n维向量空间
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3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量空间
n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。
这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。
向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。
比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。
另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。
向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。
内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。
3-1 n维向量空间
ka1 kA 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 kb1 kc1 0,
即 kA W2 , 故W2是R 23的子空间.
例3.1.1
例3.1.2 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R n R 试判断集合是否为 的子空间.
第一节
向量与向量空间
一、n 维向量的概念 二、n维向量的表示法 三、向量空间及其子空间
一、n维向量的概念
定义1： n 个有次序的数 a1 , a 2 , , a n 所组成的数
组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量， 第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量. (1,2,3,, n) 例如
T T T
解 V1是向量空间. 因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an , 0, b2 , , bn V1 ,
有
0, a2 , , an V1 .
T
0, a 2 b2 ,, a n bn V1
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
a1 a2 A B 0
b1 b2 0
0 c1 c2
满足
即
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
A B W2 , 对任意 R有
设 , , R n ; , R
(1) ;
( 2) ;
(3) 在R n中存在零元素 0, 对任何 R n , 都有
高等代数第二版课件§3[1].2_n维向量空间
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a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量 称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与 记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。 零向量：分量全为零的n维向量： 负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量 的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量 向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
数学线性代数n维向量空间
A = (α1, α2 ,L , αm )，°A = (α1, α2 ,L , αm , β)。
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
3.3向量空间
2 3 2 (b1 , b2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 3 1 4 3 1 . 2 3
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
思考题
设V = {x = ( a , b ) 运算如下 : 加法 : (a , b ) ⊕ ( c , d ) = ( a + c , bd ), 数乘 : k o (a , b ) = (lg a , b k ), k ∈ R V是不是向量空间 ? 为什么 ?
T
判别下列集合是否为向量空间. 例3 判别下列集合是否为向量空间
V2 = x = (1, x 2 , L , x n ) x 2 , L , x n ∈ R
T
{
}
解
V2不是向量空间 .
因为若 α = (1, a 2 ,L, a n ) ∈ V2 ,
T
则2α = (2,2a 2 , L ,2a n ) V2 .
T
维向量， 例4 设a, b为两个已知的 n维向量，集合
V = {x = λa + b λ , ∈ R} 试判断集合是否为向量空间. 试判断集合是否为向量空间
解 V是一个向量空间 .因为若 x1 = λ1a + 1b x 2 = λ 2 a + 2 b， 则有
x1 + x 2 = (λ1 + λ 2 )a + ( 1 + 2 )b ∈ V ,
： 向量空 的
{( x, y,z) ax+by+cz=d} {r =( x, y,z)
P( x, y, z)
T
ax+by+cz=d}
T
r = ( x, y, z)
n 维向量没有直观的几何形象． n > 3时， 维向量没有直观的几何形象．
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
n维向量空间
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
概率论与数理统计2n维向量空间
向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算 规律相同，从而也满足下列运算规律:
(1)
(2)( ) ( )
( 3) 0 ;
(4) ( ) 0;
(5)1 ;
(6)k ( l ) ( kl) ;
二、 n维向量的线性运算
定义2 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an ) 与
(b1 , b2 ,, bn ) 的各对应分量之和组成的向量，
称为向量
与
的和, 记为
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
第二节 n维向量空间
一、 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组(a1 , a2 , , an )称为n维向量，这n个数称为该向量 的 n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
向量通常用黑体字母 a , b, , 等表示.
2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
(5,4,2,1)T .
解（2） 5 2 x 0 3
1 1 x ( 3 5 ) (3(5,/ 2,1,7)/T21,)T,4,2)T 5(0,1,0 [ 2 0,1 3 , (8 7 . 2 2
三、向量空间
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算 规律相同，从而也满足下列运算规律:
(1)
(2)( ) ( )
( 3) 0 ;
(4) ( ) 0;
(5)1 ;
(6)k ( l ) ( kl) ;
二、 n维向量的线性运算
定义2 两个n维向量 (a1 , a2 ,, an ) 与
(b1 , b2 ,, bn ) 的各对应分量之和组成的向量，
称为向量
与
的和, 记为
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：
第二节 n维向量空间
一、 n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间
一、n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数
组(a1 , a2 , , an )称为n维向量，这n个数称为该向量 的 n个分量，第i个数ai 称为第i个分量 .
向量通常用黑体字母 a , b, , 等表示.
2(2,0,1,3)T (1,7,4,2)T 3(0,1,0,1)T
(5,4,2,1)T .
