机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
《机械振动学》教学大纲
《机械振动学》教学大纲一、一、课程性质和目标机械振动学是机械设计、制造及自动化专业的一门专业选修课，总学时32，学分3.2。
随着机器生产率的不断提高，导致了载荷的速度和加速度的增加，这就使得机械动力学的问题变得日益突出起来，机械动力学的一个重要组成部分机械振动同样也不会例外。
本课程就是为了适应生产实际的需要，为大学本科高年级学生开设的一门技术基础课。
本课程着重从工程实际的角度对机械振动的有关理论进行讨论，使学生在掌握基本理论的基础上，能够把工程中的实际机械抽象为力学模型，然后在正确的力学模型基础上运用已有的知识进行正确的力学分析，解决一些工程实际的问题，达到学与用的统一。
二、二、先选课程或知识理论力学、材料力学、高等数学、线性代数和相关的专业知识等。
三、三、教学内容基本要求绪论（1学时）第一章第一章单自由度系统的振动（10学时）振动系统的力学模型及自由度的概念；弹性元件的形式和刚度；振动微分方程的推导；无阻尼自由振动；固有频率的计算；粘性阻尼对自由振动的影响；无阻尼受迫振动；具有粘性阻尼的受迫振动；等效粘性阻尼的概念；单自由度系统振动的利用及振动分析；单自由度系统的减动；机械结构的动应力和动刚度的概念。
第二章第二章二自由度系统的振动（8学时）应用动静法建立方程式；应用拉格朗日方程建立方程式；振动方程的一般形式及其矩阵表示法；无阻尼二自由度系统的自由振动；无阻尼二自由度系统的受迫振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的自由振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的受迫振动；二自由度振动系统的利用及振动机械的振动分析；振动机械及测试机器的二次隔振；动力减振原理与动力减振器。
第三章第三章多自由度系统的自由振动（6学时）多自由度系统举例；刚度矩阵与刚度影响系数；柔度矩阵与柔度影响系数；惯性藕联和弹性藕联；固有频率与振型矩阵。
第四章第四章多自由度系统的受迫振动（3学时）无阻尼系统受迫振动的响应；多自由度系统的阻尼。
四、实践性环节基本要求25个自由度系统的计算机辅助振动分析4学时五、课程考核要求由主讲教师自定考核。
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
机械振动-课后习题和答案--第二章-习题和答案
弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=、 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===- 因此：振幅为、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
<解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k "一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
10二自由度系统的各阶固有频率与主振型
实验10 二自由度系统的各阶固有频率与主振型一、实验目的1．学会用共振法确定二自由度系统的各阶固有频率。
2．观察二自由度系统的各阶振型。
3．将实验测得的各阶固有频率和振型与理论结果进行比较。
二、实验装置与仪器1．机械振动与控制实验台。
2．磁电式非接触激振器（JZF-1型）。
3．激振信号源（SJF-3型）。
4．重锤两个（1kg 与2kg 各一个），磁性表座，两质量块的钢丝绳一根，螺丝刀。
图4-12-1 二自由度横向振动系统的装置简图三、实验原理二自由度系统的装置示意如图4-12-1所示，两个质量块、m 的质量均为m （集中质量），钢丝绳的张力可以通过改变重锤的重量来调节，从而构成一个弦上有集中质量的横向振动系统，不计钢丝绳的质量，便将无限自由度系统简化为二自由度系统的模型，具有两个固有频率。
在激振力作用下，系统发生振动，该振动是两个主振型的叠加。
当激振频率等于某一阶固有频率时，系统的振动形态就是该阶固有频率的主振型，而另一阶振型的影响可以忽略不计。
A mB 在测定系统的固有频率时，需要连续调节激振频率，使系统出现某阶振型且振幅值达到最大，这时的激振频率就是该阶的固有频率。
由振动理论，两个集中质量的运动系统可由以下方程描述：0=+KX XM &&其中质量矩阵为：mm 00=M 刚度矩阵为：21123/6/3/3/6−−=−−=L T L T L T L T L T K 位移矩阵为：21x x X =系统的一阶固有频率为：mLT 31=ω 或者 mL T f 3π211= 系统的二阶固有频率为：mLT 92=ω 或者 mL T f 9π212= 在以上各式中， =0.0045kg 为集中质量， m T 为弦丝张力（N ）， =L 0.625m 为弦丝长度。
各阶主振型分别为()111++=A 以及()112−+=A ，参见图4-12-2。
（a ） （b ）图4-12-2 二自由度系统的一阶主振型（a ）和二阶主振型（b ）四、实验方法1．将磁电式非接触激振器接入激振信号源输出端，把激振器对准其中任一个质量块，保持一定的间隙（8—10mm ），使得振动时激振器与质量块不会发生碰撞。
机械振动学总结全
