2020年秋初二：位置与坐标讲义
北师大版八年级上册数学第三章位置与坐标PPT
新课讲解
知识点1 平面上确定物体位置的方法
议一议
(1)在电影院内，确定一个座位一般需要几个 数据？
(2)在生活中，确定物体的位置还有其他方法 吗？与同伴进行交流.
(3)在平面内，确定一个点的位置一般需要几 个数据呢？
新课讲解
如果将“6排3号”简记作(6，3)，那么“3排6号” 如何表示？(5，6)表示什么含义？
新课讲解
典例分析
例 1.如图，是某教室学生座位的平面图．
(1)请说出王明和陈帅的座位位置． (2)若用(3，2)表示第3排第2列的位置，那么(5，5)表
示什么位置？王明和陈帅的座位位置可以怎样表示？ (3)请说出(3，3)和(4，8)表示哪两位同学的座位位置． (4)(2，3)和(3，2)表示的位置相同吗？一般地，若
讨论
如何给特定的图形建立适当平面直角坐标系吗？
结论
（1）使图形中尽量多的点在坐标轴上； （2）以某些特殊线所在的直线为x轴或者y轴（如高、中线等）； （3）以轴对称图形的对称轴作为x轴或者y轴； （4）以已知点为原点，使它的坐标为（0，0）。
新课讲解
典例分析
例 1.如图正三角形ABC的边长为
6 , 建立适当的直角坐标系 ,并 写出各个顶点的坐标 .
新课讲解
典例分析
例 2.请你在如图所示的平面直角坐标系
中，描出以下各点：A(3，2)，B(0，3)， C(－1，－2)，D(2，－1)．
分析：若想描出点A(3，2)，可先在x轴上找出表示3的 点，并过该点作x轴的垂线；然后再在y轴上找出表 示2的点，并过该点作y轴的垂线，两条垂线的交点 即为点A.利用同样的方法，可以描出点B，C，D.
课堂小结
平 面 直 角 坐 标 系
第3章 位置与坐标-坐标与轴对称 八年级数学暑假提升精品讲义及答案
第13讲 坐标与轴对称模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四小试牛刀过关测1．探索图形坐标变化的过程；2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系；知识点一．坐标系中的平移：（1）将点向右（或向左）平移a 个单位可得对应点或．（2）将点向上（或向下）平移b 个单位可得对应点或．总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．知识点二．坐标系中的对称：（1）点关于x 轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）点关于y 轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（4）点关于点的对称点是．（5）点关于的对称点是．（6）点关于的对称点是．（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．考点一：求点沿x 轴，y轴平移后的坐标例八年级校考开学考试）已知点，将点度，再向上平移个单位长度到达点，则点的坐标为．八年级统考开学考试）将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为1-2】2023下在平面直角坐标系中，将点先向向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到点，则点考点二：关于x轴、y轴对称的点的坐标例八年级专题练习）点关于轴对称点的坐标是，关于轴对称点的坐标是【变式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．模拟预测）点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是点关于轴对称的点的坐标是【变式2-3】八年级校考期末）若点与点关于考点三：利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题例3. （22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标．【变式3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标．【变式3-2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点，点是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上存在一点，连接，，，，使四边形的周长最小，则点的坐标为．【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点、在y轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是．考点四：作图——轴对称变换例4. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标；(2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标；(3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P．【变式4-1】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．(1)在图中画出关于轴对称的图形；(2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时点关于这条直线的对称点的坐标为__________；(3)的面积为__________；写出计算过程．【变式4-2】（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点、点、点、点都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示．(1)在图中画出关于轴对称的；(2)的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；(3)求的面积．(4)在轴上求作一点，使的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________．【变式4-3】数形结合是一种非常重要的数学思想，借助于坐标系我们可以研究特殊的对称关系．已知，，、关于直线的对称点为、．(1)写出的坐标___________，的坐标___________；(2)写出关于的对称点的坐标___________；(3)写出点关于直线的对称点的坐标___________．一、单选题1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）点关于轴对称点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．B．C．D．3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（）A．B．C．2D．44．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（）A．B．C．3D．5．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（）A．B．C．D．（二、填空题6．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是．7．（2024·湖南邵阳·二模）若点与点关于x轴对称，则8．（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是．9．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知，点与点关于轴对称，，则的面积为．10．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为．三、解答题11．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：(1)请直接写出，，三点的坐标；(2)画出关于轴对称的；(3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值．12．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，关于y轴对称图形为（其中：A与，B与，C与相对应）．(1)画出关于y轴对称的图形．(2)写出三个顶点的坐标．(3)求的面积．13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；(3)已知P为x轴上一点，若点P的坐标为，求的面积．14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．【直接应用】(1)已知，求P、Q两点间的距离；(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式的最小值是多少？第13讲 坐标与轴对称模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四小试牛刀过关测1．探索图形坐标变化的过程；2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系；知识点一．坐标系中的平移：（1）将点向右（或向左）平移a 个单位可得对应点或．（2）将点向上（或向下）平移b 个单位可得对应点或．总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．知识点二．坐标系中的对称：（1）点关于x 轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）点关于y 轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（4）点关于点的对称点是．（5）点关于的对称点是．（6）点关于的对称点是．（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．考点一：求点沿x 轴，y轴平移后的坐标例八年级校考开学考试）已知点，将点度，再向上平移个单位长度到达点，则点的坐标为．【答案】【分析】让点A即可得到的坐标．【详解】解：由题中平移规律可知：的横坐标为；纵坐标为；∴的坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了用坐标表示平移．注意左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为【答案】【分析】点的横坐标减，纵坐标减即可得到平移后点的坐标．【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查点的平移规律，用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．在平面直角坐标系中，将点先向向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是【答案】【分析】根据平移的特点即可求解．【详解】解：点先向向右平移个单位长度得到坐标，故答案为：．【点睛】本题考查了点的平移，熟练掌握点平移坐标的变化情况是解题的关键．】点A个单位长度后，得到点，则点【答案】【分析】将点B【详解】点B（【点睛】本题考查了点的平移规律，熟练掌握坐标中点的平移规律是解题的关键．考点二：关于x轴、y轴对称的点的坐标例八年级专题练习）点关于轴对称点的坐标是，关于轴对称点的坐标是根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于【详解】解：点关于于轴对称点的坐标是，关于轴对称点的坐标是．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于【变式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．点关于轴对称的点的坐标是，故选：C．【变式2-2】（模拟预测）点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是点关于轴对称的点的坐标是【答案】根据轴对称的性质，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，即可求解．解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，点关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，点关于轴对称的点的坐标是，故答案为，．【点睛】本题考查了坐标与轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．八年级校考期末）若点与点关于【答案】【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．点与点关于轴对称，∴，解得，∴．故答案为：2．本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．考点三：利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题例3. （22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标．【答案】【分析】如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D，根据轴对称的性质可得当三点共线时，最小，即最小，此时P 与重合，利用三角形面积之间的关系求出点P的坐标即可．【详解】解：如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D，∴，，∴，∴当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，确定当三点共线时，最小，即最小是解题的关键．【变式3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标．【答案】【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出对应点坐标即可；连接交x轴于P，点P即为所求．【详解】解：如图所示，即为所求；∴如图所示，∵AB长度不变，的周长，∴只要最小即可．∴连接交x轴于点P，∵两点之间线段最短，∴，∴结合网格小正方形的特点可得：故答案为：，【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点，点是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上存在一点，连接，，，，使四边形的周长最小，则点的坐标为．【答案】【分析】本题考查了对称性—最短路线，涉及坐标与图形的性质以及勾股定理，根据纵坐标得到，则有，作B关于y轴的对称点E，连接交y轴于D，此时可得四边形的周长最小，这个最小周长的值为，过E作交的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵点，点C的纵坐标为1，∴轴，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，作B关于y轴的对称点E，连接交y轴于D，则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值为，过E作交的延长线于F，如图，则，点E和点F的横坐标为，∴，∴，∴最小周长的值，故答案为：．【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点、在y轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是．