矩阵n次方的几种求法的归纳

矩阵n 次方的几种求法
1.利用定义法
()
()
,,ij kj s n
n m
A a
B b ⨯⨯==则()
,ij s m
C c ⨯=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++
1
n
ik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A 与
B 的乘积
C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1
同。

例1:已知矩阵34
125310210134A ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，44
5
130621034510200B ⨯⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭，求AB
解：设C AB ==()
34
ij c ⨯，其中1,2,3i =；1,2,3,4j =
由矩阵乘积的定义知：
111526533032c =⨯+⨯+⨯+⨯=121122543231c =⨯+⨯+⨯+⨯= 131321553030
c =⨯+⨯+⨯+⨯=14102051305
c =⨯+⨯+⨯+⨯=
21150623101c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 22110224129c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 23130125107c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 24100021102c =-⨯+⨯+⨯+⨯= 310516334015c =⨯+⨯+⨯+⨯= 320112344222c =⨯+⨯+⨯+⨯= 330311354016c =⨯+⨯+⨯+⨯= 34001031403c =⨯+⨯+⨯+⨯=
将这些值代入矩阵C 中得：
C AB ==34
323130519721522163⨯⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。

2.利用矩阵的分块来求解
这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵
由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。

即设
()
()
,,ij kj s n
n m
A a
B b ⨯⨯==把A ，B 分解成一些小矩阵：
1111
l t tl A A A A A ⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭，11
11
r l lr B B B B B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中ij A 是i j s n ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ⨯小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=，
12...r m m m m +++=；令C AB ==11
11r t tr C C C C ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，其中ij C 是i j s m ⨯小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=，12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。

这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1
致。

例2：已知矩阵45
100250
1013001280
0006A ⨯⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，52
1
2451
04206B ⨯⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求AB 解：将4545
100251
0025010130
10130012800128
000060
0006A ⨯⨯⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭11
1221
22E
A A A ⎛⎫
⎪⎝⎭
写成 121245451
010424
20606B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1121B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成，其中11100010001E ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ 12251328A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()2206A =，11124510B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
，214206B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
由矩阵乘积法则知：
AB=1112212111222142
B A B A B A B ⨯+⎛⎫
⎪+⎝⎭
由矩阵加法和乘积法则[]1
知：
42
9368
25AB 952036⨯⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
则矩阵A 的n 次方的求解也可利用以上方法来求解。

3．利用数学归纳法求解
这种方法与矩阵定[]1
义和数学归纳[]3
法相结合，从而找出规律再求
解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵n 次方的运[]2
算。

例3：已知A=cos sin sin cos θ
θθθ-⎛⎫
⎪
⎝⎭
，求n
A 解：当2n =时
2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθ
θθ
θθ
θθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2222
cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin θ
θθθθθθ
θθθ
θθ-⎛⎫--⎛⎫
==
⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭ 当3n =时
3
2
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2cos sin 2sin θθθθθθθθθθθθ
θθθθ---⎛⎫
=
⎪
+-⎝⎭
cos3sin 3sin 3cos3θθθ
θ-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
所以假设n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-⎛⎫
⎪⎝⎭
当1k =时成立，假设当1k n =-时成立；则当k n =时
1
cos sin cos sin sin cos sin cos n n A θ
θθθθ
θθ
θ---⎛⎫
⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
()()()()cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n θθθ
θθθθ
θ---⎛⎫-⎛⎫
=
⎪
⎪--⎝⎭
⎝⎭
由矩阵乘法定及三角函数知：n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-⎛⎫
⎪⎝⎭
则假设成立。

所以n A =cos sin sin cos n n n n θ
θθ
θ-⎛⎫
⎪⎝⎭
4．利用分拆法求解
这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵之和再求[]1
解，且另外这个矩阵的n 次方计算起来比较简[]2
单。

例4：已知A=110011001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，求n A
解：A E B =+，其中010001000B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵E 为单位阵且2E E =
EB BE B ==；故 n A =()122
+C C C n
n n
n n n E B E B B B +=++
+
由2010010001001001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2
3010010001010001001000001000000000000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
000000000⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则3n ≥时，n B =0。

故122n n
n A E C B C B =++ 由矩阵加法运算法则[]1
知：
n A =2
11011001n n C n ⎛⎫+ ⎪
+ ⎪ ⎪⎝⎭
5．利用相似矩阵求解（利用对角矩阵来求）
定义：设矩阵A ，B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆阵X ，使得矩阵1B X AX -=，就说A 与B 相[]1
似。