若用复数来表示，则有 机械振动学总结机 械 振 动 学 基 础第二节机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从 运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间 t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数 T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数1来表示，则这一个运动时周期运动。
其中 T 的最小值叫做振动的周期，f 二1定义为振动的频率。
T简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动.■, ... ■ ?. I .. ■；-.物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，「和■■称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度 •’称为简谐振动的角频率 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间 t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前 加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这 是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图 P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率⑷z = Ae j(心z = Acos( t ) jAsin( t '-)用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数e j t 对时间求导一次相当于在其前乘以j ■，而每乘一次j ，相当于有初相角-2二•周期振动满足以下条件: 1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在;2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中b n三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成 1. 俩个同频率的简谐振动x 2 二 A 2sin( t 2) , x 2 二 A 2sin( 2t 2)它们的合成运动也是该频率的简谐振动2. 俩个不同频率振动的合成若「1—2，则合成运动为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、 恢复性和阻尼。
第十一讲—二自由度系统强迫振动
机械与运载工程学院第十一讲二自由度系统强迫振动2机械与运载工程学院运动方程m 1m 2k 3k 1k 2x 1x 2P 1(t )P 2(t )k 1x 1k 2(x 1-x 2)11x m m 1P 2(t )k 2(x 1-x 2)22xm m 2k 3x 2⎩⎨⎧=+−−=−++)()()()(2332122212121111t P x k x x k x m t P x x k x k x m 运动方程：矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t P x x k k k k k k x x m m3机械与运载工程学院1θk 1I 2θ2I 2θk 3θk )(1t M )(2t M 1θ11θθk 11θ I )(1t M )(212θθθ−k 22θ I )(2t M 33θθk )(122θθθ−k 1111121212222332()()()()I k k M t I k k M t θθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪⎨+−+=⎪⎩运动方程：矩阵形式：122111122322220()0()k k k I M t k k k I M t θθθθθθθθθθ+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4机械与运载工程学院⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t Px x k k k k k k x x m m⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t M t M k k k k k k I I θθθθθθθθθθ 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
第二章机械振动理论基础
工程中常见的振动问题 A 机械中的振动问题 B 结构中的振动问题 C 机械加工过程中的振动问题
振动诊断，就是对正在运行的机械设备或 给非工作状态的系统某种激励，测其振动响 应，对由测量响应得到的各种数据进行分析处 理，然后将结果与事先制订的某一标准进行比 较。进而判断系统内部结构的破坏、裂纹、开 焊、磨损、松脱及老化等各种影响系统正常运 行的故障。依此采取相应的对策来消除故障， 保证系统安全运行。
第三节 单自由度系统的自由振动
自由振动：就是指系统在初始干扰的作用后，仅靠弹性恢
复力来维持的振动形式。其中，系统中不存在阻尼的叫无阻 尼自由振动，而有阻尼的则称之为有阻尼的自由振动。 一．单自由度系统的无阻尼自由振动 1．直线振动 单自由度系统的无阻尼自由振动的力学模型可用弹簧－质 量系统来描述。
