数学规划-基于Matlab符号计算工具箱的内点法最优潮流研究

（6）
式中 ’（5）0’（$，!，"；(，)，*，) ，*）；()，))，*) 为拉格 朗日乘子；); )，*; ) 为库恩乘子。
注意到有如下关系的成立：
!’（5）0 ) 3 ;)0 1， !’（5）0 3 *3*; 0 1
!!
!"
于是可以推导出式（4）的 (() 条件为
’&"##（$）+#%（$）( %#&（$）（)2*）0 1 （7）
%（$）
（%%） （%’） （%:）
其中
1（2）0［#% %（$）(2#% &（$）（)-*）%#%#（$）］2
#&（$）$#&（$）)， 4". 3&/3’3&,
3（$）0#%（$）)
$（5，"）0#%（$）( 3##（$）-#&（$）.
（. 3&/’)1 % ’3&,’(1 %"（. 3&%’3&）-） （%4） 可 见 ，路 径 跟 踪 法 的 主 要 计 算 负 荷 集 中 在 每 次
9 ,-. 问题的数学模型
考 虑 到 直 角 坐 标 形 式 的 方 程 可 以 保 持 ,-. 模
收稿日期：*!!* F 99 F 9K；修回日期：*!!K F !* F *P
型的二次性特征，及 3-4 能有效地处理函数不等式
的特性，,-. 问题的数学模型采用如下形式：
/)’ !（"）
CD(D #（"）E!
%#9
$
（K）
+J" # +I" G ［!"（(% &"% F!% *"%）F ("（!% &"%/(% *"%）］
%#9
" E9，*，…，$
不等式约束 $（"）是系统的运行约束，分别为线
路约束、电压约束、发电机有功出力约束及无功电源
出力约束，即
00
)00 "%!)"%!) "%， （"，% ）$,"L
函数的海森矩阵，并按系数累加，工作量相当巨大。
: 内点最优潮流的符号计算
;<"=<> 是 ;<"?@ABC& 公司开发的新一代科学与
工 程 计 算 软 件 包 ，其 强 大 的 矩 阵 运 算 和 数 值 分 析 能
力类似于 D 语言的编程环境，为大规模工程数值计
算程序的开发提供了强有力的工具。
为 有 功 源 和 无 功 源 出 力 ；)I "，+I " 为 有 功 和 无
第7期
李 尹，等：基于 K?/F?L 符号计算工具箱的内点法最优潮流研究
’4
功负荷；!" # 为流过线路（"，#）功率；$!" 为 约 束 线 路集；$#，$$ 为有功电源和无功电源集合。
% 路径跟踪内点算法
式 （&）是 一 个 典 型 的 大 规 模 非 线 性 规 划 问 题 ，本
通过对式（&6）;（%&）进行适当的化简，可以得到
如 下 形 式 的 简 约 修 正 方 程 ，这 种 处 理 的 结 果 是 简 约
修 正 方 程 的 维 数 仅 取 决 于 等 式 约 束 的 维 数 ，与 不 等
式 约 束 的 维 数 无 关 ，有 效 地 保 证 了 算 法 对 系 统 规 模
制 次 数 /*?@ 0 41，中 心 参 数 %&（1，&），允 许 误差 & 0 &1A36。分别设置原始和对偶变量
的初值［!，"］)B 1，［) B 1，* C 1，( 0 1］)
DE+F=（/ C /*?@）GH </=> &：计算互补间隙 0#?>
0#?> " -)（’,3./）+I（0#?>C &），输出最优解，停机。否则 </=> %：由 0#?> 和 % 计算扰动参数 "
)"%
#（( * "
/
!
* "
’(" (% ’
!"
!%）&"% /（("
!% ’(%
!"）*"%
1
* "%
!（(
*/
"
!
