3行列式(递归定义)
行列式的递归定义
行列式的递归定义行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个由数构成的方阵的特殊函数。
行列式的递归定义是指通过对方阵进行一系列的变换和运算，从而得到行列式的值。
本文将从行列式的定义、性质以及递归计算方法等方面进行探讨。
行列式的定义是通过方阵中的元素来确定的。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以表示为一个数值。
行列式的值依赖于方阵中元素的排列方式，具体计算方法如下：1. 当n=1时，方阵A只有一个元素a，此时det(A) = a；2. 当n>1时，假设方阵A的第i行第j列的元素为a(i,j)，则行列式det(A)可以表示为：det(A) = a(1,j) * (-1)^(1+j) * det(A(1,j)) + a(2,j) * (-1)^(2+j) * det(A(2,j)) + ... + a(n,j) * (-1)^(n+j) * det(A(n,j))，其中A(1,j)表示将方阵A的第一行和第j列删去后得到的新方阵。
行列式具有以下几个重要的性质：1. 互换性：行列式中改变任意两行（或两列）的位置，行列式的值不变，即det(A) = det(A')，其中A'是通过互换行（或列）位置后得到的新方阵；2. 基本行列变换：行列式中对任意一行（或列）进行以下变换，行列式的值也会发生相应的变化：a) 交换两行（或两列）的位置，行列式的值变号；b) 用一个数乘某一行（或列）的所有元素，行列式的值也乘以该数；c) 用某一行（或列）的元素乘以一个数，再加到另一行（或列）对应元素上，行列式的值不变；3. 行列式的值为零：当方阵中存在两行（或两列）完全相同，或存在一行（或一列）的元素全为零时，行列式的值为零；4. 行列式对角线法则：对于一个n阶方阵A，行列式的值等于其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积，即det(A) = a11 * a22 * ... * ann - a21 * a32 * ... * a(n-1)n。
《九章算术》行列式-概述说明以及解释
《九章算术》行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述九章算术是中国古代数学经典之一，行列式是九章算术中的重要内容之一。
在数学研究和实际应用中，行列式有着广泛的应用和重要性。
本文旨在介绍九章算术中的行列式，包括其定义和性质，计算方法以及在数学和应用领域中的具体应用。
行列式可以看作是一个方阵所具有的一种性质或特征，它具有许多重要的数学性质。
九章算术中，行列式的定义和性质被详细研究和总结，并被广泛应用于解决各种数学问题。
行列式的计算方法也是九章算术中的重要内容之一，通过一系列的运算和变换，可以得到方阵的行列式值。
行列式作为一种数学工具，不仅在纯数学研究中发挥着重要的作用，同时也有广泛的应用领域。
在线性代数、概率论、统计学等数学领域中，行列式被用于解决线性方程组、计算变量相关性、判断矩阵的可逆性等问题。
此外，在工程、物理、经济学等应用领域中，行列式也被广泛应用于解决实际问题，例如电路分析、力学问题、经济模型等。
本文将从九章算术的角度出发，详细介绍行列式的定义和性质，阐述行列式的计算方法，并举例说明行列式在数学和应用领域中的具体应用。
通过深入理解九章算术中行列式的内容，我们可以更好地应用行列式解决实际问题，并探索行列式在未来的发展和研究方向。
总之，行列式是九章算术中的重要组成部分，具有广泛的应用和重要性。
通过对行列式的研究和应用，我们可以更好地理解和应用九章算术，同时也可以在数学和应用领域中解决实际问题，推动行列式研究的发展。
在接下来的内容中，我们将详细介绍九章算术中行列式的各个方面，以期让读者对行列式有一个全面且深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，它对于读者来说非常重要，可以为读者提供一个清晰的框架，使他们能够更好地理解和掌握文章的内容。
本文将按照以下结构展开叙述：2.正文：2.1 九章算术简介在本部分中，将对九章算术的起源、发展以及其在数学领域中的地位和作用进行介绍。
用递归法计算行列式
用递归法计算行列式
行列式是一种特殊的方阵，可以用递归法计算。
递归法是一种通过不断将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。
下面是用递归法计算行列式的步骤：
1.将行列式按照最后一行展开，得到递归关系式：Dn=an Dn-1+bn Dn-2
其中，a和b是行列式的元素，Dn和Dn-1、Dn-2分别是n阶、n-1阶和n-2阶的行列式。
2.从低阶行列式开始递归计算，直到计算到二阶行列式。
