广义积分
广义积分
b
广义积分发散. 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散 这时也称广义积分收敛， 否则称广义积分发散. 广义积分收敛
定义 3
内连续， 设函数 f (x) 在 (- ∞, + ∞) 内连续， 且
对任意实数 c， 如果广义积分 ，
∫
c
−∞
f ( x )dx 与 ∫
+∞
c
f ( x )dx
例.
无穷积分 ∫
∞
1
dx 收敛还是发散. x
解: 考虑
∫
b
1
dx = x
∫
b
1
x dx = 2 x
b
1 − 2
1 b 2 1
=
1 2b 2
−2
可以看出当b → +∞时, ∫ 因此积分∫
∞
1
dx 增长且无界, x
y= 1 x
1
dx 发散. y x
∫1
b
dx x
0
1
b
x
例7. 使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b 所需能量由
例4 解
计算
∫
0
−∞
xe x dx .
用分部积分法， 用分部积分法，得
∫
0
−∞
xe d x = ∫
x
0
−∞
xde = xe
x x 0 −∞
x
0 −∞
− ∫ e x dx
−∞
0
= −e
x
= −1.
x 1 其中 lim xe = lim − x = lim = 0, −x x → −∞ − e x →−∞ x →−∞ e
数 a > b， 如果极限 ，
广义积分
其中 c ∈ (a, b ).
例7 计算广义积分 解 ∵ lim
∫
a
0
dx a2 − x2
(a > 0).
收敛
x →a − 0
1 = +∞ , 2 2 a −x
. ∴ x = a 为被积函数的无穷间断点 瑕点） （
∫0
a
a −ε dx = lim ∫0 2 2 ε → +0 a −x
a −ε
dx 2 2 a −x
ε →0
b
b
a+ε
f ( x)dx = F( x) a
b
= lim F( x) a+ε = limε F(b) − F(a + ε )]b b−[ b ε →0+ ε →0+ lim ) ∫= f ((x)dx (= ε+ 0+)∫a f ( x)dx = F( x) a a F b − F a →0
+∞
其中a 其中 是任意实数 . 若设F ( x )是f ( x )的任一原函数
以后为了方便, 以后为了方便,把 lim F ( x ) a 直接记为 F ( x ) a .
+∞
例1 求 ∫ e−3xdx.
0
+∞
收敛
解
∫
+∞
0
e
−3 x
1 +∞ −3x dx = − ∫ e d(−3x) 3 0
1 −3x =− e 3 0
1 = [ lim ln(1 + x 2 ) − ln 1] 2 x → +∞
= +∞
xdx 思考： 发散？ 发散. 思考： ∫−∞ 1+ x2收敛or发散？ 发散
广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
广义积分
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点。
0
a
dx dx a lim 0 2 2 0 a x a2 x2
a
arcsin x lim 0 a 0
y
y
1 a2 x2
a lim arcsin 0 。 0 a 2
第五章
第四节
广 义 积 分
本节主要内容
一、无限区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分
一、无限区间上的广义积分；
（一）无限区间上的广义积分的概念 定义1
设f ( x )在[a,)上连续，取b a, 记
a
f ( x )dx xlim f ( x )dx
a a
例5
1 证明 p dx当p 1时收敛，当p 1时发散。 1 x
证： 当p 1时，
1 1 1 1 p dx 1 p [ p1 ]1 p 1； x 1 x
当p 1时， 1 dx [ln x ]1 ， 故原积分发散； p 1 x 当p 1时， 1 1 ] p dx [ p1 1 ， (1 p) x 1 x
1 a
o
a x
1 例12 证明广义积分 0 q dx 当 q 1时收敛，当 x q 1时，广义积分发散。
1
证：(1) q 1,
0
1
11 1 dx 0 dx ln x 1 , q 0 x x
*
， q 1， 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 ， q 1， 0 x 1 q 0* 1 q
b a a
b
10广义积分
在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记
lim a f ( x)dx a
b
b
f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ： 如 果 函 数 f : (a, b)
第 4 页 / 共 10 页
