不定积分的概念.ppt
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不定积分的概念及其性质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
1
x4
dx
x2(1
x
2
dx )
1 x4
dx
[
1 x2
1
1 x2
]dx
1 x3 x1 arctan x C 3
例7.
2
3x
3x
5
2
x
dx；
解：
2
3x
3x
5
2
x
dx
2
dx
5
(
2 ) x dx 3
2x 5 (2 / 3)x C ln(2 / 3)
例8. 设函数 f ( x) 定义于 (0, ) 上，并且满足
积分号
原函数存在定理： 如果函数 f ( x) 在区间 I 内连续， 那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x),使 x I ,都有 F ( x) f ( x).
连续函数一定有原函数.
例1 求 x5dx.
解
x6 x5 , x5dx x6 C .
6
6
例2
求
1
1 x
2
dx.
解
arctan
F ( x)，使得： F ( x) f ( x)，x X 或 dF ( x) f ( x)dx 则称 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，f ( x)的全部原函 数称为 f ( x) 的不定积分(indefinite integral)，记作： f ( x)dx 若 f ( x) 存在原函数，也称 f ( x) 可积。
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
dx ln x C,
x
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
第五章_不定积分
微积分
（三）不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
O
x0
x
微积分
例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
sin x 2、设 f x ，则 x
f x dx
sin x x
x2
3、 f x dx e
x2
C，
则 f x 2 xe
微积分
5.3、 基本积分表
x x 1 x x dx 实例 C. 1 1 ( 1)
(也称配元法 , 凑微分法)
微积分
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注意换回原变量
注: 当
时
微积分
例2. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
e xd x e x C
ax x C (7 ) a d x ln a
微积分
dx (8) sec 2 xd x tan x C cos 2 x dx (9) 2 csc 2 xd x cot x C sin x (10) sec x tan xdx sec x C
（二）不定积分的运算性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x )dx g ( x ) d x
高数—不定积分 讲解和例题-PPT (1)
课外作业
习 4 — 1（A） （ ） 1（双） （ 习 4 — 1（B） （ ） 1（5，6，7，11）， （ ， ， ， ）， ），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数， 是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？ 如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲， 从理论上来讲，只需把积分结果 求导，就可检验积分是否正确。 求导，就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素，一般不检验。 数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。 上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理： 同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 ， 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 倍的一条曲线。 切线斜率等于该点横坐标 倍的一条曲线。 解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率 由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。 为一簇积分曲线。
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
5.1不定积分的概念
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
思考 1、 （1）求 （2）求 （3）求
若f ( x)的一个原函数为sin x
f ( x)dx
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x x dx 1 C ( 1);
C kdx kx 1
( k是常数);
dx x ln | x | C ;
（sin x） cos x
/
（cos x） sin x
/
1 2 （tan x） sec x 2 cos x 1 / (cot x) 2 csc 2 x sin x
W W W B W B Cv y ( ln ), 2 g C C W B
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出
y= 238.4 (英尺)＜300(英尺)
问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做 法是极其危险的，必须改变.
数学是有用的
应用2
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体。 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
解：
Q i (t ) lim Q / (t ) t 0 t
Q / (t ) i (t ), 且Q(t ) t 0 0
Q(t ) － 时域的电容电路
+
（ 3
）
2
16
（
） 16 4
27
（
开方.
） log 3 27 3
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
上交大微积分教学课件 第四章不定积分
3.原函数定理
定理1 若函数 f (x) 在区间D上连续，则 f (x) 在区间D上一定存在原函数 F(x) ．
定理2 如果函数F(x) 是 f (x)在区间D上的原 函数，则
(1) F (x) C 也是 f (x) 在区间D上的原函
数，其中C是任意常数； (2) f (x) 在区间D上的任意两个原函数之间 只相差一个常数．
❖ ④ 若被积函数中含有 x2 a2 (a 0) ，可令 x a sect ．
第三节 分部积分法
当被积函数是两类基本初等函数的乘积的形式 时，这种类型的积分用换元法一般不能求出．例
如： xcos xd x 和 xex d x 等.为此，我们再探讨一种
新的积分法—分部积分法，它是与导数(微分)运 算中乘积的导数(微分)公式相对应的积分方法．
换将被积函数中的根号去掉，就能顺利积分了，
这就是第二类换元积分法的思想 .