3.利用递归关系式，将二阶行列式的结果代入到高阶行列式的递归关系式中，
得到最终结果。
下面是一个用递归法计算行列式的示例代码（Python实现）：
def det(matrix):
n = len(matrix)
if n == 2:
return matrix[0][0]*matrix[1][1] -
matrix[0][1]*matrix[1][0]
else:
a = matrix[n-1][n-1]
b = matrix[n-1][n-2]
an = matrix[:n-1]
bn = matrix[:n-2]
return a*det(an) + b*det(bn)
其中，输入参数matrix是一个二维数组，表示一个n阶方阵。
函数首先判断矩阵的大小，如果是2阶方阵，则直接计算结果；否则，将矩阵分为a和b两个子矩阵，分别递归计算它们的行列式，并利用递归关系式计算最终结果。
需要注意的是，递归法虽然可以方便地计算行列式，但是在计算过程中会涉及到大量的重复计算，因此效率比较低。
在实际应用中，可以考虑使用其他算法来计算行列式，如高斯消元法、拉普拉斯展开等。
第3课 行列式
-21-
例3
× × 0 × × 0 × × 0 × × ×
× × 0 0= ⋅× × × =0 × × × × × × × × × × × ×
0 0 0 0
0 0 0
性质8 性质8
都是n阶方阵 设A，B都是 阶方阵，则 ， 都是 阶方阵，
AB = A ⋅ B
-22-
例4
是奇数阶方阵， 设A是奇数阶方阵，且 AT A = E , A = 1, 是奇数阶方阵 证明 E − A = 0
按第1列展开 按第 列展开
a11
a 23 L a 2 n a 33 a3n O M a nn ( n−1)
按第1列展开 按第 列展开
a 33 a11a 22
a 34 L a 3 n a44 a4n O M
=L
a nn ( n − 2)
= a11a 22 L a nn
-8-
由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算 由定义，
互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 行列式变号。
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
再如，证明 再如，
1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
a b c × × × =0 a b c
a b c × × × a b c
a11 L a1k M M D= a k 1 L a kk c11 L c1k M M c n1 L cnk
p11 M p = k1 c11 M cn1
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
O L pkk L c1k M L cnk
0 q11 M O qn1 L qnn
总结递归法求解行列式的范例
总结递归法求解行列式的范例摘要：行列式是数学中的一个函数，将一个的矩阵映射到一个标量，记作或。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
而递归法作为一种求解行列式的有力工具，其自身有重要的意义。
本文从递归法的概念、执行过程、作用等三个方面进行了简要论述。
关键词：递归法、行列式、求解、高等代数引言：关于递归算法设计的基本思想是：对于一个复杂的问题，把原问题分解为若干个相对简单前类同的子问题，继续下去直到子问题简单到能够直接求解，也就是说到了递推的出口，这样原问题就有递推得解。
正文：1.行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。
十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
所以如何快捷地计算行列式的值就变得非常重要，和有研究意义。
2.计算行列式的值是一个常见的问题。
最简单的方法是按照定义计算或按照拉普拉斯公式进行递归运算。
这样的算法需要计算次的加法，复杂度是指数函数。
在实际的计算中只能用于计算阶数很小的行列式。
注意到拉普拉斯公式的性质，如果一行或一列里面有很多个0，那么就可以把行列式按这一行或一列展开，这时数值为零的系数所对应的代数余子式就不必计算了，因为最后要乘以0，这样就可以简化计算。
然而更加简便的算法是利用高斯消去法或LU分解法，把矩阵通过初等变换变成三角矩阵或三角矩阵的乘积来计算行列式的值。
这些算法的复杂度都是级别，远远小于直接计算的复杂度。
怎么记三阶行列式的公式
怎么记三阶行列式的公式三阶行列式是数学中最重要的行列式，它有着广泛的应用。