个周期内，摩擦力作功为FA，而在一个整周期内作 功总和为 We＝4FA 将其代入式 We ，即可求得干摩擦阻尼的等 Ce 效阻尼系数为 A2
4F Ce A
②流体阻尼的等效粘性阻尼 当物体以较高的 速度在粘性较小的流体(包括空气、液体)中运动 时，物体所受的阻力与速度的平方成正比，即有
Wr Fr xdt Ce A2 2 cos2 (t )dt Ce A2
0 0
T
T
由We＝Wr可得，等效粘性阻尼系数为
We Ce A2
① 干摩擦阻尼的等效粘性阻尼 干摩擦力F 一般 可近似认为是一个常力。它在整个强迫振动过程中 大小不变，但方向始终与运动方向相反。即在每1/4
x(t ) xi cos(2 fi t i )
i 1
至少有一组fm /fn为无理数
准周期振动时历曲线及频谱图 a－时历曲线 b－频谱图
机械振动二自由度系统例题解答3
1 1 k 3k φ1 , φ2 1 , 2 m m 1 1
m 0 u1 2k 0 m u k 2 k u1 0 u f (t ) 2k 2 0
u1 (t ) 1 1 q1 (t ) u (t ) 1 1 q (t ) 2 2
m 0 1 1 q1 2k 0 m 1 1 q k 2
k 1 1 q1 0 1 1 q f (t ) 2k 2 0
3k 2 m k 2 K M 2 3k m k
3k 2 m H11 ( ) ( )
H 21 ( )
k ( )
u1 (t ) H11 ( ) u (t ) H ( ) 2ku0 sin t 2 21
f0 f0 u1 (t ) sin 1t sin 2t 2m1 2m2
f0 f0 u2 (t ) sin 1t sin 2t 2m1 2m2
P140,3-7: 图示系统左端基础作简谐激励u0 (t ) u0 sin t , 试求两集中质量的稳态位移响应并讨论其 反共振现象。
解法1：
0 m 0 u1 2k k u1 f1 0 m u k k u sin t f cos t 2 2 0 2
m 0 2k 0 m u k k f1 u sin t k 0
1i N
M 1 K Φ diag[i2 ]Φ 1
1i N
其中：Φ [φ1 φN ]
机械振动理论：具有粘性阻尼二自由度系统的自由振动
（4-60）
将式(4—60) sij 代入式(4-62)中，并利用以下数学关系式
eir1t cos r1t i sin r1t eir2t cosr2t i sin r2t
eir1t cosr1t i sin r1t （4-63）
eir2t cos r 2t i sin r 2 t
M
s2
22 11
R22 s11
K22
R21s11 K21
12
A112 A212
R12s12 K12 M11s122 R11s12 K11
M 22s122 R22s12 K22 R21s12 K21
21
A121 A221
R12s21 K12 M11s221 R11s21 K11
M
s2
A222
,
[进行第一次变量代换]
8
利用相角形式，方程的解可以写成：【幅角形式】
x1
C e (1) n1t 1
sin(r1t
1) C1(2)e n2t
s in( r 2 t
2 )
x2
C e (1) n1t 2
sin(r1t
1) C2(2)en2t
sin(r 2t
2 )
(4 65)
其中
C (1) 1
1)
C e (2) n2t 2
sin(r 2t
2
)
(4 65)
比较式(65)及无阻尼自由振动响应式(42)可以看出——
有粘性阻尼自由振动与无阻尼自由振动 其解在形式上相似，
但二者又有区别，如：
(1) 在有阻尼情况下，质体振幅随 e n1t 和 e n2t而减小，
直至最后完全消失；
机械振动二自由度
cij c ji
kij k ji
m 0 x'1 1 1 1 1 2 T ET m1 x'1 m2 x'2 {x'1 , x'2 } 1 {x'} [ M ]{x'} 2 2 2 2 0 m2 x'2 2
k k 1 1 1 1 2 U k1 x12 k2 ( x2 x1 ) 2 k3 x2 {x1 , x2 }T 1 2 2 2 2 2 k2 k2 x1 1 T {x} [ K ]{x} k2 k3 x2 2
yc和q下的运动 微分方程为
k 2 L2 k1 L1 yc 2 2 k1 L1 k 2 L2 q
k2 L2 k1L1 yc y m 0 k1 k2 0 I q k L k L k L2 k L2 q {0} c 2 2 1 1 1 1 2 2
{x'} {x'1 , x'2 }T
{x"} {x"1 , x"2 }T {F (t )} {F1 (t ), F2 (t )}T
m1 [M ] 0
0 m2
c1 c2 [C ] c2
c2 c2 c3
k1 k2 [K ] k2
L2 变换矩 [u ] L 1 阵为 L
L1 L 1 L
m L2 I c 2 在yA和yB下 m 0 T L2 的质量矩阵 [u ] 0 I c [u ] m L L2 I c 1 为 L2
二自由度系统
d L L D Lagrange方程： ( ) 0 i qi q i dt q
其中：
q为广义坐标
或 Qi
L＝T-U，即动能与势能表达式之差 D为耗散能表达式 Qi ：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力
第3章 二自由度系统
振动微分方程的建立 方法五举例：
•建立广义坐标x和θ，坐标x的原点 在系统静平衡位置，方向向右 。 θ 为摆杆转角，逆时针为正。 •对系统作速度分析 。
22