【答案】【分析】如图所示，过点A作轴于D，作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于H，连接，则，利用轴对称的性质推出当A、C、P三点共线时，最小，即最小，此时点P与点H重合，根据求出，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作轴于D，作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于H，连接，则，∴，∴，∴当A、C、P三点共线时，最小，即最小，此时点P与点H重合，∵、，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线是解题的关键．考点四：作图——轴对称变换例4. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标；(2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标；(3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P．【答案】(1)(2)见解析，(3)见解析【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．（2）根据轴对称的性质作图，再根据图写出点坐标即可．（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时点到、两点的距离和最小．【详解】（1）解：（1）与关于轴对称，，点．（2）解：如图，即为所求，．（3）解：如图，点即为所标．【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．【变式4-1】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．(1)在图中画出关于轴对称的图形；(2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时点关于这条直线的对称点的坐标为__________；(3)的面积为__________；写出计算过程．【答案】(1)见解析(2)y轴，(3)【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点连线即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点和点B的对称轴为y轴，进而可得点的坐标；（3）根据网格特点和割补法求解面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作：（2）解：如图，∵，，∴点和点B的对称轴为y轴，∵，∴点关于这条直线的对称点的坐标为，故答案为：y轴，；（3）解：的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．【变式4-2】（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点、点、点、点都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示．(1)在图中画出关于轴对称的；(2)的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；(3)求的面积．(4)在轴上求作一点，使的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________．【答案】(1)见解析(2)，(3)12(4)见解析，【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；（2）根据轴对称的性质可得答案；（3）利用所在的长方形的面积减去周围三个三角形面积即可；（4）连接，与y轴交于点P，则，可得，再利用勾股定理计算即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）由（1）知，，关于轴对称点，故答案为：，；（3）；（4）如图，点P即为所求；最小值为：．【点睛】本题主要考查了作图轴对称变换，勾股定理，最短路径问题，关于坐标轴对称的点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．【变式4-3】数形结合是一种非常重要的数学思想，借助于坐标系我们可以研究特殊的对称关系．已知，，、关于直线的对称点为、．(1)写出的坐标___________，的坐标___________；(2)写出关于的对称点的坐标___________；(3)写出点关于直线的对称点的坐标___________．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解；（2）利用轴对称变换的性质求解；（3）利用轴对称变换的性质求解．【详解】（1）如图，∵点与点关于直线对称，∴，∴点与点纵坐标相同，横坐标之和等于，∴点，同理：，（2）∵关于直线对称，∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于，∴点，（3）∵关于直线对称，∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于，∴点，【点睛】此题考查坐标与图形变化一对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．一、单选题1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）点关于轴对称点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】本题考查的知识点是关于轴对称点的坐标特点、判断点所在的象限，解题关键是掌握关于轴对称点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点关于轴的对称点坐标，然后再根据横纵坐标的符号判断所在象限．【详解】解：关于轴对称点是，所在的象限是第三象限，点关于轴对称点所在的象限是第三象限．故选：．2．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于轴对称的点的坐标．【详解】解：根据轴对称得，点关于轴对称的点的坐标是．故选：D3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解之即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，∴，∴，故选：D．4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（）A．B．C．3D．【答案】B【分析】此题主要考查了坐标与图形，对称的性质，平移的性质，平移使点落在点处，连接，则点的对应点为，即，进而得出，再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案．【详解】解：如图，平移使点落在点处，连接，则点的对应点为，即，，，点，作点关于轴的对称点，当点在同一条线上时，最小，，，连接，则的最小值为，故选：B．5．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（）A．B．C．D．（【答案】B【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键．【详解】∵，轴，，∴四边形是矩形，∵点C的坐标为，∴，，∴由轴对称变换可知，，，又∵，∴，∴，∴在中，∵，∴，∴，∴，故选：B．二、填空题6．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查了平面直角坐标系点的对称性质，掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数成为解题的关键．根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可解答．【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是．故答案为．7．（2024·湖南邵阳·二模）若点与点关于x轴对称，则【答案】1【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，以及已知字母的值求代数式的值，根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反求出m，n的值，然后代入代数式计算即可．【详解】解：∵点与点关于x轴对称，∴，，∴，故答案为：1．8．（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解．【详解】设点关于直线对称的点为，∴，解得，，∴．故答案为：．9．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知，点与点关于轴对称，，则的面积为．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形，关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．【详解】解：∵，点与点关于轴对称，∴，∴，又∵，∴到的距离为，∴的面积为，故答案为：．10．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为．【答案】或【分析】根据对称，性质即可，本题考查了对称计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．【详解】∵点，点，∴点B关于直线的对称点为，连接，则，∵点，点，∴点A、D关于y轴对称，∴点B、点E关于y轴的对称点为或，∴点C为或时，．故答案为：或．三、解答题11．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：(1)请直接写出，，三点的坐标；(2)画出关于轴对称的；(3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值．【答案】(1)，，(2)见解析(3)图见解析；周长最小为【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键．（1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标；（2）根据题意作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接即可；（3）连接，利用对称的性质可得，进而根据勾股定理求出和的长，即可求出周长的最小值．【详解】（1）解：由平面直角坐标系中点的位置可知，、、三点的坐标分别为：，，；（2）解：如图，作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接得到，即为所求作三角形；（3）解：连接，则，，，，即的周长最小值为．12．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，关于y轴对称图形为（其中：A与，B与，C与相对应）．(1)画出关于y轴对称的图形．(2)写出三个顶点的坐标．(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)，，(3)【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，作出对应点的位置，是解题的关键．（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，然后再顺次连接即可；（3）利用割补法求出三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形．（2）解：根据图可知，，，．（3）解：．13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；(3)已知P为x轴上一点，若点P的坐标为，求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)2．【分析】本题考查作图—复杂作图、关于轴、轴对称的点的坐标、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。
期末复习——位置与坐标北师大版八年级数学上册PPT教学课件
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期末复习（3）——位置与坐标-2020 秋北师 大版八 年级数 学上册 课件
期末复习（3）——位置与坐标-2020 秋北师 大版八 年级数 学上册 课件
18. 已知点M（2a-b，5+a），N（2b-1，-a+b）.若点M， N关于y轴对称，求（4a+b）2 020的值. 解：∵点M，N关于y轴对称，
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
知识点3 .图形变换与点的坐标变化
6. 已知点A（1，2），B（-1，2），则点A与点B的 关系是（ B ） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于直线x=1对称 D. 关于直线y=1对称
7. 点A的坐标为（1，2），把点A先向右平移2个单位
A. 横坐标都是-3
B. 纵坐标都是2
C. 横坐标都是2
D. 纵坐标都是-3
4. 若点M（a-1，b-1）在第三象限，则它关于x轴对称
的点所在象限是（ B ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5. 若点P（a，b）在第二象限，则点Q（b+5，1-a）所
在象限是（ A ）
A. 第一象限
12. 已知点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则M 点的坐标为（ D ） A. （1，2） B. （-1，-2） C. （1，-2） D. （2，1）或（2，-1）或（-2，1）或（-2，-1）
期末复习（3）——位置与坐标-2020 秋北师 大版八 年级数 学上册 课件
期末复习（3）——位置与坐标-2020 秋北师 大版八 年级数 学上册 课件
解:（1）由已知|a-2|+（b-3）2=0，（c-4）2不大于0 及（c-4）2不小于0， 可得a=2，b=3，c=4.
八年级数学上册 3 位置与坐标 1 确定位置课件 (新版)北师大版
第三章 位置与坐标
1 确定位置
学习新知
检测反馈
秦始皇兵 马俑在什么
位置呢?
你能告诉我陕西省 西安市的位置吗?
温故知新
在数轴上，确定一个点的位置需要几个数据
呢?
例如:
A
B
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
A点表示-2，B点表示3，也就是说
在数轴上，确定一个点的位置一般需 要一个数据。
结论：生活中常常用“排数”和 “座数”来确定位置。
学有所用
下表中是无序排列的汉字，小明拿到一张写 有密码的字条，你能帮他破译吗？
（7,6）（2,2）（8,4）（5,3）（11,5）（10,2）
7课方其华主著将文导格使合 6。条色品线充嘿适当月便绘 5地在多有的和主产不为棒工 4在地一上是中国你能以发了 3民同比双真妇子忆册式林大 2寺，五止多从朋白笔！昌圭 1设和：以驸类她情课加入爱
1.4cm
m
（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？
1.4cm
o 1cm
1cm
解： (1)对我方潜艇来说，北偏东40°的方向 上有两个目标：敌舰B和小岛. 要想确定敌舰B的位置，仅用北偏东40°的方 向是不够的，还需要知道敌舰B距我方潜艇 的距离.
(2)距我方潜艇20 n mile的敌舰有两艘：敌舰 A和敌舰C.