10.3 广义积分的收敛性 判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分 随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的 收敛性。 Cauchy 准则、 单调有界收敛定理、 夹逼定理是判定收敛的普遍方法， 对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。 广义积分收敛的 Cauchy 准则 定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim
2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x
sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
第 2 页 / 共 10 页
解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法
高考数学必绝活高等数学广义积分计算方法高考数学必绝活：高等数学广义积分计算方法在高考数学中，广义积分的计算虽然不是常见的考点，但一旦出现，往往能拉开考生之间的差距。
掌握广义积分的计算方法，不仅能在高考中多一份胜算，也为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
接下来，让我们一起深入探讨高等数学广义积分的计算方法。
一、广义积分的概念广义积分是定积分的扩展，当积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间内有无穷间断点时，就涉及到广义积分。
对于无穷区间上的广义积分，比如积分区间为 a, ＋∞），我们可以写成：∫a, ＋∞） f(x) dx ＝lim b→＋∞ ∫a, b f(x) dx同样，如果积分区间为（∞， b，则广义积分为：∫（∞， b f(x) dx ＝lim a→∞ ∫a, b f(x) dx而对于被积函数在积分区间内有无穷间断点的广义积分，以区间 a,b 上，x ＝c 为无穷间断点为例，广义积分为：∫a, b f(x) dx ＝∫a, c) f(x) dx ＋∫（c, b f(x) dx其中，∫a, c) f(x) dx ＝lim ε→0+ ∫a, c ε f(x) d x ，∫（c, b f(x) dx ＝ lim ε→0+ ∫c ＋ε, b f(x) dx二、常见的广义积分类型及计算方法1、无穷区间上的广义积分（1）形如∫a, ＋∞） x^n dx （n ≠ －1）对于这种类型的广义积分，我们可以使用幂函数的积分公式：∫ x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C则∫a, ＋∞） x^n dx ＝lim b→＋∞ （1/（n ＋ 1)） b^（n ＋ 1) （1/（n ＋ 1)） a^（n ＋ 1)当 n ＞－1 时，该广义积分收敛；当n ≤ －1 时，广义积分发散。
（2）形如∫a, ＋∞） e^（px) dx （p ＞ 0）先对被积函数进行积分：∫ e^（px) dx ＝（－1/p) e^（px) ＋ C则∫a, ＋∞） e^（px) dx ＝lim b→＋∞ （－1/p) e^（pb) （－1/p) e^（pa)因为当b → ＋∞ 时，e^（pb) → 0 ，所以该广义积分收敛，其值为（1/p) e^（pa) 。
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
广义积分
b
a
f ( x )dx
此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散.
a
b b
3.定义 设 f ( x ) 在 [a, c) (c, b] 上连续,并且
lim f ( x ) ,如果 f ( x )dx和 f ( x )dx
c b
xc
a
c
同时收敛,则称它们的和为函数 f ( x ) 在 [a , b] 上的瑕积分. 记作:
例10 求
3
1
x 1 x3
0
dx.
1 3
1 解 令 x t 则 x t dx t dt 3 1 2 6 1 1 x t 1 3 t dt 1 0 1 x 3 dx 0 3 2 (1 t ) 1 1 t (1 t ) dt 0 t (1 t ) 3 3 1 1 ( )( ) 1 2 1 1 1 2 . ( , ) 3 (1) 3 3 2 2
2
即瑕积分发散.
总结
定义及以下两个特殊广义积分: 无穷积分 1
1 dx p x
p 1 时收敛, p 1 时发散.
瑕积分
1
0
1 dx ( p 0) p x p 1 时收敛, p 1 时发散.
三. 函数 定义 广义积分 (r ) 0 x e dx (r 0)
1 1 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2
2 3
dt
2 2 ln 2
即广义积分收敛,值为 2 2 ln 2.