第3章 二自由度系统 l
l1
l2
D C e k2 a2 l B
A
k1 a1
l1
l2 D C e B a2 k2
23
简化形式
A k1
a1
第3章 二自由度系统 l
l1 l2 D C e a1 a2 B k2
车体所受外力可以向D点简 A 化为合力 PD 和合力矩 MD 由于微振动，杆质心的垂直 k1 位移、杆绕质心的角位移： xC xD e D C D 首先采用拉格朗日方程建 立系统的运动微分方程 A 系统的动能：
MD
PD
D C
B
1 2 1 2 C I c C T mx 2 2
D
xD
xC
k2 ( xD a2 D )
24
k1 ( xD a1 D )
1 1 2 2 D e D ) I c D m( x 2 2
第3章 二自由度系统l
xC xD e D C D 系统的动能：
振动微分方程的建立 方法四： 利用mij,kij,cij 的物理意义
如： kij称为弹性系数，表示第j个坐标处发生单位位移， 其余各广义坐标保持不动时， 为了保持平衡需要在i坐标处施加的力（平动）或力矩（转动）。
二自由度振动系统的简单主动控制【文献综述】 (2)
文献综述二自由度振动系统的简单主动控制摘要：为了改善车辆的平顺性，本文建立了车辆的二自由度振动模型。
并阐述了振动主动控制中主要控制方法和策略及应用中存在的问题。
同时，介绍了国内的部分学者对振动主动控制方面的研究。
最后，并对其进行了相应的总结。
关键词：二自由度振动主动控制1引言振动主动控制主要应用主动闭环控制，其基本思想是通过适当的系统状态或输出反馈，产生一定的控制作用来主动改变被控制结构的闭环零、极点配置或结构参数，从而使系统满足预定的动态特性要求。
控制规律的设计几乎涉及到控制理论的所有分支，如极点配置、最优控制、自适应控制、鲁棒控制、智能控制以及遗传算法等。
本材料主要参考了《振动主动控制技术的研究进展》、《基于MATLAB的自整定模糊PID控制系统》等论文的相关方法。
21/4单轮车辆模型它是由车身质量ms、车轮质量mt、悬架弹簧刚度ks、车轮刚度系数kt、作动器组成。
其中，xg路面位移，Xb车身位移，Xw车轮位移。
3控制系统简介3.1独立模态空间法独立模态空间法的基本思想是利用模态坐标变换把整个结构的振动控制转化为对各阶主模态控制，目的在于直接改变结构的特定振型和刚度。
这种方法直观简便，充分利用模态分析技术的特点，但先决条件是被控系统完全可控和可观，且必须预先知道应该控制的特定模态。
3.2极点配置法极点配置法也称特征结构配置，包括特征值配置和特征向量配置两部分。
系统的特征值决定系统的动态特性，特征向量影响系统的稳定性。
根据对被控系统动态品质的要求，确定系统的特征值与特征向量的分布，通过反馈或输出反馈来改变极点位置，从而实现规定要求。
3.3最优控制最优控制方法就是利用极值原理、最优滤波或动态规划等最优化方法来求解结构振动最优控制输入的一种设计方法。
由于最优控制规律是建立在系统理想数学模型基础之上的，而实际结构控制中往往采用降阶模型且存在多种约束条件，因此基于最优控制规律设计的控制器作用于实际的受控结构时，大都只能实现次最优控制。
大学机械振动学教案
课程名称：机械振动学授课对象：机械工程专业本科生授课学时：16学时教学目标：1. 理解机械振动的概念、分类及其基本特性；2. 掌握单自由度、两自由度和多自由度系统的振动分析；3. 了解机械振动在工程中的应用及其危害；4. 能够运用振动学原理解决实际振动问题。
教学内容：一、绪论1. 机械振动的定义及分类2. 机械振动的基本特性3. 机械振动学的研究内容二、单自由度系统的振动1. 简谐振动及其表示2. 单自由度系统的自由振动3. 单自由度系统的受迫振动4. 系统的响应分析三、两自由度系统的振动1. 两自由度系统的自由振动2. 两自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析四、多自由度系统的振动1. 多自由度系统的自由振动2. 多自由度系统的受迫振动3. 系统的响应分析五、弹性体的振动1. 弹性体的自由振动2. 弹性体的受迫振动3. 系统的响应分析六、机械振动在工程中的应用1. 机械振动在机械设计中的应用2. 机械振动在结构工程中的应用3. 机械振动在噪声控制中的应用七、机械振动的危害及控制1. 机械振动的危害2. 机械振动的控制方法3. 振动监测与故障诊断教学方法和手段：1. 讲授法：结合实例，深入浅出地讲解机械振动学的基本概念、原理和方法；2. 讨论法：组织学生讨论机械振动在工程中的应用及其危害，培养学生的分析和解决问题的能力；3. 案例分析法：选取典型工程案例，引导学生分析振动问题，提高学生的实际应用能力；4. 多媒体教学：利用PPT、视频等媒体，形象生动地展示振动现象和振动分析方法。
教学进度安排：第1-2学时：绪论第3-4学时：单自由度系统的振动第5-6学时：两自由度系统的振动第7-8学时：多自由度系统的振动第9-10学时：弹性体的振动第11-12学时：机械振动在工程中的应用第13-14学时：机械振动的危害及控制第15-16学时：总结与复习考核方式：1. 平时成绩：占30%，包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：占30%，测试学生对机械振动学基本概念、原理和方法的掌握程度；3. 期末考试：占40%，测试学生对振动学知识的综合运用能力。
机械振动理论：无阻尼二自由度的自由振动
[据一元二次方程求根公式： b b2 4ac ]
2a
2）求频率
[可证：(k11k22 k122 ) 大于零， ]
2 n12
(k11m22
