坐标系与参数方程-2019年新课标全国卷理科数学备考---精校解析Word版
【个题研究】(全国1卷)(23)2019年课标1卷坐标系与参数方程试题分析与备考建议_赵小成
（x≠-1），从 而
y x+1
=2t，
即
t=
y 2（x+1）
，
将其代入
y=
4t 1+t2
并整理得
x2+
y2 4
=1（x≠-1）．
（余略）
解法五：
由
x=
1-t2 1+t2
得
x+1=
2 1+t2
（x≠-1），从 而
y x+1
=2t．
由
x=
1-t2 1+t2
得
x-1=
-2t2 1+t2
，
从而
y x-1
=-
t2， 但不知道怎样代入另一个式子或代入运算出错； 尝试将两
式相加、 相减、 相除， 无法正确消参； 忽略 x 的取值范围
x≠-1．
（2） 第二问解法一是设椭圆上任意一点的坐标 （用参数
α 表示）， 将点到直线的距离表示成的函数， 用三角函数知识
求 d 的最值； 解法二是设椭圆上任意一点的坐标 （用参数 t 表
线 （椭圆） 上的 轨迹（圆弧）的极 曲线上的点的极
点到直线的最小 坐标方程．
径， 求点的极坐
距离．
标
不难看出， 坐标系与参数方程选做题考查的重点内容是： 极坐标、 参数方程的基本概念， 三种方程的互化， 直线与二 次曲线 （主要是圆、 椭圆） 的位置关系、 求曲线的轨迹方程 等．要把历年高考题做完， 再分析高考真题， 把题做透， 这样 才能把握重难点内容， 提高备考效率．
，
■
■■■y=
■
4t 1+t2
（t 为 参 数 ）． 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极
专题41 坐标系与参数方程-2019年高考数学(理)考点分析与突破性讲练(解析版)
一、考纲要求：1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．5.了解参数方程，了解参数的意义.6.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．二、概念掌握和解题上注意点：1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点．(2)以x轴的非负半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2.极坐标与直角坐标互化的策略）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsi nθ直接代入并化简即可；）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsi nθ，ρ2的形式，进行整体代换.3.解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等.4.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.①弦长l＝|t1－t2|；②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.三、高考考题题例分析例1.（2018全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【答案】（1）（x+1）2+y2=4；（2）．例2.（2018全国卷II）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【答案】（1）：，sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0；（2）-2【解析】：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．学科&网例3.（2018全国卷III）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【答案】（1）（，）；（2）AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），例4.（2018北京卷）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．【答案】a=1+．【解析】：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．则：=1，解得：a=1±．a＞0则负值舍去．故：a=1+．故答案为：1+．例5.（2018天津卷）已知圆x 2+y 2﹣2x=0的圆心为C ，直线，（t 为参数）与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为 ． 【答案】例6.（2018江苏卷） 在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin （﹣θ）=2，曲线C 的方程为ρ=4cosθ，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 【答案】【解析】：∵曲线C 的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x 2+y 2=4x ， ∴曲线C 是圆心为C （2，0），半径为r=2得圆． ∵直线l 的方程为ρsin （﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l 的普通方程为：x ﹣y=4．圆心C 到直线l 的距离为d=，∴直线l 被曲线C 截得的弦长为2． 例7.(2017全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝si n θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【答案】(1) C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425； (2) a ＝8或a ＝－16.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，si n θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4si n θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8;当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.例8.(2017全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 【答案】(1) (x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)；(2) 2＋ 3.【解析】： (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．例9.(2017北京高考)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsi n θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 【答案】1【解析】：由ρ2－2ρcos θ－4ρsi n θ＋4＝0，得 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)， ∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |mi n ＝|PC |－1＝2－1＝1.例10.(2016全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t si n α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【答案】(1) ρ2＋12ρcos θ＋11＝0；(2)153或－153【解析】： (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsi n θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，ta n α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.学科&网 坐标系与参数方程练习题1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 【答案】π.【解析】： 由题意，把变换公式代入曲线方程y ′＝3 sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π. 2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【答案】(1) C 1：ρcos θ＝－2，C 2：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2) 12法二：直线C 3的直角坐标方程为x －y ＝0，圆C 2的圆心C 2(1,2)到直线C 3的距离d ＝12＝22，圆C 2的半径为1， ∴|MN |＝2×12－⎝⎛⎭⎫222＝2，所以△C 2MN 的面积为12.3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C 的方程为sin θ－3ρ cos 2θ＝0. (1)求曲线C 的直线坐标方程；(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标． 【答案】(1) y －3x 2＝0；(2) ⎝⎛⎭⎫2，π34．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 【答案】(1) (0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32；(2)4【解析】： (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足t a n α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【答案】(1) ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0；(2) a ＝1.【解析】： (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知t a n θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.6．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且依次按逆时针方向排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. (1)求点C 的直角坐标；(2)若点P 在曲线C 2：x 2＋y 2＝4上运动，求|PB |2＋|PC |2的取值范围. 【答案】(1) C (－1,1)；(2) [14－410，14＋410]所以|PB |2＋|PC |2∈[14－410，14＋410]．学科&网7.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求出圆C 的直角坐标方程；(2)已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )(m ≠0)对称的直线为l ′.若直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值． 【答案】(1) (x －2)2＋y 2＝4；(2) 5－2【解析】： (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，即圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)直线l ：y ＝2x 关于点M (0，m )的对称直线l ′的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l ′上存在点P 使得∠APB ＝90°的充要条件是直线l ′与圆C 有公共点，故|4＋2m |5≤2，解得－2－5≤m ≤5－2，所以实数m 的最大值为5－2.8.已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2si n φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.【答案】(1) C 1：ρcos θ＋3ρsi n θ＝3，C 2的极坐标方程为ρ2＝61＋2si n 2θ.(2)1(2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝⎛⎭⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsi n ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2si n 2θ得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6. ∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1， 即P ，Q 两点间的距离为1.9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 【答案】254【解析】： 法一：直线l 的参数方程化为普通方程，得4x －3y ＝4，曲线C 的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.所以A (4,4)，B ⎝⎛⎭⎫14，－1或A ⎝⎛⎭⎫14，－1，B (4,4)． 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫4－142＋(4＋1)2＝254.10．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】： (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值． 【答案】(1) l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0，C 的直角坐标方程为x 2＋(y －5)2＝5. (2) 3 212．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【答案】(1) x 2－y 2＝4(y ≠0)；(2) M 的极径为5【解析】：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)， 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以交点M 的极径为 5.学科&网13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t sin π6，y ＝t cos 7π4－62(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)求直线l 的普通方程和圆心C 的直角坐标； (2)求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值．【答案】(1) l 的普通方程为y ＝x －62，圆心C 的直角坐标为(2，－2)； (2)2【解析】： (1)由题意得直线l 的普通方程为y ＝x －6 2. 