定理2 (第二类换元积分法) 若 x (t)单调可微 且 (t) 0，如果
f (x) d x f (t)(t) d t (t) C [ (x)] C
即 f (x) d x [ (x)] C 其中，t (x) 是 x (t)
当被积函数为幂函数与指数函数或三角函数乘积时， 选幂函数为 u(x) ；当被积函数为幂函数与对数函数或 反三角函数乘积时，选幂函数为v(x) ；当被积函数为 三角函数与指数函数乘积时，u(x) 可以任意选取．
❖ 例1 求 xcos xd x ．
❖ 分析 因被积函数是幂函数与三角函数的乘 积．把“cos x ”凑f [(x)](x) ．
因此 f (x)(x)d x f (u)du
．
❖ 注意：
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出 的答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经 过恒等变形后可以互化，其结果本质上只相差一个 常数．
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
高等数学-不定积分课件
贰
请在此添加较简洁标题内容
在区间 I 上的一个原函数 .
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理.
01
存在原函数 .
02
初等函数在定义区间上连续
则
原式
例19. 求
原式
解: 原式
例20. 求
解: 原式 =
例21. 求
例22. 求
解: 令
得
原式
CONTENTS
思考与练习
壹
下列积分应如何换元才使积分简便 ?
单击此处添加文本具体内容
贰
叁
肆
第三节
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分法
第四章
解: 令
03
4.5 1,2,3,4,
05
4.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 5
02
4.4 1,3,5,7,9,11
04
作业 P218
得 0 = 1
下述运算错在哪里? 应如何改正?
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
第四节
有理函数的积分
第四章
一、有理函数的积分
有理函数: 时, 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A
有理函数
B
相除
C
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: 用拼凑法
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分(1)可编辑全文
例6 求sec xdx.
解
(解法一)
sec xdx
cos x
cos2 x
dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二) sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x sec F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x) C
由其中一条积分曲线
y F(x)
沿纵轴方向平移而得 到的.
( x0 , y0 )
O
x
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满足条件 F( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f k2 g 在 I上也存在原函数, 且
( k1 f ( x) k2g( x) )dx k1 f ( x)dx k2 g( x)dx.
例1 p( x) a0 xn a1 xn1 an1x an , 则
s(t) v0 dt v0 t C.
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) v0(t t0 ) s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C.
2. 1dx dx x C. 3. xdx x1 C ( 1, x 0).
《不定积分概念》课件
《不定积分概念》PPT课 件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
不定积分
三、凑微分法
定理2 设 f (u )具有原函数 u (x)可导，则 有
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( x)
的方法称为凑微分积分法.(3.7)式又可改写为
（3.7）
3.7)式称为凑微分积分公式,通过式(3.7)计算不定积分
f [ ( x)]( x)dx f (u)du
2 3 x 2 e d (3 x ) e 3 3 3
x
C
dx x7 1 dx8 8 8 dx 8 8 （4） 8 8 x ( x 4) x( x 4) x ( x 4)
1 1 1 1 ( 8 8 )dx 8 8 4 x x 4
例12
求不定积分
由于 C1, C2 , C3是任意常数,故 C 也是任意常数.今后 求不定积分时,只需对每一个不定积分求出其一
个原函数,然后在总结果上加上任意常数 C .例如
上例可以直接写为
( x 1) 2 x
dx ( x 2 x x
3 2
1 2
1 2
) dx
2 2 4 x x x x 2 x C 5 3
x d( ) 1 a a 1 ( x )2 a
1 x arctan C a a
（2）
1 dx 2 2 a x 2 a x 1 ( ) a
2 2 2
例10
求不定积分 sin x cos xdx .
