()50(50)x g x h x x x x x --=-=--，()*149,x x ≤≤∈N . 所以当()*117x x ≤≤∈N 时，()()g x h x >；当()*1849x x ≤≤∈N时，()()g x h x <，所以完成订单所需时间()()**100,117()180,184950x x xf x x x x⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪≤≤∈⎪-⎩N N . （2）当()*117x x ≤≤∈N 时，()f x 为减函数，此时100()(17)17f x f ≥=； 当()*1849x x ≤≤∈N时，()f x 为增函数，此时45()(18)8f x f ≥=. 因为(17)(18)f f >，所以当18x =时，()f x 取得最小值458. 所以安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短. 22．已知函数()22x x f x -=-，2()log g x x =.（1）对任意的[0,1]x ∈，()()f x g k >恒成立，求实数k 的取值范围；（2）设()()sin4xh x g x π=+，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()0,1；（2）证明见解析.【分析】（1）利用()f x 的单调性以及对数函数的单调性，即可求出k 的范围（2）对x 进行分类讨论，分为：2(]0,x ∈和(2,)x ∈+∞，利用零点存在定理和数形结合进行分析，即可求解【详解】解：（1）因为2x y =是增函数，2x y -=是减函数，所以()22xxf x -=-在[]0,1上单调递增.所以()f x 的最小值为()00f =， 所以2()log 0g k k =<，解得01k <<， 所以实数k 的取值范围是()0,1. （2）函数2()log sin4xh x x π=+的图象在(0,)+∞上连续不断.①当2(]0,x ∈时，因为2log y x =与sin 4xy π=在(]0,2上单调递增， 所以()h x 在(]0,2上单调递增.因为2222221log sin log log 0336323h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭，(1)sin 04h π=>，所以2(1)03h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 根据函数零点存在定理，存在02,13x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x =. 所以()h x 在(]0,2上有且只有一个零点0x .②当(2,)x ∈+∞时，因为2log y x =单调递增，所以22log log 21y x =>=， 因为sin14xy π=≥-.所以()1(1)0h x >+-=.所以()h x 在(2,)+∞上没有零点.综上：()h x 有且只有一个零点0x . 因为()0020log sin 04x h x x π=+=，即020sinlog 4x x π=-，所以()2020log log 020001sinlog 224x x x f f x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为1y x x =-在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以001325236x x -<-=， 所以05sin46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：对x 进行分类讨论时，①当2(]0,x ∈时，因为2log y x =与sin4xy π=在(]0,2上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当(2,)x ∈+∞时，()0h x >恒成立，所以，()h x 在(2,)+∞上没有零点；最后利用()0020log sin04x h x x π=+=，得到020sinlog 4x x π=-，然后化简可求解。
第2章 一元二次函数、方程和不等式高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A 版2019)解析版
若 ，则角 不为直角 ，有可能 是直角，所以必要条件不成立，“ 不是直角三角形”是“ ”的充分不必要条件
答案选A
【点睛】命题真假的判断也可通过逆否命题进行判断
4．（2020·浙江高一单元测试）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（ ）
故选：D
8．（2021·浙江）已知函数 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】 ，即
当 时，不等式恒成立， ；
当 时， ，则
令 ，则
即 ，解得
故选：B
9．（2020·全国高一单元测试）已知不等式 对任意实数 、 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于 的不等式，解出即可.
【详解】 .
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.
22．（2021·全国高一单元测试）已知不等式 的解集为 ．
（1）解不等式 ；
（2）b为何值时， 的解集为R？
2019-2020学年福建省厦门市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年福建省厦门市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．化简sin15°cos5°﹣cos15°sin5°结果为（）A．sin10°B．cos10°C．sin20°D．cos20°2．集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，+∞）D．（1，+∞）3．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是（）A．a n＝3n﹣1B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n D．a n＝2n﹣14．已知实数x，y满足条件，则z＝x+3y的最大值为（）A．0B．3C．8D．95．在等比数列{a n}中，a2＝2，a3a5＝64．则＝（）A．4B．8C．16D．646．设a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若α∥β，a⊥α，则a⊥β7．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝，则a10＝（）A．B．C．D．8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过BE的平面α与直线A1F平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．2C．4D．5二、多选题（共4小题）.9．已知数列{a n}满足a1＝﹣，a n+1＝，则下列各数是{a n}的项的有（）A．﹣2B．C．D．310．已知a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．a+b＞2c B．a﹣b＞b﹣c C．ac＞bc D．＜11．已知函数f（x）＝sin x+cos x，下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为+1C．f（x）在区间[，]上为减函数D．为f（x）的一个零点12．如图，在正四棱锥P﹣ABCD（底面ABCD为正方形，P在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）A．AC⊥PBB．AB与PD所成角等于BC与PD所成角C．若平面PAD∩平面PBC＝l，则l∥ADD．平面PAD与平面PBC所成二面角与∠APB相等或互补三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为．15．等腰三角形顶角的余弦值为，则一个底角的正切值为．16．已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）a n＝2n+1，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足a cos C+c cos A＝2b cos B．（1）求B；（2）若D是BC边上的中点，AD＝，AB＝1，求△ABC的面积．18．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面ABC是正三角形，侧棱与底面垂直），AB ＝AA1＝2，D，E分别是AA1，CB1的中点．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．19．在①S3＝a6，②S4＝20，③a1+a4+a7＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a3＝6，____．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2+a n，求{b n}的前n项和T n．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB ＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．（1）证明：BD⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBD所成角的大小．21．已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．22．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A﹣B﹣C﹣A为某市的一条健康步道，AB，AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB＝2km，AC＝4km，∠BAC＝．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A ﹣D﹣C（B，D在AC两侧），AD，CD为线段，若∠ADC＝，A到健康步道B﹣C ﹣D的最短距离为2km，求D到直线AB距离的取值范围．参考答案一、单选题（共8小题）.1．化简sin15°cos5°﹣cos15°sin5°结果为（）A．sin10°B．cos10°C．sin20°D．cos20°【分析】直接利用三角函数关系式差角公式的变换求出结果．解：sin15°cos5°﹣cos15°sin5°＝sin（15°﹣6°）＝sin10°．故选：A．2．集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．