解（2） 5 2 x 0 3
1 1 x ( 3 5 ) (3(5,/ 2,1,7)/T21,)T,4,2)T 5(0,1,0 [ 2 0,1 3 , (8 7 . 2 2
三、向量空间
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指 若 V , V , 则 V ;
3.2 n维向量空间
b1 b2 b n
其中ai (1 i n)称为向量 的第i个分量 .
称为n维列向量，
其中bi (1 i n)称为向量 的第i个分量 .
利用转置的符号，可以灵活表示行、列向量，
例如
(b1, b2 ,, bn ) 表示一个列向量 .
§3.2
n维向量空间
一、n 维向量的概念 对 m n 矩阵，每一行都是一个 n 元数组， 每一列都是 m 元数组； 平面上的点，是由两个元素构成坐标来表示； 一个 n 元方程组的解，是由 n 个数组成；
作为上面例子的一个共同的抽象，可得下面 定义：
定义2.1 n个数 a1, a2 ,, an 所组成的有序数组称为n 维向量,一般用希腊字母 , , 等或英文字母 x, y, z 等 表示. (a1 , a2 ,, an ) 称为n维行向量，
解 由题设条件 31 2( 2 ) 0，
可得
1 3 （ 31 2 2 ） 1 2 2 2 3 (2,2,2,2) (3,1,3,1) 2 (6,2,0,4)
向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算.
定义2.5 设 R n为数域 R 上n维向量的全体，并对n维 向量定义了如前所述的加法和数量乘法，则称 R n 为 n维向量空间.
T
分量全为实数(复数)的向量称为实向量(复向量)，
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
注意 １．若干个同维数的行向量(或列向量） 所组成的集合称为向量组； ２．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 定义2.2 如果n维向量
其中ai (1 i n)称为向量 的第i个分量 .
称为n维列向量，
其中bi (1 i n)称为向量 的第i个分量 .
利用转置的符号，可以灵活表示行、列向量，
例如
(b1, b2 ,, bn ) 表示一个列向量 .
§3.2
n维向量空间
一、n 维向量的概念 对 m n 矩阵，每一行都是一个 n 元数组， 每一列都是 m 元数组； 平面上的点，是由两个元素构成坐标来表示； 一个 n 元方程组的解，是由 n 个数组成；
作为上面例子的一个共同的抽象，可得下面 定义：
定义2.1 n个数 a1, a2 ,, an 所组成的有序数组称为n 维向量,一般用希腊字母 , , 等或英文字母 x, y, z 等 表示. (a1 , a2 ,, an ) 称为n维行向量，
解 由题设条件 31 2( 2 ) 0，
可得
1 3 （ 31 2 2 ） 1 2 2 2 3 (2,2,2,2) (3,1,3,1) 2 (6,2,0,4)
向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算.
定义2.5 设 R n为数域 R 上n维向量的全体，并对n维 向量定义了如前所述的加法和数量乘法，则称 R n 为 n维向量空间.
T
分量全为实数(复数)的向量称为实向量(复向量)，
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
注意 １．若干个同维数的行向量(或列向量） 所组成的集合称为向量组； ２．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 定义2.2 如果n维向量
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
理学n维向量空间
的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
一般地，
e1 (1, 0,L , 0), e2 (0,1,L , 0),L , en (0, 0,L ,1)
对任意n维向量 x1, x2 ,L , xn
x1e1 x2e2 L xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 12 x2 L 1m xm b1
则 c1, c2 ,L , ck , 0,L , 0不全为零
c11 c2 2 +L ckk 0k1 L 0m 0
向量组1, 2 ,L ,m线性相关
反之, 若1, 2 ,L ,m线性无关, 如果它有某一个部分
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
21
x1
22 x2
L 2m xm
M
b2
n1 x1 n2 x2 L nm xm bn
记
11
12
1m
b1
α1
21
M
, α2
22
,L
M
,αm
2
m
,β
M
b2
M
n1
nm
nm
bn
方程组写成：x11 x22 L xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) (2)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm惟一地线
性表示的充要条件是：
rank(α1 ,α2 , ,αm ) rank(α1 ,α2 , ,αm , ) m 证：(1) β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
一般地，
e1 (1, 0,L , 0), e2 (0,1,L , 0),L , en (0, 0,L ,1)
对任意n维向量 x1, x2 ,L , xn
x1e1 x2e2 L xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 12 x2 L 1m xm b1
则 c1, c2 ,L , ck , 0,L , 0不全为零
c11 c2 2 +L ckk 0k1 L 0m 0
向量组1, 2 ,L ,m线性相关
反之, 若1, 2 ,L ,m线性无关, 如果它有某一个部分
向量组线性相关，
则整个向量组也必定线性相关,引起矛盾.