k 22 m11 )
k11m22 k22m11 2 4m11m22 (k11k22 k122 ) 2m11m22
k11m22 k22m11 k11m22 k22m11 2 4m11m22k122
11
重要基本概念：
一般情况下： （1）系统的自由振动是两种不同频率主振动的叠加， 其合成结果不一定是简谐振动， 若两频率可通约[成倍数关系]，运动才是周期的。
（2）[在特殊情况下]，若初始条件给的合适， 系统可按某一固有频率和相应主振型作主振动。
（3）强迫振动中发生共振现象时， 振型恰是对应该频率的主振型。
机械振动理论基础
1
4.4 无阻尼二自由度的自由振动
4.4.1 固有频率、主振型。 任意两自由度系统，其无阻尼振动的微分方程组， 写成矩阵形式为:
m11 0 0 m22
x1 x2
k11 k21
k12 k22
x1 x2
0 0
( A)
给出初始条件,系统将做自由振动，如何求其振动规律呢？
k12 m22n2
A1 A2
0 0
根据线性代数可知，A1, A2 具有非零解的条件是： 上式的系数行列式必须等于零。
即：
k11 m11n2
k12
0
k12
k22 m22n2
展开后：
m11m22
4 n
k11m22 k22m11 n2 k11k22 k122 0
此式称之为频率方程或特征方程。
2 n12
(k11m22
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x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
x2 A2 sin(nt ) A2 x1 A1 sin(nt ) A1
这样，在振动过程中系统其他各点的位移都可由x1和x2 所决定，并且系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。
2 上式是关于 n 的一元二次方程，称为频率方程或特征方程，
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2 n 1, 2
ad ad 2 ( ) bc （3-9） 2 2
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由于刚度K1、K2、K3和质量m1、m2都是正的，所以，式 n1 和 n 2 为实 中a、b、c、d系数都是正数，根号项恒为正， 数；而且由于 ad>bc，式（3-9）中的根号项小与前面的项， 2 2 n1 和 n 2 只与振动 所以 n 1 和 n 2 为方程的两个正实根。 系统本身的物理性质有关，称为系统的固有频率，也可称为 主频率。 较低的 n1 ，称为第一阶固有频率，简称基频；较高的 n 2 称为第二阶固有频率。 理论证明，n个自由度系统的频率方程是 的n次代数方 程，在无阻尼的情况下，频率方程有n个正实根，故固有频 率的个数与系统的自由度数相等。
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振幅的大小可由振动系统的初始条件来确定，但当系统 按任一固有频率振动时，振幅比和固有频率一样，取决于振 动系统本身的物理性质。 由式（3-6）可以看出，在任一瞬时两质量m2和m1的 位移比值，同样也是确定的，并等于振幅比，即：
3.1.1二自由度振动微分方程
机械、汽车等的实际结构简化成二自由度系统模型后， 要研究其振动问题，关键在于建立系统的运动微分方程。 在选定广义坐标后，利用牛顿第二定律求系统运动方程。 下图为所示的二自由度系统，建立运动微分方程。
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A21 a n1 c 2 A11 b d n1 2 （3-10） A22 a n 2 c 2 A12 b d n 2 式中，A11与A21为对应于基频 n1情况下，质量m1、m2的
2
1 2
振幅；A12与A22为对应于第二阶固有频率 n 2情况下，质量 m1和m2的振幅。
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三、二自由度系统的振动
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3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
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将以上解的固有频率 n1 和 n 2 分别代入（3-7），可以得 到对应于固有频率 n1 和 n1 的两振幅A1与A2之间的两个确 定的比值，这两个比值称为振幅比，用 1 和 2 表示，即：
3、主振型
（3-7）
显然，A1=A2=0是上述方程组的解，但这只代表系统的平衡 情况。对于A1与A2具有非零解的情况，方程组式（3-7）的 系数行列式必须等于零，即
a n c
将上式展开得：
4
2
b d n
2
2
0
n (a d )n 装备制造学院 College of Equipment Manufacture
由 b) 可知，在第二主振型中，在联系质 量m1和m2之间的弹簧k2上有这样一点， 它在整个振动过程中的任一瞬间始终保 持不动，这样的点称为“节点”。在二 自由度系统的第二阶主振型中存在着一 个节点，而在第一阶主振型中却不存在 节点。 振动理论证明，多自由度系统主振型的 阶数越高，节点数越高，第 i 阶主振型一 般有（i-1）个节点。 由于振动系统在节点处不动，因而振幅受节点的限制就不易 增大。节点数越多，其相应的振幅越难增大。相反，低阶的主 振型由于节点数少，因而，低阶振动容易激励起。所以，在多 自由度系统中低频主振动比高频主振动更危险。