3．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是（）A．a n＝3n﹣1B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n D．a n＝2n﹣1【分析】着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别得出，即可得出{a n}的通项公式．解：着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别为：a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝82×3，因此{a n}的通项公式可以是：a n＝3n﹣1．故选：A．4．已知实数x，y满足条件，则z＝x+3y的最大值为（）A．0B．3C．8D．9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，化z＝x+7y为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，故选：C．5．在等比数列{a n}中，a2＝2，a3a5＝64．则＝（）A．4B．8C．16D．64【分析】利用等比数列通项公式求出首项和公比，由此能求出结果．解：∵在等比数列{a n}中，a2＝2，a7a5＝64．∴，解得或，故选：C．6．设a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若α∥β，a⊥α，则a⊥β【分析】对于A，a与c相交、平行或异面；对于B，α与γ相交或平行；对于C，b∥α或b⊂α；对于D，由线面垂直的判定定理得a⊥β．解：由a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知：对于A，若a⊥b，b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；对于C，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故C错误；故选：D．7．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝，则a10＝（）A．B．C．D．【分析】直接根据递推关系式求出通项公式，即可求解结论．解：∵数列{a n}满足a1＝1，a n+7﹣a n＝＝﹣，∴a2﹣a1＝1﹣；…∴a n＝a1+1﹣＝5﹣；（n≥2）故a n＝2﹣；故选：C．8．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过BE的平面α与直线A1F平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．2C．4D．5【分析】由过BE的平面α与直线A1F平行，CE∥A1F，得平面α是平面BEC，取DD1中点F，连结CF，EF，则CF∥BE，从而平面α截该正方体所得截面为矩形BCFE，由此能求出平面α截该正方体所得截面的面积．解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C3D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，∵过BE的平面α与直线A1F平行，又CE∥A1F，取DD3中点F，连结CF，EF，则CF∥BE，∵BC＝2，CF＝＝，BC⊥CF，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．已知数列{a n}满足a1＝﹣，a n+1＝，则下列各数是{a n}的项的有（）A．﹣2B．C．D．3【分析】根据递推关系式求出规律，即可求解结论．解：因为数列{a n}满足a1＝﹣，a n+1＝，∴a2＝＝；a4＝＝﹣；故选：BD．10．已知a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．a+b＞2c B．a﹣b＞b﹣c C．ac＞bc D．＜【分析】根据a＞b＞c，取a＝1，b＝0，c＝﹣1，即可排除错误选项，再根据本题为多选题即可得到正确选项．解：根据a＞b＞c，取a＝1，b＝0，c＝﹣1，则可排除BC．故选：AD．11．已知函数f（x）＝sin x+cos x，下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为+1C．f（x）在区间[，]上为减函数D．为f（x）的一个零点【分析】首先把函数变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin x+cos x＝，所以函数的最小正周期为T＝2π，故选项A正确．由于x∈[，]，所以，当x＝时，f（）＝2sinπ＝0，故为函数f（x）的一个零点，故选项D正确．故选：AD．12．如图，在正四棱锥P﹣ABCD（底面ABCD为正方形，P在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）A．AC⊥PBB．AB与PD所成角等于BC与PD所成角C．若平面PAD∩平面PBC＝l，则l∥ADD．平面PAD与平面PBC所成二面角与∠APB相等或互补【分析】利用正四棱锥的概念与性质对每一项进行判断．解：对于A项，连结BD，与AC交于点O，则BD⊥AC，又知PO⊥平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PB，A正确；对于B，AB与PD所成角为∠PDC，BC与PD所成角为∠PDA，因为△PCD≌△PAD，所以∠PDC＝∠PDA，故B正确；对于D，由C项可知，平面PAD与平面PBC的所成二面角为过P作AD，BC的垂线所成的角，显然与∠APB无联系，D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2）．【分析】利用二次函数的图形与性质写出结果即可．解：由题意可知：不等式ax2+bx+c＞0的解集：（﹣1，7）故答案为：（﹣1，2）14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为4π．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，求出母线长，再由圆锥侧面积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，则母线长l＝．故答案为：．15．等腰三角形顶角的余弦值为，则一个底角的正切值为．【分析】首先利用倍角公式的应用求出三角函数的顶角的半角值，进一步利用切化弦思想求出结果．解：设三角形的顶角为A，由于等腰三角形顶角的余弦值为，所以，则，所以三角形底角的正切值为tan B＝cot＝．故答案为：16．已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）a n＝2n+1，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为n为偶数时，，当n为奇数时，λ≤﹣4．．【分析】①直接利用赋值法的应用求出数列的各项，进一步确定结果．②利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+（5n﹣1）a n＝2n+1，则当n＝1时，，当n＝3时，，解得，所以当n≥2时，a1+3a2+5a3+…+（2n﹣3）a n﹣1＝3n，②①﹣②得：，整理得（首相不符合通项），对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，当n为奇数时，只需满足λ≤﹣（a n）max，即当n＝1时，λ≤﹣4，当n为奇数时，λ≤﹣5．故答案为：①；②n为偶数，n为奇数时，λ≤﹣5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足a cos C+c cos A＝2b cos B．（1）求B；（2）若D是BC边上的中点，AD＝，AB＝1，求△ABC的面积．【分析】（1）由a cos C+c cos A＝2b cos B．利用余弦定理得：ab＝a2+c2﹣b2，由此能求出cos B，结合B的范围即可求解B的值；（2）在△ABD中，由余弦定理可得BD2﹣BD﹣6＝0，解方程可求BD的值，进而可求BC＝6，利用三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵a cos C+c cos A＝2b cos B．∴a×+c×＝2b×，整理可得：ab＝a2+c2﹣b2，∵B∈（3，π），（2）∵B＝，D是BC边上的中点，AD＝，AB＝1，∴BC＝6，∴S△ABC＝＝＝．18．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面ABC是正三角形，侧棱与底面垂直），AB ＝AA1＝2，D，E分别是AA1，CB1的中点．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）取CC1的中点E′，连接DE′，EE′，分别证明DE′∥平面ABC，EE′∥平面ABC，可得平面DEE′∥平面ABC，从而得到DE∥平面ABC；（2）由E为CB1的中点，可得E到底面ABC的距离等于BB1＝1，再求出底面△ABC 的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】（1）证明：如图，取CC1的中点E′，连接DE′，EE′，则DE′∥AC，∵AC⊂平面ABC，DE′⊄平面ABC，∴DE′∥平面ABC；∵BC⊂平面ABC，EE′⊄平面ABC，∴EE′∥平面ABC，则DE∥平面ABC；又底面△ABC是边长为2的等边三角形，∴．∴．19．在①S3＝a6，②S4＝20，③a1+a4+a7＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a3＝6，____．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2+a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，分别取三个不同条件，与a3＝6联立求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）把（1）中求得通项公式代入b n＝2+a n，利用数列的分组求和与等差数列及等比数列的前n项和公式求解．解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．若选择条件①S3＝a6，则由a3＝6，得，若选择条件②S3＝20，则由a3＝6，得，若选择条件③a1+a4+a7＝24，则由a7＝6，得，（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有a n＝2n．∴{b n}的前n项和T n＝（41+42+43+…+4n）+6（1+2+3+…+n）＝＝．