例5.讨论广义积分 0
解
1 i 因 xlm p 0 x
1
1 dx ( p 0) 的敛散性. p x
第九讲广义积分
第九讲广义积分9 . 1 广义积分的概念广义积分也叫非正常积分或反常积分．它是相对正常积分（也就是定积分或叫黎曼积分）而提出的．我们知道，正常积分必须具备两个前提条件：一是积分区间必须是有限闭区间；二是被积函数必须是有界函数．但实际仁常常需要解决不满足上述条件的积分，这就是广义积分．它分为两类：无穷区间的广义积分（又叫无穷积分）和无界函数的广义积分（又叫瑕积分） .一、无穷区间的广义积分 1 ．定义设f 定义在[)+∞,a 上，且对任何有限区间[]u a ,， f 在其上可积，若极限()()⎰==∞→∞→u au u J u F dx x f lim lim 存在，称广义积分()⎰+∞adx x f 收敛，记为()⎰+∞=adx x f J ，否则称()⎰+∞adx x f 发散．同理可定义：()()⎰⎰-∞→∞-=buu bdx x f dx x f lim对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f ，其中a 为任意的实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时，称左边的无穷积分收敛． 注：对()()()⎰⎰⎰∞-+∞+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f 类型，右边两无穷积分收敛是指：对两独立的极限()⎰-+∞→avv dx x f lim与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在，而不能认为是互有关联的极极()⎰-+∞→avv dx x f lim 与()⎰+∞→ua u dx x f lim 都存在 · 一般地，称 ()⎰-+∞→auv dx x f lim 为()⎰+∞∞-dx x f 的柯西主值，记作()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..．无穷积分的敛散与它的柯西主值之间的关系如下： ( 1 ）若无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 收敛，则()()⎰⎰-+∞→+∞∞-=auv dx x f dx x f p V lim ..必存在，且它们的值相等 · ( 2 ）若()⎰+∞∞-dx x f p V ..存在，但无穷积分()⎰+∞∞-dx x f 未必收敛 · 例如：0lim ..==⎰⎰-+∞→+∞∞-a uv xdx xdx p V ，但⎰+∞∞-xdx 显然是发散的 ·2 ．等价定义 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对 0>∀ε，a A >∃当 M > A 时，恒有()ε<⎰+∞Mdx x f .3 ．柯西准则 无穷积分()⎰+∞adx x f 收敛⇔对0>∀ε，a A >∃，当 A A A >>12时，恒有()ε<⎰21A A dx x f4 ．绝对收敛和条件收敛 ( l ）绝对收敛：若()⎰+∞adx x f 收敛，称()⎰+∞adx x f 是绝对收敛的显然绝对收敛必收敛。
广义积分
∫−∞ f ( x )dx = ∫−∞ f ( x )dx + ∫0
= lim
+∞
0
+∞
f ( x )dx
∫a f ( x )dx + blim ∫0 a → −∞ → +∞
0
b
f ( x )dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
例1 计算广义积分 ∫− ∞ 解
1
例7 计算广义积分 解
∫
2
1
dx . x ln x
∫1
2
dx 2 dx = lim ∫1+ε x ln x ε →0+ x ln x
2
= lim ∫1+ε
ε → 0+
ε → 0+
d (ln x ) 2 = lim [ln(ln x )]1+ε ε → 0+ ln x
= lim [ln(ln 2) − ln(ln(1 + ε ))]
b
b
上连续, 设函数 f ( x ) 在区间 ( −∞ ,+∞ ) 上连续 , 如果 广义积分 ∫− ∞ f ( x )dx 和 ∫0
0 +∞
f ( x )dx 都收敛 ， 则 都收敛，
+∞
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( −∞ ,+∞ ) 上的广义积分，记作 ∫− ∞ f ( x )dx . 上的广义积分，
= lim ∫a
ε → +0
c −ε
f ( x )dx
b
f ( x )dx + lim
b
广义积分
二、无界函数的广义积分
【例7】
二、无界函数的广义积分
【例8】
下列算式是否正确？
