n维向量空间

练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
定义：数域 上的n维向量全体关于线性运 K 算加法和 标量乘法构成数域上的n维向量空间，记为n . K K
空间概念是集合与运算二者的结合.
向量组
ε1 (1,0,0,), ε 2 (0,1,0,0,), ε n (0,0,0, ,1)
称 为n维 向 量 空 间 的 自 然 基 .
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
n 维向量空间
在实际应用中，经常会碰到多元数组：如描述空间中一个刚 体细棒需要知道其两端的位置，需要用6元数组进行描述.这 时需要用到6维空间. 一般地，我们可以构造想象的n维向量空间，并把其中的n元 数组想象成空间的点或向量。 另外，还可以把坐标的取值范围从实数域推广到任意的数域.
一、数域
数域：设K 是由一些复数构成的数集，其中包含 0和1，若K中任意两个数的和、差、积、商仍在 K中，则称K 是一个数域.
命题：任何n维向量 1， n）都可以唯一表示成自然基 （ 的线性组合，即 1 1 2 2 n n 证： 1， n） （ 1，， 0）（0， 2， 0） 0， n） （ 0 （ 1 1，， 0） （0，， 0） （0， 1） （ 0 2 1 n 1 1 2 2 n n 唯一性： 1， n）（b1， bn） i bi （ =
规定：两个向量 = ( a1, a2, … an ), = (b wk.baidu.com, b 2, … b n )
相等，记 = ai = bi ( i = 1, 2, … , n)
定义 设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
是数域K中的数
规定：
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
行向量 = ( a1, a2, …, an )
列向量
a1 a2 (a1 , a 2 , , a n ) T a n
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
(1) 加法：
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )