幅角原理及其应用说课讲解

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322 2252
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在自动控制中，一些技术的稳定性归结为要求常系 数线性微分方程解的稳定性，而这类问题要求该方 程的特征多项式
P z a0zn a1zn1 an
的根全在左半平面。利用幅角原理可以得到这问题 的一个判据。 例3 证明：在虚轴上没有零点的n次多项式
P z a 0 z n a 1 z n 1 a n （ a 0 0 ）
N (f,C )P (f,C ) Ca2 rg f(z)
例 2 . 设 f(z)= z-7 2z3 ,C ： z= 4 ， 验 证 幅 角 原 理 z-5 4z+ 2 2z-1 5
解 一 方 面 N f,C - P (f,C ) 3 7 4
另 一 方 面Cargf(z)3Cargz2Cargz225Cargz1
arg Piyn
y( )
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三、儒歇（Rouché）定理
z在 C 上 时 有 ： (z)f(z)
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儒歇定理
(z) f(z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数Fra Baidu bibliotek同
零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。
例4 证明多项式 g(z)z43z+1的全部4个零点都位 于 z 2 内。 例5 证明: 满足条件 a t |a 0 | |a 1 | |a t 1 | |a t 1 | |a n |
f
(z)
=
h(z) (z b)m
b 从 而 f'( z ) - m h '( z ),其 中 h '( z )在 点 的 邻 域 内 解 析
f( z ) z bh ( z ) h ( z )
由此，b为 f'(z)一 阶 极 点 且 R es[f'(z)， b]=-m 。
f(z)
f(z)
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考察积分
P ( f , C ) ( 每 个 极 点 的 阶 ) = 2 + 5 = 7 C 内 的 极 点
零 点 数 为 ： N f,C 3
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定理1 设 C 一 条 周 线 ， f( z ) 符 合 条 件 ： 1 f( z ) 在 C 内 是 亚 纯 的 ； 2 f( z ) 在 C 上 解 析 且 不 为 零 ， 则 有
由此，a 为 f'(z)一 阶 极 点 且 R es[f'(z)， a]=n 。
f(z)
f(z)
3
引 例 2设 b为 f(z)的 m阶 零 点 ， 证 明 ： b为f'(z)一 阶 极 点
f(z)
且 Res[f'(z)， a]=-m 。 f (z)
证明 b 为 f ( z ) 的 m 级 极 点 ， 则 在 b 的 去 心 邻 域 内 有
幅角原理及其应用
留数和留数定理
定义：如果函数 f 在区域D内除去极 点外 处处有解理析函，数则在整称个f 为平区面上域都D内是亚的纯亚函纯数函数。
若f 在闭周线C内是亚纯的，在C上解析且不取 零点，则 f 在C内至多有有限个极点。
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一、对数留数
引 例 1设 a为 f(z)的 n阶 零 点 ， 证 明 ： a为f'(z)一 阶 极 点 f(z)
且 Res[f'(z)， a]=n。 f (z)
证明 设 a 为 f ( z ) 的 n 级 零 点 ， 则 可 写
f (z) = (z - a)n g(z)
从 而 f'( z )n g '( z ),其 中 g '( z )在 点 a 的 邻 域 内 解 析 f( z ) z ag ( z ) g ( z )
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另一方面
21 iC ff'((zz))dzN(f,C )P(f,C )
1
2i
C
f f
'(z) (z)
dz
1
2i
C
d [lnf dz
(z)]dz
1
2i
dln
C
f
(z)
1
2i
[dln|
C
f (z) | idarg
C
f (z)]
C arg f (z)
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二、幅角原理
定理2 设 C 一 条 周 线 ， f( z ) 符 合 条 件 ： 1 f( z ) 在 C 内 是 亚 纯 的 ； 2 f( z ) 在 C 上 解 析 且 不 为 零 ， 则 有
1 f '(z)
2
i
C
dz f (z)
若 f ( z ) 在 C 内 亚 纯 且 在 C 上 解 析 、 不 取 零 值 。
明显地， f'(z)的极点只可能来自于f(z)的极点和零点. f(z)
计算函数的零点或极点的个数时，通常包含重数。
例 1 . 设 f(z )= z-7 2 z 3 ,则 f(z )在 C ： z= 4 内 的 极 点 数 为 z-5 4 z+ 2 2 z-1 5
的多项式 P z a 0 z n a 1 z n 1 + a t z n t a n （ a 0 0 ）
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如： 方程 z85z5在2z单位1 圆0 内有（ ）个根 方程 z85在z单1位圆0内有（ ）个根 方程 z 8 6 z 在 1单0 位 圆0 内有（ ）个根 z4 8z 10 0