第二章抽屉原理

组合数学
孙志人
二OO九年九月二十九日
孙志人备课专用，2009年秋季
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练习
1. 设S={1,2,…,10}，A1, A2,…, Ak是S的 子集，满足：
(1) | Ai |= 5 (1 ＃i k); (2) | Ai 牵Aj | 2 (1 ? i j ? k).
求这样一批子集个数的最大值。(第35 届IMO中国国家集训队试题)
m鬃2k1 , 3m 2k2 , 9m鬃2k3 , 27m 2k4
k1 ³ 3
m壮2k1 24
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一、抽屉原理的简单形式
例4 有位象棋大师用 77 天时间准备锦标赛，他 每天至少比赛一局，一共比赛不超过 132局. 证明：必存在相继的若干天，他恰进行了 21 局比赛.
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练习
2. 在某次竞赛中共有a个参赛选手和b个 裁判，其中b3为奇数。设每位裁判对每 位参赛选手的判决方式只有“通过”或 “不通过”。已知任意两个裁判至多对k 个参赛选手有相同的判决。证明：
k ³ b- 1. a 2b
(第38届IMO试题)
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屉原理的前提； （2）确定抽屉，这是应用抽屉原理的关键； （3）应用抽屉原理； （4）表示成所需表述。
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一、抽屉原理的简单形式
例3
从整数1, 2,K , 2n(n 1)中任意选出 n 1个数. 证明：在选出的 n 1 个数中，必有两个
数，其中一数能整除另一数.
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ak1 ak2 L al 39 .
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一、抽屉原理的简单形式
[证] 作序列
s1 a1, s2 a1 a2 , s3 a1 a2 a3 ,K , s100 a1 a2 L a100
由于每个 ai 都是正整数，所以，
s1 s2 s3 L s100
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核心提示:
a
å kCb2 ?
(Cr2m
m= 1
C2 tm
)
这里 rm + tm = b
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第二章 抽屉原理
一、抽屉原理的简单形式 二、抽屉原理的加强形式 三、抽屉原理的一般形式
概述
• 抽屉原理又称鸽巢原理或鞋盒原理， 这个原理最早是由德国数学家Dirichlet 提出并使用的。
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组合数学
孙志人
二OO九年十月十三日
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一、抽屉原理的简单形式
练习 设 a1, a2 ,K , a100是由 1 和 2 组成的序列， 已知从其中任意一个数开始的顺序10个数的 和不超过16，即对于 1 i 91，恒有
ai ai1 L ai9 16 . 证明：存在 k,l(k l) 使得
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组合数学
孙志人
二OO九年十月十日
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一、抽屉原理的简单形式
• 抽屉原理的简单形式
若将多于 n 件东西任意放入 n 个抽屉，
则必有一个抽屉至少放有2件东西.
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一、抽屉原理的简单形式
例1（2） 边长为1的正三角形中任取26个点， 必有两点的距离不超过 1 .
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一、抽屉原理的简单形式
练习 从整数 1, 2,K , 200 中任意选出100个数， 其中之一小于16.证明：在选出的100个数中， 必有两个数，其中一数能整除另一数.
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a = m ?2k (m为奇数)
a < 16 m Î {1, 3, 5,K ,15}
m Î {3, 5, 7}
[证明] 将边长为3的正方形剖分成9个边长为1的小 正方形。当大正方形的点位于两个或以上的小正 方形时，约定这点属于其下面（左面）的小正方 形。于是，由抽屉原理的简单形式，必有2个点落 在同一个边长为1的小正方形中，而边长为1的正 方形中任意两点的距离都不超2过 。由此在所 给的10点中，必有两点其距离不超过2 。
又
s100 a1 a2 L a100 10 16 160
孙志人备课专用，200 个整数：
s1, s2 ,K , s100 , s1 39, s2 39,K , s100 39
这些整数位于{1, 2,K ,199} 中，由抽屉原理， 其中必有两个数相等，即， 存在 k,l(k l) ，使得 sk 39 sl . 也就是说，存在 k,l(k l) ，使得
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一、抽屉原理的简单形式
思考 证明：对任意的正整数 m( 1) ，存在 m
的一个倍数，使得它仅由数字0和7组成.
例如，777是3的倍数，7700是4的倍数，70 是5的倍数，等等.
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一、抽屉原理的简单形式
一般步骤： （1）确定问题的对象，即东西，这是应用抽
• 本章将介绍抽屉原理，并用其来解决 一些有趣的数学问题.
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一、抽屉原理的简单形式
• 抽屉原理的简单形式
若将多于 n 件东西任意放入 n 个抽屉，
则必有一个抽屉至少放有2件东西。
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一、抽屉原理的简单形式
例1 （1） 证明：在边长为3的正方形中，任意给定 10个点，必有两点，其距离不超过 2。
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核心提示：
r属于A1, A2,…, Ak中的lr个
邋 2Ck2 城
| Ai
1? i j? k
10
Aj | =
C2 lr
r1
10
å lr = 5k
r= 1
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A1 = {1, 2,3, 4,5} A2 = {1, 2, 6, 7,8} A3 = {1,3, 6,9,10} A4 = {2, 4, 7,9,10} A5 = {3,5, 7,8,10} A6 = {4,5, 6,8,9}
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例1（3） 证明：任意给定7个实数，其中必
有两个数 a, b 满足 0 a b 3 .
1 ab 3
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一、抽屉原理的简单形式
例2 证明：任意给定 m( 1) 个整数 a1, a2 ,K , am ，
总存在 k,l(0 k l m) ，使得
m | ak1 ak2 L al .