* "
）!1
* "
，
" # 9，*，…，$
（<）
00
)00 H"!)H"!) H"， "$,H
00
+00 J"!+J"!+ J"， "$,J
式中 -!"，-9"，-*" 为火电厂 " 的发电费用系数；)H"，+J"
第 *K 卷第 N 期 K< *!!K 年 N 月
电力自动化设备
Q0&A($)A -12&$ OR(1/#()1’ QSR)%/&’(
T10D*K U1DN VR0D*!!K
基于 4#(0#= 符号计算工具箱的 内点法最优潮流研究
李 尹，韦 化 （广西大学 电气学院，广西 南宁 MK!!!<）
!"：为提高最优潮流算法的通用性，利用 4#(0#= 符号计算工具箱完成了一种基于扰动 77? 条 件 的 内 点 算 法 最 优 潮 流 的 符 号 计 算 。可 以 获 得 系 统 状 态 变 量 的 显 式 符 号 结 果 ，该 方 法 使 得 复 杂 的 最 优潮流修正方程的形成与求解过程简化为在每次迭代中进行一次简单的代数替换。通过对 < 个不 同 的 目 标 建 模 仿 真 ，结 果 表 明 ，该 方 法 可 极 大 地 简 化 最 优 潮 流 计 算 程 序 的 复 杂 程 度 ，提 高 代 码 的 通 用性和易维护性。 #$%：最优潮流；路径跟踪法；内点算法；符号计算；4#(0#=；电力系统 &’()*：?4 N<<；?- K99 +,-./：O +01*：9!!+ F +!<N（*!!K）!N F !!K< F !M
+,-.［,-.
（/!" !!"
：! !" 0 (；
/ #" !#"
：!#" 0 (）， 1］
&"#$2 ’
()***
+,-.［,-.
（/ $" ! $"
：! $" 0 (；
/ %" !%"
：! %" 3 (），
1］
!"#$ +：更新原始和对偶变量
!! $!! $ !! ! $!" $!" $ !! " $ ""# %%’""# %%4 &"#$$ ""! # %%，""% %%’""% %%4 &"#$2 ""! % %% #$ &#$ & #! $ &#& &#& & #! & &
’’" %（$）0 1 ’(" &（$）3! 35& 0 1 ’)" &（$）2" 3& 0 1 ’*" ’,- 0 1 ’+" ./- 0 1 （!，"；)）!1，*$1，(%1
（8） （9） （&1） （&&） （&%） （&’）
式中 ’，.，,，/ 是对角矩阵。
理论上可用牛顿 法 直 接 求 解 上 述 (() 条 件 而
获 得 系 统 的 最 优 解 ，但 是 用 牛 顿 法 线 性 化 后 的 互 补
条件式（&&），（&%）有着极其不良的特性，即一旦某原
始 或 对 偶 变 量 落 到 可 行 域 的 边 界 上 ，它 将 被 粘 在 这
一点，再也无法跳出［&］。
为克服这一不良性质，在路径跟踪法中引入了一
扰动变量 " 松弛互补条件，分别替换式（&&）（&%）为
题。最后用牛顿法对其一阶最优性条件，即 (() 条
件，进行求解。
首先，引入松弛向量 ! 和 " 化原式（&）中函数不
等式约束为等式约束得到系统：
*+, #（$）
-./. %（$）01
&（$）%!%5& 01， &（$）2"3&01 （!，"）!1
（4）
由式（4）可以定义相关的拉格朗日函数：
’（5）" #（$）3()%（$）3))［&（$）3!3 5&］3 *)［&（$）2"3 &］3 ;) )!3 *; )"
4#(0#= 作为一种强大的矩阵计算工具，内 建 丰 富高效的矩阵运算函数库。这使得在 4#(0#= 平台上 的 ,-. 程序开发极具效率。本文利用 4#(0#= 中的符 号计算工具箱 >4?（>@/=10)A 4#(5 ?110=1B）以符号 为变量完成了整个内点最优潮流的计算。可以获得 系统状态变量的显式符号结果，使得复杂的 ,-. 计 算仅限于在每次迭代中进行一次简单的代数替换， 大 大 简 化 了 ,-. 问 题 的 建 模 和 程 序 编 制 的 复 杂 程 度，提高 了 代 码 的 通 用 性 和 易 维 护 性 ，有 效 地 缩 短 了 ,-. 程序的开发周期。
简约修正方程（%:）的形成和求解上。
另外，为获得最佳的收敛特性，在扰动变量的 调
整 计 算 中 引 入 一 中 心 参 数 %，合 理 地 设 置 该 参 数将
使寻优过程在最优性和可行性之间找到一最佳的平
衡点，使算法具有良好的超线性收敛特性［’］。
路径跟踪法主程序流程为
</=> 1：初始化；设迭代标记单元 / 0 1，最大迭代限
" "% 0#?> J % 1 式中 1 为松弛变量维数。
</=> ’：求解修正方程式（%%）;（%:）得系统的原始和
:8
电力自动化设备
第 9: 卷
对偶变量的修正值 !!，!"，!#，!$，!% 和 !&。
!"#$ %! 分别在原始和对偶空间进行可行性检验，以
确定原始和对偶步长
&"#$$’ ()***
（9）
%$!$（"）!$
其 中 ，目 标 函 数 !（"）分 别 设 为 有 功 网 损 最 小 ，无 功
网 损 最 小 、燃 料 费 用 最 小 和 固 定 负 荷 下 的 发 电 量 最
小 ，即
!#F"
$ #9Fra Baidu bibliotek
%
$ #9
&"%｛（!"