因为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 所以ρ2＝22ρcos θ－22ρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＋22y ＝0， 即(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，所以圆心C 的直角坐标为(2，－2)．(2)由(1)知，圆C 的半径为r ＝2，且圆心到直线l 的距离d ＝|2＋2－62|2＝4>2，所以直线l 与圆C 相离，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝4－2＝2.14．在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)过原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程.【答案】(1) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)；(2) l 1的普通方程为y ＝14x .【解析】： (1)依题意，可得C 1的普通方程为x 2＋y 2＝4， 由题意可得C 2的普通方程为x 24＋y 2＝1，所以C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．15,在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos β，y ＝a si n β(a >0，β为参数)．以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32. (1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 的面积最大值．【答案】(1) a ＝1；(2)33a 24(2)法一：曲线C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a >0)， 设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则S △OAB ＝12|OA |·|OB |si n π3＝34|2a cos θ|·⎪⎪⎪⎪2a cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝3a 2⎪⎪⎪⎪cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， ∵cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝12cos 2θ－32si n θcos θ ＝12·cos 2θ＋12－34si n 2θ ＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2θ－32si n 2θ＋14 ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋14， 所以当θ＝－π6时，12cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋14取得最大值34. △OAB 的面积最大值为33a 24.法二：因为曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |si n π3＝2a ，所以|AB |＝3a .由余弦定理得|AB |2＝3a 2＝|OA|2＋|OB|2－|OA|·|OB| ≥|OA|·|OB|，所以S△OAB＝12|OA|·|OB|si n π3≤12×3a2×32＝33a24，所以△OAB的面积最大值为33a 24.。
2019届高考数学备考关键问题指导 专题07 极坐标系与参数方程 Word版含解析
专题七 极坐标系与参数方程【高考考场实情】极坐标与参数方程为高考选考内容之一，一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。
【考查重点难点】主要考查直线与特殊位置的圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等. 试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”. 第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中ϑρ,的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查，下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策. 【存在问题分析】（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位 【例1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,()23x tt y t=--⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【名师点睛】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，错误的由点,A B 对应的参数分别为12,t t 得2121212||||()414AB t t t t t t =-=+-=. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例2】在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是1+cos ,sin .x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．【解析】直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cossin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得22cos 30t t α--=，2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以1t ，2t 异号， 则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又),0[π∈α所以直线l 倾斜角3π=α或32π. 【名师点睛】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t 的几何意义认识不到位所致，||t 表示距离，t 是包含符号的，由于本题中，,A B 在P 点的两侧，12t ,t 异号，故12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==而不是121212||||||||()44cos 121PA PB t t t t t t α-=-=+-⋅=+=. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的. （二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例题3】将曲线1C 的参数方程1sin 22sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（θ为参数）化为普通方程.【名师点睛】本题易错点主要在于忽视了三角函数sin y x =的有界性，即R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ所以.2121≤≤-x 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意y x ,的取值范围. （三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题【例题4】（2017全国II 卷22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足6⋅=OM OP ,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设P 的极坐标为(,)(>0)ρρθ，M 的极坐标为11()(>0),ρθρ，则由已知得116⋅=ρρ即416cos ⋅=ρθ，得2C 的极坐标方程为4cos (0)=>ρθρ， 所以2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠【名师点睛】本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位，其一，不能将极径与OM 、OP 建立联系，从而无法快速求出P 的轨迹方程，其二，不能利用极径的几何意义建立OAB ∆的面积模型进行求解，而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路，结果造成不能顺利建模亦或是建立OAB ∆面积关于直线OB 斜率的函数关系，致使解题过程复杂化，计算量加大，最终无法准确求解. 此外，在第（Ⅰ）问题目中还隐含着一个条件0>ρ，如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件. （四）思维不严谨性，完备性欠缺【例题5】在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）.（Ⅰ）将1C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程是)(3R π∈=ρθ求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【解析】（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的普通方程为22(2)4x y -+=；（Ⅱ）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=得曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，把3π=θ代入得4cos23πρ==，又因为曲线1C 和曲线2C 的均过原点，.所以曲线1C 与2C 交点的极坐标为(0,0),(2,).3π【名师点睛】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏（0,0）点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中，经常需要在方程两边同乘以或除以ρ，这时需要考虑等价问题：如果曲线0),(=θρϕ不通过极点，那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ不等价；如果曲线0),(=θρϕ通过极点，那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ等价，这是因为0=ρ包含在方程(,)0ϕρθ=的曲线中. 本题由于曲线1C 和曲线2C 的均过原点，所以交点的极坐标还包含有(0,0).如果本题用直角坐标方程求解也不难，且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题，一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解.【例题6】在直角坐标系xOy 中，直线4:1=+y x C 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C （θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）写出直线1C 与2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于A ，B 两点，求OAOB 的取值范围.【解析】（Ⅰ） 在直角坐标系xOy 中，直线4:1=+y x C ∴直线1C 的极坐标方程为,4)sin (cos =+θθρ 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，∴曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=.【名师点睛】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘，求出OA OB ],1)42(cos 2[41)12sin 2(cos 41)sin (cos cos 241||||12+-=++=+⋅==πααααααρρOA OB 后直接得OAOB 的取值范围是]4221,4221[+-忽略了射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于相交，隐含着24ππ<<-α这一条件.【解决问题对策】（一）关注两个“互化”的技能训练【指点迷津】参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.【例7】（2017年高考全国III 卷23）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）写出C 的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 20l ρθθ+-=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．（Ⅱ）将极坐标方程转化为一般方程3:20l x y +-=，联立22204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得32222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得5ρ=，即M 的极半径是5． （二）强化对直线参数方程中参数t 的几何意义的认识【指点迷津】利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意t 表示距离时方程的特征和t 所具有的“方向”性.【例8】在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.可知2|||||2cos |AP t θ==代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ== 所以PQ=1|||||2cos |||22,cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为22.（三）关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用【指点迷津】涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理.【例9】（2017年高考全国I 卷22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.（Ⅰ）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（Ⅱ）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .（四）关注极径、极角几何意义的认识与应用 【例10】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（Ⅰ）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =，求实数α的值. 