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB ＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．（1）证明：BD⊥平面PAD；（2）求直线AB与平面PBD所成角的大小．【分析】（1）推导出BC⊥DC，AD⊥BD，取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，从而PO⊥平面ABCD，PO⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAD．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBD所成角的大小．解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．∴AD⊥BD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∵PO∩AD＝O，∴BD⊥平面PAD．∵PA＝PD＝CD＝BC＝1，AD＝，∴AP8+DP2＝AD2，∴AP⊥DP，＝（﹣，，0），＝（，0，），＝（0，，0），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），则sinθ＝＝＝，∴θ＝30°．∴直线AB与平面PBD所成角的大小为30°．21．已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．【分析】（1）根据函数f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a的解析式，可将f（x）＜0化为（2x ﹣a）（x﹣1）＞0，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2⇒a＞1，利用韦达定理可得+＝＝＝，再结合均值不等式即可．解：（1）由f（x）＞0得（2x﹣a）（x﹣1）＞0，当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，8）∪（，+∞），当a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）；等价于2x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0有两个正实数根x1，x3，则+＝＝＝[（a﹣1）+]+2＝2+＝6故+的最小值为6．22．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A﹣B﹣C﹣A为某市的一条健康步道，AB，AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB＝2km，AC＝4km，∠BAC＝．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A ﹣D﹣C（B，D在AC两侧），AD，CD为线段，若∠ADC＝，A到健康步道B﹣C ﹣D的最短距离为2km，求D到直线AB距离的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理易求解；（2）先求出D点的大致轨迹，再结合几何性质求最D点到直线AB距离的最值即可求解．解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得，，（2）D的轨迹为△ADC外接圆的一部分，设△ADC外接圆的半径为R，由（1）得：AB2+BC2＝AC2，所以∠ABC为直角，①当DE通过圆心O时，d达到最大，由几何关系得，四边形OCBE为矩形，②当D无限接近C时，此时d→2，。
期末冲刺卷一 —2020-2021学年【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册(含解析)
高高高高高高高高高高-高高高高高高高A高高2019高高高高高高高高高高高高高高高一、单选题1. 已知i 为虚数单位，纯虚数z 满足(z +a)i =1+i ，则实数a =( )A. −1B. 1C. 0D. 22. 如图，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的周长为( )A. 2√2B. 6C. 8D. 4√2+23. 在△ABC 中，已知B =120°，AC =√19，AB =2，则BC =( )A. 1B. √2C. √5D. 34. 已知两个单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，向量m ⃗⃗⃗ =t e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ (t <0)，则( )A. |m ⃗⃗⃗ |t 的最大值为−√32 B. |m ⃗⃗⃗ |t 的最小值为−2 C. |m ⃗⃗⃗ |t 的最小值为−√32D. |m ⃗⃗⃗ |t的最大值为−2 5. 已知在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=√2AB ，M 是CC 1的中点，则( )A. 直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为√22B. 直线AM 与直线A 1B 1所成角的余弦值为√55C. AM ⊥A 1BD. 直线BM//平面AD 1C 16. 在△ABC 中，点D 在直线AC 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在直线BD 上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ1+λ2=( ) A. 0B. 12C. 79D. 897. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，AP =3，BC =6，则三棱锥外接球的表面积为( )A. 57πB. 63πC. 45πD. 84π8. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是( )A. 成绩在[70,80)分的考生人数最多B. 不及格的考生人数为1000人C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D. 考生竞赛成绩的中位数为75分9. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =4，AC =3，BC =5，AA 1=6，D 为CC 1中点，E 为BB 1上一点，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠A 1AC =60°，M 为平面AA 1C 1C 上一点，且BM//平面ADE ，则点M 的轨迹的长度为( )A. 1B. √2C. √3D. 210. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,16)C. (9,21)D. (15,25)二、多选题11. 如图，棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为线段AB 1上的动点(含端点)，则下列结论正确的是( )A. 平面BCM ⊥平面A 1AB 1B. 三棱锥B −MB 1C 体积最大值为16C. 当M 为AB 1中点时，直线B 1D 与直线CM 所成的角的余弦值为√23D. 直线CM 与A 1D 所成的角不可能是π412. 已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )A. i +i 2+i 3+i 4=0B. 3+i >1+iC. 若z =(1+2i)2，则复平面内z −对应的点位于第四象限D. 已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线13. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且∠C =π3，c =2. ( )A. △ABC 面积的最大值为√3B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为2+4√33C. cosBcosA 的取值范围为(−2,+∞)D. bcosA +acosB =√214. 已知图1中的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，体积为2√2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是( )A. A 2B 2//平面ABCB. AB 2=2√63C. 四边形ABA 2B 2为正方形D. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1与几何体ABCA 2B 2C 2的外接球的体积相等三、填空题15. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，若c ⃗ =3a ⃗ +4b⃗ ，则c ⃗ 与b ⃗ 所成角的余弦值为______ ． 16. 已知复数z 满足z =z+10i 3i，则z 的共轭复数z −的虚部______ ．17. 《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.现有如图所示的“堑堵”ABC −A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，AA 1=AC =1，当“阳马”四棱锥B −A 1ACC 1体积为13时，则“堑堵”即三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的体积为______ ．18. 两个正实数a ，b 满足3a +b =1，则满足1a +3b ≥m 2−m 恒成立的m 取值范围为 ．19. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m >n.则m +n =____． 四、解答题20. (1)计算(1+i1−i )2021+(2−3i)(1+4i)；(2)设复数z 1=2+ai ，z 2=b −4i.(其中a ，b ∈R)，若z 1z 2是纯虚数，且z 1+z 2在复平面内对应的点在直线x +y −1=0上，求|z 1z 2|.21. 已知|a ⃗ |=5，|b ⃗ |=4， (1)若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ=120°．①求a ⃗ ·b ⃗ ； ②求a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量． (2)若a ⃗ // b ⃗ ，求a ⃗ ·b⃗ ．22. 