广义积分

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第12 次课授课时间2016年12月4日第6～7节课教案完成时间2016年11月28日

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基 本 内 容

教学方法手段 和时间分配

复习:

一、 定积分的概念——特殊乘积和式的极限 二、 定积分的性质 三、 定积分的计算

积分上限函数及其导数'()(())'()x

a

x f t dt f x Φ==⎰

牛顿—莱布尼兹公式

()d ()()()b b

a a

f x x F x F b F a ==-⎰

第五节 广义积分和Γ函数

一、无穷区间上的广义积分 引例：求曲线)0(11

2

>+=x x y 与x 轴、y 轴所围成的开口曲边梯形的面积。

根据定积分的思想，所求面积的底边为无限长的曲边梯形，它可表示为

在[0,)+∞上任取一点b ，则在区间[0,]b 上的曲边梯形面积为 201

()1b

S b dx x =

+⎰

由极限的思想，当b →+∞时，()S b 的极限为所求的面积S ，即

5分钟

15分钟

提问：如何求无限长曲边梯形面积？

基 本 内 容

教学方法手段 和时间分配

课堂练习： 计算广义积分

0pt t e dt (p ).+∞

->⎰

二、被积函数有无穷型间断点的广义积分

)(x f 在],[b a 上有无穷间断点（若)(x f 在c 点无定义，且

∞=→)(lim x f c

x ）

引例：求曲线)0(112

>-=

x x

y 与x 轴、y 轴及直线1x =所围

成的开口曲边梯形的面积。

根据定积分的思想，所求面积的侧边为无限长的曲边梯形，它可表示为

在[0,1)上任取0,ε>则在区间[0,1]ε-上的曲边梯形面积为

⎰

---=ε

ε10

2

111dx x

S

由极限的思想，当0ε→时，1S ε-的极限为所求的面积S ，即

类比得到

定义

()b

a

f x dx ⎰

时，

要求:

1）,a b 为常数； 2）()f x 在[,]a b 上

连续必可积。

12

1dx S x

=-⎰