【解析】（Ⅰ）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=， 由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-42|sin()|424πα=-=，∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，π<<α0，∴43π=α.（五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决【指点迷津】将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.【例11】（2016年高考全国Ⅲ卷22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= . （Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【解法一】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（Ⅱ）设点(3cos sin )P αα+，因2C 为直线，所以PQ 的最小值即为点P 到直线2C 的距离的最小值.而点P 到直线2C 的距离为3cos sin 42sin()232d ααπα+-==+-当且仅当2(Z)6k k παπ=+∈时，d 取得最小值2，即PQ 的最小值为2，此时点31(,)22P . 【解法二】（Ⅰ）同法（Ⅰ）.当2c =-时，方程2246(33)0x cx c ++-=可化为241290x x -+=，即2(23)0x -=所以32x =，122y x =-+=，即切点31(,)22P ，此时 4222d -+==，即PQ 的最小值为2.【名师点睛】显然，法一优于法二，即利用椭圆参数方程，将问题转化为三角函数最值运算优于转化为直角坐标用解析几何知识解决.【新题好题训练】1．已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于两点．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）利用消参后可得曲线C的普通方程，把代入交消去参数可得直线的普通方程，再把直线方程代入曲线C方程，结合韦达定理、弦长公式可得弦长；（II）直线的参数方程是标准参数方程，直接代入曲线C的普通方程，A、B两点参数是此方程的解，且，由此可得其取值范围．试题解析：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．当时，直线的方程为，代入，可得，∴.∴.（Ⅱ）直线参数方程代入，得．设对应的参数为，∴．2．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程；（2）判断曲线是否相交，若相交，求出相交弦长.【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.试题解析：（1）由题知，将曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程为.由，得.将，代入上式，得，即.故曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离，所以曲线相交，所以相交弦长为.3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.(2)（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组：解之得：、，（法二）直线与曲线C1的交点为，则A、B的直角坐标满足方程组：联立方程可得:、,所以边上的高为，4．已知圆锥曲线（为参数）和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的直角坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）得圆锥曲线的直角坐标方程为，椭圆的左焦点为，右焦点为，∴直线的直角坐标方程为，即为（2）∵直线与直线垂直且过点，∴直线的参数方程为（为参数）.将其代入得，即，∴，，∴与异号，∴.∴=.5．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）. （1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.试题解析：（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.所以点的直角坐标为.将消去参数，得，即为曲线的普通方程.（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）代入，整理得：.设点、对应的参数值分别为、.则，.解法二：过点作圆：的切线，切点为，连接，因为点由平面几何知识得：，所以.6．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.【答案】(1) 直线的直角坐标方程为,曲线的轨迹方程是上半圆;(2) 的最小值为.试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数，），消去参数可得，由于，所以，故曲线的轨迹方程是.由，可得，即，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为.（2）由题意可得点在直线上，点在半圆上，半圆的圆心到直线的距离等于，故的最小值为.点睛：解答本题时注意以下两点：（1）消去参数方程中的参数得到普通方程时，要注意参数取值范围的限制，在普通方程中仍要注明取值范围．（2）解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量．7．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为. （1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】（1）.（2）.（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方则，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意，设，则点到直线的距离，当，即，时，，故点到直线的距离的最小值为.（Ⅱ）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范围为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．8．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，的最小值为，求实数t的值．【答案】(1)见解析;(2)或．试题解析（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为，即，化为极坐标方程为，由曲线的极坐标方程（），得（），∴曲线的直角坐标方程为，即．（2）曲线的圆心到直线的距离，故的最小值为，解得或．9．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动.(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;(Ⅱ)设,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ) .【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设，则，又,,,，．将代入上式可得点的直角坐标方程为．（Ⅱ）设，则，的面积，当且仅当，即时等号成立面积的最大值为．10．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(I)求圆的直角坐标方程；(II)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析;(Ⅱ) 见解析.【解析】分析: (I)直接利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程. (II)先求出直线l与圆的公共点，再数形结合分析出的取值范围.详解：（Ⅰ）∵圆的极坐标方程为又∴∴圆普通方程为，设.故点在线段上从而当与点重合时，当与点重合时，故的取值范围为[-1,1].点睛：对于第(Ⅱ)问，方法比较多，本题的解答时利用了数形结合的方法.,z表示直线的纵截距，纵截距最大，z最大，纵截距最小，z最小. 一般看到二元一次多项式要联想到利用直线的纵截距的几何意义解答比较方便.。
(完整word版)2019全国统一高考数学试卷(课标1)
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若 ，则S4=___________．
15．函数 的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为___________．
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
5．函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2先由复数的除法运算（分母实数化），求得 ，再求 ．
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
2．C
【解析】
【分析】
先求 ，再求 ．
【详解】
由已知得 ，所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
3．B
【解析】
【分析】
运用中间量 比较 ，运用中间量 比较
【详解】
则 ．故选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
专题15坐标系与参数方程-2019年高考数学(理)考试大纲解读Word版含解析
2019 年考试纲领解读15坐标系与参数方程选考内容（一）坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用 .（2）认识在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况.（3）能在极坐标系顶用极坐标表示点的地点，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的地点的差别，能进行极坐标和直角坐标的互化 .（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程 . 经过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义.（5）认识柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的地点的方法，并与空间直角坐标系中表示点的地点的方法对比较，认识它们的差别 .2．参数方程（1）认识参数方程，认识参数的意义 .（2）能选择适合的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）认识平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）认识其余摆线的生成过程，认识摆线在实质中的应用，认识摆线在表示行星运动轨道中的作用 .1．从考察题型来看，波及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考察与参数方程、极坐标方程有关的互化与计算2．从考察内容来看，主要考察：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（ 2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的地点关系.考向一参数方程与一般方程的互化样题 1（2018 新课标 III 卷理）在平面直角坐标系xOy⊙O的参数方程为x cos ，中，y sin （为参数），过点 0 ， 2 且倾斜角为的直线 l 与⊙O 交于 A ，B 两点．（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【答案】（1）( ,) ；（2）( 为参数，) ．4444（2）l的参数方程为为参数，) ．44设 A， B ， P 对应的参数分别为t A，t B，t P，则 t P tAtB，且 t A， t B知足．2于是， ．又点 P 的坐标 (x, y) 知足因此点 P 的轨迹的参数方程是(为参数，)．学-44科网样题2（2018考向二 极坐标方程与直角坐标方程的互化新课标 I 卷理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的方程为y k|x| 2 .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为.（ 1）求 C 2 的直角坐标方程；（ 2）若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程 .【答案】（1）；（2）．当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时，A 到 l 1 所在直线的距离为2 ，因此，故k4 或 k0．3经查验，当k0 时， l 1 与 C 2 没有公共点；当k4 时， l 1 与 C 2 只有一个公共点，3l 2 与 C 2 有两个公共点．当l2 与C2 只有一个公共点时，| k 2 |A 到l2所在直线的距离为 2 ，因此22 ，故k1k 0 或k 4 ．3经查验，当 k0 时，l1与C2没有公共点；当k 4时， l2与 C2没有公共点．3综上，所求C1的方程为．考向三极坐标方程与参数方程的综合应用样题 3 已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的一般方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A, B两点，求OA OB．样题 4系,在平面直角坐标系中 , 以坐标原点为极点 ,已知曲线的极坐标方程为轴正半轴为极轴成立极坐标, 过点的直线的参数方程为为参数 ), 直线与曲线订交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的一般方程 ;(2) 若, 求的值 .【分析】(1)由, 得,因此曲线的直角坐标方程为,直线的一般方程为.(2) 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,得,设两点对应的参数分别为，则有,由于, 因此, 即,因此, 解之得或( 舍去 ),因此的值为 1.。
2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题21 坐标系与参数方程 Word版含解析