如果矩
阵A 或B 有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。

而判断矩阵A 可对角化的条件[]1
有：
1)矩阵A 可对角化的必要条件是矩阵A 有n 个不同的特征值
2)矩阵A 可对角化的充要条件是矩阵A 有个n 线性无关的特征向量 3)在复数域上矩阵A 没有重根
而求矩阵A 的特征值和特征向量的方法[]1
有：
1)求矩阵A 特征多项式E A λ-在数域P 中的全部根，这些根是矩阵A 的全部特征值。

把这些所求的特征值逐个的代入方程组
()0E A X λ-=中，对于每一个特征值，解方程组()0E A X λ-=，求出
一组基础解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。

再利用判别法判断矩阵A 是否可对角化。

例5：已知矩阵33
122212221A ⨯⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭,求n
A
解：易知矩阵的A 特征多项式E A λ-=1
222
1
2
22
1
λλλ------
由行列式计算方法知：
E A λ-=()()()()()213113λλλλλ--=-+-
所以矩阵A 的特征值为1,1,3-。

当特征值为1时，解方程()0E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X -=的基础解系为1a =()111'-；所以矩阵A 属于特征值1的全部特征向量为()1111k '-,其中1k ≠0。

当特征值为1-时，解方程()0E A X --=，由齐次线性方程组的计算方法知：()0E A X --=的基础解系为2a =()110'-；所以矩阵A 属于特征值1-的全部特征向量为()2110k '-，其中2k ≠0。

当特征值为3时，解方程()30E A X -=，由齐次线性方程组的计算方法知：()30E A X -=的基础解系为3a =()011'-，所以矩阵A 属于特征值3的全部特征向量为()3011k '-，其中3k ≠0。

则由矩阵A 可对角化的条件知：矩阵A 可对角化且对角阵为
B =100010003⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
令1
2
3C a a a →
→
→
'⎛
⎫= ⎪⎝
⎭=33
110111101⨯⎛⎫
⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，由求逆矩阵的方法知：
1111011110C -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知：1C AC B -= 所以()11n
n n C AC C A C B --==，则
()
3333
10
01000100
100030
3n
n
n
n B ⨯⨯⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由1n n A CB C -=,由矩阵的乘法运算法则知：
()
()()()33
1111131
1311113131n
n
n n n
n n
n n A ⨯⎛⎫
---- ⎪ ⎪=--+--- ⎪
-- ⎪
⎝
⎭
2)对方阵A ，设()()1F E A λλ'=-，对()()1n F E λ做初等变换，化成()()()D P λλ其中()D λ为上三角阵，则矩阵()D λ主对角线上元素乘积的λ的多项式的根即为A 的特征根i λ。

对矩阵A 的任一特征根i λ，代入()()()D P λλ中，若()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵，则()i D λ行向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向量；否则，继续施行初等行变换，使得()i D λ中非零向量构成一满秩矩阵，则()i D λ中零向量所对应的()i P λ中的行向量i ξ即为i λ的特征向
[]8
量。

这类问题所涉及的定理是：对任意方阵A 的特征矩阵()F λ经过行变换，可化为上三角矩阵()G λ，且()G λ主对角线上元素乘积λ的多项式的根即为矩阵A 的特征值。

例6：已知矩阵A =33
211121112⨯⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭，求n A
解： ()
()3211100121010112001F E λλλλ---⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭，
作初等行变换
121010211100112001λλλ---⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭
21210100102043011011λλλλλλλ---⎛⎫ ⎪→---+ ⎪ ⎪---⎝⎭
()()
()()33121
1
0011
0110011341D P λλλλλλλ⎛⎫---
⎪
→---= ⎪ ⎪---⎝
⎭
由上述定理知：矩阵A 的特征值为1（二重），4。

当1λ=时，()
()()11101011000011000112D P ---⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，由2)中判
别法知：矩阵的特征向量为：()1011ξ→
'=-，()2112ξ→
'=-。

当4=λ时，()
()()12101044033011000111D P ---⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，由2)中判
别法知：矩阵A 的特征向量为：()3111ξ→
'=。

则由相似矩阵的条件知：矩阵与对角矩阵相似且对角矩阵为100010004⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
则存在可逆阵011111121T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭使得1100010004T AT -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
由求可逆阵的方法知：
11102113331113
33T -⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪=-- ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
； 由1100010004n
n A T T -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1100010004n
T T -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭知：
n A =()()()()()()()()()111424141333111414241333
111434142333n n n n n n n n n ⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪++- ⎪ ⎪ ⎪--+ ⎪
⎝⎭
6．利用若当形矩阵求解
这类方法主要是运用任何一个n 级复矩阵都相似一个若当形矩阵和利用相似矩阵的相关定理及化若当形矩阵的方[]1
法。