’
!%）*G（("
F
(%）*｝#
)01CC*
!
#$ #F （·）"""#9
& ’ &41
562 27
!"#$ 8：打印“迭代不收敛”，停机。
尽 管 路 径 跟 踪 内 点 算 法 逻 辑 清 晰 ，主 程 序 步 骤
简单，不需用户设定起始参数，且算法具有局部的二
次 收 敛 特 性 。 但 代 价 是 在 形 成 修 正 方 程 （9% ）时
（!"#$ :），需严格计算所有等式、不等式约束和目标
! 引言
自法国学者 "#$%&’()&$ 在 *! 世纪 +! 年代初定 义了最优潮流 ,-.（,%()/#0 -12&$ .012）以来，作为 电 力 系 统 运 行 和 分 析 的 一 种 强 有 力 的 工 具 ，最 优 潮 流吸引了众多研究者的注意。在过去的四十年里， 各种不同的最优化方法，诸如：线性规划，二次规划， 非 线 性 规 划 以 及 解 耦 法 和 牛 顿 法 等 ，都 被 相 继 应 用 到这一领域。
"
’ * "’,-3" - 0 1
"
’ + "./- 2" - 0 1
（&:） （&4）
并在迭代过程中利用扰动变量和互补间隙的关系让
其逐步动态调整到零。
这样，上述扰动的 (() 条件就可用牛顿法解开，
修正方程式如下：
’&10 （#%%（$）( 2#%&（$）（)2*）3#% # （$）#$2
#%（$）# ( 2#&（$）（# )2#*）
（&6）
式中
%’’1 ,#%（$）)# $
（&7）
%’(1,#&（$）)# $%# !
（&8）
%’)1,#&（$）)# $-# "
（&9）
"
%’ *1 , ,# ! 0 ’# )
（%1）
"
%’ +1 ,/# " - .# *
（%&）
#% %（$），#% &（$）分别是 %（$）和 &（$）海森矩
阵的线性组合。
%
$ #9
*"%｛（!"
’
!%）*G（("
F
(%）*｝#
+01CC
#
（-
*"
)
* &"
G
-9"
)&
"
G
-
!"）#
."1C(
#" $ , H
# $"
$
,
H
)&
"
#
)0
1
CC9
等式约束 #（"）为潮流方程，即
（*）
$
)H" # )I" G ［("（(% &"% F!% *"%）G !"（!% &"%/(% *"%）］
的不敏感性。
#! 0#&（$）)# $ 0 ’(1
#" 0 3（#&（$）)# $ 0 ’)1）
#
)
0
3’3&
,#&（$）)#
$3
’3&（,’
(1
"
2’ *1
）
#
*
0
.
3&/#&（$）)#
$
2.
3&（/’
)
1
"
3’ +1
）
! "! " ! " 1（2）3（$）) #$ 03 $ （2，"）
3（$） 1 # (
文采用文献［’］中提出的基于扰动(() 条件的路径
跟踪内点算法求解该问题。这种方法的实质是通过
引 入 松 弛 变 量 化 函 数 不 等 式 约 束 为 等 式 约 束 ，再 通
过拉格朗日乘子和库恩乘子把等式约束和不等式
约 束 与 目 标 函 数 复 合 ，化 原 问 题 为 无 约 束 最 优 化 问
近 年 来 ，内 点 法 3-4（3’(&$)1$ -1)’( 4&(516）作 为 7#$/#$8#$ 著 名 的 投 影 变 换 法 ［9］的 一 种 等 价 算 法 被再次提出，引起了研究者的广泛关注。由于 7#$: /#$8#$ 3-4 是 一 种 具 有 多 项 式 时 间 复 杂 性 的 算 法 ， 因而在求解大规模非线性系统时表现出了快速性， 迭代次数对系统规模的不敏感性及鲁棒性强的优 良特性。不久，3-4 就被应用到最优潮流问 题 的 研 究中，并取得了巨大的成功 。 ［*;<］