检测反馈
1.在平面内，下列数据不能确定物体位置的是
(B)
A.3楼5号
B.北偏西40°
C.解放路30号
D.东经120°，北纬30°
2.海事救灾船前去救援某海域失火轮船，需
要确定 ( D )
A.方位角
B.距离
C.失火轮船的国籍 D.方位角和距离
北师大版八年级数学(上册)《位置与坐标》辅导讲义
目录：1、知识总结2——32、巩固知识及时练 43、能力培养步步高 54、经典剖析开阔视野6——75、综合练习再巩固8——106、课后培优继续练11——147、知识、能力更上一层楼15——191、知识总结1.确定位置的方法（1）.行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。
（2）.“极坐标”定位法：运用此法需要两个数据：方位角和距离，两者缺一不可。
（3）.经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。
（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。
如“小明住在7号楼3层302号”（5）在方格纸上确定物体的位置：在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定，记作（横向格数，纵向格数）或记作（水平距离，纵向距离），要注意横格数排在前面，纵向格数排在后面。
此种确定位置的方法可看作“平面直角坐标系”中坐标定位法的特例。
2.平面直角坐标系1.平面内确定位置的几种方法:○1有序数对:有两个数据a和b表示,记为_______○2方位角+距离法○3经纬定位法○4区域定位法2.平面直角坐标系:在平面内,两条互相______且具有公共______的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫______或______,向_____为正方向；竖直方向的数轴叫_______或______,向______为正方向。
两条数轴交点叫平面直角坐标系的_______.3.平面内点的坐标:对于平面内任意一点P,过P分别向x轴、y 轴作垂线,x轴上的垂足对应的数a叫P的____坐标,y轴上的垂足对应的数b叫P的_______坐标。
有序数对(a,b),叫点P的坐标。
若P的坐标为(a,b)，则P到x轴距离为_______，到y轴距离为_______．4.平面直角坐标系内点的坐标特征:(1)坐标轴把平面分隔成四个象限。
根据点所在位置填表(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征○1在x轴上的点______坐标为0;○2在y轴上的点______坐标为0;(3)P(a,b)关于x轴、y轴、原点的对称点坐标特征○1点P(a,b)关于x轴对称点P1_____________ ；○2点 P(a,b)关于y轴对称点P2_____________ ；○3点P(a,b)关于原点对称点P3_____________ 。
北师版八年级上册 第三章 位置与坐标 3.1 确定位置 讲义(无答案)
第三章位置与坐标3.1 确定位置1．行列定位法行列定位法是确定平面内某物体位置的重要方法之一，这种方法是把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置；要准确表明某点的位置需要两个互相独立的数据，此方法也是平面直角坐标系内容的一个铺垫．行列定位法用行列定位法表示平面内某点的位置必须有两个数据，缺一不可．【例1】小明站在一个由8行10列组成的队伍中，要想确定小明的位置，需要知道哪些数据？【例2】你到阳光电影院去看电影，你的票上注明的是9排13号，你准备怎样找到自己的座位？2．极坐标定位法这是一种采用方位角和距离的方式来表示物体具体位置的定位方法，运用此方法来确定物体的位置需要两个数据：(1)方位角；(2)距离，两者缺一不可．使用此法首先要找出一个参照点，而其他点的方位角和距离则相对于该参照点而确定下来．【例3】如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用（30,60°）表示，目标D用（50,210°）表示，则表示为（40,120°）的目标是（）A.目标DB. 目标CC. 目标BD. 目标A【例4】下面为新时代学校的平面示意图，A处是教学楼，B处是实验楼，C处是艺体楼，D处是车棚，E处是办公楼，请你借助刻度尺、量角器，解决下列问题：(1)对教学楼来说，要想确定实验楼的位置，还需要什么数据？(2)对教学楼来说，车棚在什么位置？艺体楼在什么位置？3.经纬定位法经纬定位法就是用经度和纬度来确定物体位置的方法，此法在地理学中有着广泛的应用，使用此法来确定物体的位置必须指明经度和纬度，两者缺一不可．经纬定位法经纬定位法既适合于在球面上定位，也适合于在平面上定位．【例5】“神舟九号”飞船已胜利升空，中国人正在逐渐地向宇宙进军，那么你能猜测出地面上的工作人员是如何来确定飞船的位置的吗？点拨：利用地理学上的经纬度来确定物体的位置的定位方法，应用非常广泛．【例6】A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是()．A．东经130°，北纬50°B．东经130°，北纬60°C．东经140°，北纬50°D．东经140°，北纬60°4．区域定位法它是生活中常用的表示物体位置的方法之一，需要有两个数据才能确定物体的位置，用这种方法确定物体的位置具有简单明了的特点，但有时往往不精确，所以要视情况而定．【例7】如图是某学校平面简图的一部分，其中M1代表仓库，其所在的区域为A2区．M2代表办公楼，M3代表实验楼，试说出办公楼、实验楼所在的区域．区域定位法弄清区域定位法中的字母及数字分别表示的含义，依照已知建筑物的表示方法表示建筑物的位置．5．直角坐标定位法直角坐标定位法是生活中常采用的方法之一，在数学中，它是必须掌握的一种确定位置的方法，是后面学习平面直角坐标系的基础，运用此法确定一个物体的位置也需要有两个数据，一个是横坐标，另一个是纵坐标，两者缺一不可．我们习惯用(a，b)来表示某一个物体的位置，其中a代表横坐标，b代表纵坐标．【例8】如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4,0)表示的位置，用(3,9)表示的位置，那么的位置应表示为()．A．(8,7) B．(7,8)C．(8,9) D．(8,8)6．在电影院内如何找到电影票上所指的位置在只有一层的电影院内，确定一个座位的位置需要两个数据，一个是排数，一个是号数．要找到自己电影票上所指的位置，先找到排数，再来找号数，此位置即票上所示的位置．如果是多层的电影院，一般还需要另加一个数据——确定位置在几层．平面上定点平面上确定物体的位置有多种方式，但基本都需要两个数据．【例9】近期某剧院(座位分单、双座)举办某知名歌星个人演唱会，小强与小华买了两张票去观看，座位号分别为10排12号和10排14号．(1)怎样才能既快又准确地找到座位？(2)小强和小华的座位靠在一起吗？7．坐标在生活中的运用人们常说：“找准人生坐标”，意思是很清楚的．事实上，数学中所说的“坐标”在我们日常生活中的应用极为广泛．例如：如图是某公园示意图，请你根据图中比例尺用坐标的方法确定各景点的位置．分析：入口处是我们最先熟悉的地点，因此我们可以选择入口处为坐标原点，西东方向为横轴；南北方向为纵轴建立平面直角坐标系(如图)，分别量出各景点到横轴、纵轴的距离，这样便可知道各景点的坐标．例如动物园到纵轴的距离约为 4.1 cm，到横轴的距离约为2.8 cm，因此动物园的位置是(4.1,2.8)，根据比例尺换算以后，实际是(1 230,840)，这表明动物园在入口处的东1 230 m，北840m处．其余景点的位置用相同的方法即可确定．【例10】如图，用点A(3,1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B(2,3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜．(1)请你写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；(2)若一只兔子从点A到达点B(顺着方格线走)，有以下几条路可以选择：①A→C→D→B；②A→F→D→B；③A→F→E→B，问它走哪条路吃到的胡萝卜最多？走哪条路吃的青菜最多？针对训练1.以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个处所的描述：甲：从学校向北直走600米，再向东直走200米可到图书馆.乙：从学校向西直走200米，再向北直走100米可到邮局.丙：邮局在火车站西方300米处.根据三人的描述，若从图书馆出发，下列四种走法中，终点是火车站的是（）A.向南直走500米，再向西直走800米B.向南直走500米，再向西直走100米C.向南直走700米，再向西直走200米D.向南直走700米，再向西直走600米2.如图，在方格子上摆出了六枚棋子，如果用(2,-1)表示棋子A，用(6,-2)表示棋子B，那么(5,3)表示的是（）A.棋子DB. 棋子CC. 棋子ED. 棋子F3.将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n,m）表示第n排，从左到右第m个数，如(4,2)表示9，则表示58的有序数对是（）A.(11,3)B. (3,11)C. (11,9)D. (9,11)4.如图有一个英文单词，它的各个字母依次是(5,3)，(6,3)，(7,3)，(4,1)，(4,4)所对应的字母，如(2,3)对应字母P，则这个字母单词为______.5.如图，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，如果用（C表示由A到B的一条路径，用同样的方式写出一条由A到B的路径：（3,1）→（___,___）→（___,___）→（___,___）→（1,3）6.宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“日”字形的对角线（即一次对角线为一步），现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，记作.在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中小的是______，最小是______步.7.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(m,n)，表示第m行，从左到右第n个数，如(4,3)表示分数.那么(9,2)表示的分数是______.8.下面是某医院各部门的示意图，横向表示的是楼层，纵向表示的是门号，例如：院长室在4楼3门，我们用(4,3)，来表示其位置，试根据上面方法，结合图形，完成下面问题：①儿科诊室可以表示为______；②口腔科诊室在______楼______门；③图形中显示，与院长室同楼层的有______；④与神经科诊室同楼层的有____________；⑤表示为(1,2)的诊室是______；⑥表示为(3,5)的诊室是______;⑦3楼7门的是________.。
八年级数学上册 第三章 位置与坐标 3.1 确定位置课件
D 6 鼓楼 7 8
E
故宫 大南门
F 大北门
G 东华门
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.D7,E6 B.D6,E7 C.E7,D6 D.E6,D7
3.如图,这是小明家与周围地区的行走路线示意图,对小明家来说:
(1)北偏东30°的方向上有 两个地方,分别是 超市、照相馆 ;
(2)要想确定照相馆的位置,还需要 一 个数据;
(3)要确定小明家附近的各点的位置,各需要 两 个数据,分别是
海上行船时,船与某岛的位置;③ 经纬度定位法 ,例如:在地球仪 上确定某个城市的位置;④ 区域定位法 ,例如:市区简图中的
住宅或场所等.
1.下列表述能确定位置的是( D )
A.教室里第6排
B.北京市区四环路
C.东北方向45° D.东经60°,北纬20°
2.下面是某人所画的沈阳市“简图”的一部分,图中“故宫”和“鼓楼” 所在地分别可表示为( C )
方位角和距离
.
第三章 位置与坐标
1 确定位置
1.在平面内,确定一个物体的位置一般需要 两个 数据.