21 坐标系与参数方程1.已知动点P ,Q 都在曲线C :(t 为参数)上,对应参数分别{x =2cos t,y =2sin t 为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求点M 的轨迹的参数方程;(2)将点M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断点M 的轨迹是否过坐标原点.解析▶ (1)由题意得P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α),因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α),故点M 的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).{x =cos α+cos2α,y =sin α+sin2α(2)点M 到坐标原点的距离d==(0<α<2π),x 2+y 22+2cos α当α=π时,d=0,故点M 的轨迹过坐标原点.2.已知圆O 1,圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-sin θ.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程,并将其化为极坐标方程.解析▶ (1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,将ρcosθ=x ,ρ2=x 2+y 2代入上式,可得x 2+y 2=4x ,所以圆O 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x=0.由ρ=-sin θ得ρ2=-ρsin θ,将ρ2=x 2+y 2,ρsin θ=y 代入上式,可得x 2+y 2=-y ,所以圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2+y=0.(2)由x 2+y 2-4x=0及x 2+y 2+y=0,两式相减得4x+y=0,所以经过圆O 1与圆O 2的两个交点的直线的直角坐标方程为4x+y=0.将4x+y=0化为极坐标方程为4ρcos θ+ρsin θ=0,即tan θ=-4.3.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的参数方程为(t 为参数),曲{x =255t ,y =2+55t线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;(2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ,N ,求|MN|.解析▶ (1)因为cosρ2θ=8sin θ,所以cos θ=8ρsin θ,ρ22即x 2=8y ,所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2),对称轴为y 轴的抛物线.(2)易知直线l 过抛物线的焦点(0,2),且参数方程为{x =255t ,y =2+55t(t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2-2t-20=0,设M ,N 对应的参5数分别为t 1,t 2,所以t 1+t 2=2,t 1t 2=-20.5所以|MN|=|t 1-t 2=10.(t 1+t 2)2-4t 1t 24.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 1的极坐标方程为ρsin =,曲线C 2的极坐标(θ-π4)2方程为ρ=2cos .(θ-π4)(1)写出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程;(2)设M ,N 分别是曲线C 1,C 2上的两个动点,求|MN|的最小值.解析▶ (1)依题意得,ρsin =ρsin θ-ρcos θ=(θ-π4)2222,2所以曲线C 1的直角坐标方程为x-y+2=0.由曲线C 2的极坐标方程得ρ2=2ρcos =ρcos θ+(θ-π4)22ρsin θ,所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,即+22(x -22)2=1, (y -22)2所以曲线C 2的参数方程为(θ为参数). {x =22+cos θ,y =22+sin θ(2)由(1)知,圆C 2的圆心到直线x-y+2=0的距离d=(22,22)=.|22-22+2|22又半径r=1,所以|MN|min =d-r=-1.2能力1▶ 能用曲线极坐标方程解决问题 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的圆心为,半径为(0,12),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.12(1)求圆C 的极坐标方程;(2)设M ,N 是圆C 上两个动点,且满足∠MON=,求+的最2π3|OM ||ON |小值.解析▶ (1)由题意得圆C 的直角坐标方程为x 2+=,即(y -12)214x 2+y 2-y=0,化为极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理可得ρ=sin θ.(2)设M ,N, 则|OM|+=ρ1+ρ2=sin θ+sin(ρ1,θ)(ρ2,θ+2π3)|ON | =sin θ+cos θ=sin .(θ+2π3)1232(θ+π3)由得0≤θ≤,所以≤θ+≤,故≤sin{0≤θ≤π,0≤θ+2π3≤π,π3π3π32π332≤1,(θ+π3)即+的最小值为.|OM ||ON |32 由极坐标方程求与曲线有关的交点、距离等几何问题时,若能用极坐标系求解,可直接用极坐标求解;若不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.已知曲线C :ρ=-2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)若曲线C 与直线x+y+a=0有公共点,求实数a 的取值范围.解析▶ (1)由ρ=-2sin θ可得 ρ2=-2ρsin θ,即x 2+y 2=-2y ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1.(2)由圆C 与直线有公共点,得圆心C 到直线的距离d=|0-1+a |2≤1,解得1-≤a ≤1+.22∴实数a 的取值范围为[1-,1+].22能力2▶ 会用参数方程解决问题 【例2】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(θ为参数),直线l 的参数方程为(t 为参{x =2cos θ,y =4sin θ{x =1+t cos α,y =2+t sin α数).(1)求曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.解析▶ (1)曲线C的普通方程为+=1.x 24y 216当cos α≠0时,l 的普通方程为y=x tan α+2-tan α;当cos α=0时,l 的普通方程为x=1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程,即(1+3cos 2α)t 2+4(2cos α+sin α)t-8=0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1+t 2=0.又由①得t 1+t 2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l4(2cos α+sin α)1+3cos 2α的斜率k=tan α=-2. 过点M 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是(t 是参数).注意以下结论的应用:{x =x 0+tcos α,y =y 0+tsin α(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|;(2)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ,则t=,中点M 到t 1+t 22定点M 0的距离|MM 0|=|t|=;|t 1+t 22|(3)若M 0为线段M 1M 2的中点,则t 1+t 2=0.在平面直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为{x =2+r cos θ,y =1+r sin θ(θ为参数,r>0),曲线N 的参数方程为(t 为参数,且{x =255t ,y =1+55tt ≠0).(1)以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数,写出曲线N 的参数方程;(2)若曲线M 与N 的两个交点为A ,B ,直线OA 与直线OB 的斜率之积为,求r 的值.43解析▶ (1)将消去参数t ,得x-2y+2=0(x ≠0),由题{x =255t ,y =1+55t意可知k ≠.12由得.{x -2y +2=0,y =kx (k ≠12),{x =22k -1,y =2k 2k -1(k ≠12)故曲线N 的参数方程为k 为参数,{x =22k-1,y =2k2k-1.且k ≠12)(2)由曲线M 的参数方程得其普通方程为(x-2)2+(y-1)2=r 2,将代入上式,{x =22k-1,y =2k2k-1整理得(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0.因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为,所以=,解得r 2=1.4317-r 216-4r 243又r>0,所以r=1.将r=1代入(16-4r 2)k 2+(4r 2-32)k+17-r 2=0,得12k 2-28k+16=0,满足Δ>0,故r=1.能力3▶ 会解极坐标与参数方程的综合问题 【例3】 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a ∈R),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴{x =a -22t ,y =1+22t建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ+2cos θ-ρ=0.(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)已知点P (a ,1),曲线C 1和曲线C 2交于A ,B 两点,且|PA|·|PB|=4,求实数a 的值.解析▶ (1)由C 1的参数方程消去t 得其普通方程为x+y-a-1=0.由C 2的极坐标方程得ρ2cos 2θ+2ρcos θ-ρ2=0,所以C 2的直角坐标方程为y 2=2x.(2)将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2:y 2=2x ,得t 2+4t+2(1-22a )=0,由Δ>0得a>-.32设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1t 2=2(1-2a ).由题意得|PA|·|PB|=|t 1t 2|=|2(1-2a )|=4,解得a=-或a=,满足Δ>0,1232所以实数a的值为-或.1232 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程方便.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为{x =2+25cos α,y =4+25sin α极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为θ=(ρ∈R).π3(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C 2与C 1的交点为π6O ,M ,C 3与C 1的交点为O ,N ,求△OMN 的面积.解析▶ (1)将曲线C 1的参数方程消去参数α,得其普通方程为(x-2)2+(y-4)2=20,即x 2+y 2-4x-8y=0.把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入方程得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,所以C 1的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ.由直线C 2的极坐标方程得其直角坐标方程为y=x.3(2)设M (ρ1,θ1),N (ρ2,θ2),分别将θ1=,θ2=代入ρ=4cosπ3π6θ+8sin θ,得ρ1=2+4,ρ2=4+2.33则△OMN 的面积S=ρ1ρ2sin(θ1-θ2)12=×(2+4)×(4+2)×sin =8+5.1233π631.在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2,曲线C 2:ρsin =(θ-π4).2(1)试判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系;(2)若曲线C 1与曲线C 2交于A ,B 两点,求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.解析▶ (1)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4.由ρsin =,可得ρsin θ-ρcos θ=2,即x-y+2=0.(θ-π4)2圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==<2,∴曲线C 1与曲线C 2222相交.(2)∵曲线C 2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y=x-1,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos (θ+π4)=.222.已知曲线C 的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角{x =3cos θ,y =2sin θ坐标系中,将曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C'.{x '=13x ,y '=12y(1)求曲线C'的普通方程;(2)若点A 在曲线C'上,点B (3,0),当点A 在曲线C'上运动时,求AB 中点P 的轨迹方程.解析▶ (1)将代入得C'的参数方程为{x =3cos θ,y =2sin θ{x '=13x ,y '=12y ,{x '=cos θ,y '=sin θ,所以曲线C'的普通方程为x 2+y 2=1.(2)设P (x ,y ),A (x 0,y 0),因为点B (3,0),且AB 的中点为P ,所以{x 0=2x -3,y 0=2y .又点A 在曲线C'上,代入C'的普通方程x 2+y 2=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,所以动点P 的轨迹方程为+y 2=. (x -32)2143.已知直线l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点O{x =1+12t ,y =3+3t为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为sinθ-ρcos 2θ=0.3(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.解析▶ (1)由消去参数t ,得y=2x-,即直线l{x =1+12t ,y =3+3t33的普通方程为y=2x-.33∵sin θ-ρcos 2θ=0,∴ρsin θ-ρ2cos 2θ=0,得y-333x 2=0,即曲线C 的直角坐标方程为y=x 2.3(2)将代入y=x 2,得+t-=0,解得{x =1+12t ,y =3+3t3333(1+12t )2t=0,∴交点坐标为(1,),3∴交点的一个极坐标为.