解法一
解法二
sin x cos xdx sin xd sin x 1 sin 2 x C
2
1 sin x cos xdx cos xd cos x cos 2 x C 2
微积分第6章不定积分
详细描述
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以 便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括 线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx， 即两个函数的乘积的不定积分等于它 们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到 函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概 念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要 掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与 三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意 义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结 果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起 使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。
如果被积函数是奇函数或偶函数，那么在不定积分时，我们需要注意奇偶性的性质，以 便简化计算过程。例如，如果被积函数是奇函数，那么其不定积分的结果将是偶函数；
反之，如果被积函数是偶函数，那么其不定积分的结果将是奇函数。
被积函数可积性问题
要点一
总结词
被积函数的可积性是解决不定积分问题的前提条件。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括 线性性质、可加性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有以下性质
02
01
可乘性
∫f(x) * g(x) dx = ∫f(x) dx * ∫g(x) dx， 即两个函数的乘积的不定积分等于它 们不定积分的乘积。
05
03
线性性质
∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b是常数，f(x)和 g(x)是可积函数。
详细描述
幂函数不定积分是微积分中一个重要的知识点，它涉及到 函数的积分和微分之间的关系，对于理解微积分的基本概 念和运算规则具有重要意义。
三角函数不定积分
总结词
三角函数不定积分是微积分中的重要内容，需要 掌握基本的积分公式和运算方法。
总结词
掌握三角函数不定积分的计算方法，对于解决与 三角函数相关的物理问题和工程问题具有重要意 义。
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通过求导数的逆运算，将原函数进行不定积分，得到不定积分的结 果。这种方法适用于一些简单的不定积分，但对于一些复杂的不定积分，可能需要结合其他方法一起 使用。
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化不定积分的方法。
大一上学期同济版高数第四章不定积分ppt课件
故 ( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数 ) F ( x ) C . 属于函数族 定理3：设 (x) 和 F ( x) 是 f ( x ) 的两个不同的原函数， 则它们之间只差一个常数。
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
7
I 定义 2. f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x)在
上的不定积分, 记作 f (x )d x, 其中
由 x ( 0 ) x ,得 C x ,于是所求运动规律为 0 2 0
2 1 x ( t ) g t v t x 0 0 2
12
从不定积分定义可知: d f (x)dx (1) f ( x )或 d f (x)d x f ( x ) d x dx 或 ( 2 ) x C d C F(x) F(x) F(x) F(x) d 可见，微分法和积分法是互逆运算，当积分运算记号
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
x ( t ) ,则 设时刻 t 质点所在位置为 x
dx v (t ) dt
(运动速度) 再由此求 x(t )
x
x x ( t)
x x ( 0 ) 0
o
11
d2 x d v g (加速度) 2 dt dt 先由此求 v (t )
与微分运算记号 d 连在一起时，或相互抵消，或
抵消后只差一个常数。即
利用逆向思维
“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。” 二、 基本积分表 (P188)
( 1 )
d xkxC k
( k 为常数)
13
( 2 )
x— 积分变量; 若F 则 ( x ) f ( x ) ,
例如,
— 积分号;
1 不定积分的概念及其性质
(1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分 表
(3)说明dx：xlxnx0,C ; dxxlnxC,
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
(1)0se xtca xn d sx excC;
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
(1)2exdx ex C;
(1)3axdx lna
x
a
C
;
(1)4sin xd h cxoxsh C ;
(1)5coxsd h sxin x h C;
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x2dx
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
原函数存在定理：
如 果 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 内 连 续 ， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )，
使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
连续函数一定有原函数.