归并整理得
1 F1 f1 (t ) (c1 c2 ) x 1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 m1 x
1 (c1 c2 ) x 1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 f1 (t ) x m1 2 c2 x 1 (c2 c3 ) x 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 f 2 (t ) x m2
由上式可知： 1） 1 0 ，表示两质量的振幅A1与A2的符号相同，即m1和 m2 总是按同一方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时 达到最大偏离位置。 2） 2 0 ，表示两质量的振幅A1与A2的符号相反，即m1和 m2总是按相反方向运动，当m1达到最右位置时，m2达到最 左位置。 a)表示振动系统 模型； b)纵坐标表示各 点的振幅比，可 作出相应的振型 图。
x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
（3-6）
(a n 2 ) A1 bA2 0 2 cA ( d 1 n ) A2 0
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令:
(k1 k 2 ) a m1
k2 b m1
k2 c m2
( k 2 k3 ) d m2
则上式可简化为
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
（3-5）
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2、固有频率 从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是 简谐振动。故在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作 简谐振动，则方程组（3-1）的特解为：
式中，A1、A2、Wn和初相位角 都有待确定。 把式（3-6）分别求一阶、二阶导数代入（3-5），消去公因 子，经整理，可得到振幅A1与A2的线性齐次代数方程组为
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研究二自由振动系统的振动问题时，要解决如下一些问题： ① ② ③ ④ 实际结构简化成二自由度系统模型； 系统振动微分方程的建立； 求解振动微分方程的方法； 振动响应特性的分析
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系统中质量 m1 和 m2 只限于在水平光滑平面上作往复直 线运动。m1 和 m2在任一瞬时位置只要用x1和x2两个独立坐 标就可以确定，因此，系统具有两个自由度。根据牛顿第二 定律有：
2 F2 f 2 (t ) c2 x 1 (c2 c3 ) x 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 m2 x
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
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4、主振动 当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型进行振动时， n1 作自由 即为系统的主振动。振动系统按第一阶固有频率： 振动，称为第一阶主振动，可表示为
1 c1 c2 x m1 0 0 m 2 x2 c2 m1 式中， 0 1 k1 k2 c2 x 2 k 2 c2 c3 x k2 x1 f1 (t ) k2 k3 x2 f 2 (t )
（3-3）
多自由度振动系统的微分方程就具有这样的形式，如上述各矩 阵能直接写出，则建立方程就方便多了。在上述各矩阵中，质 量矩阵为对角形，所有惯性力不耦合；刚度矩阵为对称形，两 个方程都有x1与x2项，所以，弹性力是耦合的。
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（3-2）
0 c1 c2 为质量矩阵，用M表示； c m2 2 k 2
c2 为阻尼矩阵， c2 c3
k1 k2 用C表示；
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k2 为刚度矩阵，用K表示。 k 2 k3
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可见，振幅比确定了系统的振动形态，因此，称其为主 振型。主振型和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性 质，而与初始条件无关。 主振型与固有频率密切相关，系统有几个固有频率，就 有几个主振型。多自由度系统具有多个固有频率和相应的主 振型。与基频 n1对应的振幅比 1，称为第一阶主振型；与 第二阶固有频率 n 2 对应的振幅比 2 ，称为第二阶主振型。