(2,π3)4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t{x =-1+22t ,y =1+22t为参数),圆C 的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 及圆C 的极坐标方程;(2)若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求cos∠AOB 的值.解析▶ (1)由直线l 的参数方程得其普通方程{x =-1+22t ,y =1+22t为y=x+2,∴直线l 的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ+2,即ρsin θ-ρcos θ=2.又∵圆C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,将代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ,{x =ρcos θ,y =ρsin θ∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)将ρsin θ-ρcos θ=2与ρ=4cos θ+2sin θ联立,得(4cos θ+2sin θ)(sin θ-cos θ)=2,整理得sin θcos θ=3cos 2θ,∴θ=或tan θ=3.π2不妨记点A对应的极角为,点B 对应的极角为θ,且tan θ=3.π2∴cos∠AOB=cos=sin θ=.(π2-θ)310105.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1的参数方程为(α{x =2+2cos α,y =2sin α为参数).以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线C 2的极坐标方程为ρsin θ=.3(1)求圆C 1圆心的极坐标;(2)设C 1与C 2的交点为A ,B ,求△AOB 的面积.解析▶ (1)由曲线C 1的参数方程(α为参数),消{x =2+2cos α,y =2sin α去参数,得C 1的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0,∴C 1的圆心坐标(2,0)在x 轴的正半轴上,∴圆心的极坐标为(2,0).(2)由C 1的直角坐标方程得其极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).由方程组得4sin θcos θ=,解得sin 2θ=.{ρ=4cos θ,ρsin θ=3332∴θ=k π+(k ∈Z)或θ=k π+(k ∈Z),π6π3∴ρ=2或ρ=2.3∴C 1和C 2交点的极坐标为A ,B 2,k π+(k ∈Z).(23,kπ+π6)π3∴S △AOB =|AO||BO|sin∠AOB=×2×2×sin =.12123π636.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =3+2cos α,y =1+2sin α(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中有射线l :θ=(ρ≥0)和曲线C 2:ρ(sin θ+2cosπ4θ)=ρ2cos 2θ+m.(1)判断射线l 和曲线C 1公共点的个数;(2)若射线l 与曲线C 2 交于A ,B 两点,且满足|OA|=|AB|,求实数m 的值.解析▶ (1)由题意得射线l 的直角坐标方程为y=x (x ≥0),曲线C 1是以(3,1)为圆心,为半径的圆,其直角坐标方程为(x-3)2+(y-21)2=2.联立解得{y =x (x ≥0),(x -3)2+(y -1)2=2,{x =2,y =2,故射线l 与曲线C 1有一个公共点(2,2). (2)将θ=代入曲线C 2的方程,π4得ρ=ρ2cos 2+m ,(sin π4+2cos π4)π4即ρ2-3ρ+2m=0.2由题知解得0<m<.{Δ=(32)2-8m >0,m >0,94设方程的两个根分别为ρ1,ρ2(0<ρ1<ρ2),由韦达定理知 ρ1+ρ2=3,ρ1ρ2=2m.2由|OA|=|AB|,得|OB|=2|OA|,即ρ2=2ρ1,∴ρ1=,ρ2=2,m=2.22。
考点51坐标系与参数方程【2019年高考数学真题分类】
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考点51 坐标系与参数方程一、选择题1.(2019·北京高考理科·T3)已知直线l的参数方程为{x=1+3x,x=2+4x(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是()A.1 5B.25C.45D.65【命题意图】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化,点到直线的距离的求法,考查数形结合思想以及运算求解能力.【解析】选D.将直线l化为直角坐标方程为x-13=x-24,即4x-3y+2=0,所以点(1,0)到直线l的距离是|4×1-3×0+2|√4+3=65.二、填空题2.(2019·天津高考理科·T12)设a∈R,直线ax-y+2=0和圆C:{x=2+2cos x,x=1+2sin x(θ为参数)相切,则a的值为.【命题意图】本题考查参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系,考查数形结合思想以及运算求解能力.【解析】将圆的参数方程{x=2+2cos x,x=1+2sin x(θ为参数)化成普通方程得:(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心C的坐标为C(2,1),半径r=2,所以圆心C到直线的距离d=x√x+1=2,解得:a=34.答案:3412三、解答题3.(2019·全国卷Ⅰ理科·T22同2019·全国卷Ⅰ文科·T22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =1-x21+x 2x =4x 1+x2(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2ρcos θ+√3ρsin θ+11=0.(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)求C 上的点到l 距离的最小值.【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.【解题指南】求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.(1)利用代入消元法,可求得C 的直角坐标方程;根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程;(2)利用参数方程表示出C 上点的坐标,根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式,从而根据三角函数的范围可求得最值.【解析】(1)因为-1<1-x21+x2≤1,且x 2+(x 2)2=(1-x21+x2)2+4x2(1+x 2)2=1,所以C 的直角坐标方程为x 2+x 24=1(x ≠-1).l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0.(2)由(1)可设C 的参数方程为{x =cos x ,x =2sin x(x 为参数,-π<π).<="" p="">C 上的点到l 的距离为|2cos x +2√3sin x +11|√7=4cos (x -π3)+11√7.当α=-2π3时,4cos (x -π3)+11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为√7.4.(2019·全国卷Ⅱ理科·T22同2019·全国卷Ⅱ文科·T22)[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=π3时,求ρ0及l的极坐标方程.(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.【命题意图】考查坐标系与参数方程以及数学运算的能力.较难题.【解析】(1)因为M(x0,x0)在C上,当θ0=π3时,ρ0=4sinπ3=2√3.由已知得|OP|=|OA|cosπ3=2.设Q(ρ,θ)为l上除点P外的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcos(x-π3)=|OP|=2,经检验,点P(2,π3)在曲线ρcos(x-π3)=2上.所以,l的极坐标方程为ρcos(x-π3)=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是[π4,π2 ].所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈[π4,π2 ].5.(2019·全国卷Ⅲ理科·T22同2019·全国卷Ⅲ文科·T22)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(√2,π4),C(√2,3π4),D(2,π),弧xx?,xx?,xx?所在圆的圆心分别是(1,0),(1,π2),(1,π),曲线M1是弧xx?,曲线M2是弧xx?,曲线M3是弧xx?.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程.(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=√3,求点P 的极坐标.3【命题意图】本题考查极坐标,考查考生圆的极坐标方程的求法,利用极坐标方程的运算求解能力.【解析】(1)由题设可得,弧xx?,xx?,xx?所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ(0≤x≤π4),M2的极坐标方程为ρ=2sin θ(π4≤x≤3π4),M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ(3π4≤x≤π).(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤θ≤π4,则2cos θ=√3,解得θ=π6;若π4≤θ≤3π4,则2sin θ=√3,解得θ=π3或θ=2π3;若3π4≤θ≤π,则-2cos θ=√3,解得θ=5π6.综上,点P的极坐标为(√3,π6)或(√3,π3)或(√3,2π3)或(√3,5π6).6.(2019·江苏高考·T21·B)B.[选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知两点A(3,π4),B(√2,π2),直线l的方程为ρsin(x+π4)=3.(1)求A,B两点间的距离.(2)求点B到直线l的距离.【命题意图】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.【解题指南】(1)由题意,在△OAB中,利用余弦定理求解AB的长度即可.(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标,然后根据点B 的坐标结合几何性质可得点B到直线l的距离.4旗开得胜5【解析】(1)设极点为O.在△OAB 中,A (3,π4),B (√2,π2),由余弦定理,得AB =√32+(√2)2-2×3×√2×cos (π2-π4)=√5.(2)因为直线l 的方程为ρsin (x +π4)=3,则直线l 过点(3√2,π2),倾斜角为3π4. 又B (√2,π2),所以点B 到直线l 的距离为(3√2-√2)×sin ( 3π4-π2)=2.。
专题 坐标系与参数方程(解析版)
专题 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．652．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15 （，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标方程为e ee et tt txy--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值．答 案1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=，曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2．【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sin α），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）11252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 53x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d ==>， ∴直线l 与圆C 相离．【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2） 【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x t y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,162π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为135x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =-=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+，12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==，【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et tt tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=． 所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-． 因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，31则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===． 【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。
专题14 坐标系与参数方程2019年新课标全国卷(123卷)理科数学备考宝典 (1)
2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典14．坐标系与参数方程一、2018年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2011—2018年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——14．坐标系与参数方程一、考试大纲1．坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2．参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、新课标全国卷命题分析坐标系与参数方程的题目，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程和参数方程的简单应用，难度较小。
直线与圆的位置关系考查较多，注意直线参数方程中参数的几何意义的应用。