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
思考
(1)本节学习了几种不同类型的广义积分？它与定积分有何 区别与联系？
(2)为什么要学习广义积分？什么情况下要用广义积分？
谢谢聆听
广义积分
一、无穷区间的广义积分
定义1
设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限 limb→+∞ 存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞af(x ，即
(5-7) 此时称广义积分∫+∞af(x 存在或收敛；否则称广义积分 ∫+∞af(x 没有意义或发散． 类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
注意分
【例3】
这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→+∞时，虽然 图5-8中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．
图 5-8
二、无界函数的广义积分
定义3
此时称广义积分
存在或收敛；否则称广义积分
没有意义或发散．这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点．
类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分
二、无界函数的广义积分
定义4
否则，称其没有意义或发散．
二、无界函数的广义积分
【例4】
二、无界函数的广义积分
图 5-9
二、无界函数的广义积分
【例5】
注意
该题的结论一般要记住，可作为定理使用．
二、无界函数的广义积分
【例6】
6.5广义积分
一、无穷限积分----无穷区间上广义积分 无穷限积分 无穷区间上广义积分
∫
+∞
a
f ( x)dx
∫
b
−∞
f ( x)dx
∫
+∞
−∞
f ( x)dx
1 例：考查由y = 2 ( x ≥ 1)与x轴“所围”图形的面积. x b 1 1 b 1 y y = 12 S′ = x dx = − 1 = 1 − 2
1 ∫0 e dx, ∫−1 x2 dx 这两类积分统称为广义积分 其中前者称为无 广义积分. 这两类积分统称为广义积分 其中前者称为无 穷限积分, 后者称为瑕积分 瑕积分. 穷限积分 后者称为瑕积分
−x
1
+∞
常义积分讨论是否可积，广义积分讨论是否收敛。 常义积分讨论是否可积，广义积分讨论是否收敛。 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的, 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的 即先 将广义积分转化为定积分, 再对该定积分求极限. 将广义积分转化为定积分 再对该定积分求极限
∫
∫
因为 ∫0
1
1
1 dx 发散, 发散, 2 x
1 于是， 2 dx发散. ∫−1 x
1 1 = −2 错误做法： 错误做法： −1 2 dx = − ∫ x x −1
1
∫
1
0
1 dx = p x
发散 p ≥ 1 1 1− p p < 1 发散 p ≤ 1 1 p −1 p > 1
1
x 1 1 ∫0 3 dx x2
0
dx
收敛. 发散；
例:讨论广义积分 讨论广义积分
1 的敛散性. ∫−1 x2 dx 的敛散性
微积分课件 广义积分
1.无穷积分敛散性判别法
定理10 若ƒ(x)≥0, 则
a
f
(x)dx收敛的充要条件是
x
F (x) a f (t)dt 在[a,+∞)上有界.
证 必要性显然成立. 下证充分性. 因 F(x) f (x) 0 知, F(x)在[a, +∞)上单调增加;
而由F(x)在[a, +∞)上的有界性知F(x)必有极限, 即
a
0 a
存在. 6
注4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点
c(a<c<b)时,
瑕积分
b
a
f
( x)dx
的敛散性,
即
b
b
(1)若瑕点为b,
则定义 a
f (x)dx lim 0 a
f (x)dx.
(2)若瑕点为c(a<c<b), 则定义
b
f (x)dx lim
c1 f (x)dx lim
9
三.两个重要的广义积分
下面介绍两个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的
特殊积分—Γ函数和β函数, 这两个函数也称为欧拉积分.
1. Γ函数
定义4 参变量s的函数 (s) xs1exdx 0
(s 0) 称为Γ函数.
注5 当s > 0时, 定义4中的广义积分收敛.(证明略)
注6
(s) xs1exdx 不仅是个无穷积分, 0
f (x)dx
a
不再表示数值了, 无穷积分没有意义.
