高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4

从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
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4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
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（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
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2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
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11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
1
1 2
11
1
22
k
11
1
22
k
111
k1 0 2
1 2
0
000
1
0
k
2
1 ( 1 )k1 2
1）实二次型 X AX 正定
X Rn ,若X 0,则X AX 0
2）设实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2
f 正定 di 0,i 1, 2, , n
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
X0 (0,
,0, 1 ,0, (i)
反之，实二次型 g( y1, y2 , , yn )可经过非退化 线性替换 Y = C - 1X 变到实二次型 f ( x1, x2 , , xn ),
同理，若 g 正定，则 f 正定. 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
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4）(定理5) n元实二次型 f ( x1, x2 , , xn )正定 秩 f ＝n＝ p（ f 的正惯性指数）.
k 2k
1
0,
0 k
k 1,2, ,n. f 正定.
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例3、证明：若实对称矩阵A正定 ，则A的任意一个
k 阶主子式
ai1i1 Qk ai2i1
ai1i2 ai2i2
a a iki1 iki2
ai1ik ai2ik 0.
aik ik
（习题9）
证：作二次型
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.
正定二次型的规范形为z12 z22 2) 实对称矩阵A正定
存在可逆矩阵C，使 A CC
zn2 ZEZ
可见，正定矩 阵是可逆矩阵.
A与E合同,即存在可逆矩阵C，使 A CEC CC
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3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同.
1 1
1 1
,
f ( x1, x2 ) X AX ( x1 x2 )2,
当 x1 x2 1 时，有 f ( x1, x2 ) 0.
所以A不是正定的.
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2) 实对称矩阵A正定 det A A 0 证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使 A CC,
X0 AX0 0
即，g( xi1 , xi2 , , xik )是正定二次型，因此其矩阵的
行列式大于零，即 Qk 0.
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设 A (aij )nn .
a11
令
A1
an1,1
a1,n1 an1,n1
,
=
a1n a2n an1,n
,
则
A
A1
ann
又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式
也全大于零.
由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使 GA1G En1.
kk
k(1 k n), 令 fk ( x1, x2, , xk )
aij xi x j
i1 j1
( x1, x2 ,
, xk )A(1, 2,
x1
,
k
)
x2
xk
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对任意一不全为零的数 c1,c2 , ,ck , 有 fk (c1,c2 , ,ck ) f (c1,c2 , ,ck ,0, ,0) 0
其中，c j
cis , 0,
当 j is , s 1, 2, , k 当 j is , s 1, 2, , k
由于 A 正定，有 f ( x1, x2 , , xn ) X AX 正定，即有 X0 AX0 0, 从而， g(ci1 ,ci2 , ,cik ) f (0, ,0,ci1 ,0, ,ci2 ,0, ,cik ,0, ,0)
再令 C C1C2 , a ann GG
则有
CAC
En1 0
0 a
两边取行列式，得 C 2 A a
又 A >0 ， a 0
即 En1 a 为正对角矩阵.
由判定充要条件3). 知A正定，所以X AX正定.
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例2、判定下面二次型是否正定.
1) f ( x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
,0), i 1,2,
,n
则 f ( X0 ) di xi2 0, di 0,i 1,2, ,n
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3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
证明：设正定二次型 f ( x1, x2 , , xn ) X AX 经过非退化线性替换 X＝CY 化成
f ( x1, x2 , , xn ) Y (CAC )Y g( y1, y2, , yn )
ak1
a1k
Rkk
akk
称为A为第k阶顺序主子矩阵;
a11
a1k
2) Pk det A(1, 2, , k)
ak1
akk
称为A的第k阶顺序主子式.
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3） k 级行列式
ai1i1 Qk ai2i1
ai1i2 ai2i2
a a iki1 iki2
ai1ik ai2ik
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证：（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 PAP E, 于是有，
(PAP)1 P1A1(P1) ((P1)) A1(P1) E 令 Q (P1), 则Q可逆，且 QA1Q E,
即，A1与单位矩阵E合同. 故，A1正定. （2）由于A 正定，对 X Rn , X 0, 都有 X AX 0,
证：设 f ( x1, x2 , , xn )经非退化线性替换 X CY 变成标准形
f ( x1, x2 , , xn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
由2), f 正定 di 0,i 1, 2, , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
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任取一组不全为零的数 k1, k2 , , kn , 令
k1
c1
Y
0
k2
,
X0
CY
0
c2
,
kn
cn
则，
f (c1,c2, ,cn ) X0 AX0 Y0(CAC )Y0 g(k1,k2, ,kn )
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又由于C可逆，Y0 0 ，所以 X0 0, 即 c1,c2 , ,cn 不全为0. g(k1, k2 , , kn ) f (c1,c2 , ,cn ) 0 g( y1, y2 , , yn )正定.
kk
g( xi1 , xi2 ,
, xik )
a x x isit is it
s1 t 1
( xi1 , xi2 ,
,
xik
)Qk
xi1 xi2
xik
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对任意一不全为零的数 ci1 ,ci2 , ,cik , 有
X0 (c1,c2 , ,cn ) 0,
fk ( x1, x2 , , xn )是正定的，从而 A(1, 2, , k)正定. Pk det A(1,2, ,k) 0, k 1,2, , n.
充分性： 对n作数学归纳法. n＝1时，a11 a11 0. f ( xi ) a11x12正定. 结论成立. 假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.
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令
C1
G 0
0 1
,
则
C1AC1
G 0
0 1
A1
1
G 0
0 1
En1
G
G