重点考查了数形结合的数学思想和转化与化归能力．解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解，解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．三、典型高考试题讲评题型1 参数方程与普通方程的转化（2018·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1cos2sinx l ay l a=+⎧⎨=+⎩（l为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为()12，，求l的斜率．【基本解法】解法一：因为曲线C的参数方程为2cos4sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）所以曲线C直角坐标方程为221 416x y+=因为直线l 的参数方程为1cos 2sin x l ay l a =+⎧⎨=+⎩（l 为参数）．所以 ① 当,2k k Z παπ≠+∈时，直线l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=+- ② 当,2k k Z παπ=+∈时，直线l 的直角坐标方程为1x =（2）解法一：点差法：设直线与椭圆的交点为A 、B ，坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，中点P ． 则有2211222214161416x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可知：211AB OP k k e ⋅=-，12412116AB k ⋅==--，所以2AB k =-. 解法二：参数法：将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 由题意可知：120t t += 2cos sin 0tan 2ααα+=⇒=-解法三：直角坐标法：()()()2222214tan 2tan 2tan 2tan 160416tan 2tan x y x x y x αααααα⎧+=⎪⇒++-+--=⎨⎪=+-⎩所以()()1222tan 2tan 24tan x x ααα-+=-=+解得：tan 2α=- 【解题技巧】解决坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可。
2019年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题评析和备考建议
容易消去, 曲线 C 的参数方程源于课本, 高于课本.
课本习题 4 (选修 4-4《坐标系与参数方程》第 28 页 x2 y2
例 1) 在椭圆 + = 1 上求一点 M , 使点 M 到直线 94
x + 2y − 10 = 0 的距离最小, 并求出最小距离.
在高考试题 1 中, 如果求出了曲线 C 和直线 l 的直角坐
分考生把 l 的直角坐标方程写成了 3x + 2y + 11 = 0 或 √
2x − 3y + 1 = 0 等形式, 说明了有些考生存在“公式不熟,
记忆混乱, 粗心大意, 快速解答, 不懂检验”等问题.
2. 高考试题 1 第 (1) 问求曲线 C 的直角坐标方程.
解法 2.1 (利用完全平方公式, 平方相加消去参数, 求曲
y=
1 + t2 4t
(t 为参
1 + t2
数), 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
√ 系, 直线 l 的极坐标方程为 2ρ cos θ + 3ρ sin θ + 11 = 0.
(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程;
(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值.
课本习题 1 (选修 4-4《坐标系与参数方程》第 15 页习
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中学数学研究
2019 年第 9 期 (上)
2019 年高考全国 I 卷坐标系与参数方程试题评析和备考建议
广东省云浮市郁南县西江中学 (527199) 刘龙标
坐标系与参数方程模块是高中数学的选修内容, 在高
考全国 I 卷的数学卷中有 1 道选做题, 分值 10 分, 广东约有
90% 的考生是选做这一道题的. 下面结合笔者的教学经验,
2007-2019年新课标全国卷理——坐标系与参数方程
2007－2019年全国课标卷坐标系与参数方程试题1.（本小题满分10分）1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8.己知直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值．9.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
专题21坐标系与参数方程(热点难点突破)-2019年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破Word版含解析
1．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( ) A ．ρ＝2B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2解析 先将极坐标化成直角坐标表示，⎝⎛⎭⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D. 答案 D2．在直角坐标系xOy 中，已知点C (－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6.答案 ⎝⎛⎭⎫23，－5π6 3．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________． 解析 依题意知，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0. 化简得ρ＝2sin θ. 答案 ρ＝2sin θ4．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析 将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ＋4x ， 即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝05．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3，⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．解析 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6＝12×3×4×sin π6＝3. 答案 36．已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，由圆的几何性质知，切线l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l 的斜率为－1，从而l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y ＝2，化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. 答案 ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2 7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ t ，y ＝2t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0.则l 与C 的交点直角坐标为________． 解析 曲线C 的普通方程为y ＝2x 2(x ≥0)，直线l 的直角坐标方程是y ＝x ＋1，二者联立，求出交点坐标． 答案 (1，2)8．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a 的值为________． 答案 213．在平面直角坐标系下，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 曲线C 1的直角坐标方程为x ＋2y －2a ＝0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2， 若曲线C 1，C 2有公共点， 则有圆心到直线的距离|2－2a |1＋22≤2，即|a －1|≤5， ∴1－5≤a ≤1＋5，即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5]． 答案 [1－5，1＋5]14．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，曲线C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．15．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则yx 的取值范围是________．解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝1， 圆心为(－2，0)，半径为1. 设yx＝k ，则直线y ＝kx ， 即kx －y ＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|－2k |k 2＋1＝1，即|2k |＝k 2＋1，平方得4k 2＝k 2＋1，k 2＝13，解得k ＝±33，由图形知k 的取值范围是－33≤k ≤33， 即y x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－33，33. 答案 ⎣⎡⎦⎤－33，3316．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)将C 1的方程化为普通方程；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C 1与C 2的交点的极坐标．解 (1)C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设C 1的圆心为A ，∵原点O 在圆上， 设C 1与C 2相交于O ，B ，取线段OB 的中点C ， ∵直线OB 倾斜角为π3，OA ＝2，∴OC ＝1，从而OB ＝2，∴O ，B 的极坐标分别为O (0，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π3. 17．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |的值．18．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 解 (1)y 2＝2ax ，y ＝x －2.(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2，即a 2＋3a －4＝0.解得a ＝1或a ＝－4(舍去)． 19．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α＋sin αy ＝23sin αcos α－2sin 2α＋2(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22t (t 为参数)． (1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程；(2)若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值，并求出这个定值． 解 (1)将点P ⎝⎛⎭⎫1，233代入曲线E 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos α，233＝2sin α，解得a 2＝3，所以曲线E 的普通方程为x 23＋y 22＝1，极坐标方程为ρ2⎝⎛⎭⎫13cos 2θ＋12sin 2θ＝1. (2)不妨设点A ，B 的极坐标分别为 A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，ρ1>0，ρ2>0， 则⎩⎨⎧13(ρ1cos θ)2＋12(ρ1sin θ)2＝1，13⎣⎡⎦⎤ρ2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＋12⎣⎡⎦⎤ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π22＝1，即⎩⎨⎧1ρ21＝13cos 2θ＋12sin 2θ，1ρ22＝13sin 2θ＋12cos 2θ，所以1ρ21＋1ρ22＝56，即1|OA |2＋1|OB |2＝56， 所以1|OA |2＋1|OB |2为定值56. 29．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π4，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4(θ为参数)． (1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值． 解 (1)点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫322，322，由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①， 可得曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1. (2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的直角坐标方程为2x ＋4y －2＝0， 设点Q 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，22＋sin θ，则M ⎝⎛⎭⎫2＋cos θ2，2＋sin θ2， ∴点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪2⎝⎛⎭⎫2＋cos θ2＋4⎝⎛⎭⎫2＋sin θ2－222＋42＝|52＋cos θ＋2sin θ|25＝52＋5sin (θ＋φ)25，其中tan φ＝12.∴d ≥52－525＝10－12(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，∴点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值为10－12. 30．已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程为ρcos(θ－α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6(θ为参数)． (1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，P 为直线l 1，l 2的交点，求|OP ||AP |的最大值．。
2019年高考数学考试大纲解读专题14坐标系与参数方程(含解析)文
309教育网
309教育资源库 14 坐标系与参数方程
考纲原文
选考内容
（一）坐标系与参数方程
1．坐标系
（1）理解坐标系的作用.