注1 若 f (x)dx收敛, 则有 f (x)dx lim b f (x)dx存在.
a
a
b a
注2 类似地可定义
b
f (x)dx lim
高等数学广义积分
定义
设函数 f ( x ) 在区间 ( , ) 上连续,如
0
果广义积分 f ( x )dx 和 0
则 f ( x )dx 都收敛，
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , )上的广义积分，记作 f ( x )dx .
f ( x )dx f ( x )dx 0
x
例
证明广义积分
1
1 dx 当 p 1 时收敛， p x
当 p 1时发散.
1 1 dx dx ( 1 ) p 1 , 证 1 x p 1 x ln x 1 , , p 1 1 p 1 x ( 2) p 1, dx 1 p 1 x , p1 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
例 解
计算反常积分
1
arctanx dx . 2 x
原式
1
1 arctanx d x
arctanx dx 2 1 x x(1 x ) 1
1 1 1 1 1 2 2 d x ( ) d x 2 2 1 4 2 1 x 2 (1 x 2 ) 4 2 x 1 x
1 x ln 2 4 2 1 x
2
1
1 ln 2 . 4 2
二. 无穷积分收敛的判别法
１.柯西收敛原理
无穷积分
a
f ( x )dx收敛的充要条件是:
e
广 义 积 分
广义积分
前面介绍的定积分有两个限制条件：积分 区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某 些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在 有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以 推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间 的广义积分和无界函数的广义积分两类.
一、 无穷区间的广义积分
定义2
二、 无界函数的广义积分
【例35】
二、 无界函数的广义积分
【例36】
二、 无界函数的广义积分
【例37】
二、 无界函数的广义积分
【例38】
பைடு நூலகம்
二、 无界函数的广义积分
二、 无界函数的广义积分
由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整 数n
Γ(n+1)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)
以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.
(6-13)
二、 无界函数的广义积分
定义5
设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b) limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx 都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx; (6-14) 否则，称其没有意义或发散.
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx, (6-12) 此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分 ∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.
类似地，可定义f(x)在区间［a,b) ∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx
广义积分与变换
广义积分与变换广义积分和变换是数学中重要的概念和工具，它们在许多领域中都有广泛的应用和重要的意义。
本文将介绍广义积分和变换的概念、性质以及应用，并探讨它们在数学和其他科学领域的重要性。
一、广义积分广义积分是指当被积函数在某些区间上不满足黎曼可积条件时，我们对其进行积分的方法。
广义积分的概念首先由数学家柯西引入，并经过数学家黎曼的修正和扩展而得到完善。
广义积分最常见的形式是定积分的广义形式，即积分上下限可以是无穷大或无界的。
对于函数f(x)，如果在[a, b]上黎曼可积，那么我们可以定义其定积分∫[a, b]f(x)dx。
如果f(x)在[a, b]上不满足黎曼可积条件，我们可以将积分区间[a, b]分割成若干个子区间，再分别在这些子区间上定义广义积分。
当极限∫[a, t]f(x)dx存在时，我们称之为广义积分的收敛性。
广义积分具有一些重要性质，如线性性、比较性、积分换元等。
这些性质使得广义积分成为处理无穷和无界函数的有力工具。
广义积分在微积分、数学分析以及其他科学领域的建模和问题求解中都有广泛的应用。
例如，它可以用于求解曲线长度、体积、面积等几何问题，还可以用于解析几何、概率论、统计学等领域的计算。
二、变换与广义积分变换是一种数学工具或方法，将原始函数或模型转换为新的函数或模型，并通过改变变量或坐标系来简化问题或求解问题。
变换与广义积分有着密切的联系和应用。
常见的变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、泊松变换等。
这些变换在信号处理、电路分析、图像处理、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
它们通过将原始函数表示为频域或复平面上的函数，使得问题的求解便捷而简单。
其中，傅里叶变换和拉普拉斯变换是最为常见和重要的变换。
傅里叶变换将函数表示为频域上的函数，它在信号处理和图像处理中具有重要的应用。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而进行频谱分析、滤波和频率特征提取等操作。
傅里叶变换的性质和快速算法（如快速傅里叶变换）使得信号处理变得简单高效。
11-1 广义积分
,
∫
+∞
∴
∫
+∞
0
e ax dx 收 敛 .