21
x1
22 x2
L 2m xm
M
b2
n1 x1 n2 x2 L nm xm bn
记
11
12
1m
b1
α1
21
M
, α2
22
,L
M
,αm
2
m
,β
M
b2
M
n1
nm
nm
bn
方程组写成：x11 x22 L xmm
定理4.1 (1)向量β可由向量α1 ,α2 , ,αm线性表示
矩阵A (α1,α2 , ,αm ), A (α1,α2 , ,αm , )
n维向量空间
如果k＝0，则 k=0或=0.
3、 n维向量空间
定义 数域P上的n维向量的全体，同 时考虑到定义在它们上的的加法和数 量乘法运算，称为数域P上的n维向量 空间，记作Pn。
称之为列向量；
an
2. 向量的相等
对于两个n维向量 =(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn)
如果其对应分量皆相等，即 ai= bi , i=1,2,…,n,
则称向量与相等，记作 =．
3.一些特殊向量
零向量：分量全为零的向量称为零向 量，记作0．即０＝(0,0,…,0).
n维向量空间
一、n维向量的概念
1．定义 由数域P上的n个数组成的有序数组
(a1, a2,…, an) 称为数域P上的一个n维向量，称希腊字母,,,…来表示
② 向量通常写成一行=(a1, a2,…, an)
称之为行向量；
a1
向量写成一列
a2
M
2. 向量运算的基本性质
1) 加法交换律 +=+ 2) 加法结合律 (+)+= +(+) 3) 零元特性 +0= 4) 负元特性 +()=0
5) 1=
6) 结合律 k(l)= (kl)
7) (k+l)= k+l
8) k(+)= k+k 9) 0=0，(-1)=-, k0=0 10) 如果k0, 0, 则k0，即
负向量：向量(a1, a2,…, an)称为 向量=(a1, a2,…, an)的负向量，记作.
二、n维向量的运算
定义 设=(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn), k 为数域P中的数，定义向量
3、 n维向量空间
定义 数域P上的n维向量的全体，同 时考虑到定义在它们上的的加法和数 量乘法运算，称为数域P上的n维向量 空间，记作Pn。
称之为列向量；
an
2. 向量的相等
对于两个n维向量 =(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn)
如果其对应分量皆相等，即 ai= bi , i=1,2,…,n,
则称向量与相等，记作 =．
3.一些特殊向量
零向量：分量全为零的向量称为零向 量，记作0．即０＝(0,0,…,0).
n维向量空间
一、n维向量的概念
1．定义 由数域P上的n个数组成的有序数组
(a1, a2,…, an) 称为数域P上的一个n维向量，称希腊字母,,,…来表示
② 向量通常写成一行=(a1, a2,…, an)
称之为行向量；
a1
向量写成一列
a2
M
2. 向量运算的基本性质
1) 加法交换律 +=+ 2) 加法结合律 (+)+= +(+) 3) 零元特性 +0= 4) 负元特性 +()=0
5) 1=
6) 结合律 k(l)= (kl)
7) (k+l)= k+l
8) k(+)= k+k 9) 0=0，(-1)=-, k0=0 10) 如果k0, 0, 则k0，即
负向量：向量(a1, a2,…, an)称为 向量=(a1, a2,…, an)的负向量，记作.
二、n维向量的运算
定义 设=(a1, a2,…, an), = (b1, b2,…, bn), k 为数域P中的数，定义向量
线性代数 N维向量空间 第1节 向量空间
第四章
第一节
n维向量空间
向量空间的概念
一、n维向量和n维向量空间
定义1（n维向量） n个有顺序的数 a1 , a2 ,...,an 所在组成的
数组称为一个n维向量。
记作 (a1 , a2 ,...,an （称为行向量） ) a1 a 或 2（称为列向量） 其中ai 称为的第i个分量 an
定义2： (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) R n , 设 规定 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ； k (ka1 , ka2 , , kan )
定义3（n维向量空间）： 以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到 如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，
L(1, 2 ,, m ) {k11 k 22 k mm ki R, i 1,2,,
则 L(1,2 ,,m )是一个向量空间，称为由1,2 ,,m
张成（或生成）的向量空间。
记作：span{1,2 ,,m } 定义3
m n 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间
n n
例1： V1 {( x, y,0) | x, y R}
V2 {( x, y,1) | x, y R}
例2：
V1 {( x1 , x2 , x3 ) | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的个n维向量，记
称N(AT)为A的左零空间。
n
;
记为 R
二、向量空间
定义1 设V是R n 的非空子集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V，有 V
第一节
n维向量空间
向量空间的概念
一、n维向量和n维向量空间
定义1（n维向量） n个有顺序的数 a1 , a2 ,...,an 所在组成的
数组称为一个n维向量。
记作 (a1 , a2 ,...,an （称为行向量） ) a1 a 或 2（称为列向量） 其中ai 称为的第i个分量 an
定义2： (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ) R n , 设 规定 (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ； k (ka1 , ka2 , , kan )