三阶行列式可以用来解决三元一次线性方程组，计算行列式的值，并为其他矩阵计算增广矩阵提供依据。
其公式可以用Determinant of A的三阶递归表达式表示：Det(A)=a11*Det(A11)-a12*Det(A12)+a13*Det(A13)其中Det(Aij)为A以第i行第j列为首项建立的2阶行列式。
举个例子，A= [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]的三阶行列式的表达式为：Det(A)=a11*Det(A11) - a12*Det(A12) + a13*Det(A13)其中Det(A11)是由A以第1行第1列为首项组成的2阶行列式，Det(A12)是由A以第1行第2列为首项组成的2阶行列式，Det(A13)是由A以第1行第3列为首项组成的2阶行列式。
由上面不难看出，三阶行列式的计算关键是通过划分出来的各个2阶行列式，它们的特点是：这些2阶行列式都是以一行作为首项，其余行是在原来三阶行列式的其他行中划分而来。
这样由于其中的2阶行列式计算起来比较容易，因此对于计算三阶行列式的值就比较方便。
通过以上内容，我们可以看出三阶行列式是如何计算的。
当我们需要计算行列式的时候，只需要按照公式计算各个2阶行列式的值，然后将它们相乘再相加，就可以得出三阶行列式的值。
可见，要记住关于三阶行列式的计算公式是有必要的，它是最基本的计算数学中行列式的方法，也是三元一次线性方程组、矩阵计算增广矩阵等技术的基础。
虽然很多时候我们不会直接用它计算三阶行列式的值，但它给我们提供了一个重要的方向：分析并熟练掌握三阶行列式的计算方法，这是更高阶技能的基础。
计算行列式常用的7种方法
行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b ba a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k=1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n nn n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列 (1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261 在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.例12 计算nn b b b a a a D 1001000102121 =例13 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B A , BC T =0.证明：|AA T |=|BB T ||CC T |.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
3行列式的计算方法
3行列式的计算方法3行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和向量运算中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要对3行列式进行计算，因此掌握3行列式的计算方法对于我们的学习和工作都至关重要。
接下来，我将为大家介绍3行列式的计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看3行3列的行列式的计算方法。
对于一个3行3列的行列式，我们可以使用Sarrus法则来进行计算。
Sarrus法则是一种简单而直观的计算方法，它适用于3行3列的行列式。
具体步骤如下：首先，将3行3列的行列式写成一个3行6列的矩阵，其中第一列和第四列重复出现在矩阵的末尾。
然后，将每一条从左上到右下的对角线上的元素相乘，得到三个乘积。
接下来，将每一条从右上到左下的对角线上的元素相乘，也得到三个乘积。
最后，将这两组乘积相加，得到最终的行列式的值。
其次，对于3行3列的行列式，我们还可以使用余子式和代数余子式来进行计算。
余子式是指在计算行列式时，去掉某一行和某一列后剩下的部分的行列式值。
而代数余子式则是指将余子式乘以对应元素的符号（即正负号）后得到的结果。
通过递归地计算余子式和代数余子式，我们可以得到最终的行列式的值。
最后，对于3行3列的行列式，我们还可以利用拉普拉斯展开来进行计算。
拉普拉斯展开是一种递归的计算方法，通过不断地计算余子式和代数余子式，最终得到行列式的值。
具体步骤是选择其中一行（或一列）的元素，将每个元素与其对应的代数余子式相乘后相加，得到最终的行列式的值。
综上所述，我们可以通过Sarrus法则、余子式和代数余子式、拉普拉斯展开等方法来计算3行3列的行列式。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。