（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
2．参数方程
（1）了解参数方程，了解参数的意义.
（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算
2．从考查内容来看，主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.。
专题22 坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(解析版)
设 Q(, ) 为l上除P的任意一点．
在 Rt△OPQ 中， cos( ) | OP | 2 ， 3
经检验，点 P(2, ) 在曲线 cos( ) 2 上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，
在 Rt△OAP 中，| OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
进行极坐标和直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解
用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解参数方程，了解参数的意义． 6．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 【命题规律】 参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标 方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决． 【答题模板】 1．平面直角坐标系中的伸缩变换
【母题来源三】【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4．
（1）M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM | | OP | 16 ，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标
由题设知 | OP |
,| OM
|
1
4 cos
．
由| OM | | OP | 16 得 C2 的极坐标方程 4cos ( 0) ．
因此 C2 的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4(x 0) ．
专题22 坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）2cos ([0,])4ρθθπ=∈，32sin ([,])44ρθθππ=∈，32cos ([,])4ρθθπ=-∈π， （2）)6π，)3π，2)3π，5)6π． 【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知 若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；专题22 坐标系与参数方程若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=． 综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【答案】（1）(,)44π3π；（2）2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =-l 与O交于两点当且仅当|1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈． 综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【答案】（1）()2240x y y -=≠；（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+． 设(),P x y ，由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠．（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠．联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+．故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==． 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．【命题意图】能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．主要考查考生的数学运算能力和转化与化归思想的应用．【命题规律】主要考查极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，以解答题的形式出现，分值10分，难度中等．【知识总结】1．极坐标和直角坐标的互化（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位．（2）互化公式：设M是平面内任一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直角坐标的互化公式为cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩，，可得222tan0x yyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，（）．注意：把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置）和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．2．简单曲线的极坐标方程3．参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x=f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y=g （t ），那么x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）就是曲线的参数方程．注意：（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．4．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程【方法总结】1．极坐标与直角坐标互化的方法（1）将点的直角坐标（x ，y ）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式，tan θ=yx（x ≠0）即可．在[0，2π]范围内，由tan θ=yx（x ≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ+2k π（k ∈Z ）即可．（2）将点的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x ，y ）时，运用公式x=ρcos θ，y=ρsin θ即可． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 直角坐标方程极坐标方程．3．求解与极坐标有关问题的主要方法（1）直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；（2）间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．4．将参数方程化为普通方程的方法（1）将参数方程化为普通方程时，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系式消参，如sin 2θ+cos 2θ=1等；（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况． 5．将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t ，确定x=f （t ），再代入普通方程，求得y=g （t ），即可化为参数方程x f t y gt =⎧⎨=⎩（），（）．注意参数t 的意义和取值范围．选取参数的原则：（1）曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单；（2）当参数取某一个值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作为参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作为参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数．6．直线方程中参数t 的几何意义的应用经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：（1）t 0=122t t +； （2）|PM|=|t 0|=|122t t+|；（3）|AB|=|t 2–t 1|； （4）|PA|·|PB|=|t 1·t 2|．注意：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M （x ，y ）到M 0（x 0，y 0）的距离，即|M 0M|=|t|．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过点()1,2P 倾斜角为135︒的直线l 与曲线C 交于M N 、两点，求22PM PN +的值． 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）8．【解析】（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=，故224x y y +=，故4sin ρθ=，故所求极坐标方程为4sin ρθ=；（2）由题意，可设直线l的参数方程为122x y t =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）， 将此参数方程代入2240x y y +-=中，化简可得230t -=，显然0∆>．设,M N 所对应的参数分别为1t ，2t，则12123t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩．∴()2222212121228PM PN t t t t t t +=+=+-=．【名师点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线l 的参数方程为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设1(2)P ，．直线l 与曲线C 交于点A B ，．求·PA PB 的值． 【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=；（2）7．【解析】（1）由4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4cos 4sin ρθθ=+，∴24cos 4sin ρρθρθ=+，又cos sin x y ρθρθ==，，∴2244x y x y +=+即曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=．（2）将325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入C 的直角坐标方程，得229418255t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴28705t t +-＝， 设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，∴127t t =-．则12·7PA PB t t ==． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106ρθπ++=．若直线l 与曲线C 相切． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON △，且满足6MON π∠=，求M O N △面积的最大值．【答案】（1）4sin()3ρθπ=+；（2）2．【解析】（1）由题意可知，直线l20y -+=．曲线C是圆心为)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C相切可得2r ==．可知曲线C的直角坐标方程为(()2214x y +-=．所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3ρθπ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N ρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（10ρ>，20ρ>，233θππ-<<）． 1211sin 264MON S OM ON ρρπ==△24sin sin 2sin cos 32θθθθθππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2θθ=++2sin 23θπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当12θπ=时，MON △面积的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，考查了极坐标系下三角形的面积公式，考查了三角函数的最值问题，属于中档题．4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短2C ，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4sin()103ρθπ++=． （1）求曲线2C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线3C ：2213y x +=上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2C ：23cos 04ρρθ--=，l：210y ++=；（2）14+． 【解析】（1）曲线1C的参数方程为12cos x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），根据图象变换可得曲线2C 的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（α为参数）， 消去方程中的α可得普通方程为22304x y x +--=， 将222,cos x y x ρρθ+==代入上式得23cos 04ρρθ--=．所以曲线2C 的极坐标方程23cos 04ρρθ--=．直线l的极坐标方程为14sin 102ρθθ⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭，即2sin cos 10ρθθ++=，将sin ,cos y x ρθρθ==代入上式，得210y ++=， 所以直线l的直角坐标方程为210y ++=． （2）设()cos P αα为曲线3C 上任一点，则点P 到直线l的距离d ==， ∴当sin 14απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d∴点P 到直线l． 【名师点睛】本题考查各种方程间的相互转化，在进行极坐标和直角坐标间的转化时，要注意转化公式在解题中的灵活应用．参数方程的建立便于点的坐标的选取，利用参数方程求点到直线的距离等提供了新的解题思路．5．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．