2.下列数据不能确定物体位置的是( B )
A.3楼5号
B.北偏西40°
C.解放路30号 D.东经120°,北纬30°
3.确定物体位置的主要方法:① 用一对有序实数表示 ,例
如:电影院中座位的确定;② 用方位角和距离表示 ,例如:在
北师大版八年级上册数学《平面直角坐标系》位置与坐标精品PPT教学课件
学比一比，互相写个分数！
3
2 1
-6 -5 -4 -3
-2
-1
o
-1
-2
-3 -4
-5 -6
1 23 4 5 6 X
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． 方法：先向横轴作垂线，
垂足对应的数就是点的
y
（a,b）是有序实数对 点p的纵坐标是b
横坐标。
b
P(a,b)
再向纵轴作垂线，
垂足对应的数就是点的
1、点M（- 2,-1）在第 三 象限， 点N（4,6）在第 一 象限。
2、若点P（X, Y）的坐标满足X•Y = 0, 则点P在 横轴或纵轴上 上。
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请大家找出自己座位的坐标 y
zuobaio
黄平 李鑫 卢璐
田 静 李 科 木妮热
阿米 郭璐 王璐 权智威
虞苗苗 张泽 郑怡 崔珊珊
或 纵
5轴
在平面内，两条互相垂直且有 4 公共 原点的数轴组成平面直角
坐标系。
3
第二象限
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
-1 -2
-3
第三象限
-4
-5
-6
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第一象限
23 4 5 6 X x轴或横轴
第四象限
首页
返6 回
y
牛刀小试
6
请同学们在方格纸上画一个平面 5
直角坐标系，画好后，左右的同 4
陈昕
王玉巧
O
李文斐
王斐
陈学良 金下靖
陈巍 张天
时晓伟 王甚琨
初二数学(秋季)讲义第9讲 位置与坐标
无★代表普通高中、★代表重点高中、★★代表四大名校1.两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
2.对于平面内任意一点P ，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做P 的坐标。
3.坐标平面内的点可以用有序实数对来表示反过来每一个有序实数对都能用坐标平面内的点来表示；即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应关系．4.设P （a 、b ），若a=0，则P 在_______轴上；若b=0，则P 在_______轴上；若a+b ＝0，则P 点在二、四象限两坐标轴夹角平分线上； 若a=b ，则P 点在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上．5.设P 1（a ，b ）、P 2（c ，d ），若a=c ，则P ； P 2∥y 轴；若b=d ，则P ； P 2∥x 轴6.对称关系：点（x ， y ）关于x 轴的对称点为_______________ 点（x ， y ）关于y 轴的对称点为_______________ 点（x ， y ）关于原点的对称点为_______________ 7.点P (x ，y )到两坐标轴的距离点P(x ，y )到x 轴和y 轴的距离分别是|y |和|x |．初二数学（秋季）讲义 第九讲 位置的确定点P(x ，y )例1．如图，在平面直角坐标系中，以O （0，0），A （1，1），B （3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能．．作为平行四边形顶点坐标的是（ ） A ．（－3，1） B ．（4，1） C ．（－2，1） D ．（2，－1）变式练习1. 一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（0，0）、（2，0）（1，2），第四个顶点在x 轴下方，则其坐标为（ ）A 、（-1，-2）B 、（1，-2）C 、（3，2）D 、（-1，2） 例2. 如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别是（﹣2, 8），（﹣11, 6），（﹣14, 0），（0, 0）。
北师大版八年级上册 第三章 位置与坐标讲义 3.2 平面直角坐标系 讲义(无答案)
第三章位置与坐标3.2 平面直角坐标系1．平面直角坐标系的有关概念在平面内，两条具有公共原点、并且互相垂直的数轴所构成的图形叫做平面直角坐标系；⑴其中水平的数轴叫做x轴或横轴，向右方向为正方向，⑵竖直的数轴叫做y轴或纵轴，向上方向为正方向，⑶横轴与纵轴的交点叫做平面直角坐标系的原点；①平面直角坐标系的两条数轴把坐标平面分成四个象限，这两条数轴的正方向的所夹的象限叫做第一象限②其它三个象限按逆时针方向依次叫做第二、三、四象限，③坐标轴不属于任何象限；注意：四个要素：①在同一平面内；②两条数轴；③互相垂直；④有公共原点.两个规定：①正方向的规定：横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向；②两条数轴单位长度规定：一般情况下，横轴与纵轴单位长度相同，为了实际需要有时横轴与纵轴单位长度可以不同.象限与坐标轴(1)理解“象限”的概念时，要注意它们是按“逆时针”方向，不要弄错方向．(2)“坐标轴”上的点不属于任何一个象限．【例1】下面是平面直角坐标系的为()．坐标系中的单位长度平面直角坐标系两坐标轴上的单位通常取一致的，但是根据所要表达的实际意义，也可以取不一致的单位，但是同一坐标轴上的单位必须是一致的．2.点的坐标(1)在平面直角坐标系中，已知点M，过点M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别在x 轴、y轴上的点表示的数是a，b，那么有序实数对(a，b)就叫做点M的坐标，其中a叫做横坐标，b叫做纵坐标(如图1所示)．(2)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．如图2，由点A 分别向x轴和y轴作垂线，垂足P在x轴上的坐标为3，垂足Q在y轴上的坐标为4，所以点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3,4)就是点A的坐标，同理点B的坐标是(－2，－4)．图1 图2有序数对与平面内的点已知点P(x，y)，它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A(3,2)和B(2,3)表示两个不同的点．对于坐标平面内的任意一点P，存在唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内有唯一的P点和它对应．这里，(x，y)称为点P的坐标，x是横坐标，y是纵坐标，x写在前，y写在后．【例2】在平面直角坐标系中描出下列各点.A.(4,3)B. (-2,3)C. (-4,-1)D. (2.5,-2)E. (0,4)【例3】写出图中A、B、C、D、E各点的坐标.点评：(1)坐标平面内的点的坐标是一对有序实数；(2)不同的点对应着不同的坐标．3．点的坐标特征(1)象限内的点：若用“＋”表示正数，“－”表示负数，则第一象限内的点的坐标为(＋，＋)，第二象限内的点的坐标为(－，＋)，第三象限内的点的坐标为(－，－)，第四象限内的点的坐标为(＋，－)．(2)坐标轴上点的坐标的特点：x轴上点的纵坐标为0，x轴上的点一般记为(x,0)；y轴上的点的横坐标为0，y轴上的点的坐标一般记为(0，y)；原点坐标为(0,0)．(3)和坐标轴平行的直线上的点的坐标的特点：和x轴平行的直线上各点的纵坐标相同，和y轴平行的直线上各点的横坐标相同．(4)两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点：第一、三象限平分线上的点的横、纵坐标相等，该角平分线上的点的坐标一般记为(a，a)；第二、四象限平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，该角平分线上的点的坐标一般记为(b，－b)．(5)关于坐标轴、原点对称的点的坐标特点：设点P1(a，b)是坐标平面上任意一点，则它关于x轴的对称点P2的坐标为(a，－b)，关于y轴的对称点P3的坐标为(－a，b)，关于原点对称的点P4的坐标是(－a，－b)．(6)点P(a，b)到x轴的距离为|b|，点P(a，b)到y轴的距离为|a|，点P(a，b)到原点的距离为a2＋b2.【例4】在直角坐标系中，点(-1,)一定在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【例5】已知点A的坐标是（a,b），若a+b0、ab0.则点A在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【例6】点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a,b)在第 _______象限．【例7】若点M(3+2a,a-1)在x轴上，则点M的坐标为________.【例8】若P(x,y)的坐标满足xy=0，则P点必在（）A.原点上B.x轴上C.y轴上D.坐标轴上【例9】若，则点P(x,y)的位置是（）A.在数轴上B.在去掉原点的横轴上C.在纵轴上D.在去掉原点的纵轴上象限内点的坐标的符号在根据点所在象限确定字母取值时，先根据各象限内点的坐标特点确定横纵坐标的正负，然后列出不等式解答，同时也可利用这一特点由点的坐标确定点所在的象限．【例10】点A在平面直角坐标系中的第二象限，且A点到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则A的坐标为（）A.(-5,3)B. (-3,5)C. (5,-3)D. (3,-5)【例11】若点P在第四象限，且到x轴，y轴的距离分别是2和3，则点P的坐标是__________.4.确定点的位置根据坐标描出点的位置是利用平面直角坐标系确定某点位置的具体表现．要根据坐标描出对应点的具体位置，应先找到该点横坐标在x轴上的位置，过该位置作y轴的平行线；再找到该点纵坐标在y轴上的位置，再过该位置作x轴的平行线，两线的交点即为要描出的点的位置．平面内的点与有序数对①已知平面直角坐标系中的一个点，可以确定这个点的坐标．反过来，已知一个点的坐标，在平面直角坐标系中可以找到这个点．也就是说，在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应．②平面直角坐标系中的点有无数多个，由于坐标系被分成了四个象限，所以坐标平面上的点就会存在不同的位置上，总体来说一个点的位置会在象限内或坐标轴上．【例12】在平面直角坐标系中，描出下列各点：A(4,3)，B(－2,3)，C(－4，－1)，D(2，－2)，E(－1.5,0)，F(0，－2.5)．【例13】在平面直角坐标系中，描出下列各组点，并用线段顺次连接起来，观察所得到的图形，说说它像什么？①(1,1)，(2,0)，(7,0)，(8,2)，(6,1)，(1,1)；②(6,1)，(6,8)；③(5,7)，(7,8)，(7,3)，(5,4)，(5,7)；④(2,1)，(6,7)．5．用坐标表示地理位置(1)用坐标表示地理位置时注意以下三个方面的问题：①要注意选择适当的位置作为坐标原点．②坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向．③要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度．④有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．(2)利用平面直角坐标系表示平面内一些点的地理位置的一般过程如下：①建立坐标系，选择一个适当的参照物为原点，并确定x轴和y轴的正方向．②根据具体问题确定适当的比例尺，标出单位长度．③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．【14】如图，这是某市的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，分别写出各地的坐标．6．计算平面直角坐标系内图形的面积在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，则需要根据三角形的各顶点的坐标，确定边长或高，进而求出三角形的面积．而对于四边形、五边形等图形面积的计算，则往往先转化为三角形加以解决．(1)当三角形有一边在横轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点的横坐标差的绝对值；则这边上的高，等于另一顶点纵坐标的绝对值；当三角形的一边在纵轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点纵坐标差的绝对值，这边上的高，等于另一顶点的横坐标的绝对值．(2)当三角形的一边和坐标轴平行时，这条边的长等于两个顶点横坐标(平行横轴)或纵坐标(平行纵轴)的差的绝对值；这边上的高等于平行于坐标轴的边与坐标轴的距离．(3)三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形(长方形)的上下底(长)与其中一坐标轴平行，高(宽)与另一坐标轴平行．这样，梯形(长方形)的面积容易求出，再减去围在梯形(长方形)内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积．【例15】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,3)，B(4,0)，C(－2,0)，求△ABC的面积．【例16】如图，平面直角坐标系中，已知点A(－3，－2)，B(0,3)，C(－3,2)，求△ABC的面积．.【例17】如图，在平面直角坐标系中，分别写出△ABC的顶点坐标，并求出△ABC的面积.针对训练1.点A在y轴的负半轴上，并且距离原点两个单位，则A点的坐标为（）A.(2,0)B. (0,2)C. (0,-2)D. (-2,0)2.如图，四边形OABC是平行四边形，O是坐标原点，A，C坐标分别是(1,2), (3,0),则B点坐标是（）A．(4,2)B．(4,3)C．(3,2)D．无法确定3.点P(-3,4)到y轴的距离是( )A．4 B．3 C．-3 D． 54.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A．(2014,0) B．(2015,-1) C．(2015,1) D． (2016,0)5.如图，在平面直角坐标系中，A (1,1) B (-1,1 ) C(-1,-2) D (1,-2).把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按ABCDABC…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．(1,-1) B．(-1, 1) C．(-1,-2) D． (1,-2)6.在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．(66,34) B．(67, 33) C．(100,33) D． (99,34)7.