【常考题】高中必修五数学上期中试卷(含答案)(2)

(an an1) 2n(n 1) （ n N * ）.
（Ⅱ）求数列
an 2n1
的前
n
项和
S
n
.
22．已知数列{
an
}的前
n
项和
Sn
an
( 1 )n1 2
2(n
N*)
，数列{ bn
}满足 bn
=
2n
an
．
(I)求证数列{ bn }是等差数列，并求数列{ an }的通项公式；
(Ⅱ)设 cn
b1 a2 ，且 nbn1 (an 2)bn a3n1bn. （1）求数列 an 和 bn 的通项公式；（2）若
1
cn (an 5) log2 bn1 ，求数列 cn 的 前 n 项和Tn.
26．数列an中， a1 1
，当
n
2
时，其前
n
项和
Sn
满足
Sn2
an
(Sn
1) 2
S1S4
，即 (2a1
1)2
a1(4a1
6)，a1
1. 2
故选 D.
【点睛】
本题考查等差数列的前 n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基
础题．
3．A
解析：A 【解析】
【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程 cos C 2b cos C ，由 cosC 0 可得 a 2b ；利用 a
a8 a7 0 可得 a7 和 a8 的符号，即可判断 Sn 的最小值.
【详解】
由已知，得 n 1 Sn nSn1 ，
所以 源自文库n Sn1 ， n n1
所以
na1
2n
an
n
1a1 an1 2n 1
，
所以 an an1 ，
所以等差数列 an 为递增数列.
又 a8
a7
0 ，即
a8 a7
1 ，
列，则 a1 =（ ）
A．2
B．-2
C． 1 2
D． 1 2
3．在斜 ABC 中，设角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知
asin A bsin B csinC 4bsin BcosC ， CD 是角 C 的内角平分线，且 CD b ，则
cosC （ ）
A． 1 8
B． 3 4
17．如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，
在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 ，相距 20 海里的 C 处的乙船，
现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos ______________．
18．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9 ， S6 36 ，则 a7 a8 a9 等于______.
19．已知数列an的通项 an
1 n 1
，则其前 15 项的和等于_______.
n
x y20 20．已知 x, y 满足条件 x 2 y 2 0 ，若目标函数 z= - ax+y 取得最大值的最优解不唯
2x y 2 0
一，则实数 a 的值为__________．
三、解答题
21．已知等差数列an 满足 (a1 a2 ) (a2 a3) （Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
【详解】
y 0 不等式组 2x y 2 表示的平面区域如图中阴影部分所示．
x y 0
由
x y 2x y
2
得
A
2 3
,
2 3
，
由
y 0 2x y
2
得
B
1,0
．
y 0
若原不等式组
2x
x
y
y
2 0
表示的平面区域是一个三角形，则直线
x
y
a
中
a
的取值范
x y a
围是 a 0,1
4 3
,
故选： D
【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面
区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
2．D
解析：D 【解析】
【分析】
把已知 S22
【详解】
S1S4 用数列的首项 a1 和公差 d 表示出来后就可解得 a1 ．，
因为 S1，S2，S4 成等比数列，所以 S22
【常考题】高中必修五数学上期中试卷(含答案)(2)
一、选择题
y 0
1．若不等式组
2
x
x y
y
2 0
表示的平面区域是一个三角形，则实数
a
的取值范围是（
）
x y a
A．
4 3
,
B． 0,1
C．
1,
4 3
D． 0,1
4 3
,
2．设{an}是首项为 a1 ，公差为-1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1, S2 , S4 成等比数
所以 a8 0 ， a7 0 ，
即数列an前 7 项均小于 0，第 8 项大于零，
所以 Sn 的最小值为 S7 ，
故选 D. 【点睛】
本题考查了等差数列前 n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前 n 项和
最值的判断，属于中档题.
7．B
解析：B 【解析】
【分析】
根据等差数列 an 性质可知： a1 a2，a3 a4 ， a5 a6 ， a7 a8 构成新的等差数列，然
A．10
B．120
C．130
D．140
6．设等差数列
an
的前 n
项和为 Sn
，且
nSn1 n 1
Sn
n N*
.若 a8 a7 0 ，则（
）
A． Sn 的最大值是 S8
B． Sn 的最小值是 S8
C． Sn 的最大值是 S7
D． Sn 的最小值是 S7
7．在等差数列 an 中，如果 a1 a2 40, a3 a4 60 ，那么 a7 a8 （ ）
SABC
SACD
SBCD
可构造方程求得 cos C 2
3 ，利用二倍角公式求得结果. 4
【详解】
由正弦定理得： a2 b2 c2 4b2 cos C
则 cos C a2 b2 c2 4b2 cos C 2b cos C
2ab
2ab a
ABC 为斜三角形 cosC 0 a 2b
SABC SACD SBCD
A．95
B．100
C．135
D．80
8．中华人民共和国国歌有 84 个字， 37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，
旗杆正好处在坡度15 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆
顶部的仰角分别为 60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为10 2 米（如图所示），旗杆底
B．-3 或 1 3
C．3 或 1 3
D．-3 或 1 3
10．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2
016·(a2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( )
A．S2 016＝－2 016，a2 a> 013 4
B．S2 016＝2 016，a2 a> 013 4
x y 3 0, 15．设不等式组{x 2 y 3 0, 表示的平面区域为 1 ，平面区域 2 与 1 关于直线
x 1
2x y 0 对称，对于任意的 C 1, D 2 ，则 CD 的最小值为__________．
16．设 是定义在 上恒不为零的函数，对任意
，都有
，若
，
，
，则数列 的前 项和 的取值范围是__________．
．
（1）求 Sn 的表达式；
(2)设 bn ＝
Sn 2n
1
,求数列
bn
的前
n
项和
Tn
．
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一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 【分析】
y 0
要确定不等式组
2x
x
y
y
2 0
表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
x y a
y 0 2x y 2 ，再对 a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数 a 的取值范围． x y 0
2
an
n 1
1 n ，所以 an
n 1
n ，故
Sn n 1 n n n 1 n 120 ，故选 B.