希望通过本文的介绍，大家对3行列式的计算方法有了更清晰的认识，能够在实际问题中灵活运用这些方法，提高自己的数学水平。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
行列式(递归定义)
递归定义的合理性分析
递归定义的可行性
递归定义将n阶行列式降阶为n-1阶行列式，不断降阶直至1阶，使得高阶行列式的计算变得可行 。
递归定义的效率
虽然递归定义可以计算高阶行列式，但随着阶数的增加，计算量呈指数增长，因此在实际应用中 需要注意计算效率问题。
递归定义的优势与局限性
• 可计算性：对于某些问题，递归定义可以 直接转化为计算机程序，从而实现问题的 自动求解。
递归定义的优势与局限性
01
02
03
效率问题
递归定义往往需要多次重 复计算，导致算法效率低 下。
空间占用
递归定义需要占用大量的 内存空间来保存中间结果， 对于大规模问题可能会导 致内存溢出。
得出结果。
判断行列式是否为零
如果行列式中存在一行或一列全为零，则根据递归定 义可知该行列式的值为零。
如果行列式中存在两行或两列成比例，则可以通过行 列变换将其化为一行或一列全为零的形式，从而判断 该行列式的值为零。
证明行列式的性质
行列式的性质包括交换两行（列）、一行（列）的公 因子可以提出、一行（列）是另一行（列）的线性组 合等。这些性质可以通过递归定义进行证明。
收敛性问题
某些递归定义可能不存在 解或者解不唯一，需要额 外的条件来保证递归的收 敛性。
未来研究方向
优化递归算法
研究如何优化递归算法的效率，减少重复计算和内存占用，提高算 法的实用性。
拓展应用领域
探索递归定义在更多领域的应用，如图像处理、自然语言处理等， 进一步拓展其应用范围。
完善理论基础
深入研究递归定义的理论基础，探讨其数学性质、计算复杂性等方面 的问题，为实际应用提供坚实的理论支持。
行列式的定义及性质
a b c
0
等于零？
按第三行展开 aA31 bA32 cA33
也可以看做第一行元素与第三行代数余子式的乘积
例3.3
设D
1 2 1 2 2 4 2
5 3 2
4 2 2 1
2 2
，求D的第3列元素的代数余子 式之和。
解
根据行列式的展开定理可得
a12 A13 a22 A23 a32 A33 a42 A43 0，
B A;
性质3.3(2)：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。
证明：
a11 as1 D at 1 an1
a12 as 2
a1 n a sn
at 2 atn an 2 ann
a11 a21 A ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
例如
a22 a32 M 11 an 2
a23 a2 n a33 a3n an 3 ann
n 1
a21 a23 a2 n a31 a33 a3n M 12 an1 an 3 ann
从而， 即，
2( A13 A23 A33 A43 ) 0， A13 A23 A33 A43 0.
1 5 7 8 1 1 1 1 2 0 3 6 1 2 3 4 ，
练习 已知 D
计算 A41 A42 A43 A44 .
利用展开定理得到计算行列式的基本方法Ⅰ “降阶法”，即 利用行列式展开定理, 可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列 式的计算。
三阶行列式快速计算
三阶行列式快速计算行列式是一个重要的数学概念，因为它在很多数学和工程问题中都起着关键作用。
在这篇文章中，我们将学习如何快速计算三阶行列式。
$$\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix} = a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 -a_3b_2c_1 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3$$根据以上展开式，我们可以逐步计算三阶行列式。
首先，将每个元素乘以其对应余子式的行列式，并按照正负号规则相加。
所谓余子式，就是将原行列式的第i行和第j列划去后，剩下的2阶行列式。
