解题技巧专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

◆类型一 三角形中利用面积法求高

1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013

cm

2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．

◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度

3．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt△ABC 的面积是( )

A ．48cm 2

B ．24cm 2

C ．16cm 2

D ．11cm 2

4．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )

A ．7cm

B ．10cm

C ．(5＋37)cm

D ．12cm

5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

◆类型三巧妙利用割补法求面积

6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】

◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积

8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.

9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用

其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．

参考答案与解析

1．D

2. 35

5 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h.∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12

×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴12×5h ＝32，∴h＝355

.故答案为355

.

3．D 4.D 5.C 6．解：连接AC ，过点C 作CE⊥AD 交AD 于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA ＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝

13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥A D ，∴AE＝12AD ＝12

×10＝5.在Rt△ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC

＋S △CAD ＝12AB·BC＋12AD·CE＝12×5×12＋12

×10×12＝90. 7．解：延长AD ，BC 交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E ＝30°.∴AE＝2AB ＝8.在Rt△ABE 中，由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝82－42＝43.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD ＝4.在Rt△CDE 中，由勾股定理得DE ＝CE 2－DC 2＝42－22＝23.∴S 四边形ABCD

＝S △ABE －S △CDE ＝12AB·BE－12CD·DE＝12×4×43－12×2×23＝6 3. 8．81

9．110 解析：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，易证四边形AOLP 是矩形，OK ＝BE ＝3.∵∠CBF＝90°，∴∠ABC ＋∠OBF＝90°.又∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB.在△ACB

和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC＝∠FOB，∠ACB＝∠OBF，BC ＝FB ，

∴△ACB≌△OBF(AAS)．同理：

△ACB≌△PGC≌△LFG≌△OBF，∴KO＝OF ＝LG ＝3，FL ＝PG ＝PM ＝4，

∴KL＝3＋3＋4＝10，LM＝3＋4＋4＝11，∴S矩形KLMJ＝KL·ML＝10×11＝110.