数值计算方法复习知识点

2015计算方法复习1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。

(二) 复习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。

2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。

3.了解误差的定性分析及避免误差危害。

（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。

例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x 。

例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一)考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。

(二) 复习要求1.了解求根问题和二分法。

2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。

3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。

4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。

5.了解弦截法。

（三）例题1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C)(D)迭代公式解：在(A)中,=1.076 故迭代发散。

应选择(A)。

可以验证在(B)，(C)， (D)中，ϕ(x )满足，迭代收敛。

2.用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x 。

解 此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

设2ln )(--=x x x f则 x x f 11)('-=， 2''1)(x x f = Newton 法迭代公式为1)ln 1(/112ln 1-+=----=+k k k k k k k k x x x x x x x x ， ,2,1,0=k取30=x ，得146193221.34=≈x s 。

3．设)(x f 可微，求方程)(2x f x =根的Newton 迭代格式为)(2)(21k k k k k k x f x x f x x x '---=+ 4. 牛顿切线法是用曲线f (x )上的点的切线与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解；而弦截法是用曲线f (x )上的；两点的连线与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解.5. 试确定常数r q p ,,使迭代公式5221kk k k x a r x a q px x ++=+.产生的序列{k x }收敛到3a ，并使收敛阶尽量高.解 因为迭代函数为522)(x a r x a q px x ++=ϕ，而=*x 3a .根据定理知，要使收敛阶尽量高，应有)(**x x ϕ=，0)(*='x ϕ，0)(*=''x ϕ，由此三式即可得到r q p ,,所满足的三个方程为：3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式231x x =-11221+++=+k k kk x x x x 2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->1)<<'r x ϕ1=++r q p ，052=--r q p ，05=+r q .解之得，91,95-===r q p ，且0)(3≠'''a ϕ，故迭代公式是三阶收敛的.P25.例2-4P30.例2-6 P33.例2-8 P35例2-10 P35.例2-11第3章、线性代数方程组的数值解法(一)考核知识点高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法；平方根法；追赶法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法SOR ，迭代解数列收敛的条件。

(二) 复习要求1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。

2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。

4.掌握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。

5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。

6.了解迭代法及其收敛性的概念。

7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。

（三）例题1.分别用顺序Gauss 消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡201814513252321321x x x 解：1) Gauss 消去法⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡7224001041014321224501041014321205131825214321， 回代 x3=3, x2=2, x1=12) 直接三角分解法(杜利脱尔分解)：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2400410321153121513252321=LU 解Ly b =，Ux=y 得x=(1,2,3)T2. 用平方根法（Cholesky 分解）求解方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7351203022323321x x x 解：由系数矩阵的对称正定性，可令T LL A =，其中L 为下三角阵。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3636333233633633231203022323 求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-735363363323321y y y 可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==316135321y y y ， 求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-321321363633323y y y x x x 可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31211321x x x 3.讨论AX b =的Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性其中，122111(1,1,0)221T A b -⎡⎤⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦解：Jacobi 迭代法的迭代矩阵110221()1011220J B I A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则30()01J J I B B λλρ-==⇒=<∴Jacobi 迭代收敛Gauss-Seidel 迭代矩阵1102210220221101110102122104210086G SB -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22(44)0()21G S I B B λλλλρ--=--=⇒=+>∴Gauss-Seidel 迭代发散.4.已知方程组，其中，(1)列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。

解：（1）Jacobi 迭代法：Jacobi 迭代矩阵：收敛性不能确定（2）Gauss-Seidel 迭代法：Gauss-Seidel 迭代矩阵：该迭代法收敛Ax b =211121112A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦112312131312121212()()()()()()()()()()/()/()/k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩1110221102211022()B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1()B ρ=112311213111312121212()()()()()()()()()()/()/()/k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩1110221104211088()G D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦1()B ρ==<5. 给定方程组⎩⎨⎧=+-=+23122121x x x x ，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？解：由系数矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1321A 可知，（1）雅可比迭代矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=--0320032011)(110U L D B ，由 063220=-==-λλλλB I 可知，16)(0>=B ρ，因而雅可比迭代法发散。

（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=--3202000201310100201301)(11U L D G ，由 03232022=+=+=-λλλλλG I 可知，32)(=G ρ，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。

P68.例3-3 P68.例3-4 P72.例3-5 P76.例3-7 P77.例3-8 P78.例3-9 P79.例3-10 P88.例3-15 P89.例3-16 P91.例3-17 P98.例3-24 P110.例3-30 P111.例3-31 P118.例3-36第4章、插值法(一)考核知识点插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数。

(二) 复习要求1.了解插值的概念。

2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。

3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。

4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。

5.了解埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。

6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。