对于上述展开式，我们可以表示为以下形式：$$a_1 \begin{vmatrix}b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3\end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix}b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3\end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix}b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2\end{vmatrix}$$其中，$\begin{vmatrix}b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3\end{vmatrix}$表示余子式。
接下来，我们需要计算每个2阶行列式。
一个2阶行列式可以表示为以下形式：$$\begin{vmatrix}d & e \\ f & g\end{vmatrix} = dg - ef$$将以上公式应用于每个2阶行列式，我们可以进一步简化计算。
举个例子来说明。
假设我们要计算下面的三阶行列式：$$\begin{vmatrix}2 & 4 & 3 \\ 1 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 2\end{vmatrix}$$根据展开式的形式，我们可以写出以下步骤：$$(2 \cdot (-2) \cdot 2) + (4 \cdot 0 \cdot (-1)) + (3 \cdot1 \cdot 3) - (3 \cdot (-2) \cdot (-1)) - (2 \cdot 4 \cdot 2) -(2 \cdot 0 \cdot (-1))$$计算并化简每个乘积后，我们可以得到最终结果：$$-8+0+9+6-16+0=-9$$因此，上述三阶行列式的值为-9除了展开式，我们还可以利用行列式的定义来计算三阶行列式。
矩阵行列式的计算方法
矩阵行列式的计算方法行列式是矩阵的一种重要性质，它可以用来表示矩阵的大小、形状和特征，并且在矩阵的计算中起着重要的作用。
下面介绍一些常见的行列式的计算方法。
1. 递归法递归法是行列式计算方法中最常见的方法之一。
该方法通过矩阵的行和列依次相加，直到矩阵的行数或列数等于 1 时停止计算。
具体来说，设矩阵 A 的行数和列数为 n，则行列式的递归式为:|A| = |I| + |A - I| + |A - 2I| + ... + (-1)^n|A - nI| 其中，I 是单位矩阵，|A - I|表示 A 减去单位矩阵的行列式，|A - 2I|表示 A 减去两个单位矩阵的行列式，以此类推。
公式中的 (-1)^n 表示矩阵 A 的 n 行 n 列中每行元素都乘以 (-1)^n，从而产生一个负号。
递归法的优点是可以计算任意阶的行列式，但需要消耗大量的时间和内存。
因此，在实际应用中，通常采用其他更高效的计算方法。
2. 高斯 - 约旦消元法高斯 - 约旦消元法是另一种常用的行列式计算方法。
该方法首先将矩阵 A 分解成素矩阵的乘积，然后通过交换某些元素来将这些素矩阵的行列式相加。
具体来说，设矩阵 A 的行数和列数为 n，选取一个 k，使得 n-k 是奇数，并令 P 为 n-k 阶方阵，则 A 可以表示为:A = P^(-1)*B*P其中，B 为 k 阶方阵，P 为 P^(-1) 的矩阵，即:P^(-1) = (1 2 3 ... k)^(-1)高斯 - 约旦消元法的计算步骤如下:(1) 将 P^(-1) 中的每个元素都乘以一个非零常数，使得 P^(-1) 中的每个元素都小于等于 0。
(2) 将 B 的行向量与 P^(-1) 中的行向量线性变换，使得 B 的行向量中只有非零元素。
(3) 对 B 进行初等行变换，将其化为上三角矩阵。
(4) 计算 B 的行列式，并将其加到 A 的行列式上。
高斯 - 约旦消元法的计算效率较高，可以计算任意阶的行列式，但需要选取合适的 k，以确保计算过程中不会出现错误。
3行列式(递归定义)
方阵的行列式
方阵A的行列式是按某种规则运算后得到的数值。
1、方阵行列式的记法
把矩阵的方 括号改成两 条竖线！
其中 为行列式的第 行 列元素。
2、代数余子式 划去 的第 行 列元素，剩下元素按原来相对位置
排成的
（3）不同的项总共有n!个。 （4）正负项各占一半！
例3 求在5阶行列式中
这一项前面的符号？
将这一项中元素 原样放置，其它 位置为0，计算这 个行列式！
5、对角矩阵的行列式
按行列式的定义怎样证？ 单位阵的行列式？
6、下三角形矩阵的行列式
按行列式的定义怎样证？ 上三角形矩阵的行列式？
7、行列式的性质
（6）可以从一行中提取公因数： （7）可以从一列中提取公因数：
124 114 2 6 9 22 3 9 345 325
从第2列中提取 一个数2！
124 12 4 2 6 9 2 1 3 4.5 345 34 5
从第2行中提取 一个数2！
(8) 两行（列）对应成比例，则行列式为0。
4 8 12 2 6 9 ? 5 10 15
于是得递推公式： ,
利用递推公式，得