定义3（n维向量空间）： 以实数域中的数作为分量的n维向量的全体同时考虑到 如上定义的向量的加法和数乘运算。称R上的n维向量空间，
L(1, 2 ,, m ) {k11 k 22 k mm ki R, i 1,2,,
则 L(1,2 ,,m )是一个向量空间，称为由1,2 ,,m
张成（或生成）的向量空间。
记作：span{1,2 ,,m } 定义3
m n 矩阵A的列向量组成的向量空间称为A的列空间
n n
例1： V1 {( x, y,0) | x, y R}
V2 {( x, y,1) | x, y R}
例2：
V1 {( x1 , x2 , x3 ) | x1 x2 x3 0}
对于向量的加法和数乘是否是R上的个n维向量，记
称N(AT)为A的左零空间。
n
;
记为 R
二、向量空间
定义1 设V是R n 的非空子集合，如果 （1）V对加法运算具有封闭性，
即 , V，有 V
n维向量空间
第二节 n 维向量空间定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母表示。
称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()Tn n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β为n 维列向量。
称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。
特别对矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为矩阵A 的行向量；每一列()Tnj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。
定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。
定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。
定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。
定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。
()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。
向量的运算性质：（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。
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(1) 加法：
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
行向量 = ( a1, a2, …, an )
列向量
a1 a2 (a1 , a 2 , , a n ) T a n
命题：任何n维向量 1， n）都可以唯一表示成自然基 （ 的线性组合，即 1 1 2 2 n n 证： 1， n） （ 1，， 0）（0， 2， 0） 0， n） （ 0 （ 1 1，， 0） （0，， 0） （0， 1） （ 0 2 1 n 1 1 2 2 n n 唯一性： 1， n）（b1， bn） i bi （ =
n 维向量空间
在实际应用中，经常会碰到多元数组：如描述空间中一个刚 体细棒需要知道其两端的位置，需要用6元数组进行描述.这 时需要用到6维空间. 一般地，我们可以构造想象的n维向量空间，并把其中的n元 数组想象成空间的点或向量。 另外，还可以把坐标的取值范围从实数域推广到任意的数域.
一、数域
数域：设K 是由一些复数构成的数集，其中包含 0和1，若K中任意两个数的和、差、积、商仍在 K中，则称K 是一个数域.
规定：两个向量 = ( a1, a2, … an ), = (b 1, b 2, … b n )
相等，记 = ai = bi ( i = 1, 2, … , n)
定义 设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
是数域K中的数
规定：
定义：数域 上的n维向量全体关于线性运 K 算加法和 标量乘法构成数域上的n维向量空间，记为n . K K
空间概念是集合与运算二者的结合.
向量组
ε1 (1,0,0,), ε 2 (0,1,0,0,), ε n (0,0,0, ,1)
称 为n维 向 量 空 间 的 自 然 基 .
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
行向量 = ( a1, a2, …, an )
列向量
a1 a2 (a1 , a 2 , , a n ) T a n
命题：任何n维向量 1， n）都可以唯一表示成自然基 （ 的线性组合，即 1 1 2 2 n n 证： 1， n） （ 1，， 0）（0， 2， 0） 0， n） （ 0 （ 1 1，， 0） （0，， 0） （0， 1） （ 0 2 1 n 1 1 2 2 n n 唯一性： 1， n）（b1， bn） i bi （ =
n 维向量空间
在实际应用中，经常会碰到多元数组：如描述空间中一个刚 体细棒需要知道其两端的位置，需要用6元数组进行描述.这 时需要用到6维空间. 一般地，我们可以构造想象的n维向量空间，并把其中的n元 数组想象成空间的点或向量。 另外，还可以把坐标的取值范围从实数域推广到任意的数域.
一、数域
数域：设K 是由一些复数构成的数集，其中包含 0和1，若K中任意两个数的和、差、积、商仍在 K中，则称K 是一个数域.
规定：两个向量 = ( a1, a2, … an ), = (b 1, b 2, … b n )
相等，记 = ai = bi ( i = 1, 2, … , n)
定义 设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
是数域K中的数
规定：
定义：数域 上的n维向量全体关于线性运 K 算加法和 标量乘法构成数域上的n维向量空间，记为n . K K
空间概念是集合与运算二者的结合.
向量组
ε1 (1,0,0,), ε 2 (0,1,0,0,), ε n (0,0,0, ,1)
称 为n维 向 量 空 间 的 自 然 基 .