例1 求 x5dx. 解 x6 x5,
一. 原函数(primitive function)与不定积分
定义：在区间 X（有限或无穷）上给定 函数 f ( x)，若
F ( x)，使得： F ( x) f ( x)，x X 或 dF ( x) f ( x)dx 则称 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数， f ( x)的全部原函 数称为 f ( x) 的不定积分(indefinit e integral)，记作：
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练习P103.2
P103--2
一曲线通过点e2,3 ， 且在任一点处的切线率等于
该点横坐标的倒数， 试求该曲线的方程。
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知
f x 1 ,即f x是1 的解一： 个原函数,而且
x
x
1 x
dx
ln
x
C
即1 的积分曲线族为y ln x C， 将x e2 , y 3
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f xdx Fx C
例2
求
1dx. x
解:当x 0时， 因为ln x 1， 所以
x
1 dx
x
ln
x
Cx
0
当x 0时， x 0,ln x 1 x 1 所以
x
x
合并上面两式，1xdx得到ln(x) Cx 0
1dx x
ln
x
Cx
0
• P100不定积分的几何意义
P99 一、不定积分的概念
定义4.1
设Fx及f x是在区间I上都有意义， 若在I上 Fx f x， 则称Fx是f x在区间上的一个原函数.
例 sin x cos x, sin x是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0),
x
ln x 是1 在区间(0,)内的原函数. x
问题：
(1) 在什么条件下，一个函数的原 函数存在？如果存在，是否唯一？
例 sin x cos x
sin x C cos xC为任意常数
P100
定 义 4 . 2 (不定积分的定义)
函数f x的全部原函数F x C， 称为f x
不定积分，记为 f ( x)dx.
f ( x)dx F ( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
性质4.3
f x gxdx f xdx gxdx
性质4.4
kfxdx k f xdxk是常数， 且k 0
4.1.3 直接积分法 P 1 0 1
(1) kdx kxC (k 是常数),
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
(3)
1 x
dx
ln
|
x|C
,
(4) exdx ex C ,
(5)
a
xdx
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
2
x
7 2
C
7
.
2
2 x3 x C . 7
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
4 1x Biblioteka 34 1C
3x13 C
3 3x
C .
3
x34x3434113411C
C
3x3x13 13C
C
3 3
3x
3xC
C.
.
堂上练习:
x (xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdxxx52d52xxd52xdx5x51x25d12xxd12xdx
((1133))ccssccxxccoottddxxccssccxxCC ,,
(7) sin xdx cosxC ,
(8) sec2 xdx tan xC ,
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
例例44
1 x3
dx
x3dx
1 31
x31
C
1 2x2
C
.
例例55
x2
5
xdx x2dx
1
x
5 2
1
C
5 1
a ln
x
a
C
,
(6) cosxdx sin xC ,
(9) csc2 xdx cot x C ,
(10)
1 1 x2
dx
arc
tan
x
C
,
((1111)) 1111xx22ddxxaarrccssiinnxxCC,,
(1(122))sseeccxxtatannxxddxxsseeccxxCC, ,
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
(2)在已知某函数的原函数存在，怎 样将这个原函数求出来。
P99 定理4.1（原函数存在定理）
若函数f x在区间I上连续， 那么在区间I上 存在原函数，F x,即Fx f x, x I.
即连续函数一定有原函数！
初等函数在其定义区间内一定有原函数。
P99 定理4.2
设Fx是f x在区间I上的一个原函数， 则 Fx C也是f x的原函数，C 为任意常数。
通常把函数f(x)的原函数y= F(x)的图形叫做f(x)的一条 积分曲线。那么f(x)的所有积分曲线构成的曲线族 y=F(x)+C称为f(x)的积分曲线族.