11、行列式计算：用数学归纳法 例6 证明范德蒙行列式
课后写出这个边 乘积的表达式？
证明： Step1：当n=2时
故对2阶范德蒙行列式公式成立。 Step2：假设命题对于n-1阶范德蒙行列式成立。
对于 从最后 一行起依次减去上一行的 倍,
按第1列展 开！
（2）行列式D的任一行的每个元素与另一行 相应元素的代数余子式的乘积之和为零。
例8 设
「行列式的计算方法」
「行列式的计算方法」1.定义法：行列式的定义是通过递归来定义的。
对于一个1×1的矩阵A=[a]，其行列式为det(A)=，a。
对于一个n×n的矩阵A=[aij]，其中i代表行数，j代表列数，行列式可以通过以下方式递归计算：det(A)=Σ(-1)^(i+j)×aij×det(Aij)其中，Aij是将A中第i行和第j列删除后得到的(n-1)×(n-1)的子矩阵。
2.展开法：根据定义法，展开法也是一种递归的计算方法。
展开法是通过在行或列上选择一个元素展开计算行列式。
通常选择展开的元素是行列式中非零元素最多的行或列。
假设我们选择第i行展开，那么行列式可以表示为：det(A)=Σ(-1)^(i+j)×aij×det(Aij)其中，Aij是将A中第i行和第j列删除后得到的(n-1)×(n-1)的子矩阵。
通过递归计算Aij的行列式，最后可以得到det(A)的值。
3.克拉默法则：克拉默法则是行列式计算的一种特殊方法，适用于求解n元线性方程组。
对于一个n×n的方阵A=[aij]，其行列式为det(A)，方程组为Ax=b。
克拉默法则根据公式xk=det(Bk)/det(A)，其中Bk是将A的第k列替换为b后的矩阵，det(Bk)是Bk的行列式，det(A)是A的行列式。
通过计算det(Bk)和det(A)，可以求解方程组的解向量x。
4.LUP分解法：LUP分解法是行列式计算的一种常用方法，也适用于求解线性方程组。
LUP分解法通过将矩阵A分解为三个矩阵的乘积A=LU，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵，P是一个置换矩阵。
LUP分解可以通过高斯消元法和选主元的方式得到。
通过进行LUP分解后，原方程组Ax=b可以表示为LUx=Pb，令Ux=y，则Ly=Pb。
通过先解y的方程组，再解x的方程组，可以求解出方程组的解向量x。
5.次序化方法：次序化方法是通过行列式的性质来计算行列式。
三叉型行列式计算
三叉型行列式计算首先，我们来定义三叉型行列式。
一个n阶的三叉型行列式可以表示为：D = det(A - λI)其中，A是一个n阶矩阵，λ是一个常数，I是单位矩阵，det表示行列式的值。
接下来，我们来介绍三叉型行列式的一些性质。
首先，三叉型行列式与特征多项式相关，即特征多项式的每一项的系数都可以通过三叉型行列式计算得出。
具体而言，特征多项式可以表示为：f(λ)=(λ-λ₁)ⁿ₁(λ-λ₂)ⁿ₂...(λ-λₖ)ⁿₖ其中λ₁,λ₂,...,λₖ是矩阵A的特征值，n₁,n₂,...,nₖ是对应的重数。
1.在行列式中选择一行或一列作为主元，通常选择主元为第一行或第一列。
2.将主元所在的行或列剔除，记剩余的行列式为A'。
3.根据主元的位置将A'划分为三个子行列式，分别记为A₁,A₂和A₃。
4.根据A₁,A₂和A₃用递归的方式分别计算三个三叉型行列式，分别记为D₁,D₂和D₃。
5.计算三叉型行列式的值，即D=(A-λI)=D₁-D₂+D₃。
下面我们通过一个例子来说明三叉型行列式的计算方法。
例子：考虑一个3阶的矩阵A：A=[a₁₁,a₁₂,a₁₃;a₂₁,a₂₂,a₂₃;a₃₁,a₃₂,a₃₃]假设λ是矩阵A的特征值，我们要计算三叉型行列式D=(A-λI)的值。
首先，选择第一行作为主元，剩余的矩阵A'为：A'=[a₂₁,a₂₂,a₂₃;a₃₁,a₃₂,a₃₃]根据主元的位置将A'划分为三个子行列式，分别为：A₁=[a₂₂,a₂₃;a₃₂,a₃₃]A₂=[a₂₁,a₂₃;a₃₁,a₃₃]A₃=[a₂₁,a₂₂;a₃₁,a₃₂]然后，我们用递归的方式计算三个三叉型行列式D₁,D₂和D₃。
对于D₁ = det(A₁ - λI₁)，我们选择第一行作为主元，剩余的矩阵A₁'为：A₁'=[a₃₂,a₃₃]根据主元的位置将A₁'划分为一个子行列式：A₁₁=[a₃₃]根据递归计算，我们得到D₁=(a₃₃-λ)。
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12、行列式性质 性质15：行列式的一行与另一行对应元 素的代数余子式的乘积之和为0。
证明见课本P36，辅助行列式法。
13、行列式展开定理
定理：（1）行列式D的任一行的每个元素与其对应的 代数余子式乘积之和等于该行列式的值； （2）行列式D的任一行的每个元素与另一行 相应元素的代数余子式的乘积之和为零。
A ?