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1)，(3,0)，…根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（）A．(13,8) B．(13, 10) C．(14,8) D． (14,10)8.若定义：f(a,b)=(-a,b)，g(m,n)=(m,-n)，例如f(1,2)=(-1,2)，g(-4,-5)=(-4,5)，则g(f(2,-3))= （）A．(2,-3) B．(-2, 3) C．(2,3) D． (-2,-3)9.在平面直角坐标中表示下面各点A(0,3),B (1,-3),C (3,-5),D(-3,-5),E(3,5),F(5,7)．（1）A点到原点O的距离是；（2）将点C向x轴的负方向平移6个单位它与点重合；（3）连接CE、CD，则直线CE、CD与坐标轴的位置关系是；（4）点F分别到x、y轴的距离分别是10.已知点P(2, -3)，Q(x,y)在同一条平行y轴的直线上，PQ=5，则点Q的坐标为 .11.点P的坐标(1-a, 2a-5)，且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标 .12.点P(2a, 2-3a)是第二象限内的一个点，且P到两坐标轴的距离之和为4，则这个点P 的坐标是 .13.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1(0,0)，P2(0,1)，P3(1,1)，P4(1,-1)，P5(-1,-1)，P6(-1,2)…根据这个规律，点P2016的坐标为 .14.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(3,-1)，…，按照这样的运动规律，点P第2017次运动到点_________.15.规定：在平面直角坐标系xoy中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变化．如图，已知正方形ABCD，顶点A(1,3)，B(3,1)．若正方形ABCD经过一次上述变化，则点A变化后的坐标为_________，如此这样，对正方形ABCD连续做2015次这样的变化，则点D变化后的坐标为__________.16.写出如图中△ABC各顶点的坐标并求出此三角形的面积.17.在平面直角坐标系中标出下列各点A (5,1),B (5,0),C (2,1)D(2,3),并顺次连接，求出所得图形的面积18.如图是一只鸭子的图案，请探究下列问题：（1）写出各个顶点的坐标；（2）试计算图案覆盖的面积.19.根据给出已知点的坐标求四边形OABC的面积.20.已知点A(-5,0)，B(3,0)，在坐标平面内找一点C，能满足S△ABC=16，求点C的坐标，这个点的坐标有何规律？21.如图，长阳公园有四棵树A,B,C,D，（单位：米）(1)请写出A、B两点坐标；(2)为了更好的保护古树，公园决定将如图所示的四边形用围栏圈起来，划为保护区，请你计算保护区面积.22.在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点A， B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1,2)， B(-3,1)，C(2,-2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=20.(1)已知点 A(1,2)， B(-3,1)，P(0,t).①A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值.(2)已知点E(4,0)，F(0,2)，M(m,4m)，N(n,)，其中m，n．①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；②直接写出E， F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．。
新北师大版八年级数学上册《位置与坐标》精品课件(共22张PPT)
2015/9/26
5 4 3 2
y
A
C
-4 -3 -2 -1
1
0 -1 -2
x
1 2 3 4 5
B
-3 -4
D
y
（０，y）
学科网
1
-1 0 1 -1 x （x，０）
1.已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B 到y轴距离为2,则点B的坐标是 (2,2) 或者(-2,2). ______________
9.实数 x，y满足 (x-1)2+ |y| = 0，则点 P（ x，y） 在【 】. B （A）原点 （B）x轴正半轴 （C）第一象限 （D）任意位置
10、点（4，3）与点（4，- 3）的关系是【 B 】. （A）关于原点对称 （B）关于 x轴对称 （C）关于 y轴对称 （D）不能构成对称关系
y 7 6 5 4 3 2 1
纵轴
y 5 4
第二象限
3
第一象限
（- ，+）
zxxkw
2
1
（+，+）
横轴 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0 -1
x
第三象限
-2
（-，-）
-3
-4
第四象限
（+，-）
下列各点分别在坐标平面的什么位置上？ • • • • • • A（ 3 ， 2 ） B（0，－2） C（－3，－2） D（－3，0） E（－1.5，3.5） F（2，－3） 第一象限 y轴上 第三象限 x轴上 第二象限
(+ , +)
(0 , y)
(- , -) (x, 0) (- , +) (+ , -)
期末复习(三)位置与坐标-2020秋八年级北师大版数学上册作业课件
你只管活你自己的，不必去介意别人的扭曲与是非。
鱼生于水，死于水；草木生于土，死于土；人生于道，死于道。 当你达到你的`梦想之前，他人对你的亵渎都是作为梦想所付出的代价，你必须接受它，不然，你的想都是单薄的。 成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 根本不必回头去看咒骂你的人是谁？如果有一条疯狗咬你一口，难道你也要趴下去反咬他一口吗？ 我们走得太快，灵魂都跟不上了。 种庄稼要不务农时，教育孩子要适时早教，才能收到事半功倍的效果。——雪苏 接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 无所求则无所获。 要想成为强乾，决不能绕过挡道的荆棘也不能回避风雨的冲刷。
第6讲 位置与坐标-八年级数学上册同步精品讲义(北师大版)
第6讲 位置与坐标2.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;3.认识并能画出平面直角坐标系;4.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。
5.在同一直角坐标系中,感受图形平移前后点的坐标变化6.在同一直角坐标系中,感受图形的轴对称(原点对称)变换坐标变化.7.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。
知识点01 平面直角坐标系的概念1．有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(,)a b ．注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，(,)a b 和(,)b a 表示的意义是不同的． 2．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同． 3．点的坐标：如下图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为(,)a b ，其中a 为点P 的横坐标，b 为点P 的纵坐标．b aBP AOy x4．象限和坐标轴：（1）第一象限内的点(,)x y 的坐标满足：>0x ，0y >； （2）第二象限内的点(,)x y 的坐标满足：<0x ，0y >；知识精讲目标导航（3）第三象限内的点(,)x y 的坐标满足：x ＜0，0y <； （4）第四象限内的点(,)x y 的坐标满足：>0x ，0y <. （5）x 轴上的点(,)x y 的坐标满足：0y =； （6）y 轴上的点(,)x y 的坐标满足：0x =； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 5．坐标系中的特殊直线：（1）与x 轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为y m =； （2）与y 轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为x n =． （3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为x y =； （4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为x y =-． 6．点到特殊直线的距离：（1）点(,)a b 到x 轴的距离为||b ；到直线y m =（m 为常数）的距离为||b m -； （2）点(,)a b 到y 轴的距离为||a ；到直线x n =（n 为常数）的距离为||a n -． 【知识拓展1】（1）点(1,2)a a +-在第一象限，则a 的范围为__________． （2）已知点(2,21)a a --在第二象限，则点(2,25)a a +-在第_________象限． （3）已知点(3,1)a a --在第三象限且它的坐标都是整数，则该点的坐标__________．（4）点(3,1)m m +-，若在x 轴上，则该点坐标为__________；若在y 轴上，则该点坐标为__________． （5）已知点(2,3)A a b -在第一象限，点(4,3)B a b --在第四象限，若a ，b 都为整数，则2a b +=__________． 【解析】（1）12a -<<；（2）四；（3）∵13a <<，∴2a =，∴点的坐标为(1,1)--； （4）(4,0)，(0,4)；（5）7或8．【教师备课提示】这道题主要考查四个象限和坐标轴上点的横纵坐标的关系． 【即学即练1】（1）点(22,1)a a +-在第一象限，则a 的取值范围是__________． （2）在直角坐标系中，点(26,5)P x x --在第四象限，则x 的取值范围是__________． （3）点22(1,1)a a --+在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】（1）11a -<<；（2）35x <<；（3）B ．【知识拓展2】（（1）点(2,3)P x x +在第一象限坐标轴夹角平分线上，那么点(2,23)Q x x -++的坐标为__________．（2）已知点(35,53)A a a ++在第二、四象限的角平分线上，则2009a a +的值为_________．（3）已知点(23)P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点(223)Q x x -++，的坐标为__________．（4）过点(3,5)且与x 轴平行的直线是_________，与y 轴平行的直线是__________．（5）线段AB 的长度为3并且平行于x 轴，已知点A 坐标为(25)-，，则点B 的坐标为__________． （6）若过点P 和点(3,2)A 的直线平行于x 轴，过点P 和(1,2)B --的直线平行于y 轴，则点P 的坐标为__________．【解析】（1）19Q -（，）；（2）2-；（3）(3,1)或(1,9)-；（4）5y =，3x =； （5）(15)--，或(55)-，；（6）(12)-,．【教师备课提示】这道题主要考查平面直角坐标系中特殊的直线．【即学即练2】（1）已知2|2|(3)0x y -++=，则(,)P x y 的坐标为________，在第_______象限． （2）如果点(1,1)M x y --在第二象限，那么点(1,1)N x y --在第_________象限． （3）已知点()A m n ，在第二象限，则点(||,)B m n -在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （4）已知点(2,1)a a +在y 轴上，则该点坐标为__________． 【解析】（1）(23)P -，，在第四象限；（2）三；（3）D ；（4）(01)，． 【知识拓展3】（1）点(34)A -，到横轴的距离为__________，到纵轴的距离为__________． （2）点A 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，该点坐标为__________． （3）若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 坐标为（ ）．A ．(30)，B ．(30)，或(3,0)-C ．(0,3)D ．(0,3)或(3,0)- （4）点(3,1)A 到直线1x =-的距离为_________，到直线1y =-的距离为_________． （5）在平面直角坐标系中，点()P a b ，到直线2x =的距离为3，则a 的值为（ ） A ．5 B ．1- C ．5或1- D ．5-或1（6）点(21,1)M a a +-到直线1y =的距离为1，求M 的坐标．【解析】（1）4，3；（2）(3,1)、(3,1)-、(3,1)-、(3,1)--；（3）B ；（4）4，2；（5）C ；（6）|(1)1|1a --=，∴1a =±，∴点M 的坐标为(3,0)或(1,2)-．【教师备课提示】这道题主要考查点到特殊直线的距离．【即学即练3】（1）若点113A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第二象限的角平分线上，则m =__________．（2）点12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第三象限的角平分线上，则a =__________．（3）若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是（ ） A ．(22)，B ．(2,2)--C ．(22)，或(2,2)--D ．(2,2)-或(2,2)- （4）点A 的坐标为(31)-，，点B 的坐标为(33)，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是__________．（5）已知：(4,0)A ，点C 在x 轴上，且5AC =．则点C 的坐标为__________． （6）已知：点A 坐标为(2,3)-，过A 作AB//x 轴，则B 点纵坐标为（ ） A ．2 B ．3- C ．1- D ．无法确定【知识拓展4】（1）在一三象限的角平分线上有一点到x 轴距离为2，则该点坐标为__________． 在二四象限的角平分线上有一点到x 轴距离为4，则该点坐标为__________． （2）已知点(1,34)m m --到x 轴、y 轴的距离相等，那么该点坐标为__________． 【解析】（1）(2,2)或(2,2)--；(4,4)-或(4,4)-；（2）11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭．【教师备课提示】这样的题对孩子们刚开始学的时候还是容易弄混的，相对较综合，考查角平分线上点，需多练习．【即学即练4】（1）点(54)P -，到x 轴距离为__________，到y 轴距离为__________． （2）若点()P a b ，到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则这样的点P 有（ ） A ．1个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 （3）已知点(2,36)P a a -+，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． （4）点(2,3)-到直线2y =的距离为__________，到直线7x =-的距离为__________． （5）如果点M 在第三象限，且点M 到x 轴距离为3，到y 轴的距离为4，求点M 的坐标． （6）如果点M 到x 轴距离为3，到y 轴的距离为4，求点M 的坐标． 【解析】（1）4，5；（2）B ；（3）(33)，或(66)-，；（4）1，5；（5）(43)--，；（6）(43)，，(43)-,，(4,3)--，(4,3)- 知识点02 平面直角坐标系中点的变换1．坐标系中的平移：（1）将点(,)x y 向右（或向左）平移a 个单位可得对应点(,)x a y +或(,)x a y -． （2）将点(,)x y 向上（或向下）平移b 个单位可得对应点(,)x y b +或(,)x y b -． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 2．坐标系中的对称：（1）点(,)P a b 关于x 轴的对称点是(,)P'a b -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点(,)P a b 关于y 轴的对称点是(,)P'a b -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．（3）点(,)P a b 关于坐标原点的对称点是(,)P'a b --，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（4）点(,)P a b 关于点(,)Q m n 的对称点是(2,2)P'm a n b --． （5）点(,)P a b 关于x m =的对称点是(2,)P'm a b -． （6）点(,)P a b 关于y n =的对称点是(,2)P'a n b -． （7）点(,)x y 关于一三象限的平分线的对称点为(,)y x ． （8）点(,)x y 关于二四象限的平分线的对称点为(,)y x --．【知识拓展1】（1）点(2,2)A -向上平移3个单位，再向右平移5个单位得到点A '，点A '的坐标为__________． （2）点(,)A m n 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到点(2,3)A '，则A 的坐标为__________． （3）在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为(1,2)-，在旧的坐标系下，点A 的坐标为__________． 【解析】（1）(3,5)；（2）(3,5)；（3）(3,1)--． 【教师备课提示】这道题主要考查点的上下左右平移．【知识拓展2】（1）如图6-1，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是34（，），则右边图案中右眼的坐标是_______．（2）如图，把图6-2中的A 经过平移得到O （如图6-3），如果图6-2中A 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为__________．-3图1-3图2图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）左眼坐标由(42)-，变为34（，），由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为54（，）． （2）(21m n +-，）；A 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O ．【教师备课提示】这道题主要考查整个图形的平移，则所有点的平移规律都是一样的． 【知识拓展3】（1）点35P -（，）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(35)--，B ．(53)，C ．(35)-，D ．(35)，（2）点(2,1)P -关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(21)--，B ．(21)，C ．(21)-，D ．(21)-，（3）在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于原点对称点P'的坐标是__________．【解析】（1）D ；（2）B ；（3）(23)-，． 【教师备课提示】这道题主要考查基本的关于x 轴、y 轴和原点的对称．【知识拓展4】（1）已知点()P x y ，的坐标满足方程2|1|(2)0x y ++-=，则点P 关于x 轴的对称点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （2）点1(,3)P a 和点2(2,)P b -关于y 轴对称，则a =__________，b =__________． （3）在直角坐标系中，已知点(32)P -，，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，将点Q 向右平移4个单位得到点R ，则点R 的坐标是__________．（4）已知点(1,21)P a a +-关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．（5）点(23)P ，关于直线3x =的对称点为_______，关于直线5y =的对称点为_______． 【解析】（1）C ；（2）2，3； （3）(1,2)-； （4）112a -<<； （5）(4,3)，(2,7)．【教师备课提示】这道题主要考查点的对称，相对要综合．【知识拓展5】如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．（1）实验与探究：由图观察易知(2,0)A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(02)，，请在图中分别标明；(53)B ，，(25)C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们坐标：B '__________，C '__________． （2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P'的坐标为__________（不必证明）．【解析】（1）(3,5)B '，(5,2)C '-；（2）(,)b a ．【教师备课提示】这道题主要考查关于一三象限的角平分线的对称点，建议老师讲解时带着孩子做这道题 时总结（顺便提及一下二四象限的角平分线的对称点情况）．【即学即练1】（1）将点(4,3)P -先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，则得到点P '的坐标为（ ） A ．(2,2)- B ．(6,2)- C ．(6,4)- D ．(24)-, （2）点A 向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点(13)-,，则点A 的坐标为______．（3）在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ） A ．向右平移了3个单位 B ．向左平移了3个单位 C ．向上平移了3个单位 D ．向下平移了3个单位【解析】（1）D ；（2）(24)，；（3）D ．【即学即练2】（1）在平面直角坐标系中，点(25)A ,与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(5,2)-- B ．(2,5)-- C ．(2,5)- D ．(2,5)- （2）已知点(,)P x y ，(,)Q m n ，如果0x m +=，0y n +=，那么点P ，Q （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于y x =对称（3）已知：2|1|(2)0x y -++=，则(,)x y 关于原点对称的点为__________．（4）已知点(3,3)P a b +与点(5,2)Q a b -+关于x 轴对称，则a =_______，b =______． 【解析】（1）Ｃ；（2）A ；（3）(12)-，；（4）1a =，2b =-；（5）由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．【能力拓展1】（1）点()1,2A a b +-在第二象限，则点(),1B a b -+在第___________象限． 【答案】一【详解】解：由A （a +1，b -2）在第二象限，得a +1＜0，b -2＞0． 解得-a ＞1，b +1＞3，点B （-a ，b +1）在第一象限， 故答案为：一．（2）在平面直角坐标系中，已知点()1,23M m m -+在x 轴上，则m =______． 【答案】32-【详解】解：由题意，得2m +3=0，解得m =32-， 故答案为：32-． 【能力拓展2】如图，四边形AOBC 是正方形，曲线123CPP P ⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧1CP ，弧能力拓展12PP ，弧23P P，弧34P P 的圆心依次按点A ，O ，B ，C 循环，点A 的坐标为()2,0，按此规律进行下去，则点2021P 的坐标为______．【答案】()4044,0【详解】解：由题意可知：正方形的边长为2， ∵A （2，0），B （0，2），C （2，2），P 1（4，0），P 2（0，﹣4），P 3（﹣6，2），P 4（2，10），P 5（12，0），P 6（0，-12）…可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2， 2021÷4=505……1，故点2021P 在x 轴正半轴，OP 的长度为2021×2+2=4044，即：P 2021的坐标是（4044，0）， 故答案为：（4044，0）．【能力拓展3】在平面直角坐标系中，已知点(6,510)-+M a a ． （1）若点M 在y 轴上，求a 的值；（2）若点M 到x 轴的距离为5，求点M 的坐标；（3）若点M 在过点(2,4)A -且与y 轴平行的直线上，求点M 的坐标．【答案】（1）6a =；（2）点M 的坐标为(7,5)-或(9,5)--；（3）点M 的坐标为(2,50) 【详解】（1）∵M 点在y 轴上，∴a -6=0，∴a =6；（2）∵M 点到x 轴的距离为5，∴|5a +10|=5，∴5a +10=±5 解得：a =-3或a =-1，故M 点坐标为(-9，-5)或(-7，5)； （3）∵M 点在过点A (2，-4)且与y 轴平行的直线上 ∴a -6=2，∴a =8，∴M 点坐标为(2，50)．【能力拓展4】如图，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）画出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；（2）在x 轴上求作一点P ，使PAB △的周长最小，并直接写出点P 的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；P ()2,0 【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求．（2）如图所示，点P 即为所求，其坐标为()2,0．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·山东青岛市·八年级期末）已知点P （m ﹣1，m ＋2）在x 轴上，那么P 点的坐标为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（3，0）C ．（0，3）D ．（0，﹣3）【答案】A【分析】根据x 轴上点的纵坐标等于零，可得答案． 【详解】解：由题意，得m +2=0，解得m =-2， ∴m -1=-3，∴点P 的坐标为（-3，0），故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x 轴上的点的纵坐标为0．2．（2021·正定县教育局教研室八年级期中）在平面直角坐标系中，点(1,2)P -所在的象限是（ ） A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】(1,2)P -在第二象限 故选：B【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3．（2021·石家庄市第二十八中学八年级期中）如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）A ．()5,2B ．()6,3-C ．()4,6--D ．()3,4-【答案】B分层提分【分析】根据图形得出笑脸的位置，进而得出答案．【详解】解：由图形可得：笑脸盖住的点在第二象限，故笑脸盖住的点的坐标可能为（−6，3）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，得出笑脸的横纵坐标符号是解题关键．4．（2021·北京八年级期末）如果点P 的坐标是()3,1，那么点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【分析】根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．【详解】解：点P 的坐标为(3,1)，那么点P 在第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键：熟记各象限内点的坐标特征是解题关键．5．在平面直角坐标系中，点 ()0,3在（ ）A ．x 轴正半轴上B ．x 轴负半轴上C ．y 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上 【答案】C【分析】根据y 轴上点的横坐标为零，可得答案．【详解】解：点()0,3的横坐标为0，纵坐标为3，可得点()0,3在y 轴正半轴上．故选：C【点睛】熟知y 轴上点的横坐标的特点是解题的关键．二、填空题6．（2021·河北八年级期末）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点()1,0，“炮”位于点()1,1-，则“马”位于点______．【答案】()4,2-【分析】根据炮的坐标建立平面直角坐标系，然后写出马的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，-．“马”位于点(4,2)-．