【答案】（1）40x y +-=，2C的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）31,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去t ，得40x y +-=，由ρ=，()2212sin 3ρθ∴+=即2222sin 3ρρθ+=，22223x y y ∴++=，即2213x y +=，2C ∴的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）设曲线2C 上动点为Q),sin ϕϕ，则点Q 到直线1C 的距离：d=， ∴当sin 13ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即6ϕπ=时，d，即PQ，3621sin 62x y π⎧==⎪⎪∴⎨π⎪==⎪⎩，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．【名师点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．6．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，变换得到曲线E ．（1）求E 的普通方程；（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为4π，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN △的面积．【答案】（1）2214x y +=；（2）85． 【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以E 的普通方程为2214x y +=．（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为4π， 所以l的参数方程为222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为122t t +，联立22,22,21,4x t y t x y ⎧=⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，化简得25240t -+=，(245240∆=-⨯⨯>，所以122t t +=MN =，所以118sin 2242525OMN S MN MO π=⋅⋅=⨯⨯=△． 【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题．7．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 的极坐标方程为3()4θρπ=∈R ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值． 【答案】（1）2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）OP = 【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），∴所求方程为222(1)(1)2x y ++-=，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴22cos 2sin 2ρρθρθ+-=， ∴曲线C的极坐标方程为2cos 24ρθπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．（2）联立34θπ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得220ρ--=， 设()1,M ρα，()2,N ρα，则12ρρ+=，由12||2OP ρρ+=，得OP =【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，普通方程与及坐标方程的互化，利用极径的几何意义求弦长，属于中档题．8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）直线l 的普通方程10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22440x y +-=；（2）85．【解析】（1）由2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程10x y --=． 由()222cos 4sin 4ρθθ+=，得曲线C 的直角坐标方程为22440xy +-=．（2）将直线l的参数方程为2212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入22440x y +-=，得2580t ++=．则125t t +=-，1285t t =．∴12AB t t =-=5==， 1285PA PB t t ⋅==．所以AB的值为5，定点P 到A ，B 两点的距离之积为85．【名师点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程． 9．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ρθθππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转π3，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）【解析】（1）1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩2222(1)120x y x y x ⇒-+=⇒+-=， 由222,cos ,x y x ρρα=+=可得圆C 的极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题意可知：10(,)6A ρθπ+，所以0002cos 2cos 36OA OB θθθππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,26θππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0()(,)633θπππ+∈-01cos()(,1]62θπ⇒+∈，从而OA OB +最大值为【名师点睛】本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题．考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力．10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为32cos (2sin x y ααα=+=⎧⎪⎨⎪⎩为参数）． （1）写出C 的普通方程，求C 的极坐标方程；（2）若过原点的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 中点D 的极坐标为03ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求D 的直角坐标．【答案】（1）226170x y x +--+=，26cos sin 170ρρθθ--+=；（2）94⎛ ⎝⎭． 【解析】（1）C 的普通方程()(2234x y -+-=，∴226170x y x +--+=，C的极坐标方程26cos sin 170ρρθθ--+=；（2）由已知得直线l 的极坐标方程为π3θ=，代入26cos sin 170ρρθθ--+=，得29170ρρ-+=，∴294170∆=-⨯>，设12ππ33A B ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则129ρρ+=， ∵D 是AB 中点， ∴120922ρρρ+==，∴9π99πcos sin 234234D D x y ====，， ∴D的直角坐标为94⎛ ⎝⎭． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的转化和应用，属中档题．11．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标为()1,0，直线l的参数方程为12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求11MA MB+的值． 【答案】（1）10x y --=和24y x =．（2）1【解析】（1）将12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩中的参数t 消去，得：10x y --=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 4cos ρθθ=，得24y x =． ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为：10x y --=和24y x =．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得280t -=，设A 、B 两点对应的参数为1t 、2t ，则1MA t =，2MB t =，且12t t +=128t t =-． ∴12128t t t t +=-==，∴121111MA MB t t +=+121212121t t t t t t t t +-===． 【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】在平面直角坐标xOy 中，直线l 的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，若16AB =，求a 的值．【答案】（10x y -=，24y x =；（2）1a =．【解析】（1）∵直线l的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a 为常数）， 消去参数t 得l的普通方程为：)y x a =-0x y --=．∵24cos sin θρθ=，∴2sin 4cos ρθθ=即22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）法一：将直线l的参数方程代入曲线中得2160t a --=，∴121264(3)0316a a t t t t a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩， ∴12||16AB t t =-===，解得1a =．法二：将)y x a =-代入曲线24y x =， 化简得：222(6)0x a x a -++=，∴1221264(3)032(6)a a x x a x x a ∆=+>⇒>-⎧⎪+=+⎨⎪=⎩∴||163AB ====，解得1a =． 【名师点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．13．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=．（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(1,)2π，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．【答案】（1）22132x y +=，1x y +=；（2． 【解析】（1）椭圆C 的普通方程为22132x y +=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入整理得：2222sin 60ρρθ+-=， ∴椭圆C 的极坐标方程为2222sin 60ρρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l 的直角坐标方程为：1x y +=； （2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，点1,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1P ，它在直线l 上． 设直线l的参数方程为212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入22132x y+=，得222316⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2560t +-=，所以125t t +=-，1265t t ⋅=-，由直线参数方程的几何意义可得：1212PA PB t t t t +=+=-==． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程互化，还考查了直线参数方程及参数的几何意义应用，考查了韦达定理及计算能力，属于中档题．14．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最小值．【答案】（1）22(2)4x y ++=；（2）7-．【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程224x y x +=，即()2224x y -+=．∴曲线D 的直角坐标方程为()2224x y ++=． （2）由（1）设sin 3ρθ=-，[)0,2α∈π，直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， ∴12sin 3d α=+，()2222cos 42cos d αα=--+=-，∴122sin 342cos 74d d αααπ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭，∴12d d +的最小值为7-．【名师点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到两直线的距离和的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数，0t ≥），在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ，3C 的极坐标方程为242cos 05ρρθ--=，()7cos sin 5ρθθ+=． （1）判断2C ，3C 的位置关系，并说明理由； （2）若()3tan 04αα=≤≤π，1C 分别与2C ，3C 交于M ，N 两点，求MN ． 【答案】（1）圆2C 与直线3C 相交；（2）1． 【解析】（1）由224:2cos 05C ρρθ--=，可得224205x y x +--=，即2C 是圆心为()10，的圆； 又()37:cos sin 5C ρθθ+=可得705x y +-=，即3C 是一条直线， 圆心()10，到直线3C的距离d ==<，即d r <， 所以圆2C 与直线3C 相交．（2）由()3tan 04αα=≤<π，有3sin 5α=，4cos 5α=， 由()2042cos 05θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩，，得284055ρρ--=，解得12ρ=，225ρ=-（舍去）， 由()()07cos sin 5θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩，，，得347555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得31ρ=，故131MN ρρ=-=． 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．。
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．坐标系与参数方程
在直角坐标系
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在直角坐标系
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