在复平面内，O 是原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2+icosx ，(2+√3sinx)+i(2+cosx)，i 是虚数单位设函数f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数y =f(x)−m 在区间[0,π2]上有2个零点，求实数m 的取值范围．23. 在①m ⃗⃗⃗ =(a +b,c −a)，n⃗ =(a −b,c)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，②2a −c =2bcosC ，，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______． (1)求角B ； (2)若b =4，求△ABC 周长的最大值．24. 已知四边形ABCD ，AB =AD =2，∠BAD =60°，∠BCD =30°.现将△ABD 沿BD边折起使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD ⊥CD.点P 为线段AD 的中点． (1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值．25. 2020年初，世界各地相继爆发了“新冠肺炎”疫情，其最大特点是人传人，传播快，传播广，对人类生命形成巨大危害．而通过佩戴口罩可以防止外界的气体、飞沫进入口鼻呼吸道中，有效地降低病毒传染几率．若在某公共场合不戴口罩被感染的概率是12，戴口罩被感染的概率是110，现有在该公共场合活动的甲、乙、丙、丁、戊五人，每个人是否被感染相互独立． (1)若五人都不戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率； (2)若五人中有3人戴口罩，求其中恰有两人被感染的概率；(3)分别计算戴口罩和不戴口罩五人全部感染“新冠肺炎”的概率，并得出你的结论．26. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABCD ⊥平面CDEF ，四边形CDEF 是边长为2的正方形，四边形ABCD 是直角梯形，其中BC//AD ，BC ⊥CD ，且BC =CD =12AD ．(1)证明：BE ⊥DF ；(2)求平面ABF 与平面CDEF 所成的锐二面角的余弦值．答案和解析一．单选题1.【答案】B【解析】解：设纯虚数z=bi，b∈R，则(z+a)i=1+i可化为bi2+ai=1+i，即(−b−1)+(a−1)i=0，所以a−1=0，解得a=1．故选：B．可设纯虚数z=bi，b∈R，代入方程利用复数相等求出a的值．本题考查了纯虚数的定义与复数相等的概念和应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，∴原图形为平行四边形，一组对边长为1，另一组对边长为√(2√2)2+1=3，∴原图形的周长为2(1+3)=8．故选：C．根据四边形ABCD的直观图是一个边长为1的正方形，可得原图形为平行四边形，一组对边长为1，另一组对边长为√(2√2)2+1=3，即可求出原图形的周长．本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．3.【答案】D【解析】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19=a2+4−2×a×2×cos120°，即a2+2a−15=0，解得a=3(a=−5舍去)，所以BC=3．故选：D．设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．4.【答案】A【解析】解：因为t <0，所以|m|t=√(te 1+2e 2)2t=√t2+4te 1⋅e 2+4t=√t 2+2t+4t=−√t 2+2t+4t 2=−√(2t +12)2+34，当2t =−12，即t =−4时，|m|t取得最大值，且最大值为−√32．故选：A ． 利用|m|t=√(te 1+2e 2)2t=√t 2+4te 1⋅e 2+4t=√t 2+2t+4t=−√t 2+2t+4t 2=−√(2t +12)2+34，即可求解．本题考查了平面向量的模运算，考查了函数思想，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：不妨设AB =2，对于A ，直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为MC AC=√22√2=12≠√22，所以A 错；对于B ，取A 1A 中点N ，连接NC 1、ND 1，因为A 1B 1//C 1D 1，AM//NC 1， 所以直线AM 与直线A 1B 1所成角的余弦值为cos∠NC 1D 1=C 1D 1NC 1=√10≠√55，所以B 错；对于C ，取C 1D 1中点P ，连接MP 、CD 1，PM//CD 1，CD 1//A 1B ，所以PM//A 1B ， 连接AP 、AD 1，AD 1=√12，AP =√13，AM =√10，PM =√3， 所以AP 2=PM 2+AM 2，所以PM ⊥AM ，所以AM ⊥A 1B ，所以C 对； 对于D ，因为BM ∩平面AD 1C 1=B ，所以BM//平面AD 1C 1不成立，所以D 错． 故选：C ．A 求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值判断；B 求AM 与直线A 1B 1所成角的余弦值判断；C 用勾股定理逆定理判断；D 直线BM 与平面AD 1C 1相交于B ．本题以命题真假判断为载体，考查了异面直线成角问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由三角形法则得：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32[−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ1+λ2=1−12=12， 故选：B ．根据三角形法则表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，将BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，确定出λ1与λ2的值，即可求出所求式子的值．此题考查了平面向量的基本定理及其意义，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．7.【答案】C【解析】解：如图，∵PA ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，∴AB 、AC 、AP 两两互相垂直，把三棱锥P −ABC 变形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥P −ABC 的外接球， 长方体的对角线长为√PA 2+AB 2+AC 2=√PA 2+BC 2=√9+36=√45， ∴三棱锥外接球的表面积为4π×(√452)2=45π．故选：C ．由题意可知，AB 、AC 、AP 两两互相垂直，把三棱锥P −ABC 变形为长方体，则长方体的外接球即三棱锥P −ABC 的外接球，求出长方体的对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了分割补形法，是中档题．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查频率分布直方图和平均数、中位数、众数的计算，属基础题． 逐项进行分析判断即可得到答案． 【解答】解：通过频率分布直方图可看到成绩在70分∼80分的人的比重最大，所以人数也最多，所以A 正确；不及格的人数为4000×0.025×10=1000人，所以B 正确；根据公式算出平均分为0.01×10×45+0.015×10×55+0.02×10×65+0.03×10×75+0.015×10×85+0.01×10×95=70.5，故C 正确； ∵(0.01+0.015+0.02)×10=0.45<0.5，故中位数在70∼80之间，设为x ，则0.45+x ·0.03=0.5，解得x =53，故中位数是71.67，故D 错误； 故选D ．9.【答案】C【解析】解：由题意得BE =2，CD =3，在CD 上取点M 1，使M 1D =2，M 1C =1，则M 1D//BE 且M 1D =BE ，所以四边形BEDM 1是平行四边形，所以BM 1//DE ． 在AC 上取点M 2，使M 2A =2，M 2C =1，则CM 1M 1D=CM 2M2A=12，所以M 1M 2//AD ． 又BM 1∩M 1M 2=M 1，DE ∩AD =D ，所以平面BM 1M 2//平面ADE ，所以点M 的轨迹就是线段M 1M 2， 在△CM 1M 2中，CM 1=CM 2=1，∠M 1CM 2=120°，由余弦定理得M 1M 2=√BM 12+BM 22−2BM 1⋅BM 2cos120°=√3．M 1M 2=√3， 故选：C ．在CD 上取点M 1，使M 1D =2，M 1C =1，则证明BM 1//DE.在AC 上取点M 2，使M 2A =2，M 2C =1，证明面BM 1M 2//平面ADE ，推出点M 的轨迹就是线段M 1M 2，然后求解即可．本题考查空间中点、线、面的位置关系、直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理、余弦定理，考查空间想象能力，考查直观想象、逻辑推理核心素养．10.【答案】A【解析】 【分析】作出函数f(x)的图象，由图象及对称性可得，x 1x 2=1，x 3+x 4=12，即为x 4=12−x 3，2<x 3<4，代入所求式子，运用二次函数的值域，结合单调性可得所求范围． 本题考查分段函数的运用：求取值范围，考查正弦函数的对称性和应用，以及二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题． 【解答】解：作出函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10的图象，存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1<x 2<x 3<x 4， 且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)， 可得−log 2x 1=log 2x 2，即有x 1x 2=1，且x 3+x 4=2×6=12，即为x 4=12−x 3，2<x 3<4， 则(x 3−2)(x 4−2)x 1x 2=(x 3−2)(x 4−2)=(x 3−2)(10−x 3)=−(x 3−6)2+16，可得在(2,4)递增， 即所求范围为(0,12)． 故选A ． 二．多选题11.