故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是：准确确定出坐标原点的位置．7．（2020·即墨市第二十八中学八年级期中）已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为_______．【答案】（-2，-3）【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】解：∵点P（x，y）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，∴x=-2，y=-3，∴点P的坐标是（-2，-3）．故答案为：（-2，-3）．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．8．（2021·福建八年级期中）在直角坐标系中，点A（2，﹣1）到原点的距离为_____．5【分析】根据A的坐标，利用勾股定理求出点A到原点的距离d即可．【详解】解：根据题意得：d221+2=5则在平面直角坐标系中，点A（2，﹣155【点睛】本题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，灵活运用勾股定理是解本题的关键．9．（2017·山东八年级期中）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为_________．关于y轴对称的点的坐标为_________．【答案】（﹣2，﹣3） （2，3）．【分析】根据：“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标为相反数”、“关于y 轴对称的点，纵坐标形同，横坐标变为相反数”作答即可．【详解】解：点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）；点P （﹣2，3）关于y 轴对称的点的坐标为（2，3）．故答案为：()()2,3,2,3.--【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称变化的规律；掌握好相关基础知识是关键．10．（2021·广西八年级期末）若点()2,A m 与点()2,3B -关于x 轴对称，则m =_______．【答案】3【分析】利用关于x 轴对称“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求得m 的值．【详解】解：∵点A (2，m )与点B (2，-3)关于x 轴对称，∴-3+m =0，∴m =3，故答案为：3【点睛】本题考查了关于x 轴对称点的坐标变化，掌握关于轴对称坐标变化法则是解题关键．11．若点(2,3)P 关于y 轴的对称点是点(1,3)P a +'，则a=______．【答案】-3【分析】关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a 的值．【详解】解：根据两点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得a+1=-2，∴a=-3．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查了关于y 轴的对称点的坐标特点，点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P′的坐标是（-x ，y ）．题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·湖南八年级期末）在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，…，正方形，使得点1A ，2A ，3A ，…，在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，…，在y 轴正半轴上，则点2021B 的坐标为（ ）A ．()202020212,21-B ．()202120212,2C ．()202120222,21-D ．()202020212,21+【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标，同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“B n （2n ﹣1，2n ﹣1）（n 为正整数）”，依此规律即可得出结论．【详解】解：当y ＝0时，有x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点A 1的坐标为（1，0）．∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形，∴点B 1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），…，∴B 2（2，3），B 3（4，7），B 4（8，15），B 5（16，31），…，∴B n （2n ﹣1，2n ﹣1）（n 为正整数），∴点B 2021的坐标为（22020，22021﹣1）．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n ﹣1，2n ﹣1）（n 为正整数）”是解题的关键．2．（2021·四川八年级期中）若点(,)M x y 坐标满足222()2x y x y +=+-，则点M 所在的象限是（ ） A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第二象限或第三象限D ．无法确定 【答案】B【分析】利用完全平方公式展开并整理得到xy =-1，从而判断出x 、y 异号，再根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：∵（x +y ）2=x 2+2xy +y 2，∴2xy =-2，∴xy =-1，∴x 、y 异号，∴点M （x ，y ）在第二、四象限．故选：B ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3．（2021·河北九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，对ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是(1,2)，则经过第2021次变换后点A 的对应点的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)--C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：点A 第一次关于y 轴对称后在第二象限，点A 第二次关于x 轴对称后在第三象限，点A 第三次关于y 轴对称后在第四象限，点A 第四次关于x 轴对称后在第一象限，即点A 回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A 点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（−1，2）．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．4．（2021·郑州市中原区第一中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，第一次将△ABC 作原点的中心对称图形得到△A 1B 1C 1，第二次在作△A 1B 1C 1关于x 轴的对称图形得到△A 2B 2C 2，第三次△A 2B 2C 2作原点的中心对称图形得到△A 3B 3C 3，第四次再作△A 3B 3C 3关于x 轴的对称图形得到△A 4B 4C 4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A 2021B 2021C 2021的图形，若点C （3，2），则C 2021的坐标为（ ）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（3，2）D．（-3，-2）【答案】D【分析】根据题意做出前几次的图像，找出规律，根据规律推出C2021即可【详解】根据题意做出如图前四次图像如下：÷=⋯⋯，由图像知每四次一个循环，则202145051即第2021次在第三象限，∵点C（3，2），∴C2021点坐标为：（-3，-2）；故答案选：D【点睛】此题考查坐标变换，属于规律题，根据前几个图像坐标推算出规律是解题关键．5．（2021·湖南八年级期末）等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【答案】A【分析】先过B点作x轴的垂线段BC，证明出BC垂直平分OA和OC=BC，再根据A点坐标求解即可，．【详解】解：如下图所示：作BC⊥x轴，垂足为点C，因为ABO是等腰直角三角形，所以BA=BO，∠BOC=45°，所以B点在OA的垂直平分线上，∠OBC=45°，所以BC=OC；又∵BC⊥x轴，∴BC垂直平分OA，∵A（－2，0）∴C（－1，0）∴OC=1，所以BC=1，∴B（－1，1）；故选：A．【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、线段垂直平分线的判定与性质等内容，要求学生熟练掌握相关概念与性质，并能做到熟练运用，考查了学生的分析推理与数形结合的能力．6．（2021·河北八年级期中）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1（1，0），第2次运动到A2（1，1），第3次运动到A3（﹣1，1），第4次运动到A4（﹣1，﹣1），第5次运动到A5（2，﹣1）…则第15次运动到的点A15的坐标是（）A ．（4，4）B ．（﹣4，4）C ．（﹣4，﹣4）D ．（5，﹣4）【答案】B 【分析】通过观察可知右下标是（除A 1外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，由此判断即可．【详解】解：∵15÷4=3…3，∴点A 15在第二象限，∴点A 15的坐标是（-4，4），故选：B ．【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据已知的点的坐标得出坐标变化规律是解题关键．二、填空题7．对有序数对(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：()1,P x y ＝(),x y x y +-；且规定(),n P x y ＝1P （()1,n P x y -）（n 为大于1的整数）．如()11,2P ＝()31-,，()21,2P ＝1P （()11,2P ）＝()13,1P -＝()2,4，()31,2P ＝1P （()21,2P ）＝()12,4P ＝()6,2-．则()20201,1P -＝________． 【答案】()101010102,2-【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．【详解】依题意可得P 1（1，−1）＝（0，2），P 2（1，−1）＝P 1（P 1（1，−1））＝P 1（0，−2）＝（2，−2），P 3（1，−1）＝P 1（P 2（1，−1））＝P 1（2，−2）＝（0，4）＝（0，22），P 4（1，−1）＝P 1（P 3（1，−1））＝P 1（0，4）＝（4，−4）＝（22，−22），P 5（1，−1）＝P 1（P 4（1，−1））＝P 1（22，−22）＝（0，23），…，()20201,1P -＝()101010102,2-． 故答案为：()101010102,2-．【点睛】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．8．如果点(),P x y 的坐标满足x y xy +=，那么称点P 为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：________；若0xy >，则点(),P x y 在第________象限．【答案】()2,2 一【分析】由题意点(),P x y 的坐标满足x y xy +=，当2x =时，代入得22y y +=，求出y 即可,根据0xy ＞，可得,x y 同号，即0x ＞，0y ＞或0x ＜，0y ＜，又0x y xy +=＞，可得0x ＞，0y ＞，即可判断其所在象限．【详解】解：∵ 和谐点(),P x y 的坐标满足x y xy +=，∴ 取2x =，则22y y +=，解得2y =，这时点P 的坐标为()2,2，若0xy >，则x ，y 同号，即0x >，0y >或0x <，0y <，又∵ 0x y xy +=>，∴ 0x >，0y >，∴ 点(),P x y 位于第一象限．故答案为：()2,2, 一【点睛】本题考查的是新定义情境下的平面直角坐标系内点的坐标特点，同时考查有理数的乘法与加法法则的理解，方程的解的含义，掌握以上知识是解题的关键.9．（2021·重庆市凤鸣山中学八年级月考）已知点(),4M a -与点()6,N b 关于x 轴对称，那么a b -等于______ ．【答案】2【分析】根据轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质在坐标系中得到对应点的坐标．【详解】解：∵点(),4M a -与点()6,N b 关于x 轴对称，∴6a =，()402b +-= 解得4b = ，那么=64=2a b --．故答案为：2．【点睛】主要考查了坐标与图形的变化-对称特点，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．10．如图，在平面直角坐标系x 轴上有点0(1,0)A ，点0A 第一次跳动至点1(1, 1)A -第二次点1A 跳动至点2(2,1)A 第三次点2A 跳动至点3(2, 2)A -，第四次点3A 跳动至点4(3,2)A ，……依此规律跳动下去，则点2017A 与点2018A 之间的距离是________【答案】2019【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A 2017与点A 2018的坐标，进而可求出点A 2017与点A 2018之间的距离．【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n 次跳动至点的坐标是（n +1，n ），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），第2017次跳动至点A 2017的坐标是（-1009，1009）．∵点A 2017与点A 2018的纵坐标相等，∴点A 2017与点A 2018之间的距离=1010-（-1009）=2019，故答案为：2019．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．三、解答题11．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）请画出ABC 关于x 轴成轴对称的图形111A B C △，并写出1A 、1B 、1C 的坐标； （2）求ABC 的面积．