3
A 5 6 7 ? 9 20 15
（10）单行(列)可加性
（11） 消元性质:
第j行加上第i行的k倍后，行列式不变！ 怎么证明？
（12） 行列式转置后其值不变！
需要用数学归纳法，见附录A（P40）。
例：奇数阶反对称矩阵的行列式的值为0 。
证明 设 为
例2 计算4阶行列式，
例4
9、行列式的计算：降阶法 第4列减第3 第2行加上第 列4倍！ 一行！
按第二行展 开！
再消元，再 展开！
10、行列式的计算：递推法 例5 计算2n行列式
解： 按D2n的第一行展开：
于是得递推公式：
,
利用递推公式，得
11、行列式计算：用数学归纳法
例6
证明范德蒙行列式
课后写出这个边 乘积的表达式？
证明： Step1：当n=2时
故对2阶范德蒙行列式公式成立。 Step2：假设命题对于n-1阶范德蒙行列式成立。
对于
从最后 一行起依次减去上一行的
倍,
按第1列展 开！
这样对n阶公式也是成立的！从而范德蒙行列式的公式 成立。比如：
例7
设 计算
被计算的式子正好是 第一行元素与第三行 元素的代数余子式对 应相乘后的和！
A21 ( 1) 21
8
12
8
12
10 15
10 15
问题：M32=?，A32=?
3、行列式的递归定义 （1）一阶行列式定义（只有一行一列） 当 时， 定义
（2）n阶行列式定义 当 时，
例1 求二阶行列式
解 原式
的值。
交叉相乘！
例如，
例2
三阶行列式的 展开式！
三阶行列式的对角线法则
8、行列式的性质
（3）互换两行行列式值变号。 需要用数学归纳法，见附录A（P40）。 （4）互换两列行列式值也变号。 （5）若行列式有两行相同，则行列式为0。
（6）可以从一行中提取公因数：
（7）可以从一列中提取公因数：
1 2 4
1 1 4
2 6 9 22 3 9 3 2 5 3 4 5
从第2列中提取 一个数2！
阶矩阵，
（13）分割性质
需要用数学归纳法，见附录A（P40）。 将矩阵C分 成四块！
（14）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积.
证明见附录A（P40）。 未必有AB=BA,但却有|AB|=|BA|!
8、计算行列式：化三角形法 利用行列式消元性质，将它化成上（下）三角形行 列式，然后再求值。
例1 计算下列行列式
例8
设
定义
，称为
的伴随矩阵。
问题：伴随矩阵是怎样生成的？代数余子式的放法？
同理它们颠倒相乘仍有：
13、伴随矩阵的性质
方阵的行列式
方阵A的行列式是按某种规则运算后得到的数值。
1、方阵行列式的记法
把矩阵的方 括号改成两 条竖线！
其中
为行列式的第 行 列元素。
2、代数余子式
划去
排成的
的第 行
列元素， 剩下元素按原来相对位置
阶行列式
称为 称
的余子式， 为 的代数余 子式。
4
例如：
8 6
12 9
A2
5 10 15 4 8 12 8 12 M 21 2 6 9 10 15 5 10 15
前三项全为正号
三阶行列式的对角线法则
后三项全为负号
4、行列式简单性质 （1）项：由行列式不同行不同列的n个元素 所作乘积。 （2）行列式最终可以展开成它的一系列项 的代数和。 （3）不同的项总共有n!个。 （4）正负项各占一半！
例3 求在5阶行列式中
这一项前面的符号？ 将这一项中元素 原样放置，其它 位置为0，计算这 个行列式！
5、对角矩阵的行列式
按行列式的定义怎样证？ 单位阵的行列式？
6、下三角形矩阵的行列式
按行列式的定义怎样证？ 上三角形矩阵的行列式？
7、行列式的性质
（1）行列式按任意一行展开，它0）。 （2）行列式也可按任意一列展开，它的值不变！
例题3 计算 按最后一行展 开！
1 2 4 3 4 5
1 2 3 4
4 5
2 6 9 2 1 3 4 .5
从第2行中提取 一个数2！
(8) 两行（列）对应成比例，则行列式为0。
4 2
8 6
12 9 ?
5 10 15 4 2 8 6 12 8 ?
5 20 15
(9)
1 2 3 5 6 7 A 9 20 15 1 2