【答案】ABC【解析】解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， BC ⊥面A 1AM ，BC ⊂面BCM ， ∴面BCM ⊥面A 1AM ， 故选项A 正确；设M 到面BB 1C 的距离为h ，V B−MB 1C =V M−B 1BC =13×12×1×1×ℎ=16ℎ，当M 点运动到线段AB 1的端点A 时，h 最大，且距离为1． ∴三棱锥B −MB 1C 的体积最大值为16， 故选项B 正确；如图，将A 1B 1延长至E ，使A 1B 1=B 1E ，连ME ，CE ，易得B 1D//CE ，∴直线CM 与直线CE 所成角即为直线B 1D 与直线CM 所成的角，即∠MCE ， 易得|MC|=√62，|CE|=√3，|ME|=√102，∴cos∠MCE =|MC|2+|CE|2−|ME|22|MC|⋅|CE|=√23， 故选项C 正确；∵A 1D//B 1C ，∴直线CM 与直线B 1C 所成角就是∠MCB 1，当M 从点B 1沿着线段B 1A 向A 点运动时，∠MCB 1逐渐变大， ∴∠MCB 1max =∠ACB 1=π3>π4，故在点A 和点B 1之间，必定存在一点使得∠MCB 1=π4， 故选项D 错误． 故选：ABC ．A 选项中，直接由正方体的性质证明即可；B 选项中将求体积的最大值转化为求M 到面BB 1C 的距离的最大值即可；C ，D 选项可利用平行四边形的方法，将异面直线夹角转化为求相交直线夹角即可； 本题考查了空间中面面垂直的判定，三棱锥的体积，以及异面直线所成的角，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：对于A ，i +i 2+i 3+i 4=i −1−i +1=0，故A 正确； 对于B ，两个虚数不能进行大小比较，故B 错误；对于C ，z =(1+2i)2=1+4i −4=−3+4i ，z −=−3−4i ， 则复平面内z −对应的点的坐标为(−3,−4)，位于第三象限，故C 错误；对于D ，已知复数z 满足|z −1|=|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹是以(1,0)和(−1,0)为端点的线段的垂直平分线，故D 正确． 故选：AD ．利用虚数单位i 的运算性质判断A ；根据两个虚数不能进行大小比较判断B ；利用复数代数形式的乘除运算化简z 进一步求得z −的坐标判断C ；由复数模的几何意义判断D ． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．13.【答案】AB【解析】解：对于A.因为∠C =π3，c =2，可得4=a 2+b 2−ab ≥2ab −ab =ab ，即ab 的最大值为4，可得△ABC 面积S =12absinC ≤12×4×√32=√3，即△ABC 面积的最大值为√3，当且仅当a =b =2时等号成立，可得A 正确； 对于B.设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R =c sinC=4√33， 可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =bccosA =2bcosA =2×4√33sinBcosA =8√33sinBcosA ，因为B =2π3−A ，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8√33cosAsin(2π3−A)=8√33cosA(√32cosA +12sinA)=4cos 2A +4√33sinAcosA =2(1+cos2A)+2√33sin2A =2√33sin2A +2cos2A +2=4√33(12sin2A +√32cos2A)+2=4√33sin(2A +π3)+2．因为0<A <2π3,0<2A <4π3，所以π3<2A +π3<5π3，则当2A +π3=π2，即：A =π12时，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为4√33+2，可得B 正确； 对于C ．cosBcosA=cos(2π3−A)cosA=cos2π3sinA+sin 2π3cosA cosA=−12tanA +√32，而tan A 的取值范围为(0,+∞)∪(−∞,−√3)，所以cosBcosA 的取值范围为(√3,+∞)∪(−∞,√32)，故C 错误；D .若bcosA +acosB =√2，则可得b ⋅b 2+c 2−a 22bc+a ⋅a 2+c 2−b 22ac=√2，可得2c 2=2√2c ，解得c =√2， 由于c =2，故D 错误． 故选：AB ．对于A.由已知利用余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解；对于B.由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√33sin(2A +π3)+2，进而根据正弦函数的性质即可求解；对于C.利用三角函数恒等变换的应用可得cosBcosA=−12tanA +√32，根据正切函数的性质即可求解；对于D.由已知利用余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式，正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正切函数的性质等知识的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．14.【答案】ACD【解析】解：对于A ：因旋转前后，A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2，共面，由棱柱的性质得知：平面A 2B 2C 2//平面ABC ， 从而A 2B 2//平面ABC ，故A 正确；对于B ：因棱柱体积V =S △ABC ⋅AA 1=√34×22⋅AA 1=2√2，解得AA 1=2√63， 设H 为B 2在平面ABC 上的射影， 如图所示：则：点H 在BO 的延长线上，且OH =OB =2√33，又B 2H =OO 2=AA 1=2√63， 从而AH =AO =BO ，所以AB 2=√B 2H 2+AH 2=2，故B 错误；对于C ：因为A 2B 2//A 1B 1//AB ，且A 1B 1=A 2B 2=AB ， 故四边形ABB 2A 2为平行四边形，由对称性可知：AA 2=BB 2，又AB 2=AB =2， 所以四边形ABA 2B 2为正方形，故C 正确；对于D ：因旋转前后正三棱柱ABC −A 1B 1C 1与几何体ABCA 2B 2C 2的外接球都是是以OO 2为直径的球G 上，故球的体积相等，故D 正确． 故选：ACD ．直接利用柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 三．填空题15.【答案】45【解析】解：向量a ⃗ 、b ⃗ 为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =0，若c ⃗ =3a ⃗ +4b ⃗ ， 设c ⃗ 与b ⃗ 所成角为θ， 则cosθ=c⃗ ⋅b ⃗ |c ⃗ ||b ⃗ |=b ⃗ ⋅(3a ⃗ +4b⃗ )|3a ⃗ +4b⃗ ||b ⃗ |=√9+16×1=45． 故答案为：45．利用向量的数量积，转化求解向量的夹角的余弦函数值即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，是中档题．16.【答案】1【解析】解：z =z+10i 3i，化为：z =−10i 1−3i =−10i(1+3i)(1−3i)(1+3i)=3−i ，则z 的共轭复数z −=3+i 的虚部为1． 故答案为：1．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】√32π【解析】解：由已知可得，BC ⊥平面A 1ACC 1， 则V B−AA 1C 1C =13×1×1×BC =13， 解得BC =1．此时“塹堵”即三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的直径A 1B =√12+12+12=√3， ∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的体积为V =43π×(√32)3=√32π．故答案为：√32π．首先利用锥体的体积公式求出BC 长度，进一步求出球的直径，再由球的体积公式得答案．本题考查锥体的体积公式的应用，多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】[−3,4]【解析】 【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得1a +3b 的最小值，再由不等式恒成立思想可得m 2−m 小于等于最小值，解不等式可得所求范围．本题考查基本不等式的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题． 【解答】解：由3a +b =1，a >0，b >0， 可得1a+3b=(3a +b)(1a+3b)=6+ba+9a b ≥6+2√b a⋅9a b=12，当且仅当a =16，b =12上式取得等号， 由题意可得m 2−m ≤1a +3b 恒成立， 即有m 2−m ≤12，解得−3≤m ≤4． 故答案为[−3,4]．19.【答案】34【解析】 【分析】本题考查相互独立事件同时发生的概率以及对立事件的应用，难度一般．根据相互独立事件的概率乘法公式得到m ×13×n =124⇒m ×n =18，再利用对立事件的概率简化得到(1−m )×23×(1−n )=14⇒1−m −n +m ×n =38，进而求解即可． 【解答】解：由题知三个社团都能进入的概率为124， 即m ×13×n =124⇒m ×n =18， 又因为至少进入一个社团的概率为34， 即一个社团都没能进入的概率为1−34=14，即(1−m )×23×(1−n )=14⇒1−m −n +m ×n =38， 整理得m +n =34． 故答案为34． 四．解答题20.【答案】解：(1)∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，i 4=1，∴(1+i1−i )2021=i 2021=(i 4)505⋅i =i ， ∴(1+i 1−i)2021+(2−3i)(1+4i)=i +(2−3i +8i −12i 2)=14+6i …(4分) (2)z 1z 2=2+ai b −4i =(2+ai)(b +4i)b 2+16=(2b −4a)+(8+ab)i b 2+16因为z 1z 2是纯虚数，所以{2b −4a =08+ab ≠0，即b =2a ，又因为z 1+z 2=(2+b)+(a −4)i =(2+2a)+(a −4)i ， 所以z 1+z 2在复平面内对应的点为(2+2a,a −4)， 所以2+2a +a −4−1=0得a =1，b =2…(8分) 因为z 1z 2=(2+i)(2−4i)=8−6i ， 所以|z 1z 2|=√82+(−6)2=10…(10分)【解析】(1)计算1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ，根据i 4=1，可得(1+i1−i )2021，利用复数的运算法则即可得出． (2)z 1z 2=2+ai b−4i =(2+ai)(b+4i)b 2+16=(2b−4a)+(8+ab)ib 2+16，利用z 1z 2是纯虚数，可得{2b −4a =08+ab ≠0，即b =2a.