【答案】（1）画出图形见解析，1A 、1B 、1C 的坐标为()11,1A -、()14,2B -、()13,4C -；（2）ABC 的面积为72【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】解：（1）画出图形如下：,1A 、1B 、1C 的坐标为()11,1A -、()14,2B -、()13,4C -；（2）ABC 的面积为1117332321132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键．12．（2021·黑龙江八年级期末）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ⊥于点D ，BE DE ⊥于点E ．求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB △≌△，即可得到解决，积累经验：（1）请写出证明过程； 类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 与x 轴的距离．拓展提升：（3）如图3，ABC 在平面直角坐标系中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，求点B 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）1；（2）()3,4．【分析】（1）根据AD ⊥DE 、BE ⊥DE 得到∠D =∠E =90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC =∠BCE ，进而证明△ADC ≌△CEB ，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，通过证明△AOC ≌△CEB ，进而得出CO =BE ，再根据点C 的坐标即可得到结果；（3）过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，再过点A 、B 分别作AE ⊥CF ，BD ⊥CF ，通过证明△CDB ≌△AEC ，进而得出BD =CE ，AE =CD ，最后根据点A 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(4，2)即可求出点B 坐标． 【详解】解：（1）证明：∵,AD DE BE DE ⊥⊥， ∴90D E ∠=∠=︒， ∴90DAC ACD ∠+∠=︒， 又∵90ACB ∠=︒， ∴90ACD BCE ∠+∠=︒， ∴DAC BCE =∠∠，在ADC 和CEB △中，D EDAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADC ≌CEB △，∴,AD CE CD BE ==；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵90AOC ∠=︒， ∴90OAC ACO ∠+∠=︒， 又∵90ACB ∠=︒， ∴90ACO BCE ∠+∠=︒， ∴OAC BCE ∠=∠，。
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第三章位置与坐标考点题型一：平面内点的位置1、平面直角坐标系：在平面内，两条_____________且有公共顶点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴叫做_____________，铅直的数轴叫做___________，两条数轴的交点O称为______________。
沿x轴向右的方向、y轴向上的方向分别为两条数轴的____________。
2、点在平面直角坐标系中的表示：在平面直角坐标系中，点的位置是通过________________来表示的，先写横坐标，再写纵坐标。
例1、（1）2013年4月20日8时02分，四川省雅安市芦山县发生了7.0级地震，下列说法能够准确表示芦山县位置的是（）A、北纬30.3°B、东经103.0°C、成都市南偏西60°方向上D、北纬30.3°，东经103.0°（2）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m 的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m 到达目的地C，此时小霞在营地A的（）A. 北偏东20°方向上B. 北偏东30°方向上C. 北偏东40°方向上D. 北偏西30°方向上考点题型二：点的位置、各象限内点的坐标及符号特征1、四个象限点的坐标符号：第一象限_____________，第二象限______________，第三象限______________，第四象限_________________。
2、坐标轴上的点的坐标特点：x轴上的点的坐标记为___________，y轴上的点的坐标记为_______________，原点的坐标为_______________。
3、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限两坐标轴夹角平分线上点的横、纵坐标相等，记为（a ，a ）；第二、四象限两坐标轴夹角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，记为（b ，-b ）。
4、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点：与x 轴平行的直线上各点的________相等，与y 轴平行的直线上的各点___________相同。
5、点的坐标的相关性质：点P （a ，b ）到x 轴的距离为____________，到y 轴的距离为____________，到原点的距离为_________________。
6、线段中点坐标公式：以任意两点()A A y x A ,，()B B y x B ,为端点的线段中点坐标为_____________________，两点AB 距离为：AB ＝221221)()(y y x x -+-例2、如果m 是任意实数，则点P （m-4，m+1）一定不在（ ）A ，第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限例3、（1）已知点A （a 21+，54-a ），且点A 到两坐标轴的距离相等，则A 点坐标为____________（2）已知点A （5-m ，1），点B （4，1+m ），且直线AB ∥y 轴，则m 的值为__________（3）若点P （b a ，）在第四象限，则点M （b a a b --，）在第_________象限.（4）点M （y x ，）在第二象限，且04022=-=-y x ，，则点M 的坐标是__________________例4、如图，点A 的坐标为(1，0)，点B 在直线y=−x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )A 、（0,0）B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121， C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222， D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121，例5、在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为a ，则用[p ，α]表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系。
例如：点P 的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45∘].若点Q 的极坐标为[4，60∘]，则点Q 的坐标为( )A. (2，32)B. (2，32-)C. (32，2)D. (2，2)例6、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线AC 平行于x 轴，边OA 与x 轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B 的坐标是___________.知识点三：对称点的坐标特征点P （a ，b ）关于x 轴的对称点为_____________，关于y 轴对称的点为__________，关于原点对称的点为________________。
例7、（1）已知点P （3，-1）关于与轴的对称点Q 的坐标是（a+b ，1-b ），则b a 的值为_______________（2）若点A （m ，-2），B （1，n ）关于x 轴对称，则m=________，n=_______。
（3）已知点A （a ，2）与点B （-1，b ）关于原点对称，则b a 的值为___________。
（5）若点P （4221---a a ，）关于原点对称的点在第一象限，则a 的整数解有_____________个.考点题型四：图形（点）的平移、旋转、对称（翻折）例8、在平面直角坐标系中，一青蛙从点A （-1，0）处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A '处，则点A '的坐标为_____________。
例9、（1）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC 经过平移后得到△111C B A ，已知在AC 上一点P(2.4，2)平移后的对应点为P 1，点P 1绕点O 逆时针旋转180°得到对应点P 2，则P 2点的坐标为_________.（2）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标是A(−2，3)，B(−4，−1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△111C B A 的位置，点A 、B 、C 的对应点分别是111C B A 、、，若点B 1的坐标为(3，1)，则点C 1的坐标为______.考点题型五：两点间的距离例10、（1）在直角坐标系中，已知点A （0,2），B （1,3），则线段AB 的长度是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、2（2）由（-1,1）、（2,1）、（2，-3）为顶点构成的三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、等边三角形C 、钝角三角形D 、直角三角形（3）在平面直角坐标系中，已知点A （5-，0），B （5，0），点C 在坐标轴上，且6=+BC AC ，写出满足条件的所有点C 的坐标______________________考点题型六：坐标系中三角形的面积例11、如图所示，A(−3，0)、B(0，1)分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P(3，a)在第一象限内。
(1)求△ABC的面积；(2)用含a的代数式表示△ABP的面积；(3)若2S△ABP=S△ABC，求点P的坐标。
考点题型七：综合应用例12、（1）如图，动点P从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为________________.（2）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…的规律排列，根据这个规律，第2015个点的横坐标为____________.例13、（1）如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知A （4，3），P 是坐标轴上的一点，若以O ，A ，P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P 共有 ___________个，写出其中一个点P 的坐标是 _________ ．（2）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A(10，0 )，C(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为______________家庭作业：1、在平面直角坐标系中，点P （-2，12+x ）所在的象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、已知点P （a ，b ），且ab>0，a+b<0，则点P 在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、如图，点A 的坐标是(2，2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A. (2，0)B. (4，0)C. (22-，0)D. (3，0)4、正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A点的坐标(0，4)，B点的坐标(−3，0)，则C点的坐标是____________第4题图第6题图5、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0,0），（3,0），（4,2），则顶点D的坐标是（）A、（7,2）B、（5,4）C、（1,2）D、（2,1）6、如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）A. (6,1)B. (0,1)C. (0,−3)D. (6,−3)7、在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0，2)。
现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5,−1)处,则此平移可以是( )A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位8、如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(−2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A. (−3,2)B. (2,−3)C. (1,−2)D. (3,−1)9、如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE,其中C. D两点坐标分别为(1,0)、(2,0).若在没有滑动的情况下,将此正五边形沿着x轴向右滚动,则滚动过程中,下列何者会经过点(75,0)( )A. AB. BC. CD. D10、一只跳蚤在第一象限及x轴,y轴上跳动,在第一秒钟,它从跳点跳动到(0,1),然后继续按图中箭头所示方向跳动即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…1,且每秒跳动一个单位。
那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )A. (5,0)B. (4,0)C. (0,5)D. (5,5)11、已知：如图,在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)(1)求△ABC的面积。
(2)设点P在y轴上，连结BP交AC于点M.且△AMP与△MBC的面积相等，求点P的坐标。