不定积分的几何意义：. 函数f(x)
的不定积分 f (x)dx . 表示f(x)的一簇
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f xdx Fx C
例1
因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 cos xdx sinx C
因为
x是 1 的一个原函数 2x
所以
2
1 dx
x
xC
例如: 4x3dx x4 c
exdx e x C
1 1 x2 dx
arctgx c arccot x c
x
代入， 得C 1， 故所求的曲线方程为y ln x 1
§4.1.2 不定积分的性质
一、不定积分的性质 二、基本积分公式
P101 一、 不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
性质4.1：
f ( x)dx
f (x)
，或
d f (x)dx f (x)dx
性质4.2：
F( x)dx F(x) C ，或 dF(x) F(x) C
P103--2
一曲线通过点e2,3 ， 且在任一点处的切线率等于
该点横坐标的倒数， 试求该曲线的方程。
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知
f x 1 ,即f x是1 的解一： 个原函数,而且
x
x
1 x
dx
ln
x
C
即1 的积分曲线族为y ln x C， 将x e2 , y 3
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f xdx Fx C
例2
求
1dx. x
解:当x 0时， 因为ln x 1， 所以
x
1 dx
x
ln
x
Cx
0
当x 0时， x 0,ln x 1 x 1 所以
x
x
合并上面两式，1xdx得到ln(x) Cx 0
1dx x
ln
x
Cx
0
• P100不定积分的几何意义
P99 一、不定积分的概念
定义4.1
设Fx及f x是在区间I上都有意义， 若在I上 Fx f x， 则称Fx是f x在区间上的一个原函数.
例 sin x cos x, sin x是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0),
x
ln x 是1 在区间(0,)内的原函数. x
问题：
(1) 在什么条件下，一个函数的原 函数存在？如果存在，是否唯一？
例 sin x cos x
sin x C cos xC为任意常数
P100
定 义 4 . 2 (不定积分的定义)
函数f x的全部原函数F x C， 称为f x
不定积分，记为 f ( x)dx.
f ( x)dx F ( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
性质4.3
f x gxdx f xdx gxdx
性质4.4
kfxdx k f xdxk是常数， 且k 0
4.1.3 直接积分法 P 1 0 1
(1) kdx kxC (k 是常数),
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
(3)
1 x
dx
ln
|
x|C
,
(4) exdx ex C ,
(5)
a
xdx
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
2
x
7 2
C
7
.
2
2 x3 x C . 7
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
4 1x Biblioteka 34 1C
3x13 C
3 3x
C .
3
x34x3434113411C
C
3x3x13 13C
C
3 3
3x
3xC
C.
.
堂上练习:
x (xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdxxx52d52xxd52xdx5x51x25d12xxd12xdx
((1133))ccssccxxccoottddxxccssccxxCC ,,
(7) sin xdx cosxC ,
(8) sec2 xdx tan xC ,
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
,
例例44
1 x3
dx
x3dx
1 31
x31
C
1 2x2
C
.
例例55
x2
5
xdx x2dx
1
x
5 2
1
C
5 1
a ln
x
a
C
,
(6) cosxdx sin xC ,
(9) csc2 xdx cot x C ,
(10)
1 1 x2
dx
arc
tan
x
C
,
((1111)) 1111xx22ddxxaarrccssiinnxxCC,,
(1(122))sseeccxxtatannxxddxxsseeccxxCC, ,
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
(2)在已知某函数的原函数存在，怎 样将这个原函数求出来。
P99 定理4.1（原函数存在定理）
若函数f x在区间I上连续， 那么在区间I上 存在原函数，F x,即Fx f x, x I.
即连续函数一定有原函数！
初等函数在其定义区间内一定有原函数。
P99 定理4.2
设Fx是f x在区间I上的一个原函数， 则 Fx C也是f x的原函数，C 为任意常数。
通常把函数f(x)的原函数y= F(x)的图形叫做f(x)的一条 积分曲线。那么f(x)的所有积分曲线构成的曲线族 y=F(x)+C称为f(x)的积分曲线族.
不定积分的几何意义：. 函数f(x)
的不定积分 f (x)dx . 表示f(x)的一簇
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f xdx Fx C
例1
因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 cos xdx sinx C
因为
x是 1 的一个原函数 2x
所以
2
1 dx
x
xC
例如: 4x3dx x4 c
exdx e x C
1 1 x2 dx
arctgx c arccot x c
x
代入， 得C 1， 故所求的曲线方程为y ln x 1
§4.1.2 不定积分的性质
一、不定积分的性质 二、基本积分公式
P101 一、 不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
性质4.1：
f ( x)dx
f (x)
，或
d f (x)dx f (x)dx
性质4.2：
F( x)dx F(x) C ，或 dF(x) F(x) C