根据z 1+z 2在复平面内对应的点在直线x +y −1=0上，即可得出a ，b ，进而得出|z 1z 2|.本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)①a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos θ=5×4×cos 120°=−10．②a ⃗ 在b ⃗ 上的投影向量为|a ⃗ |·cos θb⃗ |b ⃗ |=5×(−12)×b⃗ 4=−58b ⃗ ． (2)∵a ⃗ // b ⃗ ，∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ=0°或θ=180°． 当θ=0°时，a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos 0°=20． 当θ=180°时，a ⃗ ·b ⃗ =|a ⃗ ||b⃗ |cos180°=−20．【解析】本题考查向量的夹角 、向量的数量积 、投影向量以及平面向量共线的充要条件，属于中档题．(1)①利用数量积的定义即可求解； ②利用投影向量定义即可求解；(2)a ⃗ // b ⃗ ，分a ⃗ 与b⃗ 的夹角为θ=0°或180°两种情况即可求解；22.【答案】解：(1)由题意可得，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,cosx)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√3sinx,2+cosx)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3sinx,2)，∴f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3sinx +2cosx =4sin(x +π6)；(2)∵f(x)在[0,π3]上递增，在[π3,π2]上递减，且函数y =f(x)−m 在区间[0,π2]上有2个零点，∴max{f(0),f(π2)}≤m <f(π3)=4， ∵max{f(0),f(π2)}=max{2,2√3}=2√3， ∴2√3≤m <4．即实数m 的取值范围是[2√3,4)．【解析】(1)由已知求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由数量积的坐标运算及两角和的正弦求函数f(x)的解析式；(2)由f(x)在区间[0,π2]上的单调性可得最值，结合函数y =f(x)−m 在区间[0,π2]上有2个零点，即可求得实数m 的取值范围．本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及应用，是中档题．23.【答案】解：(1)选①，∵m⃗⃗⃗ =(a +b,c −a)，n ⃗ =(a −b,c)，且， ∴(a +b)(a −b)+c(c −a)=0，化简得，a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =ac 2ac =12，又因为0<B <π，∴B =π3．选②，根据正弦定理，由2a −c =2bcosC 得2sinA −sinC =2sinBcosC ， 又因为sin A =sin (B +C)=sin Bcos C +sin Ccos B ，所以2sinCcosB =sinC ， 又因为sin C ≠0，所以cosB =12，又因为B ∈(0,π)，所以B =π3． 选③，由sin (B +π6)=cos B +12，得√32sin B +12cos B =cos B +12，即√32sin B −12cos B =12，所以cos (B +π3)=−12， 又因为B ∈(0,π)，所以B +π3=2π3，因此B =π3． (2)由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得16=(a +c)2−3ac ． 又∵a+c 2⩾√ac ，∴ac ⩽(a+c)24，当且仅当a =c 时等号成立，∴3ac =(a +c)2−16⩽3(a+c)24，解得，a +c ≤8，当且仅当a =c =4时，等号成立．∴a +b +c ≤8+4=12． ∴△ABC 的周长的最大值为12．【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理及向量的数量积运算，两角和的正余弦公式，以及基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． (1)选①，利用向量的数量积及余弦定理，可推出cos B =12，由此可求出角B 的大小；选②根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可；选③，利用两角和的正余弦公式可推出cos (B +π3)=−12，进而可得B 的大小；(2)由题意，利用余弦定理及基本不等式进行求解即可．24.【答案】(1)证明：因为AB =AD ，∠BAD =60°，所以△ABD 为等边三角形，因为P 为AD 的中点，所以BP ⊥AD ， 取BD 的中点E ，连结AE ，则AE ⊥BD ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，所以AE ⊥平面BCD ， 又CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ，又因为CD ⊥AD ，AD ∩AE =A ，AE ，AD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ， 因为BP ⊂平面ABD ，所以CD ⊥BP ， 又因为CD ∩AD =D ，CD ，AD ⊂平面ACD ， 所以BP ⊥平面ACD ；(2)解：由(1)可知CD ⊥BD ，取BC 的中点F ，则EF ⊥DE ，即EA ，EF ，ED 两两垂直，以E 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,√3),B(0,−1,0),C(2√3,1,0),D(0,1,0),P(0,12,√32),M(√3,1,0)，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，设平面BPC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{32y +√32z =02√3x +2y =0， 令x =1，则y =−√3,z =3，故n ⃗ =(1,−√3,3)，又MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−12,√32)，所以|cos <n ⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32√13=√3926， 故MP 与平面BPC 所成角的正弦值为√3926．【解析】(1)利用面面垂直的性质定理，可得AE ⊥平面BCD ，再利用线面垂直的判定定理可证明CD ⊥平面ABD ，从而得到CD ⊥BP ，再利用等边三角形的性质得到BP ⊥AD ，即可证明BP ⊥平面ACD ；(2)建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BPC 的法向量，求出直线MP 的方向向量，再由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面垂直的判定定理的应用和线面角的求解，涉及了面面垂直的性质定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．25.【答案】解：(1)五人都不戴口罩，恰有两人被感染的概率是P =C 52×(12)2×(1−12)3=516；(2)当被感染的两人都没有戴口罩时，概率为P 1=(12)2×(1−110)3=7294000; 当被感染的两人中，一人戴口罩，一人没有戴口罩时，概率为P 2=C 31×110×(1−110)2×C 21×12×(1−12)=2432000; 当被感染的两人都有戴口罩时，概率为P 3=C 32×(110)2×(1−110)×(1−12)2=274000， 所以五人中有3人戴口罩，其中恰有两人感染的概率是： P =P 1+P 2+P 3=7294000+2432000+274000=6212000．(3)不戴口罩时，五人全部感染的概率为(12)5=132=3.125%， 戴口罩时，五人全部感染的概率为(110)5=0.001%，通过计算可知，戴口罩时被感染的概率远远低于不戴口罩时感染的概率， 因此建议在公共场合一定要佩戴口罩．【解析】本题主要考查相互独立事件的概率计算公式，概率的实际应用． (1)根据相互独立事件的概率计算即可． (2)分三种情况讨论计算，最后概率相加即可．(3)分别计算五个人戴口罩和不戴口罩感染的概率，比较大小即可．26.【答案】(1)证明：连结CE ，DF ，因为四边形CDEF 是正方形，所以DF ⊥CE.…………………………(1分) 因为BC ⊥CD ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ，从而DF ⊥BC.………………………(3分) 又BC ∩CE =C ，BC ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以BE ⊥DF.…………………(5分)(2)解：如图所示，以DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ， 依题意知A(4,0，0)，B(2,2，0)，F(0,2，2)，D(0,0，0).……………………(7分) 设平面ABF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2,2)，{−2x 1+2y 1=0−4x 1+2y 1+2z 1=0，令y 1=1，则{x 1=1y 1=1z 1=1，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1，1)……………………(10分)取平面CDEF 的法向量为n⃗ =(1,0，0)，………………(11分) 设该二面角的平面角为θ，所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3×1=√33.………………(12分)【解析】(1)连结CE ，DF ，说明DF ⊥CE.结合BC ⊥CD ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，推出DF ⊥BC ，证明DF ⊥平面BCE ，即可推出BE ⊥DF ．(2)以DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，求出平面ABF 的法向量，平面CDEF 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值． 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．。