0
故广义积分绝对收敛. 故广义积分绝对收敛. e ax sin bx dx 收敛.
如上例所示,判别无穷限的广义积分是否收敛, 如上例所示,判别无穷限的广义积分是否收敛, 通常先判别其是否绝对收敛.因此, 通常先判别其是否绝对收敛.因此,非负函数的广义 积分是否收敛的判别法十分有用. 积分是否收敛的判别法十分有用.如同正项级数收敛 性判别法一样有如下
1
+∞
证明无穷 无穷积分 例 2 证明无穷积分 ∫1
+∞
1 dx 当 p > 1时收敛, 时收敛, p x
时发散. 当 p ≤ 1时发散.
例3 计算无穷积分
∫
+∞ ∞
dx . 2 1+ x
证明无穷 无穷积分 例 4 证明无穷积分 ∫a e 时发散. 当 p < 0 时发散.
+∞ px
+∞
px
dx 当 p > 0 时收敛, 时收敛,
b px
特别的,有收敛无穷积分
∫
+∞
1
e dx = e .
x
1
无穷积分具有如下性质: 无穷积分
( 1) 若
∫
+∞ a
f1 ( x ) dx 与
∫
+∞ a
f 2 ( x )dx 都 收 敛 , k1 , k 2为
+∞ +∞
任意常数,则
∫
+∞
∫
+∞
a
[k1 f1 ( x) + k2 f 2 ( x)]dx 也收敛且有
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理论与实验课教案首页
第12 次课授课时间2016年12月4日第6～7节课教案完成时间2016年11月28日
理论与实验课教案续页
基 本 内 容
教学方法手段 和时间分配
复习:
一、 定积分的概念——特殊乘积和式的极限 二、 定积分的性质 三、 定积分的计算
积分上限函数及其导数'()(())'()x
a
x f t dt f x Φ==⎰
牛顿—莱布尼兹公式
()d ()()()b b
a a
f x x F x F b F a ==-⎰
第五节 广义积分和Γ函数
一、无穷区间上的广义积分 引例：求曲线)0(11
2
>+=x x y 与x 轴、y 轴所围成的开口曲边梯形的面积。
根据定积分的思想，所求面积的底边为无限长的曲边梯形，它可表示为
在[0,)+∞上任取一点b ，则在区间[0,]b 上的曲边梯形面积为 201
()1b
S b dx x =
+⎰
由极限的思想，当b →+∞时，()S b 的极限为所求的面积S ，即
5分钟
15分钟
提问：如何求无限长曲边梯形面积？
基 本 内 容
教学方法手段 和时间分配
课堂练习： 计算广义积分
0pt t e dt (p ).+∞
->⎰
二、被积函数有无穷型间断点的广义积分
)(x f 在],[b a 上有无穷间断点（若)(x f 在c 点无定义，且
∞=→)(lim x f c
x ）
引例：求曲线)0(112
>-=
x x
y 与x 轴、y 轴及直线1x =所围
成的开口曲边梯形的面积。
根据定积分的思想，所求面积的侧边为无限长的曲边梯形，它可表示为
在[0,1)上任取0,ε>则在区间[0,1]ε-上的曲边梯形面积为
⎰
---=ε
ε10
2
111dx x
S
由极限的思想，当0ε→时，1S ε-的极限为所求的面积S ，即
类比得到
定义
()b
a
f x dx ⎰
时，
要求:
1）,a b 为常数； 2）()f x 在[,]a b 上
连续必可积。
12
1dx S x
=-⎰。