【点睛】
2 1 n 1 1，由 Sn n 1 1 10 解得
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】
【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前 n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积
公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解 出半角的三角函数值.
4．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：∵ a3 a5 2a10 4 ，∴ 2a4 2a10 4 ，∴ a4 a10 2 ，
1 b 2bsin C 1 b bsin C 1 b 2bsin C
2
2
22
2
即： 2sin C 4sin C cos C 3sin C
22
2
C 0,
C 2
0,
2
sin C 0 2
cos C 3 24
cos C 2cos2 C 1 2 9 1 1
2
16 8
本题正确选项： A
log 2
n an
，数列{
2 cncn2
}的前
n
项和为
Tn，求满足 Tn
25 (n N*) 21
的
n
的最大
值.
23．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且
3cos AcosC(tan Atan C 1) 1．
（Ⅰ）求 sin B 的值；
（Ⅱ）若 a c 3 3 ， b 3 ,求
部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速
度应为（米/秒）
A． 3 3 23
B． 5 3 23
C． 7 3 23
D． 8 3 23
9．等比数列{an}的前三项和 S3 13 ，若 a1, a2 2, a3 成等差数列，则公比 q （ ）
A．3 或 1 3
D． 7 7
A． 1 3
B． 3 8
C． 3 7
二、填空题
13．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b, c ，且满足
D．1
sin Asin B sin2 C sin2 A sin2 B ，若 ABC 的面积为 3 ，则 ab __
14．设数列 an 中， a1 2, an1 an n 1 ，则通项 an ___________．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
如解析中图形，可在 HAB 中，利用正弦定理求出 HB ，然后在 RtHBO 中求出直角边 HO 即旗杆的高度，最后可得速度．
【详解】
如图，由题意 HAB 45,HBA 105 ，∴ AHB 30 ， 在 HAB 中， HB AB ，即 HB 10 2 ， HB 20．
的面积．
24．已知数列 an 是公差为 2 的等差数列，若 a1 2, a3, a4 成等比数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令 bn 2n1 an ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn 0 成立的 n 的最小值.
25．已知等差数列an的前 n 项和为 Sn ，且 a1 a2 0, S5 15，数列bn满足：
∴
S13
13(a1 2
a13 )
13(a4 2
a10 )
13
，故选
D.
考点：等差数列的通项公式、前 n 项和公式.
5．B
解析：B 【解析】
【分析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得 an 的表达式，利用裂项求和法求得 Sn 的
表达式，解方程 Sn 10 求得 n 的值.
【详解】
设幂函数为 f x x ，将 4, 2 代入得 4 2, 1 ，所以 f x x .所以
后求出结果 【详解】
由等差数列的性质可知： a1 a2，a3 a4 ， a5 a6 ， a7 a8 构成新的等差数列，
a7 a8 a1 a2 4 1 a3 a4 a1 a2 40 3 20 100
故选 B 【点睛】 本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和 依然成等差，即可计算出结果。
C． 2 3
D． 1 6
4．在等差数列{an}中， a3 a5 2a10 4 ，则此数列的前 13 项的和等于（ ）
A．16
B．26
C．8
D．13
5．已知幂函数
y
f (x) 过点 (4, 2) ，令 an
f (n 1)
f
(n)
，
n
N
，记数列
1 an
的
前 n 项和为 Sn ，则 Sn 10 时， n 的值是（ ）
C．S2 016＝－2 016，a2 a< 013 4
D．S2 016＝2 016，a2 a< 013 4
11．在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，若 b sin 2A 3a sin B 0 ，
b 3c ，则 c 的值为（ ） a
A．1
B． 3 3
C． 5 5
12．若正数 x, y 满足 x 4y xy 0 ，则 3 的最大值为 x y
sin HAB sin AHB sin 45 sin 30
∴ OH HB sin HBO 20sin 60 10 3 ，