福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题(word无答案)
福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．(★) 3 . 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且( 为坐标原点)，则等于（）A．B．C．D．(★) 4 . 某工厂前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（）A．2B．4C．5D．6(★) 5 . 的值为（）A．-1B．C．3D．-5(★★) 6 . 已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则A．B．C．D．(★★) 7 . 已知，则的值为（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知函数，若关于的方程有四个不同实数解，，，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★★★★★) 9 . 以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。
例如，当，时，，。
则下列命题中正确的是：（）A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”B．函数的充要条件是有最大值和最小值C．若函数，的定义域相同，且，，则D．若函数有最大值，则(★★) 10 . 已知为平面上两两不重合的四点，且，则（）．A．当且仅当时，在的外部B．当且仅当时，C．当且仅当时，为的重心D．当且仅当时，三点共线三、填空题(★★) 11 . 计算： _____ ．(★) 12 . 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.(★) 13 . 在平面直角坐标系中，角终边过点，则的值为__________．(★★★★) 14 . 在平面内，点是定点，动点，满足，，则集合所表示的区域的面积是 ________ .(★★) 15 . 某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为 ___ ．(★★★★) 16 . 偶函数满足，在时，．若存在，，… ，满足，且，则最小值为__________．四、解答题(★★) 17 . 已知函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若为第二象限角且，求的值.(★★) 18 . 已知函数．（1）写出的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．(★★) 19 . 是边长为的等边三角形，, ,过点作交边于点，交的延长线于点．（1）当时，设，用向量表示；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．(★★) 20 . 如图，已知是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于，轴于．（1）比较与的大小，并说明理由；（2）的两边交矩形的边于，两点，且，求的取值范围．(★★★★) 21 . 如图，河的两岸分别有生活小区和，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，，若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系则河岸可看成是曲线（其中是常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分．（1）求的值．（2）现准备建一座桥，其中分别在上，且，的横坐标为．写出桥的长关于的函数关系式，并标明定义域；当为何值时，取到最小值？最小值是多少？(★★★★★) 22 . 设是定义在上的函数，若存在，使得在单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．（1）判断下列函数中，哪些是“ 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；（2）若函数是上的单峰函数，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．。
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．33．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100N B．C．50N D．5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）A．f（x+π）＝f（x）B．f（x）的值域为[0，1]C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于点（π，0）对称8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2 10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）有最小值C．f（x+2）＞f（x+1）D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为．12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为．15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝：当x∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为．（本题第一空2分，第二空3分）16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；（2）若，求的值．18．设函数，x∈（1，+∞）．（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．（1）用，表示，；（2）求与夹角的余弦值．20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：∵A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∪B＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：D．2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．解：∵向量＝（1，2），+＝（m，4），∴＝（m﹣1，2），若⊥，则m﹣1+2×2＝0，∴m＝﹣3，故选：A．3．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm【分析】利用扇形的面积即可求出扇形的半径．解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，可得S＝lr＝r2α．则：r2＝＝＝4．解得r＝2，故选：C．4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100N B．C．50N D．【分析】如图所示，可得||＝||＝•tan30°．解：如图所示，||＝||＝•tan30°＝N．故选：D．5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．解：0＜a＝0.20.3＜0.20＝1，由2b＝0.3，得b＝log20.3＜log21＝0，c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，∴c＞a＞b．故选：B．6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．【分析】把点（m，n）代入函数解析式得log2m＝n，再利用log2＝n﹣1即可判断出点也在函数图象上．解：∵点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，∴y＝log2m＝n，若x＝，则log2x＝log2＝log2m﹣1＝n﹣1，∴点（，n﹣1）也在该函数的图象上，故选：D．7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）A．f（x+π）＝f（x）B．f（x）的值域为[0，1]C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于点（π，0）对称【分析】利用分段函数化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：函数f（x）＝sin x+|sin x|＝，故函数的周期为2π，即f（x+2π）＝f（x），故排除A；显然，函数的值域为[0，2]，故排除B；在上，函数t＝sin x单调递减，故函数y＝2sin x单调递减，故C正确；根据故函数f（x）的图象特征，可得它的图象不关于点（π，0）对称，故排除D，故选：C．8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．解：f（x）＝x2+a|x﹣2|＝，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，解得﹣4≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．故选：A．二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2【分析】函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，即可判断．解：由题意可知，函数过点（1，1）和点（3，4），代入函数关系式：y＝ka t（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1），得：，解得：，∴函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，∵函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误，当x＝6时，y＝25＝32，浮萍的面积超过了30m2，故选项B正确，令y＝2得：t＝2；令y＝64得：t＝7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确，令y＝4得：t1＝3；令y＝6得：t2＝log212；令y＝9得：t3＝log218，∴t1+t2＝3+log212＝log296≠t3，故选项D错误，故选：BC．