例7：已知矩阵A =33
126103114⨯--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，求n A
解：12613114E A λλλλ+-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，由求初等因子的方法知：
E A λ-的初等因子为1λ-，()2
1λ-；
所以矩阵A 的若当标准形为：100010011J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则存在可逆阵P ，使得1P AP J -=，则AP PJ =。

设123P a a a →→→
⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中1a →，2a →，3a →为列向量 将矩阵P 代入AP PJ =得11Aa a →→=，223Aa a a →→→=+，33Aa a →→
=
由齐次线性方程组：()0A E X -=，即123226011301130x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
则()1301a →'=，()3211a →'=是齐次线性方程组的解且1a →，3a →
是线性无关的，则1a →，3a →是由齐次线性方程组：()0A E X -=的基础解系。

由：()3A E X a →-=有解()2100a →'=-且1a →，2a →，3a →
线性无关。

由数学归纳法知：10001001n J n ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
由求可逆阵的方法知：1011113010P --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
由1P AP J -=知：1A PJP -=
则1n n A PJ P -==33
12261331n n n n n
n n n n ⨯--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--+⎝⎭
7.利用多项式求解
主要运用带余除法即：对于数域[]P x 中任意两个多项式()f x 和()g x ，其中()g x ≠0，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中()()()()r x g x ∂<∂或()r x =0，并且这样的()q x 和()r x 是唯一[]1
的。

7.1特征多项式无重根
例8：已知矩阵A =33
120020211⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭，求n A
解：设()f λ为矩阵A 的特征多项式，则()f E A λλ=-
由计算行列式的方法知：
()()()()211f λλλλ=-+-
由带余除法及辗转相除法则[]1
知：设()()()n f q r λλλλ=+，其中()()()()r x f x ∂<∂；由()()3f x ∂=，所以设()2r a b c λλλ=++。

将特征多项式()0f λ=的根代入()()()n f q r λλλλ=+中得：
24211n a b c a b c
a b c ⎧=++⎪=++⎨⎪=-+⎩
解得()1213n a =-，0b =，()1423
n c =-； 所以()()()()211214233
n n n f q λλλλ=+-+- 由哈密顿—凯莱定[]1理：A 是数域P 上的一个n ⨯n 级矩阵，
()f E A λλ=-是矩阵A 的特征多项式则()0f A =。

将A 代入()()()()211214233
n n n f q λλλλ=+-+-中得： ()()211214233
n n n A A E =-+- 由矩阵乘法的定义知：233
160040051A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，
所以由矩阵的加法运算法则知：
()133
1220020502113n n n n A +⨯⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭
7.2特征多项式有重根
例9：已知矩阵A =33
110430102⨯-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，求n A
解：设()f λ为矩阵A 的特征多项式，则()f E A λλ=-
由行列式计算方法知：()()()221f λλλ=--
由带余除法及辗转相除法知：()()()n f q r λλλλ=+，其中()()()()r x f x ∂<∂；由()()3f x ∂=，所以设()2r a b c λλλ=++。

将特征多项式()0f λ=的根代入()()()n f q r λλλλ=+中得：
1422n a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩
因为1是()0f λ=的2重根。

由定理：如果不可约多项式()P x 是()f x 的k 重因式（1k ≥），则它的微商()f x '是k-1重因式.则1是()f λ'的[]3
根。

则由导数定义及性质：对()()()n f q r λλλλ=+等号两边同时求导得：()()()()()1n n f q f q r λλλλλλ-'''=++
则将1代入()()()()()1n n f q f q r λλλλλλ-'''=++中得：2a b n
+=
；则由14222n a b c a b c a b n ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩
解得：21n a n =--，1322n b n +=+-，22n c n =-。

由哈密顿—凯莱定理知：()0f A =。

则将矩阵A 代入()()()n f q r λλλλ=+中得：
()()()212132222n n n n A n A n A n E +=--++-+-
由矩阵乘法运算法则知：
233
320850114A ⨯-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
由矩阵的加法运算法则知：
331204*********n n n n n n
A n
n n n ⨯-⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪+---⎝⎭
8.总结
上述七种方法求解矩阵n 次方的乘积适用于求低阶矩阵的n 次方的乘积适用于求低阶矩阵n 次方的计算，而对于高阶矩阵的求解则比较困难。

利用方块、拆项、数学归纳法和相似矩阵的方法求解适用于比较特殊的一些矩阵的求解；利用定义、若尔当形矩阵和多项式的方法对于普通的矩阵都适用，但利用定义的方法对于求矩阵n 次方的计算比较复杂；而利用多项式和若尔当形矩阵的方法有利于对所学知识的及时巩固、能加深对所知识的理解，而这两种方法提供了解这类问题行之有效的方法且容易掌握。

参考文献
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