10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）有最小值C．f（x+2）＞f（x+1）D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根【分析】A：计算f（﹣x），再利用偶函数的定义判断即可；B：，而y＝lnx单调递增，所以函数的最小值为ln2；C：利用“同增异减”的原则判断函数的单调性，由于未已知x的范围，所以无法判断f （x+2）和f（x+1）的大小关系；D：构造函数g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，结合函数的单调性和零点存在定理判断零点个数，再由偶函数的性质，得出x＜0时零点的个数，进而得出方程根的个数．解：函数的定义域为R对于A选项，，所以f（x）是偶函数，即A正确；对于B选项，，所以f（x）有最小值ln2，即B 正确；对于C选项，由复合函数单调性的判断原则﹣﹣同增异减，可知：当x＞0时，函数f（x）单调递增；当x＜0时，函数f（x）单调递减；而此选项中，x的范围无法确定，所以无法比较f（x+2）和f（x+1）的大小，即C错误；对于D选项，令g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，g（x）＝f（x）+x﹣3，由于g（0）＝f（0）﹣3＝ln2﹣3＜0，g（）＝f（）+＝ln4+＞lne+＝＞0，即由零点存在性定理，以及函数的单调性可知：当x＞0时，g（x）＝0有唯一实根因为函数g（x）为偶函数，所以当x＜0时，g（x）＝0有唯一实根，因此，方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根．所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为{2，4} ．【分析】先求出集合A，集合∁U B，先利用韦恩图得到图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A，从而求出结果．解：由题意可知：A＝{2，4，6，8}，∁U B＝{1，2，3，4}∴图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A＝{2，4}，故答案为：{2，4}．12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝x2．【分析】令幂指数等于0，求得x、y的值，可得点A的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．解：对于函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1），令x﹣2＝0，求得x＝2，y＝4，可得它的的图象恒过定点A（2，4），∵点A在幂函数y＝f（x）的图象上，∴设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，则f（x）＝x2，故答案为：x2．13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．【分析】由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinα的值，代入原式计算即可．解：∵tanα＝3，π＜α＜，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝﹣＝﹣，则cosα﹣sinα＝﹣+＝，故答案为：14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为4．【分析】由向量的加减运算可得四边形ABCD为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．解：在四边形ABCD中，++＝，即为+＝，即＝，可得四边形ABCD为平行四边形，又，可得四边形ABCD为边长为4的菱形，则△BCD的面积为正△ABC的面积，即为×42＝4，故答案为：4．15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝0 ：当x∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为 4 ．（本题第一空2分，第二空3分）【分析】第一空：用2﹣x替换x代入解析式计算即可；第二空：作出图象，数形结合即可．解：f（x）+f（2﹣x）＝+＝+＝0；作出f（x）与g（x）在[﹣7，7]上的图象如图：由图可知，共有4个交点，且两两关于点（1，0）对称，设四个交点的横坐标从小到大为a，b，c，d，则a+d＝2，b+c＝2，故这四个实根的和为2×2＝4，故答案为：0；4．16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．【分析】根据题意，化简函数f（x）可得，再分别求解即可．解：当x∈[0，1）时，[x]＝0，f（x）＝3|x﹣1|＝3（1﹣x），令，解得，满足题意；当x∈[1，2）时，[x]＝1，f（x）＝|x﹣1|（3﹣1）＝2（x﹣1），令，解得，不合题意；故若，则；由以上分析可知，，当x∈[0，1）时，令3（1﹣x）≤x，解得；当x∈[1，2）时，令2（x﹣1）≤x，解得1≤x＜2；综上，不等式f（x）≤x的解集为．故答案为：，．四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；（2）若，求的值．【分析】（1）结合三角函数的定义的正弦定义即可求解；（2）由已知结合诱导公式对所求式子进行化简即可求解解：（1）由题意可得，∠AOx＝，根据三角函数的定义可得，y＝f（θ）＝sin（），因此＝sin+sin＝；（2由），可得sin（）＝，所以＝cos[]+sin（）＝2sin （）＝．18．设函数，x∈（1，+∞）．（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据对勾函数性质可知其在（1，+∞）上单调递增，取任意1＜x1＜x2，证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）分离参数得a＝，结合（1）即可求得a的取值范围．解：（1）f（x）在（1，+∞）上单调递增，取任意1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+﹣＝（x1﹣x2）+＝，因为1＜x1＜x2，所以＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）由方程可得a＝＝x+，根据（1）可知a∈[，]．19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．（1）用，表示，；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、向量平面基本定理即可得出．（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．解：（1）如图所示，建立直角坐标系．A（0，0），D（3，0），B（﹣，），C（，），E（，），＝＝（﹣，），＝＝（3，0），设＝（，）＝x（﹣，）+y（3，0），解得x＝1，y＝．∴＝+．同理可得＝+．（2）＝（，），＝（﹣，），•＝﹣+＝﹣．＝＝，＝＝1．设与夹角为θ．∴cosθ＝＝﹣．20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．【分析】（1）由函数图象过的两点及最大值求出函数f（x）的解析式，进而求出函数的单调递增区间；（2）由题意求出函数g（x）的解析式换元，画出函数图象，有图象求出函数g（x）在所给区间的值域．解：（1）由图象知：A＝2，且：﹣πω+φ＝﹣π+2kπ，+φ＝2kπ，k∈Z，|φ|＜π，解得：ω＝，φ＝﹣，所以函数f（x）＝2sin（x﹣）；单调递增区间满足+2kπ≤k∈Z，解得：+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，所以单调递增区间为：[+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；（2）由（1）可得：将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得2sin（2x﹣），又左平移个单位长度可得：g（x）＝2sin （2x+2m﹣），由题意可得：2+2m﹣＝+kπ，k∈Z，0，解得：m＝，所以g（x）＝six（2x﹣），∵x∈[，]，∴2x﹣∈[﹣，]，令t＝2x﹣∈[﹣，]，g（t）＝2sin t，t﹣，]，如图所示；当t＝﹣时，g（t）最小，且为：﹣1，当t＝时g（t）最大且2，所以g（t）∈[﹣1，2]，所以g（x）在[，]的值域为：[﹣1，2]．21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？【分析】（1）由题意可得函数g（x）和函数h（x）的解析式，再用作差法比较大小即可；（2）利用函数f（x）在各段的单调性即可求解．解：（1）由题意可知：g（x）＝，h（x）＝，（0＜x＜50），∴，∴0＜x＜50，∴当1≤x≤17（x∈N*）时，g（x）＞h（x）；当18≤x≤49（x∈N*）时，g（x）＜h（x）；∴，其中x∈N*；（2）即求当x为何值时，f（x）最小，∵f（x）＝在[1，17]上为减函数，f（x）＝在[18，49]上为增函数，而，∴当x＝18时，f（x）最小，即制作画册的工人18位，制作书刊的工人32位，完成订单所需时间最短．22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．【分析】（1）先判断出函数f（x）的单调性，然后求其最小值，再列出关于k的不等式，求解即可；（2）分类讨论函数h（x）在（0，2]和（2，+∞）上的零点情况，其中用到了零点存在性定理；利用得出的零点结论，找到关系式，然后将﹣log2x0代入函数f（x）中进行计算即可证明不等式成立．解：（1）因为是增函数，是减函数，所以函数f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝0，因为对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，所以g（k）＝log2k＜0，解得0＜k＜1，故k的取值范围为（0，1）．（2）（i）由于函数在（0，+∞）上的值域为[﹣1，1]，所以下面分两种情况讨论：①当x∈（0，2]时，因为g（x）与均单调递增，所以h（x）在（0，2]上单调递增．因为，，所以．由函数零点存在定理知，∃，使得h（x0）＝0，所以h（x）在x∈（0，2]有且只有一个零点x0．②当x∈（2，+∞）时，因为g（x）＝log2x单调递增，所以g（x）＞g（2）＝log22＝1，因为≥﹣1，所以h（x）＞1+（﹣1）＝0，即h（x）在（2，+∞）上没有零点．综上所述，h（x）有且只有一个零点x0．（ii）因为，即，所以0，，因为在上单调递减，所以，所以．。